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    源于課本 提煉模型 靈活運(yùn)用

    2024-05-07 08:26:08張鳳麗
    數(shù)理化解題研究 2024年10期
    關(guān)鍵詞:恒等式靈活運(yùn)用中點(diǎn)

    張鳳麗

    (山東省泰安第三中學(xué),山東 泰安 271000)

    極化恒等式源自課本中的一道練習(xí)題,下面從這道題目談起,提煉兩種幾何圖形模型,并通過例題說明極化恒等式解題應(yīng)用的靈活性及優(yōu)越性.

    1 源于課本

    題目(人教A版普通高中教科書﹒數(shù)學(xué)必修第二冊(2019年版)第22頁練習(xí)第3題)[1]求證:(a+b)2-(a-b)2=4a·b.

    簡證左邊=(a2+2a·b+b2)-(a2-2a·b+b2)=4a·b=右邊.故等式得證.

    我們把這一公式稱之為極化恒等式,它反映了兩個(gè)非零向量的數(shù)量積與它們的和及差之間的等量關(guān)系,三個(gè)量可知二求一.

    2 提煉模型

    極化恒等式主要用來求解共起點(diǎn)向量的數(shù)量積問題,可從幾何圖形模型提煉出三角形模型以及平行四邊形模型.

    2.1 三角形模型

    圖1 三角形模型示意圖

    證明因?yàn)镈為△ABC的邊BC的中點(diǎn),

    根據(jù)極化恒等式,則

    文字詮釋三角形相鄰兩邊向量的數(shù)量積等于第三邊中線向量的平方與第三邊向量一半的平方的差.簡記為:數(shù)量積等于中線方減去底半方.

    推論2(三角形中線長定理)如圖1,在△ABC中,D是BC的中點(diǎn),則

    2.2 平行四邊形模型

    圖2 平行四邊形模型示意圖

    證明在ABCD中,

    根據(jù)極化恒等式,則

    3 靈活運(yùn)用

    極化恒等式把兩個(gè)非零向量數(shù)量積化歸為它們和向量與差向量平方差的四分之一,因此當(dāng)和向量與差向量都為已知時(shí),可以運(yùn)用極化恒等式求解,尤其是求解含有中點(diǎn)或能構(gòu)造中點(diǎn)的兩個(gè)共起點(diǎn)向量的數(shù)量積問題時(shí),運(yùn)用極化恒等式或它的幾何模型解答可達(dá)到事半功倍之效.

    3.1 求數(shù)量積

    解析因?yàn)镈是BC的中點(diǎn),所以由極化恒等式的三角形模型,得

    點(diǎn)評(píng)若運(yùn)用基底法和坐標(biāo)法解答本題,求解過程運(yùn)算量大,過程復(fù)雜.這里根據(jù)D是BC的中點(diǎn)的題設(shè)條件,直接運(yùn)用極化恒等式的三角形模型求解,則求解十分快速、簡捷.

    3.2 求數(shù)量積的取值范圍

    A.[-3,1] B.[-1,3]

    C.[-4,2] D.[-2,6]

    解析如圖3,取AB中點(diǎn)D,連接CD.

    圖3 例2題圖

    因?yàn)椤鰽BC為正三角形,所以O(shè)為△ABC的重心,O在CD上,且OC=2OD=2.

    所以CD=OC+OD=3,

    根據(jù)極化恒等式的三角形模型,得

    3.3 求數(shù)量積的最值

    所以由三角形模型極化恒等式得

    ≥9-25=-16,

    3.4 其他應(yīng)用

    解析根據(jù)橢圓定義,得

    |PF1|+|PF2|=2a=6.

    在△F1PF2中,由余弦定理,得

    |PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2=|F1F2|2,

    由三角形模型極化恒等式推論,得

    4 結(jié)束語

    通過上述題目可以看出,極化恒等式能夠有效地建立起數(shù)量積與幾何圖形中長度大小的聯(lián)系,是連接代數(shù)與幾何之間的橋梁和紐帶.對(duì)于那些共起點(diǎn)且與中點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的向量數(shù)量積運(yùn)算問題,靈活運(yùn)用極化恒等式是一條頗為有效的途徑.

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