用運(yùn)動(dòng)的分解法處理兩道粒子擺線(xiàn)運(yùn)動(dòng)高考真題

羅 章 彭知文

(湖南師范大學(xué)附屬中學(xué),湖南 長(zhǎng)沙 410006)

一個(gè)物體的實(shí)際運(yùn)動(dòng)往往同時(shí)參與幾個(gè)運(yùn)動(dòng),我們把這幾個(gè)運(yùn)動(dòng)叫作實(shí)際運(yùn)動(dòng)的分運(yùn)動(dòng),把這個(gè)實(shí)際運(yùn)動(dòng)叫作分運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng).復(fù)雜的曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)往往不好理解或者定量分析,但是如果能化曲為直或者化繁為簡(jiǎn),則有助于對(duì)物體運(yùn)動(dòng)的深入理解.解決帶電粒子擺線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的方法可稱(chēng)為“速度補(bǔ)償法”,也稱(chēng)為“速度構(gòu)造法”.這一方法將復(fù)雜的擺線(xiàn)運(yùn)動(dòng)分解為勻速圓周運(yùn)動(dòng)以及勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)[1].

1 問(wèn)題的提出

圖1 速度選擇器

2 解決問(wèn)題的辦法

圖2 運(yùn)動(dòng)的分解示意圖

下面用此法來(lái)解決兩道高考真題.

3 高考真題的處理

例1(2023年高考江蘇卷)霍爾推進(jìn)器某局部區(qū)域可抽象成如圖3所示的模型.Oxy平面內(nèi)存在豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)和垂直坐標(biāo)平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度為B.質(zhì)量為m、電荷量為e的電子從O點(diǎn)沿x軸正方向水平入射.入射速度為v0時(shí),電子沿x軸做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng);入射速度小于v0時(shí),電子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖3中的虛線(xiàn)所示,且在最高點(diǎn)與在最低點(diǎn)所受的合力大小相等.不計(jì)重力及電子間相互作用.

(1)求電場(chǎng)強(qiáng)度的大小E;

解析(1)由題知,入射速度為v0時(shí),電子沿x軸做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng),則有eE=ev0B

解得:E=v0B

(3)若電子以v入射時(shí),設(shè)電子能達(dá)到的最高點(diǎn)位置的縱坐標(biāo)為y,則根據(jù)動(dòng)能定理有

由于電子在最高點(diǎn)與在最低點(diǎn)所受的合力大小相等,則在最高點(diǎn)有F合=evmB-eE

在最低點(diǎn)有:F合=eE-evB

可以解得:v1=0.9v0.后續(xù)分析與前面相同.

例2(2013年高考福建卷)如圖4,空間存在一范圍足夠大的垂直于xOy平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B.讓質(zhì)量為m,電荷量為q(q>0)的粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿xOy平面以不同的初速度大小和方向入射到該磁場(chǎng)中.不計(jì)重力和粒子間的影響.

圖4 帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)

(1)略;(2)略;(3)如圖5所示,若在此空間再加入沿y正向、大小為E的勻強(qiáng)電場(chǎng),一粒子從O點(diǎn)以初速度v0沿y軸正方向發(fā)射.研究表明:粒子在xOy平面內(nèi)做周期性運(yùn)動(dòng),且在任一時(shí)刻,粒子速度的x分量vx與其所在位置的坐標(biāo)成正比,比例系數(shù)與電場(chǎng)強(qiáng)度大小E無(wú)關(guān).求該粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最大速度vm.

圖5 帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)

解析帶電粒子的初速度v0沿y軸正方向,而在x軸方向上速度為零.我們可以將速度為“零”分解為向右和向左的兩個(gè)等大反向的速度,向右的速度產(chǎn)生的洛倫茲力與電場(chǎng)力平衡,則:qv右B=qE

采用“零”分解法處理該題,巧妙地將復(fù)雜的螺旋線(xiàn)運(yùn)動(dòng)等效為勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)與勻速圓周運(yùn)動(dòng)的合成,直觀(guān)而且深刻.

4 結(jié)束語(yǔ)

帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)是一類(lèi)相當(dāng)復(fù)雜的問(wèn)題,尤其是做擺線(xiàn)或滾輪線(xiàn)運(yùn)動(dòng),還經(jīng)常出現(xiàn)在高考真題中,用以考查學(xué)生的核心素養(yǎng).處理這類(lèi)運(yùn)動(dòng)通常有“運(yùn)動(dòng)的分解與合成法”和“相對(duì)運(yùn)動(dòng)法”以及“微積分法”.用中學(xué)生普遍易于接受的運(yùn)動(dòng)的合成與分解的角度展開(kāi)分析:確定分運(yùn)動(dòng)為圓周運(yùn)動(dòng)的分速度的方向,從而得出初末位置及速度偏轉(zhuǎn)角,進(jìn)而得出運(yùn)動(dòng)時(shí)間和兩分運(yùn)動(dòng)的分位移[2].本文提供了快速解答2023年和2013年高考真題的思路.