基本模型：指向乘法數(shù)量關(guān)系的一致性

□楊春曉 李國(guó)強(qiáng)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》將“數(shù)量關(guān)系”列為小學(xué)階段“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的主題之一，要求“學(xué)生經(jīng)歷在具體情境中運(yùn)用數(shù)量關(guān)系解決問(wèn)題的過(guò)程，感悟加法模型和乘法模型的意義，提高發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的能力，形成模型意識(shí)和初步的應(yīng)用意識(shí)”。小學(xué)階段的數(shù)量關(guān)系主要有加法關(guān)系與乘法關(guān)系。本文聚焦乘法數(shù)量關(guān)系的一致性，旨在加深學(xué)生對(duì)乘法數(shù)量關(guān)系本質(zhì)的理解，以?xún)?yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高其學(xué)習(xí)效果。

一、問(wèn)題聚焦：對(duì)乘法數(shù)量關(guān)系教學(xué)現(xiàn)狀的反思

在教學(xué)人教版教材六年級(jí)上冊(cè)“總復(fù)習(xí)”中的一道題目（如圖1）時(shí)，筆者讓學(xué)生觀察這道題所給出的條件，寫(xiě)一寫(xiě)有什么發(fā)現(xiàn)。結(jié)果學(xué)生的回答大多集中于題目的外在形式，如“書(shū)原價(jià)30 元，實(shí)際降價(jià)10%”“付錢(qián)數(shù)的50%”“付錢(qián)數(shù)的”“付錢(qián)數(shù)的1.5 倍”等。而當(dāng)筆者提醒學(xué)生看看這幾個(gè)條件之間有什么共同點(diǎn)時(shí)，他們大多也只能回答“都是購(gòu)物情境”，很少會(huì)關(guān)注到情境背后隱含的共同的數(shù)量關(guān)系。不僅如此，許多教師對(duì)數(shù)量關(guān)系的理解也停留在較淺的層面。他們出現(xiàn)這一認(rèn)知局限的主要原因，與缺乏對(duì)“數(shù)量關(guān)系的一致性”的認(rèn)識(shí)有關(guān)。因此，有必要對(duì)“數(shù)量關(guān)系的一致性”進(jìn)行深入探討。

圖1

二、價(jià)值探尋：乘法數(shù)量關(guān)系一致性的教學(xué)重心

回顧小學(xué)三個(gè)學(xué)段乘法數(shù)量關(guān)系的教學(xué)（如圖2），可以發(fā)現(xiàn)，在運(yùn)用乘法數(shù)量關(guān)系解決問(wèn)題時(shí)，會(huì)遇到不同的事件、不同的情境和不同的表述方式，它們的關(guān)系紛繁復(fù)雜，容易使學(xué)生產(chǎn)生困惑。那么，在這些看似不同的問(wèn)題背后，是否存在某種相同的本質(zhì)？是否存在一個(gè)“萬(wàn)變不離其宗”的核心概念？

圖2

從本質(zhì)上看，乘法是“求幾個(gè)（份數(shù)）相同加數(shù)（每份數(shù)）的和（總數(shù)）的簡(jiǎn)便運(yùn)算”。因此，“每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)”是乘法數(shù)量關(guān)系的基本模型。對(duì)基本模型進(jìn)行深入挖掘與分析，有助于揭示乘法數(shù)量關(guān)系的一致性，這對(duì)學(xué)生理解與分析問(wèn)題至關(guān)重要。其主要價(jià)值體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面。

（一）結(jié)構(gòu)支撐，理解基本模型從具象到抽象的演變過(guò)程

數(shù)量關(guān)系是數(shù)學(xué)模型的具體表達(dá)形式，是模型思想的基礎(chǔ)。教師要引導(dǎo)學(xué)生深入探究多種具象的乘法數(shù)量關(guān)系，結(jié)合不同數(shù)量關(guān)系之間的邏輯聯(lián)系，以形式化的基本模型進(jìn)行表達(dá)?！懊糠輸?shù)×份數(shù)=總數(shù)”這一基本模型，有助于學(xué)生構(gòu)建數(shù)量關(guān)系之間的邏輯聯(lián)系，感受不同知識(shí)的深刻內(nèi)涵，從而加深對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)的理解，提高學(xué)習(xí)效果。

