“倍”的意義不僅是除法運算的結(jié)果

□齊 美 郜舒竹

“倍”作為小學(xué)數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容，在我國小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中通常安排在除法之后進(jìn)行教學(xué)。人教版教材三年級上冊中關(guān)于“倍”的描述是“求擦桌椅的人數(shù)是掃地的幾倍，就是求12 里面有幾個4，用除法計算”。這樣的描述將“倍”視為運算的結(jié)果，將運算的對象指向“數(shù)”，運算的過程等同于“除法”，這或許就是將“倍的認(rèn)識”安排在整數(shù)除法之后進(jìn)行教學(xué)的原因。按照這樣的認(rèn)識，“6÷3=2”與“6 是3 的2 倍”僅是在名稱上發(fā)生了變化，即將除法的結(jié)果“商”改為“倍”，從而引發(fā)教學(xué)的困惑：既然已經(jīng)有了除法，為什么還需要學(xué)“倍”？“倍”有什么意義？

一、文獻(xiàn)考察

在漢語中，“倍”有增加之意，與“半”相對。成語“事半功倍”用來形容花費的氣力小，收到的成效大。與之相反，“事倍功半”則用來形容花費的氣力大，收到的成效小。如果用“事一功一”作為參照，“事半功倍”的“半”表示二分之一，而“倍”則表示二，意味著在原數(shù)基礎(chǔ)上增加相同的數(shù)量。歷史上，人們早已熟練掌握“加倍”的運算方法，如《孫子算經(jīng)》中的雞兔同籠問題就提及了“倍足法”。“加倍”用現(xiàn)在的算術(shù)語言來說就是“乘2”的意思［1］，同理，諸如“3倍、4倍”大多是“原數(shù)乘3、乘4”之意。

在西方，關(guān)于“倍”的概念被描述為倍量（Multi‐ple）。古希臘歐幾里得《原本》（Elements）第五卷中對倍量的闡述是：較小量是較大量的一部分（Part），當(dāng)一個較大量能被較小量完全測量時，這個較大量就是較小量的倍量。［2］由此可見，倍量概念源于測量，用于描述較大量與較小量之間的數(shù)量關(guān)系。在用法上，倍量與比密切相關(guān)：把一個量幾倍以后等于另外一個量，就說這兩個量彼此之間有一個比。［3］119清代李善蘭所譯的《幾何原本》中對“倍”的表述是：分者數(shù)之?dāng)?shù)小能度大以小為大之一分，諸分者小數(shù)度大數(shù)而有奇零不盡以小為大之幾分，若小數(shù)能度大者則大為小之幾倍。

從這里可以看出，《幾何原本》中的“量”在文言文譯本中表達(dá)為“數(shù)”，失去了原有“形”的意義。在現(xiàn)代的中譯本《歐幾里得·幾何原本》中，根據(jù)語境，倍量有時會被翻譯為倍數(shù)，即用較小量測量較大量的次數(shù)稱為倍數(shù)；同倍量（Equimultiples）翻譯為相等的倍數(shù)，用以描述兩組不同的較大量與較小量之間倍數(shù)相同的關(guān)系。［3］119

通過對古今中外文獻(xiàn)進(jìn)行梳理，發(fā)現(xiàn)“倍”具有“關(guān)系”和“運算”兩種意義。在我國各個版本教材中，1960 年前的教材對“倍”含義的呈現(xiàn)注意到了關(guān)系，但表達(dá)形式指向運算的結(jié)果。隨著時間的推移，后續(xù)版本的教材便更多指向運算的結(jié)果而忽視了本質(zhì)的表達(dá)，這可能是導(dǎo)致人們將“倍”誤解為運算結(jié)果的原因。

1906 年，由日本數(shù)學(xué)家樺正董原著，趙繚、余煥東翻譯的《新譯算術(shù)教科書》借助單位的度量表示“倍”，包含幾個這樣的單位就是幾倍，即“計量之大小多寡等相當(dāng)于單位之幾倍或幾分皆謂之?dāng)?shù)”。在人民教育出版社1952年出版的十年制小學(xué)課本《算術(shù)（第六冊）》中，“倍的含義”是通過數(shù)量與數(shù)量之間的關(guān)系引出的：水里有2 只大鴨，6 只小鴨，我們就說小鴨的只數(shù)是大鴨只數(shù)的3倍（如圖1）。然而，對于“倍”這一概念，教材并未給出明確的定義。

