聚焦數(shù)量關(guān)系 發(fā)展推理意識(shí)
——人教版教材六年級(jí)下冊(cè)“數(shù)學(xué)思考：探索規(guī)律”的教學(xué)實(shí)踐與思考

□張淑嫻 鐘 立

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“2022 年版課標(biāo)”）指出：“推理意識(shí)有助于養(yǎng)成講道理、有條理的思維習(xí)慣，增強(qiáng)交流能力，是形成推理能力的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)?！?022年版課標(biāo)特別關(guān)注對(duì)學(xué)生推理意識(shí)的培養(yǎng)，并把推理意識(shí)列為學(xué)生核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一?！疤剿饕?guī)律”作為小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)量關(guān)系”主題的重要內(nèi)容，不僅有助于學(xué)生理解數(shù)量關(guān)系，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，還是培養(yǎng)學(xué)生推理意識(shí)的重要途徑。因此，教師在教學(xué)“探索規(guī)律”時(shí)，應(yīng)關(guān)注學(xué)生推理意識(shí)的發(fā)展。那么，在“探索規(guī)律”的教學(xué)中，如何聚焦數(shù)量關(guān)系，有效發(fā)展學(xué)生的推理意識(shí)呢？本文以人教版教材六年級(jí)下冊(cè)“數(shù)學(xué)思考：探索規(guī)律”的教學(xué)為例，探討如何引導(dǎo)學(xué)生在經(jīng)歷分析數(shù)量關(guān)系、探索數(shù)學(xué)規(guī)律的過(guò)程中，感悟和發(fā)展推理意識(shí)。

一、深入了解學(xué)情，確定推理意識(shí)培養(yǎng)的起點(diǎn)

在教學(xué)前，教師要重視分析學(xué)生的原有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知起點(diǎn)。為了更好地開(kāi)展“探索規(guī)律”的教學(xué)，深入了解學(xué)情，教師在課前對(duì)六年級(jí)40名學(xué)生（使用人教版教材）進(jìn)行了前測(cè)。題目是：同一平面，5 個(gè)點(diǎn)最多可以連幾條線段？結(jié)果顯示，學(xué)生主要采用了以下四種解題方法。

第一種：1+2+3+4=10（條）。

第二種：4+3+2+1=10（條）。

第三種：（5-1）×5÷2=10（條）。

其中，有2 名學(xué)生采用第一種方法，與教材呈現(xiàn)的方法一致。有27 名學(xué)生采用第二種方法，這是運(yùn)用二年級(jí)學(xué)過(guò)的解題經(jīng)驗(yàn)解決問(wèn)題。有4 名學(xué)生采用第三種方法，有1 名學(xué)生采用第四種方法。進(jìn)一步了解得知，采用第三種和第四種方法的學(xué)生都是在課外習(xí)得方法的。另外還有部分學(xué)生沒(méi)有得出正確答案。分析學(xué)生的解題過(guò)程，發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生都具備利用畫(huà)圖和推理等方法解決問(wèn)題的能力，但也有近一半的學(xué)生在解題時(shí)存在困難，如找不到切入點(diǎn)、思考無(wú)序，或不會(huì)利用數(shù)量關(guān)系進(jìn)行類(lèi)比歸納，從而得出規(guī)律，等等。

基于上述情況，在“數(shù)學(xué)思考：探索規(guī)律”的教學(xué)中，教師應(yīng)采取有效措施，幫助學(xué)生弄清題意，找到解題的切入點(diǎn)；借助學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)，使其從無(wú)序思考走向有序思考；注重對(duì)問(wèn)題中數(shù)量關(guān)系的分析，在揭示隱含的規(guī)律的過(guò)程中，使學(xué)生形成與提升推理意識(shí)，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。

二、經(jīng)歷有序思考與歸納推理，培養(yǎng)推理意識(shí)

要培養(yǎng)學(xué)生的推理意識(shí)，必須讓學(xué)生親身經(jīng)歷推理的過(guò)程，在分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程中體驗(yàn)推理、感悟推理、反思推理?；趯W(xué)生的前測(cè)情況，“探索規(guī)律”的教學(xué)應(yīng)聚焦于培養(yǎng)學(xué)生通過(guò)有序思考與類(lèi)比歸納得出數(shù)學(xué)規(guī)律的能力。

