低年級減法運算的具身性分析

王晶晶 郜舒竹

【摘? ?要】各國課程標(biāo)準(zhǔn)一致強調(diào)，學(xué)生要通過對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的深刻理解來促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。理解就是抓住意義。運算的意義主要“形成于客觀的物質(zhì)世界，留痕于主觀的思維世界，表征于抽象的符號世界”。通過分析加減法互逆關(guān)系的具身性，可得到低年級學(xué)生理解減法所需要經(jīng)歷的學(xué)習(xí)活動。

【關(guān)鍵詞】理解；減法；逆運算；意義

整數(shù)加減法在小學(xué)數(shù)學(xué)課程中具有基礎(chǔ)性作用?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》要求一年級學(xué)生“會20以內(nèi)數(shù)的加減法”［1］。《美國州際共同核心數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)》也指出：“一年級學(xué)生應(yīng)發(fā)展對整數(shù)加減法的理解，學(xué)習(xí)用實物、畫圖和等式等方式表征問題，并運用20以內(nèi)的加減法解決有關(guān)添上、拿走、合并、分離以及比較等情境的文字問題。”［2］

一、加法與減法的類型

我國數(shù)學(xué)教學(xué)歷來注重運用日常生活中的情境幫助學(xué)生理解加減法的意義。1992年的一項研究將小學(xué)加減法應(yīng)用題分為四類：第一類是求和或求剩余的部分?jǐn)?shù)和整體數(shù)關(guān)系的應(yīng)用題，第二類是求相差數(shù)、較大數(shù)或較小數(shù)的兩數(shù)相差關(guān)系的應(yīng)用題，第三類是求大數(shù)的反向應(yīng)用題，第四類是比少求和的復(fù)合應(yīng)用題。［3］

從具身認(rèn)知的角度看，加減法運算涉及操作活動的“變化”問題（如表1）、“部分—整體”問題（如表2）以及“比較”問題（如表3）。其中，“變化”問題可分為加入（添加）和分離（拿走）兩類，包含結(jié)果量、變化量和起始量三個量；“部分—整體”問題主要涵蓋整體未知、一部分未知和兩部分未知三種情況；“比較”問題則主要是針對兩個對象之間數(shù)量的比較，包括求相差量、較小量和較大量這三種情況。

綜上所述，加減法中的數(shù)量關(guān)系可以分為一個對象變化前后的關(guān)系、部分和整體的關(guān)系，以及比較問題中兩個不同對象之間的關(guān)系三類。減法問題類型主要包括拿走（從整體中拿走部分）問題、缺失的加數(shù)（想加算減法）問題和比較問題［4］。

二、減法之難

針對學(xué)生在減法問題上出現(xiàn)的表征困難，可以從教材編排以及學(xué)生認(rèn)知規(guī)律兩個方面分析其原因。

（一）教材編排

教材在各年級教學(xué)內(nèi)容中均呈現(xiàn)了減法問題類型。以人教版教材（2023年版）為例，在一年級學(xué)習(xí)加減法之前，教材先編排了“比大小”的內(nèi)容，讓學(xué)生初步接觸對應(yīng)的數(shù)學(xué)思想以及兩個不同對象間數(shù)量關(guān)系的比較，為后續(xù)解決“比較”問題奠定基礎(chǔ)，但并未對這一問題類型進(jìn)行深入具體的教學(xué)。在“5以內(nèi)的加減法”中，教材又編排了“分與合”的內(nèi)容，讓學(xué)生初步認(rèn)識加減法中關(guān)于“部分和整體”的數(shù)量關(guān)系，這當(dāng)中包含一種靜態(tài)意義上的減法模型。在編排“5以內(nèi)的加減法”中的“減法”內(nèi)容時，教材首先以動態(tài)的形式呈現(xiàn)“拿走”這一減法模型，利用氣球飛走、人拿走鐵鍬、小老鼠搬走餅干等動態(tài)變化的情境，幫助學(xué)生初步直觀地建立減法概念，更好地理解減法運算的意義。隨后，教材呈現(xiàn)方式由動態(tài)變化向靜態(tài)過渡，通過“四朵小紅花，用斜線畫去其中一朵”和“兩輛車，用圓圈圈出其中一輛車”等問題情境來表現(xiàn)“拿走”。