（二）層層遞進(jìn)，感悟基本模型化繁為簡(jiǎn)的價(jià)值

基于乘法數(shù)量關(guān)系的一致性，關(guān)聯(lián)已學(xué)的整數(shù)、小數(shù)、用字母表示數(shù)、分?jǐn)?shù)的數(shù)量關(guān)系等知識(shí)，將原本分散在不同年級(jí)、不同領(lǐng)域的不同事件、不同情境、不同具體關(guān)系進(jìn)行化歸。例如，與購(gòu)物相關(guān)的問(wèn)題可以統(tǒng)一為“單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)”，與行程相關(guān)的問(wèn)題可以統(tǒng)一為“速度×?xí)r間=路程”，進(jìn)而把乘法數(shù)量關(guān)系歸納為與個(gè)數(shù)有關(guān)的問(wèn)題和與物理量有關(guān)的問(wèn)題。在此基礎(chǔ)上，各種具體問(wèn)題層層遞進(jìn)，最后都?xì)w結(jié)為“每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)”這一基本數(shù)量關(guān)系。這種化繁為簡(jiǎn)的做法，不僅讓學(xué)生感受到基本模型的特殊魅力，增強(qiáng)學(xué)習(xí)興趣，減輕學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，還有助于學(xué)生養(yǎng)成追根求源的深度學(xué)習(xí)習(xí)慣。

（三）整體把握，建立研究對(duì)象從局部到整體的本質(zhì)聯(lián)系

在“每份數(shù)×份數(shù)＝總數(shù)”這一基本模型中，每個(gè)量可以是整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)，甚至可以是字母。這使得乘法數(shù)量關(guān)系的研究對(duì)象從整數(shù)擴(kuò)展到小數(shù)、分?jǐn)?shù)以及用字母表示的數(shù)，涵蓋“數(shù)與代數(shù)”整個(gè)領(lǐng)域，甚至涉及小學(xué)數(shù)學(xué)的全部?jī)?nèi)容。乘法數(shù)量關(guān)系的基本模型從局部到整體建立起研究對(duì)象間的本質(zhì)聯(lián)系，有助于學(xué)生體會(huì)和理解教學(xué)內(nèi)容的多樣性與本質(zhì)的一致性，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的整體把握與深度理解。

三、實(shí)踐探索：乘法數(shù)量關(guān)系的教學(xué)策略

如前所述，關(guān)于乘法數(shù)量關(guān)系的題目眾多，問(wèn)題千變?nèi)f化。因此，基本模型對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有著非常重要的作用。那么，如何利用基本模型更好地開(kāi)展乘法數(shù)量關(guān)系的教學(xué)呢？具體有以下幾種教學(xué)策略。

（一）低段教學(xué)聚焦“每份數(shù)”，夯實(shí)認(rèn)知起點(diǎn)

學(xué)生低年級(jí)時(shí)學(xué)習(xí)的“每份數(shù)”概念，是他們理解數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)，更是他們初步建立數(shù)量關(guān)系的關(guān)鍵。教師應(yīng)將“每份數(shù)”作為教學(xué)重點(diǎn)，并引導(dǎo)學(xué)生對(duì)其進(jìn)行精準(zhǔn)識(shí)別與理解。為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，教師需要精心策劃一系列“種子課”，系統(tǒng)性地推進(jìn)整體教學(xué)。下面以“表內(nèi)乘法”為例，探討如何讓學(xué)生深刻體驗(yàn)每份數(shù)的意義。

【教學(xué)片段1】“表內(nèi)乘法”教學(xué)