（一）尋找解決問(wèn)題的切入點(diǎn)，指向有序思考

小學(xué)生的思維以直觀形象思維為主，缺乏邏輯性和條理性。因此，他們面臨數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常感到迷茫和困惑，難以迅速找到正確的解題思路，可能會(huì)隨意猜測(cè)或錯(cuò)誤嘗試，甚至直接選擇放棄。這實(shí)際上為培養(yǎng)學(xué)生的有序思考和推理意識(shí)提供了寶貴的契機(jī)。教師可以通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生逐步進(jìn)行分析和推理，有效促進(jìn)他們推理意識(shí)的發(fā)展。

教學(xué)時(shí)，教師先出示問(wèn)題：同一平面，100個(gè)點(diǎn)最多可以連幾條線段？（如圖1）

圖1

起初，多數(shù)學(xué)生會(huì)盲目亂猜。于是，為了引導(dǎo)學(xué)生找到解決問(wèn)題的關(guān)鍵，教師提問(wèn)：你打算如何解決這個(gè)問(wèn)題？學(xué)生主要有以下三種思路。

第一種：連線段時(shí)應(yīng)該按照一定的順序畫(huà)，否則會(huì)非常雜亂。

第二種：當(dāng)研究的點(diǎn)數(shù)較少時(shí)，可以通過(guò)畫(huà)圖驗(yàn)證，進(jìn)而推導(dǎo)出數(shù)學(xué)規(guī)律。

第三種：先研究2個(gè)點(diǎn)、3個(gè)點(diǎn)……尋找其中的規(guī)律，再來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。

在交流討論的過(guò)程中，學(xué)生逐漸認(rèn)識(shí)到可以從簡(jiǎn)單情況入手，然后逐步過(guò)渡到復(fù)雜的情況。教師可引導(dǎo)學(xué)生先思考少數(shù)幾個(gè)點(diǎn)連線段的方法。由于連線段至少需要2 個(gè)點(diǎn)，學(xué)生應(yīng)該先看2 個(gè)點(diǎn)連線的情況。然后隨著點(diǎn)數(shù)逐步增多，得到更多個(gè)點(diǎn)連線段的情況。這種解題思路的轉(zhuǎn)變，驅(qū)動(dòng)學(xué)生從無(wú)序思考走向有序思考，而有序思考對(duì)于提高學(xué)生的思維能力具有重要意義。教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生的思維過(guò)程，鼓勵(lì)學(xué)生積極思考、勇于嘗試，并在他們遇到困難時(shí)給予適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)和支持，通過(guò)培養(yǎng)學(xué)生有序思考的習(xí)慣，為他們做題乃至未來(lái)的學(xué)習(xí)和生活奠定良好基礎(chǔ)。

（二）突出數(shù)量關(guān)系分析，感悟推理的條理性

在解決問(wèn)題的過(guò)程中，關(guān)鍵環(huán)節(jié)決定了問(wèn)題能否順利解決。因此，對(duì)這些關(guān)鍵環(huán)節(jié)的把握是解決問(wèn)題的核心。在“數(shù)學(xué)思考：探索規(guī)律”的教學(xué)中，1～4 個(gè)點(diǎn)連線段的問(wèn)題對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)并不困難（這是二年級(jí)的教學(xué)內(nèi)容），但當(dāng)問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)椤?個(gè)點(diǎn)最多可以連幾條線段？”時(shí)，其復(fù)雜性就顯著增加。此外，這一情形下數(shù)量關(guān)系的分析對(duì)于探索一般規(guī)律有極大的示范與遷移作用。因此，“5 個(gè)點(diǎn)最多可以連多少條線段？”的問(wèn)題就成了探索規(guī)律的關(guān)鍵。為突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)，教師設(shè)計(jì)了如下學(xué)習(xí)單（如圖2）。

圖2

出示學(xué)習(xí)單后，教師先讓學(xué)生獨(dú)立思考，然后合作交流，并對(duì)部分學(xué)生進(jìn)行有針對(duì)性的指導(dǎo)。隨后收集學(xué)生作品（如圖3），并請(qǐng)學(xué)生介紹相應(yīng)的思考過(guò)程。學(xué)生的思考過(guò)程具體如下。

圖3

第一種：從點(diǎn)A出發(fā)，與其余4 個(gè)點(diǎn)B、C、D、E分別相連，得到4條線段AB、AC、AD、AE；接著，從點(diǎn)B出發(fā)，與剩余的3個(gè)點(diǎn)C、D、E分別相連，得到3條線段BC、BD、BE；然后，從點(diǎn)C出發(fā)，與剩余的2 個(gè)點(diǎn)D、E分別相連，得到2條線段CD、CE；最后，將點(diǎn)D與點(diǎn)E相連，得到1 條線段DE。共計(jì)10 條線段，算式為4+3+2+1=10（條）。

