為思維而教

【摘 要】教育不僅是知識傳授，更是能力培養(yǎng)和價值觀塑造，其中，思維能力的培養(yǎng)，尤其是創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)是“重中之重”。數(shù)學(xué)概念課堂教學(xué)中，對概念的理解、教學(xué)問題的設(shè)計和啟發(fā)引導(dǎo)，都應(yīng)該指向?qū)W生創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)。師生在課堂上共同經(jīng)歷思維碰撞、追求數(shù)學(xué)之美的過程，進(jìn)而實現(xiàn)學(xué)生思維能力和創(chuàng)新能力的提升。

【關(guān)鍵詞】思維能力；數(shù)學(xué)思維；創(chuàng)新能力；課堂教學(xué)

【中圖分類號】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2024）11-0038-06

【作者簡介】居艷，南京師范大學(xué)附屬中學(xué)（南京，210003）教師，正高級教師，江蘇省數(shù)學(xué)特級教師。

數(shù)學(xué)作為自然科學(xué)的基礎(chǔ)，對于推動人工智能、生物統(tǒng)計、量子計算等未來科學(xué)前沿領(lǐng)域的發(fā)展起著至關(guān)重要的作用。數(shù)學(xué)教育承擔(dān)著開發(fā)學(xué)生智力、培養(yǎng)創(chuàng)新創(chuàng)造能力、提升核心素養(yǎng)，以應(yīng)對未來不確定性挑戰(zhàn)的重要任務(wù)。數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包含數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析等六個方面，是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，也是適應(yīng)個人社會發(fā)展需要的、具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是在數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)和應(yīng)用過程中逐步形成和發(fā)展起來的。

知識應(yīng)當(dāng)被看成思維的一種“載體”，教師只有用思維分析法進(jìn)行具體知識的教學(xué)，才能將數(shù)學(xué)知識真正“教活”“教懂”“教深”。因此，教師應(yīng)將“促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展”看作數(shù)學(xué)教育最為重要的一個目標(biāo)，無論采取什么樣的教學(xué)方法或模式，關(guān)注點都應(yīng)放在教學(xué)是否促進(jìn)了學(xué)生更為積極的思考，并能通過積極的思考讓思維變得更清晰、更深刻、更具創(chuàng)造性。

一、教師的思維態(tài)度決定了學(xué)生的思維高度

數(shù)學(xué)教學(xué)不僅僅是知識的傳授，更重要的在于對學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，在諸多的思維能力中，創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)是“重中之重”。下面，筆者將從數(shù)學(xué)教師的教學(xué)視角出發(fā)，談?wù)勗谡n堂教學(xué)中教師如何通過恰當(dāng)?shù)慕逃袨榕c方法，提升學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。

（一）簡單問題深度思考

簡單問題深度思考是一種高級的認(rèn)知能力和思維水平，它能幫助我們更好地理解問題，探索解決方案，進(jìn)而提升創(chuàng)造力和決策力。在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，簡單問題深度思考指的是教師以簡單問題為切入點，逐步引導(dǎo)學(xué)生發(fā)掘問題背后的規(guī)律，探究問題解決的多種路徑，遷移問題的解決方法并用于解決新的問題。

教師在講解含參二次函數(shù)的值域問題時，可以從最簡單的二次函數(shù)入手，通過變換二次項系數(shù)、添加一次項和常數(shù)項、讓各項系數(shù)含參、變換定義域、讓定義域含參等方式，逐步增加思考的深度。教師通過引導(dǎo)學(xué)生簡單問題深度思考，進(jìn)而讓學(xué)生將這種思維方式遷移運用到復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的解決過程中。簡單問題深度思考給學(xué)生的思維過程搭建了一個“腳手架”，幫助學(xué)生克服數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的畏難情緒，讓學(xué)生從紛繁復(fù)雜的表象背后發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，充分調(diào)動學(xué)生的好奇心和想象力，促進(jìn)其創(chuàng)新思維能力的提升。

（二）不讓問題止于“智者”

美國數(shù)學(xué)家哈爾莫斯說：“問題是數(shù)學(xué)的心臟?！睌?shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師通常會關(guān)注問題的呈現(xiàn)形式、前后問題間的邏輯關(guān)聯(lián)、問題的解決方法等，這些可以歸結(jié)為預(yù)設(shè)性問題，也是教師備課的重要組成部分。但是在實際教學(xué)過程中，最有價值的問題往往是問題背后的“問題”。