圖1 1952年人教版教材掃描圖

在人民教育出版社1953年出版的初級小學(xué)課本《算術(shù)（第五冊）》中，“倍的含義”是用幾何量之間的關(guān)系來表征的。即照圖2剪兩張紙條，拿短紙條去量長紙條，看長紙條里包含幾個短紙條。長紙條包含4 個短紙條就說長紙條是短紙條的4 倍，反過來說就是短紙條是長紙條的四分之一。

圖2 1953年人教版教材掃描圖

圖3 Visible Thinking in Mathematics 2A教材內(nèi)容示意圖

但在對“倍”進(jìn)行概念描述時，教材采用了除法計算的方式：比較兩數(shù)的倍數(shù)關(guān)系時，先拿小數(shù)去除大數(shù)，得數(shù)是幾，大數(shù)就是小數(shù)的幾倍；反過來說，小數(shù)就是大數(shù)的幾分之一。

人民教育出版社1960 年出版的初級小學(xué)課本《算術(shù)（第四冊）》直接將“倍”的概念描述為倍是運算的結(jié)果：“求一個數(shù)的幾倍是多少，就用幾乘這個數(shù)。”2001 年版及以后的版本也都大同小異，均強調(diào)“倍”是一種運算的結(jié)果，而相對忽略其描述關(guān)系的本質(zhì)屬性。

相較于國內(nèi)來說，國外教材的呈現(xiàn)方式就比較重視“倍”是一種關(guān)系、一種模型（Model）。2014年版新加坡教材Visible Thinking in Mathematics 2A將“倍”視為運算模型，對加減乘除進(jìn)行綜合運用。為加深理解，教材提供了3 個例題進(jìn)行辨析，并輔之以3 個圖示，要求學(xué)生根據(jù)問題類型進(jìn)行連線匹配。

問題1：艾瑪有20 枚胸針，靜文的胸針數(shù)量是艾瑪?shù)?倍，她們一共有多少枚胸針？

問題2：靜文的胸針數(shù)量是艾瑪?shù)?倍，靜文比艾瑪多20枚胸針，她們一共有多少枚胸針？

問題3：靜文的胸針數(shù)量是艾瑪?shù)?倍，她們一共有20枚胸針，艾瑪有幾枚胸針？［4］

分析上述三個問題可知，問題1 與中圖對應(yīng)，問題2 與下圖對應(yīng)，問題3 與上圖對應(yīng)。每個問題對應(yīng)的模型不同，解決問題的思維方式也各不相同。學(xué)生可通過比較問題描述與圖形表征的差異，提升運算能力。

以問題1 為例，新加坡教材原文的描述為：“Jingwen had 3 times as many pins as Emma.Emma had 20 pins.How many pins did they have altogeth‐er？”。句子中的“times”，翻譯過來是倍的意思。在英語的表達(dá)中，“times”也有乘法的含義?！?×3”就是“2 times 3”，次數(shù)在前，被乘的數(shù)在后，表示“3出現(xiàn)了2 次”。而“times”就是重復(fù)出現(xiàn)的次數(shù)，即選定單位量后，重復(fù)出現(xiàn)幾次就是幾倍。這與我國《新譯算術(shù)教科書》中通過單位的度量表示倍的概念是一致的，即包含幾個這樣的單位就是幾倍。

綜上所述，倍這個概念起源于測量，用于描述用較小量來測量較大量時兩者之間的關(guān)系。在用法上，它可以用來比較部分與整體的關(guān)系、同一對象變化前后的關(guān)系以及兩組不同對象之間的關(guān)系。其共同的特點就是標(biāo)量關(guān)系（Scalar Relationship），即把標(biāo)準(zhǔn)量看作“單位一”去度量比較量，比較量有幾個這樣的單位就是幾倍。［5］在比較的過程中，常用除法和乘法的形式來進(jìn)行運算，但各版本的教科書在呈現(xiàn)形式上還停留在不同對象之間的比較。事實上，“倍”的含義和應(yīng)用遠(yuǎn)不止于此。

二、意義形成

“倍”作為一個數(shù)學(xué)術(shù)語，是通過對客觀事物進(jìn)行抽象所形成的“概念（Concept）”，是人的“心智（Mind）”中自內(nèi)而外的主觀“生成（Poietic）”。［6］對“倍”的理解依賴于個體經(jīng)驗與具身操作。杜威說：“理解就是要掌握其意義?！保?］那么，如何抓住意義呢？有意義的情境必須包含三個要素：一是指示物（Referent），如事件、物品、動作等；二是指示物的符號（Symbol）；三是獨特的解釋（Interpret）。［8］