教師出示圖3。

圖3

師：你們看到了什么？

生：圖中有4 個(gè)長(zhǎng)方形，每個(gè)長(zhǎng)方形中有3個(gè)圓。

師：那么一共有幾個(gè)圓呢？

生：一共有12個(gè)圓。

師：你是怎么知道的？

生：每個(gè)長(zhǎng)方形中有3個(gè)圓，有4個(gè)這樣的長(zhǎng)方形，3+3+3+3=12或3×4=12。

師：那如果有4個(gè)鉛筆盒，每個(gè)鉛筆盒里裝有3支鉛筆，一共有幾支鉛筆？這個(gè)問(wèn)題誰(shuí)會(huì)解決？

生：這個(gè)問(wèn)題不就對(duì)應(yīng)剛才的圖嗎？黑板上的圓就是鉛筆，長(zhǎng)方形就是鉛筆盒。

通過(guò)聚焦問(wèn)題中的“每份數(shù)”，學(xué)生不僅理解了如何通過(guò)加法3+3+3+3得出總數(shù)，還掌握了如何通過(guò)乘法3×4 更簡(jiǎn)潔地得到答案。這種教學(xué)方法有助于學(xué)生鞏固對(duì)乘法概念的理解，更重要的是，能使學(xué)生對(duì)“每份數(shù)”有更深入的認(rèn)識(shí)，為他們后續(xù)進(jìn)一步學(xué)習(xí)乘法數(shù)量關(guān)系奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

（二）線段表達(dá)，凸顯乘法的內(nèi)在聯(lián)系

線段圖將抽象的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為具象的線段表達(dá)，使得數(shù)量關(guān)系形象化。學(xué)生可據(jù)此直觀地感知每一份的數(shù)量及其與份數(shù)之間的關(guān)系，更好地理解數(shù)量之間的內(nèi)在聯(lián)系。

【教學(xué)片段2】“倍的認(rèn)識(shí)”教學(xué)

教師出示問(wèn)題：已知柳樹(shù)有30棵，松樹(shù)數(shù)量是柳樹(shù)的4 倍，松樹(shù)有多少棵？在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生畫(huà)出了如下線段圖（如圖4）。

圖4

師：觀察示意圖，說(shuō)一說(shuō)誰(shuí)是誰(shuí)的幾倍。

生：松樹(shù)的數(shù)量是柳樹(shù)的4倍。

師：剛才我們將誰(shuí)視為1份？

生：柳樹(shù)的數(shù)量（上面的一小段）。

師：以30 棵柳樹(shù)為1 份，像這樣的1 份我們叫作每份數(shù)。松樹(shù)的數(shù)量就是4個(gè)這樣的每份數(shù)，即30×4=120（棵）。

引入線段圖，有助于加深學(xué)生對(duì)基本模型的理解。通過(guò)線段圖，學(xué)生可以直觀地感受到每份數(shù)在解題過(guò)程中的重要性。此外，教師還要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用不同的每份數(shù)來(lái)應(yīng)對(duì)相同的問(wèn)題，以幫助學(xué)生深入理解數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)。

【教學(xué)片段3】“除數(shù)是一位數(shù)的除法”教學(xué)

教師出示問(wèn)題：買(mǎi)2 本故事書(shū)30 元，要買(mǎi)4 本這樣的故事書(shū)，需要多少錢(qián)？讓學(xué)生獨(dú)立思考后匯報(bào)想法。

生（指著自己畫(huà)的圖5）：先求出1 本故事書(shū)的價(jià)格是15 元，再求出買(mǎi)4 本故事書(shū)需要60 元，即30÷2×4=60（元）。

圖5

師：還有別的方法嗎？

生：4 是2 的2 倍，因此4 本故事書(shū)的價(jià)格也是2本故事書(shū)價(jià)格的2倍，即4÷2×30=60（元）。

師：這兩種計(jì)算方法有什么不一樣？

生：第一種方法是將1本故事書(shū)的價(jià)格看作每份數(shù)，第二種方法是將2 本故事書(shū)的價(jià)格看作每份數(shù)。

師：為什么選的每份數(shù)不一樣，結(jié)果卻是一樣的？

生：將1 本故事書(shū)的價(jià)格看作每份數(shù)時(shí)，總價(jià)里面包含4 個(gè)這樣的每份數(shù)；將2 本故事書(shū)的價(jià)格看作每份數(shù)時(shí)，總價(jià)里面包含2 個(gè)這樣的每份數(shù)。因此，兩種計(jì)算方法的結(jié)果相同。