如對一個新的數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，事先預(yù)習(xí)過的學(xué)生或者數(shù)學(xué)素養(yǎng)較高的學(xué)生可以很快發(fā)現(xiàn)教師預(yù)設(shè)的答案，并積極表達(dá)觀點。但如果概念教學(xué)止于此，數(shù)學(xué)課堂就只是少數(shù)學(xué)生的舞臺，雖然精彩，但只是個別人的精彩，此時教師可以通過問題打破這種預(yù)設(shè)的“精彩”。例如，“同學(xué)們還有不同的想法嗎？”“如果按照這位同學(xué)的思維方法繼續(xù)思考下去，我們能夠得到什么新的結(jié)論呢？”這種不確定性帶來的挑戰(zhàn)往往更能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提升學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。

（三）做一個積極的“批判者”

教師要做一個積極的“批判者”，通過對學(xué)生思維過程的質(zhì)疑，發(fā)現(xiàn)問題并引導(dǎo)學(xué)生積極改進(jìn)。當(dāng)然，教師也應(yīng)允許和鼓勵學(xué)生用同樣挑剔的眼光審視自己的教學(xué)過程。如果一個教師能夠承認(rèn)和接受學(xué)生的批判，那么他的課堂一定是富有創(chuàng)造性的課堂，是能夠激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新思維的課堂。師生間的相互“批判”，體現(xiàn)了更深層次的包容與尊重、自由與自省，從而實現(xiàn)教學(xué)相長。

教師成為積極“批判者”的前提是做一個合格的“傾聽者”。教師要為學(xué)生提供足夠的思考時間和空間，在學(xué)生表達(dá)觀點時，不急于指點或展示自己的見解，而是適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行復(fù)述和板書記錄。通過語言和文字記錄，把學(xué)生的思維過程全面展示出來，讓學(xué)生的思維過程成為大家“批判”的有力依據(jù)。在“傾聽—批判—傾聽”的往復(fù)過程中，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。

二、從“函數(shù)單調(diào)性概念”教學(xué)實錄談數(shù)學(xué)思維教學(xué)

在數(shù)學(xué)課堂上，思維能力的發(fā)展應(yīng)滲透在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的每一個環(huán)節(jié)和對每一個數(shù)學(xué)知識的理解運用中。

（一）教學(xué)背景分析

1.教學(xué)內(nèi)容

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)最基本也是最重要的性質(zhì)之一，單調(diào)性概念的教學(xué)不僅要關(guān)注圖形語言、自然語言和數(shù)學(xué)符號語言之間的相互轉(zhuǎn)化，還要讓學(xué)生理解為什么要相互轉(zhuǎn)化，即相互轉(zhuǎn)化背后的數(shù)學(xué)邏輯是什么，理解從定性研究函數(shù)性質(zhì)轉(zhuǎn)化為定量研究函數(shù)性質(zhì)的必要性，探索研究函數(shù)性質(zhì)的一般方法。

2.學(xué)生基礎(chǔ)

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了集合、常用邏輯用語、不等式、指數(shù)與對數(shù)、函數(shù)的概念等基礎(chǔ)知識，能夠理解圖象是函數(shù)的重要表示方法，是數(shù)形結(jié)合的重要載體，并能熟練地繪制一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等基本初等函數(shù)的圖象。同時，學(xué)生已初步掌握了抽象、類比、邏輯推理、數(shù)形結(jié)合等常規(guī)數(shù)學(xué)思維方法。

（二）教學(xué)片段實錄

1.激發(fā)思維沖突，生成研究對象

問題1：請同學(xué)們畫出下列函數(shù)的圖象，并觀察函數(shù)圖象，你發(fā)現(xiàn)它們具有什么特性？（PPT顯示圖1和圖2）

（1）y=-x2+2；（2）y=[1x]（x≠0）。

（圖1）

（圖2）

生1：觀察圖1，可以得到（1）當(dāng)x<0時，y隨x的增大而增大，當(dāng)x>0時，y隨x的增大而減?。唬?）函數(shù)圖象為曲線；（3）函數(shù)有最大值2；（4）函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱。

生2：第一個函數(shù)圖象與x軸的交點坐標(biāo)是（±[2]，0）。

生3：觀察圖2，類比第一位同學(xué)的發(fā)現(xiàn)，我得到（1）當(dāng)x<0時，y隨x的增大而減小，當(dāng)x>0時，y還是隨x的增大而減??；（2）函數(shù)圖象為雙曲線；（3）函數(shù)沒有最值；（4）函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，也關(guān)于y=±x對稱。

