線性代數(shù)中矩陣特征值與特征向量教學(xué)探討

摘 要 線性代數(shù)教學(xué)的難點(diǎn)在于將抽象概念與幾何意義相結(jié)合，逐步培養(yǎng)學(xué)生形象化的認(rèn)知過程。文章運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，從二維空間中的線性變換引出特征值與特征向量的幾何意義；并針對大規(guī)模問題中特征多項(xiàng)式求解困難的情況，介紹了特征值與特征向量的數(shù)值解法以及討論特殊矩陣對實(shí)特征值與特征向量的存在性的影響，旨在幫助學(xué)生深入理解線性代數(shù)的基本概念，提高其解決實(shí)際問題的能力。

關(guān)鍵詞 矩陣特征值；矩陣特征向量；幾何意義；求解方式；存在性

中圖分類號：G642 " " " " " " " " " " " " " "文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A " "DOI：10.16400/j.cnki.kjdk.2024.6.020

Exploration of Teaching Matrix Eigenvalues and Eigenvectors in Linear Algebra

CHANG Jingya， WANG Yijie

（Guangdong University of Technology， Guangzhou， Guangdong 510000）

Abstract The difficulty of teaching linear algebra lies in combining abstract concepts with geometric meanings， gradually cultivating students' visual cognitive processes. This article uses the mathematical idea of combining numbers and shapes to derive the geometric meaning of eigenvalues and eigenvectors from linear transformations in two-dimensional space; And in response to the difficulty in solving feature polynomials in large-scale problems， this paper introduces the numerical solution of eigenvalues and eigenvectors， and discusses the influence of special matrices on the existence of real eigenvalues and eigenvectors， aiming to help students deepen their understanding of the basic concepts of linear algebra and improve their ability to solve practical problems.

Keywords matrix eigenvalues; matrix eigenvectors; geometric significance; solution method; existence

矩陣的特征值與特征向量是線性代數(shù)這門課的重點(diǎn)教學(xué)內(nèi)容之一，其在量子力學(xué)、機(jī)器學(xué)習(xí)、信號與圖像處理等學(xué)科領(lǐng)域都有著重要的應(yīng)用，其概念和內(nèi)涵是理工科學(xué)生應(yīng)該熟練掌握并深刻理解的。然而在實(shí)際教學(xué)中，由于課時(shí)量不夠、學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱、授課內(nèi)容較理論等原因，學(xué)生對于矩陣特征值與特征向量的認(rèn)識往往不夠直觀，只會(huì)死記硬背教師上課所講授的解題步驟來求解矩陣的特征值和特征向量。為了加深學(xué)生對矩陣特征值和特征向量這一知識點(diǎn)的理解，本文從其幾何意義、實(shí)際應(yīng)用求解方式、特殊情況等幾個(gè)方面探討矩陣特征值與特征向量的教學(xué)。

1 "矩陣特征值與特征向量的實(shí)際應(yīng)用

在學(xué)習(xí)矩陣特征值和特征向量的內(nèi)容之前，教師可以適當(dāng)介紹矩陣特征值和特征向量的應(yīng)用，作為課堂教學(xué)的引入，以創(chuàng)造一個(gè)積極的學(xué)習(xí)環(huán)境，打開學(xué)生的思維。比如教師可以從以下幾個(gè)方面介紹矩陣特征值和特征向量的應(yīng)用。

①矩陣的特征向量在聚類問題中的應(yīng)用：圖譜聚類算法是求解聚類問題的重要算法之一。我們可以根據(jù)實(shí)際數(shù)據(jù)的特征，構(gòu)建相似度矩陣和圖，進(jìn)一步求解其拉普拉斯矩陣的特征向量來對事物進(jìn)行聚類。具體地，對于二分類問題，我們計(jì)算拉普拉斯矩陣的第二小特征值對應(yīng)的特征向量，再根據(jù)該特征向量元素的正負(fù)不同，對事物進(jìn)行二分類。對于k（kgt;2） 分類的問題，借助于圖的拉普拉斯矩陣的前k個(gè)特征向量，我們可以將圖的頂點(diǎn)投影到一個(gè)子空間中，并利用k-means算法對圖的頂點(diǎn)進(jìn)行k分類。

