2023年“北大暑期學(xué)堂”數(shù)學(xué)試題及詳解

李 艷

(北京市十一學(xué)校,北京100039)

2023年的測評分為兩場:第一場為語文、數(shù)學(xué)、英語,總時長為3個半小時;第二場為兩個選考科目,總時長為2個小時.其中,每一場都是所有考試科目的試卷一起發(fā)放一起收回,學(xué)生自行決定各科目的做題順序以及時長;選考科目為物理、化學(xué)、歷史、政治四個科目中選取兩個科目,其中物理、歷史必選其一.今年恢復(fù)了線下測評,因此數(shù)學(xué)試題也由去年的單項選擇題改為了解答題.試題分文理科,每科都是5道題,每題20分,共100分,只要選擇物理為選考科目的學(xué)生就考理科數(shù)學(xué),其他學(xué)生考文科數(shù)學(xué);文科和理科有3道題目是一樣的,因此共有7道試題,本篇文章的前5道為文科數(shù)學(xué)試題,后5道為理科數(shù)學(xué)試題.

1 真題詳解

題1(文科)在ΔABC中,過點A作∠B,∠C平分線的垂線,垂足分別為點D和點E,證明:DE∥BC.

解 析如圖1,設(shè)∠B,∠C的平分線交于點I,且分別交AC,AB于點G,H,連接AI,則I為△ABC的內(nèi)心,且AI平分∠A.

圖1 題1解析圖

因為AD⊥BD,AE⊥CE,所以A,D,I,E四點共圓.

所以∠DEI=∠IAD=90°-∠AID.

在△AIG中,∠AID=180°-∠IAG-∠AGI

所以DE∥BC.(內(nèi)錯角相等,兩直線平行)

解析易知xj>1(j=1,2,…,8).

將已知的8個方程相加可得

(x1-xj)(x1xj-x1-xj)=0(j=1,2,…,8).

因為x1>1,由均值不等式可得

解得m≥7或m≤1,即m=1,7,8.

題3(文理科)設(shè)an=3(n2+n)+7,求數(shù)列{an}的前2 023項中為立方數(shù)的項的個數(shù).

解析依題意,an≡1(mod3).

當(dāng)k∈N*時,(3k)3≡0(mod3),(3k+1)3≡1(mod3),(3k+2)3≡2(mod3),

若an為某個數(shù)的立方,則有

an=(3k+1)3(k∈N*).

于是有3(n2+n)+7=27k3+27k2+9k+1.

即n2+n+2=9k3+9k2+3k.

若n≡0(mod3),則n2+n+2≡2(mod3);

若n≡1(mod3),則n2+n+2≡1(mod3);

若n≡2(mod3),則n2+n+2≡2(mod3).

綜上可得n2+n+2≡1,2(mod3).

而9k3+9k2+3k≡0(mod3),故n2+n+2=9k3+9k2+3k不可能成立.

因此數(shù)列{an}的前2 023項中為立方數(shù)的項的個數(shù)為0.

證明設(shè)f(z)=zn+an-1zn-1+…+a1z+1(ai∈C).

題6(理科)求由1,2,3,4,5,6六個數(shù)字構(gòu)成的至少有三位數(shù)字不同且1,6不相鄰的五位數(shù)個數(shù).

解析1先算出來所有1,6不相鄰的五位數(shù)個數(shù),再減去只有1個數(shù)字和兩個數(shù)字不同的且1,6不相鄰的五位數(shù)的個數(shù)即可.

先考慮所有1,6不相鄰的五位數(shù)的個數(shù),分為以下幾種情況:

(1)五位數(shù)中不包含1且不包含6:共有45=1 024個;

(2)五位數(shù)中只包含1或只包含6:共有

(按照這個五位數(shù)中有一個1,兩個1,三個1,四個1,五個1進(jìn)行分類)

(3)五位數(shù)中包含1且包含6:

若1和6共有三個,且1和6都至少有一個:共有42×3×3×2=288個;

若有一個1,三個6,或三個1,一個6:共有4×2×2=16個;

若1和6各有2個:共有4×2=8個[2];

綜上可得,1,6不相鄰的五位數(shù)的個數(shù)共有:

1 024+4 202+768+288+16+8=6 306個.

只有一個數(shù)字的五位數(shù)共有6個;

所以至少有三位數(shù)字不同且1,6不相鄰的五位數(shù)個數(shù)共有

6 306-6-420=5 880個.

解析2設(shè)由1,2,3,4,5,6六個數(shù)字構(gòu)成的且1,6不相鄰的n位數(shù)個數(shù)為Sn,其中末位數(shù)字為1或6的有xn個,末位數(shù)字既不是1也不是6的共有yn個,于是有

代入yn+1=4(xn+yn)中得

xn+2=5xn+1+4xn.

同理可得yn+2=5yn+1+4yn.

所以Sn+2=5Sn+1+4Sn,其中S1=6,S2=6×6-2=34.

所以S3=5×34+6×4=194,

S4=5×194+4×34=1 106,

S5=5×1 106+4×194=6 306.

所以1,6不相鄰的五位數(shù)的個數(shù)共有6 306個.

以下同解析1.

圖2 題7解析圖

(*)

由(*)得

=(cosα+cosβ)(sinβ-sinα)

令f(a)=(1-a)2(1-4a)a(0

則f′(a)=-2(1-a)(1-4a)a-4(1-a)2a+(1-a)2(1-4a)=(1-a)(16a2-11a+1).

表1 f ′(a)和f(a)的變化情況表

因為f(1)=0,

>0,

2 結(jié)束語

從內(nèi)容來看,“北大暑期學(xué)堂”的考查內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的延伸拓展,結(jié)合往年試題來看,出現(xiàn)比較多的模塊是不等式與方程、平面幾何、數(shù)論、計數(shù)、組合以及復(fù)數(shù),并且對這些模塊的知識考查比較深入靈活,超過了高考對這部分知識的考查要求.因此,想在“北大暑期學(xué)堂”的考試中取得不錯的成績還需要在平時學(xué)習(xí)中對這些知識模塊的學(xué)習(xí)向深層次、揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)的過程轉(zhuǎn)化[3].