生4：第二個函數(shù)圖象無論是往左延伸，還是往右延伸，函數(shù)圖象都越來越接近于x軸。

（學(xué)生發(fā)現(xiàn)了反比例函數(shù)的漸近線。）

生5：第二個函數(shù)圖象中，點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)同號。

生6：在第二個函數(shù)圖象上任取一點，過該點作x軸和y軸的垂線，形成的矩形面積為定值。

師：大家通過觀察函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn)它們具有很多特性。函數(shù)是刻畫客觀世界中運動變化的重要數(shù)學(xué)模型，運動變化中的規(guī)律性或不變性通常反映為函數(shù)的性質(zhì)。因此，剛剛你們發(fā)現(xiàn)的特性都可以稱為函數(shù)的性質(zhì)。

【設(shè)計意圖】問題1是蘇教版普通高中數(shù)學(xué)教科書必修一第5章第3節(jié)例1的改編，是一道培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維的問題，沒有標(biāo)準(zhǔn)答案。教師指導(dǎo)學(xué)生通過繪制熟悉的函數(shù)圖象歸納總結(jié)出函數(shù)的特性，不僅符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，還有利于發(fā)展和提升學(xué)生的直觀想象、分析類比、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思維能力。

問題2：下面，我用幾何畫板畫了一幅函數(shù)圖象，你能通過觀察圖象，發(fā)現(xiàn)該函數(shù)具有哪些性質(zhì)嗎？（PPT顯示下頁圖3）

生眾：“這是常數(shù)函數(shù)?！?/p>

“隨著x的增大或減小，y的值都不變。”

“圖象關(guān)于y軸對稱。”

“圖象關(guān)于函數(shù)上任意一點對稱”

…………

教師在PPT上顯示函數(shù)的表達(dá)式：y=0.0001x+1，學(xué)生對照后發(fā)現(xiàn)自己剛剛根據(jù)圖象觀察得到的結(jié)論存在錯誤。

師：所信者目也，而目猶不可信；所恃者心也，而心猶不足恃。也就是說我們眼見的不一定為實。圖象雖然可以幫助我們直觀感知函數(shù)的某些性質(zhì)，但是只通過圖象直觀感知得到的函數(shù)性質(zhì)，可能不一定正確。因此，我們需要尋找科學(xué)嚴(yán)密的數(shù)學(xué)符號語言定量地刻畫我們感知到的函數(shù)性質(zhì)。

【設(shè)計意圖】問題2表面看似簡單，實則是一個激發(fā)思維沖突的問題。激發(fā)思維沖突的方法一般有實踐與理論沖突、建立對比沖突、引發(fā)疑問沖突、矛盾情節(jié)沖突、觀點碰撞沖突等。問題2體現(xiàn)的是實踐與理論的沖突，學(xué)生在實際情境中感知到他們的發(fā)現(xiàn)與已有的理論知識形成認(rèn)知沖突，從而不滿足于通過直觀感知發(fā)現(xiàn)新知的思維方式，尋找更為科學(xué)準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)邏輯語言表達(dá)方式，逐漸形成更為準(zhǔn)確的認(rèn)知。同時，問題2將問題1中學(xué)生發(fā)散性思維的成果匯聚到“尋找科學(xué)嚴(yán)密的數(shù)學(xué)符號語言定量刻畫”這一研究方向上，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的聚合性思維。

2.向美而生，不讓問題止于“智者”

師：在剛剛同學(xué)們通過觀察函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn)的眾多性質(zhì)中，有很多是我們今后需要具體研究的性質(zhì)，今天我們選取函數(shù)的增減性，以“y值隨x增大而增大”為代表，看看如何用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行刻畫？

問題3：怎樣用數(shù)學(xué)的語言刻畫“y值隨x增大而增大”？

（問題出現(xiàn)后，給學(xué)生約3分鐘的思考時間。）

生7：在函數(shù)的某個區(qū)間上取兩個值x1和x2，若x1＜x2，則f（x1）＜f（x2）。

生8：在函數(shù)的某個區(qū)間上，若△x為正，則△y也為正。

師：生8，你和前一位同學(xué)的回答有什么不同？

（學(xué)生思考片刻后表示，他和前一個同學(xué)是一個意思。）

師：那其他同學(xué)認(rèn)同“在函數(shù)的某個區(qū)間上取兩個值x1，x2，若x1＜x2，則f（x1）＜f（x2）”這種說法嗎？

生9：我有不同的想法，我認(rèn)為應(yīng)該加了兩個字“任取”，即“在函數(shù)的某個區(qū)間上任取兩個值x1和x2，若x1＜x2，則f（x1）＜f（x2）”。