學(xué)生借助直觀的線段圖，認(rèn)識(shí)到乘法數(shù)量關(guān)系實(shí)則是多個(gè)每份數(shù)的累加，進(jìn)而明確每份數(shù)至關(guān)重要，了解數(shù)量的內(nèi)在聯(lián)系，加深對(duì)數(shù)量關(guān)系的理解，提高解決問(wèn)題的能力。

（三）融合多元，構(gòu)建統(tǒng)一模型

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，模型意識(shí)具有舉足輕重的作用。為了使學(xué)生能夠更加深入、準(zhǔn)確地理解和把握數(shù)量之間的關(guān)系，筆者試圖將在原來(lái)實(shí)際運(yùn)用中提煉的多個(gè)數(shù)量關(guān)系建立有機(jī)的聯(lián)系，形成一個(gè)內(nèi)容完整、結(jié)構(gòu)清晰的基本模型，通過(guò)基本模型加深學(xué)生對(duì)乘法數(shù)量關(guān)系本質(zhì)的理解。

【教學(xué)片段4】“乘法數(shù)量關(guān)系模型”教學(xué)

教師出示要解決的問(wèn)題，讓學(xué)生獨(dú)立思考后匯報(bào)想法。

問(wèn)題1：每個(gè)不粘鍋的售價(jià)是105 元，購(gòu)買(mǎi)4 個(gè)這樣的不粘鍋一共多少錢(qián)？

問(wèn)題2：汽車(chē)每小時(shí)行駛75千米，4小時(shí)可以行駛多少千米？

生：根據(jù)數(shù)量關(guān)系“單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)”，第1 題答案為105×4=420（元）。

生：根據(jù)數(shù)量關(guān)系“速度×?xí)r間=路程”，第2 題答案為75×4=300（千米）。

師：從這兩個(gè)問(wèn)題中，你們發(fā)現(xiàn)了什么？

生：我發(fā)現(xiàn)它們用到的數(shù)量關(guān)系其實(shí)是一回事。

師：你能再說(shuō)得具體一些嗎？

生：?jiǎn)蝺r(jià)和速度都可以看作每份數(shù)，數(shù)量和行駛時(shí)間都可以看作份數(shù)，總價(jià)和路程則是總數(shù)。因此，兩道題都可以用“每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)”來(lái)表示。

師：對(duì)！這就是我們之前提到的乘法數(shù)量關(guān)系的基本模型。利用這個(gè)模型，能幫助我們快速地解決各類(lèi)乘除法的問(wèn)題。

“每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)”這一基本模型不僅簡(jiǎn)化了數(shù)學(xué)題的類(lèi)型，而且勾連了所學(xué)知識(shí)，使學(xué)生能夠更加直觀地理解數(shù)量之間的內(nèi)在聯(lián)系。此外，它還為學(xué)生提供了一個(gè)高效且簡(jiǎn)潔的解題框架，幫助他們快速洞察問(wèn)題的本質(zhì)，捕捉關(guān)鍵信息，找到解決問(wèn)題的有效路徑。