②矩陣的特征值在核磁共振成像中的應(yīng)用：磁共振成像的基本原理是通過測量水分子的受限擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)來推斷人體的微觀組織結(jié)構(gòu)?，F(xiàn)在醫(yī)學(xué)界常用的擴(kuò)散張量成像（DTI） 模型是在每一個(gè)節(jié)點(diǎn)處，使用一個(gè)對稱正定矩陣，稱為擴(kuò)散張量，來描述人體組織內(nèi)水分子的擴(kuò)散行為。擴(kuò)散張量的最大特征值所在的特征方向就對應(yīng)了神經(jīng)纖維束的走行方向。該方法在診斷神經(jīng)系統(tǒng)和大腦白質(zhì)病變的時(shí)候特別有效。

③在信號與圖像處理中的應(yīng)用：信道感知是認(rèn)知無線電技術(shù)的基本問題。我們通過接收到的有限信號樣本，計(jì)算樣本協(xié)方差矩陣。再利用樣本協(xié)方差矩陣的最大特征值來檢查信號是否存在。對于相干信號，該方法的效果要比能量檢測的方法效果更好。

2 "矩陣特征值與特征向量的幾何意義

在講解矩陣特征值和特征向量的概念時(shí)，可以通過介紹其幾何意義，幫助學(xué)生識記概念，加深學(xué)生對概念的理解。

設(shè)階方陣，若存在數(shù)和非零維向量 ，使得 = 成立，稱數(shù) 是方陣的特征值，向量 為方陣對應(yīng)于特征值 的特征向量。從變換的角度來看，當(dāng)維向量 是矩陣的特征向量時(shí)，矩陣對向量 的變換作用等同于對特征向量 進(jìn)行倍的拉伸。接下來我們借助二維線性變換中的一個(gè)具體例子來闡述特征值與特征向量的幾何意義。

在上考慮一個(gè)變換矩陣為的線性變換。在線性變換前，向量空間的基向量 。經(jīng)過線性變換后，原來的基向量變?yōu)?，整個(gè)空間的其他向量也因此改變，如圖1所示。

緊接著，我們對比變換前后的向量空間中任意一個(gè)向量，并且考慮這個(gè)向量所張成的空間，即該向量所在的直線。從圖1中可以看到，由于整個(gè)空間都發(fā)生了旋轉(zhuǎn)變換，大部分向量在變換后都離開了其所張成的空間，即離開了向量變換前所在的直線，比如向量變換為。但是可以注意到，某些特殊的向量仍留在它們所張成的空間里，例如基向量變換為，該向量的長度變?yōu)樵瓉淼?倍，但它仍然留在軸里。這意味著該線性變換對這些向量的作用僅僅是拉伸或者壓縮而已。更一般來說，變換矩陣對向量 的變換作用等同于對向量 進(jìn)行 倍的拉伸，其中的向量 稱為特征向量，拉伸的倍數(shù) 稱為特征向量 的特征值。在這個(gè)例子中，基向量就是一個(gè)特征向量。除此之外，還有一個(gè)略顯隱蔽的特征向量，它在變換中也留在自己所張成的空間里，最終被拉伸為原來的2倍。處在它所張成的對角線上的其他任意一個(gè)向量，也僅僅被拉伸為原來的2倍。除了上述兩個(gè)張成空間中的向量，任何其他的向量在變換中都有或多或少的旋轉(zhuǎn)，從而離開了自己所張成的空間。

3 "矩陣特征值與特征向量的數(shù)值解法

在教材中，矩陣特征值和特征向量通過求解特征多項(xiàng)式和矩陣的方程得到。其中涉及行列式的計(jì)算和線性方程組的求解。但是對于大規(guī)模的問題，行列式和線性方程組往往不容易計(jì)算。為了幫助學(xué)生在進(jìn)一步的學(xué)習(xí)中利用矩陣的特征值和特征向量解決實(shí)際的編程問題，我們可以在課堂上簡單介紹幾種矩陣特征值和特征向量的數(shù)值解法，比如冪法、反冪法和QR方法等。

具體來說，冪法就是用于求矩陣按模最大的特征值與相應(yīng)特征向量的一種迭代算法。冪法特別適用于大型的稀疏矩陣，其迭代格式如下：

其中是任意給定的初始向量，通常要求。冪法求特征值簡單易用，并且通常收斂速度較快。它被廣泛應(yīng)用于科學(xué)計(jì)算、圖像處理、機(jī)器學(xué)習(xí)等領(lǐng)域。

在實(shí)際應(yīng)用中，冪法的數(shù)值效果會(huì)受到多個(gè)因素的影響，比如矩陣A是否對稱、是否存在多個(gè)特征值等。為了提高計(jì)算精度和數(shù)值穩(wěn)定性，可以采用改進(jìn)的冪法，如反迭代、Rayleigh商加速等方法。另外，對于計(jì)算一般中小型矩陣的全部特征值與特征向量，QR算法是目前最有效的方法之一，MATLAB中的庫函數(shù)eig就是采用這種方法。QR方法的基本思想是利用矩陣的QR分解，其迭代格式如下：