符號產(chǎn)生的意義依托于個體原有的經(jīng)驗，即當(dāng)符號出現(xiàn)時，會喚起個體過去的經(jīng)歷或頭腦中形成的想象。由于經(jīng)驗不同，學(xué)生在頭腦中會形成不同的圖式，隨之也就會產(chǎn)生不同的意義。以算式3×2=6 為例，假設(shè)學(xué)生尚未學(xué)習(xí)乘法，3×2=6 只不過是一些符號的堆砌，毫無意義。而隨著學(xué)習(xí)經(jīng)驗的累加，學(xué)生能根據(jù)乘法所涉及的量的性質(zhì)及其之間的關(guān)系產(chǎn)生至少三種不同類型的理解：相等群組（Equivalent Groups）、乘法比較（Multiplicative Comparison）和笛卡爾乘積（Cartesian Product）。［9］

在相等群組的類型中，算式3×2=6能夠喚起學(xué)生諸如“每個盤子里裝有3個蘋果，有這樣的2個盤子，一共有多少個蘋果？”的經(jīng)驗，形成如圖4 所示的意象圖式。在這個算式中，兩個因數(shù)的意義不同，3表示的是每份數(shù)，2表示的是份數(shù)。那么在這樣的情境中，3×2=6有指示物、符號和個體的解釋，從而使算式具備了具體的意義。

圖4 相等群組示意圖

乘法比較這種類型與中文表達(dá)的倍數(shù)問題大致相同，比較的是一個組與另外一個組（標(biāo)準(zhǔn)組）的關(guān)系。3×2=6能喚醒學(xué)生頭腦中如圖5所示的意象圖式：第一行有3 個小方塊，第二行小方塊的數(shù)量是第一行的2倍，第二行小方塊的數(shù)量有幾個？其中，3代表的是單位量，2倍指向關(guān)系即包含2個3。那么，3×2=6 在這樣的情境下就形成了有意義的理解。

圖5 乘法比較示意圖

在笛卡爾乘積類型中有這樣的情境：一家漢堡店出售單層夾心漢堡，它有3種肉類（香腸、雞肉和牛肉）和2 種醬（番茄醬和沙拉醬）。用3×2=6 可以表示能買到6種不同口味的單層漢堡。具體來說，3表示3種肉類，2表示的是2種醬料，6代表這2種醬料與3種肉類搭配后有6種不同的情況（如表1）。

表1 漢堡搭配表

因此，學(xué)生在進(jìn)行有意義的學(xué)習(xí)的過程中，不僅要掌握符號的意義與運算的法則，更要了解符號背后所蘊含的現(xiàn)實意義與價值。不僅要知其然，更要知其所以然，將個體經(jīng)驗與符號表征進(jìn)行連接，形成自己的意義理解。

在具身活動中，理解算術(shù)符號的意義尤為重要，因為算術(shù)符號形成的意義往往和具身的行為動作密不可分。如以某種方式將物體進(jìn)行聚集、劃分以及比較等。算術(shù)符號的意義與顯性行為（Overt Acts）相聯(lián)結(jié)，即以一種特定方式形成的算術(shù)指令。以“什么是2倍關(guān)系”為例。將一個長方形ABCD先對折再打開（如圖6），對折過程中，長方形ABFE與長方形DCFE重合，得到兩個面積相同的小長方形。整體面積就是其中一個小長方形面積的2倍（也就是部分與整體的2 倍關(guān)系）。這樣的操作（Operation）使2倍關(guān)系可視化，學(xué)生在頭腦中就能形成關(guān)于2 倍關(guān)系的意象（Image），這樣的行為就是有意義的活動。那么學(xué)生之后再看到2倍，頭腦中就會復(fù)現(xiàn)這樣的經(jīng)歷，自然也就理解了2倍關(guān)系的意思。

圖6 長方形對折動態(tài)示意圖

三、“倍”的意義

“倍”的意義由多個意義單元（Meaning Unit）組成。在符號形成意義的過程中，意義單元是組成意義的基本結(jié)構(gòu)。當(dāng)指示物和一個意義價值（Mean‐ing Value）聯(lián)結(jié)，就形成了一個意義單元。［10］隨著時間的推移，指示物常常在不同方面包含并累積若干個意義價值，形成模式（Pattern）?！氨丁弊鳛閿?shù)學(xué)符號的意義，由三種不同的意義單元組成，即描述不同指示物之間的關(guān)系、描述指示物部分與整體的關(guān)系、描述指示物變化前后的關(guān)系。