第二種：先連接點(diǎn)a與點(diǎn)b，得到1 條線段ab；再增加點(diǎn)c，與前面的點(diǎn)a、點(diǎn)b分別相連，得到2條線段ac、bc；接著增加點(diǎn)d，與前面的點(diǎn)a、點(diǎn)b、點(diǎn)c分別相連，得到3 條線段ad、bd、cd；最后增加點(diǎn)e，與前面的點(diǎn)a、點(diǎn)b、點(diǎn)c、點(diǎn)d分別相連，得到4條線段ae、be、ce、de。共計(jì)10 條線段，算式為1+2+3+4=10（條）。

第三種：從點(diǎn)A出發(fā)，與其他4 個(gè)點(diǎn)分別相連，得到4 條線段AB、AC、AD、AE。同理，從點(diǎn)B、點(diǎn)C、點(diǎn)D、點(diǎn)E出發(fā)，也能各自得到4條線段。但每?jī)牲c(diǎn)之間的線段都被重復(fù)計(jì)算了一次，實(shí)際的線段數(shù)量需要除以2。因此，總的線段數(shù)量為4×5÷2=10（條）。

接著，教師引導(dǎo)學(xué)生討論、比較三種思考過(guò)程。第一種思路是學(xué)生相對(duì)熟悉的計(jì)算方法，這個(gè)過(guò)程實(shí)際上是按照從大到小的順序進(jìn)行的求和。第二種思路則是從最簡(jiǎn)單的情況開(kāi)始，逐步增加點(diǎn)數(shù)，最終得到5 個(gè)點(diǎn)的連線情況，即1~4 的所有整數(shù)之和。第三種思路則是從每個(gè)點(diǎn)出發(fā)進(jìn)行計(jì)算，考慮到它可以與其他所有點(diǎn)連線，因而最終需要通過(guò)除以2 去除重復(fù)計(jì)算。雖然這三種思路的具體方法不同，但得出的結(jié)果卻是一致的。這體現(xiàn)了推理的豐富性與內(nèi)在的一致性，也展示了邏輯推理的合理性。由此，通過(guò)探究5個(gè)點(diǎn)最多可以連幾條線段的問(wèn)題，為探究更一般的數(shù)學(xué)規(guī)律提供了具有借鑒價(jià)值的思路。

（三）揭示數(shù)量之間的內(nèi)在關(guān)系，體驗(yàn)類(lèi)比歸納推理

推理意識(shí)主要是指對(duì)邏輯推理過(guò)程及其意義的初步感悟，體現(xiàn)為能夠通過(guò)簡(jiǎn)單的類(lèi)比或歸納，猜想或發(fā)現(xiàn)一些初步的結(jié)論。在“數(shù)學(xué)思考：探索規(guī)律”的教學(xué)中，教師要重視引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較、分析不同情境下的數(shù)量關(guān)系，揭示其內(nèi)在的一致性，并通過(guò)類(lèi)比和歸納，得出更一般的數(shù)學(xué)規(guī)律。這種推理過(guò)程不僅能夠加深學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的理解，還能培養(yǎng)他們分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力以及抽象思維能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

回顧學(xué)生初步探索規(guī)律的過(guò)程可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)面對(duì)2個(gè)點(diǎn)、3個(gè)點(diǎn)、4個(gè)點(diǎn)時(shí)，大多數(shù)學(xué)生選擇使用圖式進(jìn)行表征，并通過(guò)數(shù)線段條數(shù)得到結(jié)果。然而，當(dāng)研究5 個(gè)點(diǎn)時(shí)，學(xué)生使用的方法開(kāi)始分化：一部分學(xué)生直接畫(huà)出5 個(gè)點(diǎn)，然后連線并計(jì)算線段數(shù)；另一部分學(xué)生則回顧并反思2、3、4 個(gè)點(diǎn)連線的線段數(shù)，分析每種情況中點(diǎn)數(shù)與線段數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系，從而猜測(cè)或發(fā)現(xiàn)5 個(gè)點(diǎn)可以連的線段數(shù)（為了驗(yàn)證結(jié)果，不少學(xué)生還會(huì)通過(guò)實(shí)際連線并計(jì)算線段數(shù)進(jìn)行確認(rèn)）。在深入分析5 個(gè)點(diǎn)連線段的情況后，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探究6個(gè)點(diǎn)、8個(gè)點(diǎn)的連線情況。此時(shí)，學(xué)生已經(jīng)不再使用畫(huà)圖連線、數(shù)線段的方法，而是基于前面的觀察、比較和類(lèi)推，直接得出線段數(shù)分別為6×5÷2=15（條）和8×7÷2=28（條）。通過(guò)推理，學(xué)生可以歸納出100 個(gè)點(diǎn)、1000 個(gè)點(diǎn)、10000個(gè)點(diǎn)乃至n個(gè)點(diǎn)可以連的線段數(shù)（如表1）。

