如何理解“求捆瓶子中繩長(zhǎng)”問(wèn)題中的圓弧拼合部分

顏麗霞

《教學(xué)月刊·小學(xué)版》（數(shù)學(xué)）2023年第10期刊登了《如何更好地解決“求捆瓶子中繩長(zhǎng)”問(wèn)題》一文，該文有許多可圈可點(diǎn)之處。然而，文章在求捆三個(gè)圓柱形瓶子的繩長(zhǎng)（如圖1）時(shí)，選擇直接告訴學(xué)生三角形的每個(gè)內(nèi)角為60°，三角圓弧所對(duì)應(yīng)的圓心角為120°，這一做法存在一定的問(wèn)題。經(jīng)筆者研究發(fā)現(xiàn)，許多學(xué)生在理解如何確定三角形每個(gè)內(nèi)角為60°以及每條圓弧所對(duì)應(yīng)的圓心角為120°等方面存在困難。此外，理解“三條圓弧的長(zhǎng)度之和等于一個(gè)圓的周長(zhǎng)”這一規(guī)律，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)也有較大難度。為幫助學(xué)生解決這些難點(diǎn)問(wèn)題，可以采用以下教學(xué)過(guò)程。

一、動(dòng)態(tài)感知，想象移拼

教師呈現(xiàn)示意圖（如圖2），要求學(xué)生自主操作，用筆尖代替圖中的箭頭，從起點(diǎn)開(kāi)始轉(zhuǎn)一周，描出捆三個(gè)圓柱形瓶子的繩長(zhǎng)，邊描邊思考，圓弧部分拼成了什么圖形？

學(xué)生獨(dú)立完成操作后反饋：筆尖從起點(diǎn)出發(fā)，沿著箭頭轉(zhuǎn)一周，發(fā)現(xiàn)筆尖所經(jīng)過(guò)圓弧部分的路徑恰好為一個(gè)圓形。因此，圓弧部分拼起來(lái)的長(zhǎng)度正好為圓的周長(zhǎng)。

二、畫(huà)圖表征，推理說(shuō)明

教師出示圖3，讓學(xué)生獨(dú)立嘗試畫(huà)分割線。

學(xué)生獨(dú)立嘗試后，教師直觀演示畫(huà)圖方法：將相鄰兩個(gè)圓的圓心連接，得到一條線段。分別通過(guò)這兩個(gè)圓心作這條已知線段的垂線（即圓的半徑），并連接半徑與圓相交的兩點(diǎn)，從而得到繩子的線段部分，從而將繩子分為圓弧和直線兩部分（如圖1）。

接著引導(dǎo)學(xué)生思考：（1）連接相鄰兩個(gè)圓的圓心所形成的線段長(zhǎng)度是多少？（2）圓弧部分有什么特點(diǎn)，拼起來(lái)是什么圖形？

學(xué)生獨(dú)立思考后，進(jìn)行全班交流。

（1）觀察經(jīng)分割后的線段，連接相鄰兩個(gè)圓的圓心所形成的線段由兩條半徑構(gòu)成，其長(zhǎng)度相當(dāng)于一個(gè)圓的直徑。

（2）圖1中，三個(gè)圓的圓心兩兩相連，構(gòu)成三條線段。這三條線段長(zhǎng)度相等，形成了一個(gè)等邊三角形，每個(gè)內(nèi)角均為60°。

（3）在分割過(guò)程中，通過(guò)圓心作圓心連線的垂線，夾角為90°。因此，繩子的線段部分、相鄰兩個(gè)圓心間的連線以及兩條垂線（即圓的兩條半徑）共同構(gòu)成一個(gè)長(zhǎng)方形，內(nèi)角為90°。

根據(jù)以上信息，可以推斷每個(gè)圓內(nèi)圓弧部分所對(duì)的圓心角為：360°-90°-90°-60°=120°。因此，每段圓弧的長(zhǎng)度為一個(gè)圓周長(zhǎng)的[13]，即120°÷360°=[13]。分割后有三段圓弧，合起來(lái)恰好是一個(gè)圓的周長(zhǎng)。

（浙江省杭州市臨平區(qū)崇賢第一小學(xué)）