（四）拓展應(yīng)用，彰顯模型價(jià)值

在不同的學(xué)習(xí)階段，學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平存在差異，乘法數(shù)量關(guān)系模型的表現(xiàn)形式也會(huì)有所變化。因此，學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中的側(cè)重點(diǎn)也會(huì)有所不同。倍數(shù)、分?jǐn)?shù)和比都是描述數(shù)量關(guān)系的具體方式，它們?cè)谛W(xué)的不同學(xué)段都有涉及，但各自的內(nèi)涵和重點(diǎn)有所不同。分?jǐn)?shù)的獨(dú)特性使其在教學(xué)中占據(jù)重要地位，因此，教師教學(xué)時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生理解分?jǐn)?shù)（分率）在乘法數(shù)量關(guān)系中的角色，使他們認(rèn)識(shí)到每份數(shù)和份數(shù)也可以是分?jǐn)?shù)，尤其是份數(shù)還可以是非整數(shù)。教師通過(guò)這樣的引導(dǎo)，拓展與深化乘法數(shù)量關(guān)系基本模型的應(yīng)用，全面體現(xiàn)其教學(xué)價(jià)值。

【教學(xué)片段5】“分?jǐn)?shù)乘法”教學(xué)

生：6÷3=2（升）。

師：你是怎么想的？

師：還能怎么列式？

師：你能用學(xué)過(guò)的基本模型來(lái)解釋嗎？

師：這樣解決有什么不一樣？

通過(guò)分析少于1桶和幾桶都可以代表份數(shù)，學(xué)生認(rèn)識(shí)到倍數(shù)、分率和比都可用于描述兩個(gè)量之間的關(guān)系，并在實(shí)際應(yīng)用中實(shí)現(xiàn)了這些概念的統(tǒng)一。將基本模型從整數(shù)拓展到分?jǐn)?shù)和比，不僅拓展了基本模型的應(yīng)用價(jià)值，更為學(xué)生全面深刻地認(rèn)識(shí)數(shù)量關(guān)系提供了抓手和機(jī)會(huì)。

四、實(shí)踐反思：乘法數(shù)量關(guān)系概念本質(zhì)的一致性教學(xué)反思

（一）明確目標(biāo)，系統(tǒng)把握

在小學(xué)階段，學(xué)生對(duì)乘法數(shù)量關(guān)系的理解是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程。從簡(jiǎn)單的“每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)”“1 倍數(shù)×倍數(shù)=總數(shù)”到“單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)”“速度×?xí)r間=路程”，再到“單位‘1’的量×分率=對(duì)應(yīng)量”等數(shù)量關(guān)系，他們逐步建立起對(duì)乘法數(shù)量關(guān)系的系統(tǒng)認(rèn)識(shí)。這些數(shù)量關(guān)系看似不同，實(shí)則相通，都可以歸于基本模型“每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)”。學(xué)生在感悟乘法數(shù)量關(guān)系的一致性的過(guò)程中，深入理解各個(gè)部分是如何相互關(guān)聯(lián)、相互影響的，這對(duì)提升他們的數(shù)學(xué)思維和解題能力具有重要意義。

（二）重視直觀，凸顯結(jié)構(gòu)

在小學(xué)數(shù)學(xué)中，直觀圖對(duì)于助力學(xué)生理解乘法數(shù)量關(guān)系、感悟乘法數(shù)量關(guān)系的一致性具有顯著效果。通過(guò)長(zhǎng)方形圖式、線段圖，學(xué)生能更清晰地看到數(shù)量關(guān)系的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，并對(duì)其進(jìn)行深入理解。這些直觀圖式不僅能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還能幫助其形成系統(tǒng)、清晰的數(shù)學(xué)思維，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

（三）廣泛聯(lián)系，整體建構(gòu)

學(xué)生在學(xué)習(xí)乘法數(shù)量關(guān)系時(shí)，容易受到數(shù)類(lèi)型的不同的影響，從而忽視了它們之間的整體性和關(guān)聯(lián)性。因此，教師在設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)，應(yīng)精心構(gòu)思，緊扣核心內(nèi)容，分析知識(shí)之間的邏輯關(guān)系，旨在利用學(xué)生的已有認(rèn)知，通過(guò)圖形、模型等多維度教學(xué)手段，幫助學(xué)生逐步建立起富有整體性、邏輯性的知識(shí)體系，凸顯乘法數(shù)量關(guān)系的一致性，加深學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系本質(zhì)的理解。