表1

這不僅是對(duì)數(shù)量的簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)，還是一種深入探究數(shù)量之間關(guān)系的類(lèi)比歸納推理的過(guò)程。此時(shí)，學(xué)生不再依靠直觀計(jì)數(shù)，而是運(yùn)用比較、類(lèi)比、歸納等方式，從少量點(diǎn)的連線情況中提煉出更多點(diǎn)的連線情況，甚至用代數(shù)方法推導(dǎo)出n個(gè)點(diǎn)可以連的線段數(shù)的通用公式。借助這一形式化的公式，學(xué)生通過(guò)代入不同的數(shù)值，得到在不同點(diǎn)可以連的線段數(shù)。學(xué)生對(duì)這種推理過(guò)程的體驗(yàn)，必將深化其對(duì)數(shù)量關(guān)系的理解與運(yùn)用，提高其分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力。

三、實(shí)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系的遷移應(yīng)用，提升推理意識(shí)

學(xué)生在解決了“同一平面，n個(gè)點(diǎn)最多可以連幾條線段？”的問(wèn)題后，感受到推理的魅力與價(jià)值，探索數(shù)學(xué)問(wèn)題的欲望得到激發(fā)。此時(shí)，教師應(yīng)該設(shè)計(jì)富有啟發(fā)性的數(shù)學(xué)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已掌握的方法，探尋新規(guī)律，解決新問(wèn)題，以便深入理解數(shù)量關(guān)系，提升推理意識(shí)。

例如，在學(xué)習(xí)新課內(nèi)容后，教師可以出示這樣兩個(gè)問(wèn)題。

1.有15 名同學(xué)參加羽毛球單打比賽，如果每?jī)扇酥g進(jìn)行一場(chǎng)比賽，一共要比賽幾場(chǎng)？

2.觀察下圖（如圖4），想一想，依次排下去，第15幅圖有多少顆棋子？第n幅圖呢？

圖4

面對(duì)這些問(wèn)題，學(xué)生需要思考新問(wèn)題與已有數(shù)量關(guān)系之間的聯(lián)系，從而發(fā)現(xiàn)第1 題中的問(wèn)題與“同一平面，15 個(gè)點(diǎn)最多可以連幾條線段？”類(lèi)似，可以借助已學(xué)方法解決。同樣，要得出第2 題中“第15幅圖或第n幅圖中有多少顆棋子”的結(jié)果，也要經(jīng)歷觀察、分析、類(lèi)比等過(guò)程，從簡(jiǎn)單情形中歸納出適用于復(fù)雜情形的解決方法。學(xué)生運(yùn)用已有的解決問(wèn)題的方法獲得推理方法，并將其遷移到新的問(wèn)題中，通過(guò)實(shí)驗(yàn)、計(jì)算、類(lèi)比和歸納得出結(jié)論。這種思考新問(wèn)題、解決新問(wèn)題的方式與習(xí)慣，不僅提高了學(xué)生揭示問(wèn)題中數(shù)量關(guān)系的能力，還培養(yǎng)了學(xué)生的抽象能力、模型意識(shí)及推理意識(shí)，為他們探索未知世界打開(kāi)了一扇窗，指明了一條路。

總之，數(shù)學(xué)抽象的本質(zhì)是揭示規(guī)律，數(shù)學(xué)推理的本質(zhì)是研究規(guī)律，數(shù)學(xué)應(yīng)用的本質(zhì)是運(yùn)用規(guī)律?！疤剿饕?guī)律”作為小學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是分析數(shù)量關(guān)系、培養(yǎng)學(xué)生推理意識(shí)的重要途徑。在“數(shù)學(xué)思考：探索規(guī)律”的教學(xué)中，教師要積極采取有效措施，在聚焦數(shù)量關(guān)系分析，揭示內(nèi)在聯(lián)系，探尋規(guī)律及遷移運(yùn)用規(guī)律解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，關(guān)注學(xué)生推理意識(shí)的發(fā)展，進(jìn)而提高學(xué)生分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力，提升其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。