（這個回答和書本的定義基本吻合，這有可能是學(xué)生經(jīng)過獨立思考得出的函數(shù)單調(diào)性定義，也有可能是因為學(xué)生提前預(yù)習(xí)過書本知識。如果此問題止于“智者”，那將錯過下面的“創(chuàng)新發(fā)現(xiàn)之美”。教師在課堂中不僅要“釋疑、解惑”，而且要“啟思、置疑”。）

師：生9，你是如何想到的？

生9：如果是取兩個值x1和x2，以圖1的二次函數(shù)為例，x1=-2，x2=1，雖然f（x1）＜f（x2），但函數(shù)在區(qū)間［-2，1］上的圖象并不符合“y值隨x增大而增大”，因此我覺得應(yīng)該添加條件“任取”。

師：你運用了我們之前學(xué)習(xí)的常用邏輯用語的知識，否定一個結(jié)論比較簡單的方法就是尋找反例。你的回答聽起來很有道理，但是從取兩個到任意兩個，跨度有點大，我們能否走得慢一點，如一個點固定或一個點任意呢？

生10：不可以，還是以圖1的二次函數(shù)為例，如果x1=-2固定，x2?。?2，1］上的任意一點，雖然滿足f（x1）＜f（x2），但函數(shù)在區(qū)間［-2，1］上的圖象不符合“y值隨x增大而增大”。

師：大家覺得有道理嗎？

（學(xué)生紛紛點頭表示有道理。）

師：那到底是取多少個呢？

生11：無數(shù)個，不，是取無數(shù)對。

師：那是否可以這樣說，在函數(shù)的某區(qū)間上取無數(shù)對x1和x2？

生12：不行，還是以圖1的二次函數(shù)為例，x1=-2固定，x2?。?2，1］上的任意一個，也是無數(shù)對，顯然不符合原來的意思。

師：從多個角度我們發(fā)現(xiàn)“任取兩個值”這五個字中，“任取”是不能改變的。那我們換個角度思考，不改變“任取”，改變“兩個”可以嗎？

生13：改成3個，4個……n個，最后還是化歸為兩兩比較，還沒有“兩個”來得簡單。

師：簡潔美是數(shù)學(xué)美的一種重要的表現(xiàn)形式，大家同意他的看法嗎？

（大部分學(xué)生表示同意，但有一位學(xué)生舉起了手。）

生14：我從簡潔美想到了可以任取一個點。經(jīng)過函數(shù)定義域內(nèi)某區(qū)間上任意一點作函數(shù)的切線，切線可以用初中學(xué)過的一次函數(shù)y=kx+b表示，若一次函數(shù)中的k大于零，則在此區(qū)間上函數(shù)滿足“y值隨x增大而增大”。

（教師根據(jù)學(xué)生的敘述，在圖1的區(qū)間［-2，0］上分別取三個點作函數(shù)的切線加以驗證。）

師：同學(xué)們再動腦筋想一想，他的說法有道理嗎？

（學(xué)生思考片刻后紛紛點頭。）

師：我們在初中時就知道，當(dāng)一次函數(shù)y=kx+b的一次項系數(shù)（高中我們稱之為直線的斜率）大于零，則該直線呈現(xiàn)從左到右上升的趨勢，如果該直線為曲線的切線，反映到該曲線上，曲線在該點處的變化趨勢是不是從左到右上升呢？

（學(xué)生思考片刻后均覺得很有道理。）

師：這位同學(xué)提出用“函數(shù)某一區(qū)間上任意一點的切線的斜率為正”來刻畫“y值隨x增大而增大”，這其實是我們高二將要學(xué)習(xí)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義。他從數(shù)學(xué)的簡潔美出發(fā)，發(fā)現(xiàn)了一個新的刻畫函數(shù)增減性的視角，體現(xiàn)了我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的創(chuàng)新思維。