將代入上式，隨著迭代步數(shù)的增加，矩陣收斂到一個(gè)上三角矩陣，其對角線元素收斂到原矩陣的特征值。對于一般的矩陣來說，QR分解不一定是唯一的。當(dāng)矩陣具有某種結(jié)構(gòu)或者性質(zhì)，并采用特定的QR分解時(shí)，該分解就可以是唯一的。例如，如果矩陣是滿秩的，那么可以通過Gram―Schmidt正交化方法得到唯一的QR分解。對于稠密矩陣，可采用Householder變換進(jìn)行QR分解；而稀疏矩陣，則可采用Givens旋轉(zhuǎn)進(jìn)行的QR分解，以得到唯一的分解。

QR方法可以求出矩陣的全部特征值與特征向量，具有良好的數(shù)值穩(wěn)定性和通用性，但是在計(jì)算復(fù)雜度和存儲空間利用方面存在一定的局限性，且收斂速度較慢，運(yùn)算量較大。因此可以考慮對QR方法作進(jìn)一步的改進(jìn)。如通過Householder變換，把原矩陣預(yù)處理變換為一個(gè)上Hessenberg矩陣，然后采取帶位移策略的QR方法（用于提高收斂速度）、隱式QR方法（用于處理大型矩陣）等方法，對矩陣進(jìn)行QR迭代，以此加速收斂并減少運(yùn)算量。

4 "實(shí)特征值和特征向量的存在性

學(xué)生在計(jì)算矩陣特征值和特征向量時(shí)，總是能求得該矩陣的實(shí)特征值和實(shí)特征向量，這會(huì)給學(xué)生造成一個(gè)錯(cuò)覺，讓他們誤以為任意的實(shí)矩陣都有實(shí)特征值。因此教師在授課時(shí)，有必要對實(shí)特征值和特征向量的存在性從以下方面進(jìn)行澄清。

4.1 "矩陣可能不存在實(shí)特征值與特征向量

在上，考慮一個(gè)90度的旋轉(zhuǎn)變換，即變換矩陣。它并沒有特征向量，因?yàn)槊恳粋€(gè)向量都發(fā)生了旋轉(zhuǎn)并離開了其所張成的空間。當(dāng)我們嘗試去計(jì)算它的特征值時(shí)，

這個(gè)多項(xiàng)式的根只能是虛數(shù)與，并沒有實(shí)數(shù)解。因此該矩陣沒有實(shí)特征值。

4.2 "實(shí)對稱矩陣的特征值與特征向量的存在性

任意一個(gè)n階實(shí)對稱矩陣，特征值全為實(shí)數(shù)并且一定有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。如果特征多項(xiàng)式無重根，即n個(gè)特征值對應(yīng)n個(gè)線性無關(guān)的特征向量；如果有k重根，該重根必有k個(gè)線性無關(guān)的特征向量。

4.3 "關(guān)于復(fù)數(shù)域的特征值和特征向量的情況

在復(fù)數(shù)域中，矩陣的特征值和特征向量的計(jì)算與實(shí)數(shù)域有所不同。對于一個(gè)n€譶的復(fù)數(shù)矩陣，在復(fù)數(shù)域下可以計(jì)算出該矩陣有n個(gè)特征值（特征值是可以重復(fù)的）以及對應(yīng)的特征向量。特征值可能是重復(fù)的，這意味著可能存在多個(gè)線性無關(guān)的特征向量對應(yīng)于同一個(gè)特征值。此時(shí)，我們可以通過求解齊次線性方程組來找到特征向量的一組線性無關(guān)解，這些線性無關(guān)解就是對應(yīng)于該特征值的特征向量。

5 "結(jié)語

綜上所述，在矩陣特征值與特征向量的教學(xué)中，我們可以先介紹其應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，接著講解矩陣特征值與特征向量的幾何意義加深理解，并討論一些特殊情況，引入求解矩陣特征值和特征向量的數(shù)值解法，討論矩陣特征值和特征向量的存在性，以拓寬學(xué)生知識面，有利于學(xué)生在其他學(xué)科對矩陣特征值與特征向量的應(yīng)用和研究。

基金項(xiàng)目：信息時(shí)代的線性代數(shù)教學(xué)改革與實(shí)踐（廣工大教字〔2023〕51號）。

參考文獻(xiàn)

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