第一種意義單元描述不同指示物之間的關(guān)系。如圖7所示，第一行有3個小方塊，第二行有6個小方塊。那么，第二行小方塊的數(shù)量就是第一行小方塊數(shù)量的2倍。這樣的意義單元描述的是“2倍”的關(guān)系，其中指示物是兩行數(shù)量不同的小方塊，意義價值就是第二行指示物數(shù)量是第一行指示物的2倍?！?倍”關(guān)系就是一個符號，而符號往往有2個或以上的對象以及多個解釋項（Interpretant）。［11］因此，若第一行有4 個小方塊，第二行有8 個小方塊，第二行小方塊的數(shù)量也與第一行小方塊的數(shù)量形成“2 倍”關(guān)系。以此類推，若將一種指示物看成“單位一”，而另一個指示物有這樣的幾個“單位一”，那么這兩種不同指示物之間就形成了一定的倍數(shù)關(guān)系。

圖7 “2倍”關(guān)系示意圖

第二種意義單元描述指示物部分與整體的關(guān)系。以折紙所形成的倍數(shù)關(guān)系為例。如圖8所示，將一張長方形紙對折1 次、2 次、3 次，每次對折后，初始的整個長方形面積分別是對折后小長方形面積的2倍、4倍、8倍。在這樣的意義單元中，每次對折，“單位一”在不斷變化，但整體不變，所以形成的部分與整體之間的倍數(shù)關(guān)系也在不斷變化。因此，同一指示物部分與整體之間形成了新的意義價值，從而構(gòu)建出新的意義單元。

圖8 長方形對折1次、2次、3次示意圖

第三種意義單元描述指示物變化前后的關(guān)系。在這樣的意義單元中，指示物增加了幾倍，意義價值即在初始狀態(tài)的基礎(chǔ)上增加了幾個這樣的“單位一”。例如，以3個小方塊作為指示物的初始狀態(tài)，這時候的小方塊數(shù)量是“單位一”，指令“增加了2倍”即增加2個這樣的“單位一”（如圖9）。那么，變化后的小方塊數(shù)量就是初始狀態(tài)+增加量=最終狀態(tài)，即3 個“單位一”。因此，“增加了幾倍”闡述變化的增量，意義指向倍數(shù)關(guān)系的動態(tài)變化。

圖9 小方塊“增加了2倍”示意圖

對“倍”的意義形成的解釋與理解是為了讓教師更清楚“倍”的含義，更好地為學(xué)生設(shè)計學(xué)習(xí)活動，讓學(xué)生實現(xiàn)對“倍”的理解以及應(yīng)用。在數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)中，學(xué)生不應(yīng)停留在簡單的模仿層面，如“幾倍就是乘幾”，而應(yīng)追求對概念的有意義理解，學(xué)會用自己的方式表征數(shù)學(xué)問題，并理解概念與其他事物之間的關(guān)系，以及概念的產(chǎn)生、運作過程、影響和應(yīng)用的范圍等。實踐研究表明，教師要鼓勵和要求學(xué)生進(jìn)行多元表征，這樣的活動體驗?zāi)芴嵘龑W(xué)生靈活解決問題的能力。［12］因此，在教學(xué)“倍的認(rèn)識”時，教師可以參考“倍”的意義的形成過程來設(shè)計教學(xué)活動，讓學(xué)生利用個體經(jīng)驗和具身操作來實現(xiàn)對倍的理解。

綜上所述，在對“倍”進(jìn)行課程設(shè)計與教學(xué)時，簡單地將“倍”定義為“除法計算的結(jié)果”并不妥當(dāng)。為全面呈現(xiàn)“倍”的意義，應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生深入體會倍的運算意義，并深刻認(rèn)識“倍是關(guān)系”。理解“倍”的概念需要依賴于個體經(jīng)驗與具身操作，需要設(shè)計多元表征的學(xué)習(xí)活動。在小學(xué)數(shù)學(xué)課程中，有諸多關(guān)于抽象概念的學(xué)習(xí)，如分?jǐn)?shù)的認(rèn)識、小數(shù)的認(rèn)識、分?jǐn)?shù)的意義、小數(shù)的意義等。教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)有意義的情境，幫助學(xué)生通過指示物、符號和個體的解釋形成有意義的理解，并在備課前深入思考“這是什么？學(xué)什么？難在哪里？要怎樣做？”這幾個問題。這樣，才能真正落實《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中關(guān)于運算的要求——明晰運算的對象和意義。