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生經(jīng)歷從具體圖形語言到自然語言，再運用數(shù)學(xué)邏輯抽象成數(shù)學(xué)符號語言的表達(dá)過程，教師通過指導(dǎo)學(xué)生不斷完善，最終獲得函數(shù)單調(diào)性的定義。學(xué)生感知數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等重要的數(shù)學(xué)思維方法，為后續(xù)研究函數(shù)的奇偶性、周期性等函數(shù)性質(zhì)，提供了研究流程和方法。

三、教學(xué)反思

（一）“大單元教學(xué)設(shè)計”引領(lǐng)教學(xué)

函數(shù)的單調(diào)性作為研究函數(shù)性質(zhì)的第一個代表，其研究思路和研究方法對于函數(shù)其他性質(zhì)的研究具有參考借鑒價值。因此，本節(jié)課采用了大單元教學(xué)設(shè)計法，以圖象觀察的方式引導(dǎo)學(xué)生了解高中階段函數(shù)的大部分性質(zhì)，給學(xué)生以直觀感性的認(rèn)識，讓學(xué)生對將要學(xué)習(xí)的知識形成整體性、結(jié)構(gòu)化的認(rèn)知，這種教學(xué)方式通?？捎糜谝活愔R的起始課。

因為教師在問題1的設(shè)計中充分考慮了學(xué)生的知識水平和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，所以學(xué)生在解決問題的過程中自然清晰地運用了直觀感知、數(shù)形結(jié)合、分析類比、抽象概括等數(shù)學(xué)思維方法，這為他們深入研究函數(shù)的性質(zhì)搭建了思維“腳手架”。

（二）數(shù)學(xué)概念教學(xué)中“慢”的價值

雖然這節(jié)課講到問題3時，函數(shù)單調(diào)性概念的數(shù)學(xué)模型才初步建立，而且整節(jié)課已經(jīng)用時25分鐘，但師生在探索的過程中卻經(jīng)歷了思維的沖突、對數(shù)學(xué)美的追求和創(chuàng)新思維的生成等過程，這種“慢”在新知探索的道路上往往更具價值。

因此，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)節(jié)奏宜適當(dāng)放“慢”，師生在慢中求真、在慢中求實、在慢中求優(yōu)。“慢”的是時間，“快”的是思維，只有給予學(xué)生足夠的思考時間，他們才能在深度學(xué)習(xí)的過程中發(fā)現(xiàn)“真問題”，探索“實路徑”，尋找“最優(yōu)解”，從而形成良好的思維品質(zhì)，讓深度學(xué)習(xí)成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的常態(tài)。

（三）讓創(chuàng)新思維在“自然”中生發(fā)

問題3中，教師通過“啟思、置疑”，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)幾何意義的雛形，雖然沒有完整的學(xué)術(shù)定義和學(xué)術(shù)表達(dá)，但學(xué)生樂于思考、勇于探究、創(chuàng)新創(chuàng)造的精神在這里“自然”發(fā)生。

高中生的創(chuàng)新思維更多發(fā)生在對未知知識的思考、懷疑、試錯與爭辯的過程中，教師可通過創(chuàng)設(shè)問題情境、預(yù)設(shè)思維碰撞等方式，營造數(shù)學(xué)課堂的“創(chuàng)新場域”，從而激發(fā)學(xué)生的潛能。

數(shù)學(xué)是自然科學(xué)的基礎(chǔ)，也是重大技術(shù)創(chuàng)新發(fā)展的基礎(chǔ)，它延伸和放大了人類觀察問題和解決問題的能力，推動了人類社會的進(jìn)步，是最重要的生產(chǎn)力。中國科學(xué)技術(shù)發(fā)展的核心競爭力一定是，也只能是人才。高中教育作為基礎(chǔ)教育與高等教育的銜接階段，擔(dān)負(fù)著拔尖創(chuàng)新后備人才早期培養(yǎng)的重任。作為一名高中數(shù)學(xué)教師，在教育教學(xué)中要積極思考：如何將國家人才培養(yǎng)目標(biāo)與數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)深度融合？如何通過科學(xué)的教學(xué)方法激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲？如何進(jìn)行持續(xù)而有效的教學(xué)反思，讓“為思維而教”成為教育的一個重要的、普遍的目標(biāo)？在思考和實踐的基礎(chǔ)上，為國家拔尖創(chuàng)新后備人才的早期培養(yǎng)擔(dān)負(fù)起應(yīng)有的責(zé)任與使命。

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