由此可見，教材中針對減法中“拿走”問題直觀操作的教學(xué)較多，而關(guān)于“缺失的加數(shù)”和“比較減法”的教學(xué)較少，學(xué)生的頭腦中還沒有形成解決這兩類問題的思維圖式，所以在遇到相關(guān)問題時較難理解，也難以與頭腦中的思維圖式建立聯(lián)系。尤其是在“缺失的加數(shù)”問題情境中，由于給定的關(guān)系轉(zhuǎn)換和組合問題涉及加減法的互逆關(guān)系，對低年級學(xué)生來說更具復(fù)雜性，導(dǎo)致他們極易混淆加減法的意義。

（二）學(xué)生認(rèn)知規(guī)律

理解的過程通常涉及三個方面的互動：一是對情境的感知，二是對感知活動無意識的判斷，三是符號表征。［5］問題的表征方式主要包括思維表征和外在表征，其中思維表征主要是指在頭腦中形成的圖式，外在表征則主要表現(xiàn)為圖或算式符號等。學(xué)生輸出符號表征與思維表征的順序基本一致。因此，學(xué)生對減法問題的認(rèn)知過程一般包括三個階段：首先，感知問題的自然結(jié)構(gòu)，獲取相關(guān)信息；其次，在頭腦中對問題中的信息進(jìn)行加工，提取有效信息，并與已有知識建立聯(lián)系；最后，將感知和加工過的結(jié)果用符號表征的形式呈現(xiàn)。

例如，針對“樹上原有一些鳥，又飛來了3只鳥，現(xiàn)在有7只鳥”這一問題，學(xué)生會列出“4+3=7”的算式。這是因為在某些情況下，學(xué)生對減法問題的表征受問題結(jié)構(gòu)的影響，而非問題中的數(shù)字。對減法問題的表征，即以算式等形式表示情境，類似于具身認(rèn)知理論中的“隱喻”，遵循同構(gòu)的對應(yīng)原則。譬如，學(xué)生最先接觸的減法問題是“拿走”問題中“還剩多少”這一類型，即已知起始量和變化量求結(jié)果量。解題時，學(xué)生按照“起始—發(fā)展—最終”的順序，將“起始量、變化量、結(jié)果量”與“被減數(shù)-減數(shù)=差”一一對應(yīng)。［6］對低年級學(xué)生來說，他們的頭腦中已經(jīng)形成了這種從情境到算式同構(gòu)對應(yīng)的經(jīng)驗，因此在面對和直覺規(guī)律不同的異構(gòu)情況時，難以自主對問題進(jìn)行信息加工和關(guān)系演變，導(dǎo)致他們即使在一定程度上理解問題中對象之間的數(shù)量關(guān)系，但是在表征時也可能出現(xiàn)“欲減卻加”的情況。

學(xué)生對數(shù)學(xué)符號的理解，與他們頭腦中通過現(xiàn)實世界的具身操作所形成的具身經(jīng)驗有關(guān)。因此，在選擇表征方式時，學(xué)生傾向于運用自己已有的思維圖式來與問題建立聯(lián)系，進(jìn)而進(jìn)行外在表征。在學(xué)生的思維圖式中，減法的具身操作表現(xiàn)為“拿走”，加法的具身操作表現(xiàn)為“合并”。題目中的“飛來”在學(xué)生看來表示加法中的“合并”，說明他們沒能在思維中實現(xiàn)具身動作的轉(zhuǎn)換，這才導(dǎo)致“欲減卻加”情況的出現(xiàn)。

綜上所述，低年級學(xué)生在頭腦中缺乏通過現(xiàn)實世界的具身操作所形成的具身經(jīng)驗時，難以實現(xiàn)動作和運算過程的轉(zhuǎn)換，也就無法理解加減法的互逆關(guān)系。

那么，如何將算式“7-3=4”與“樹上原有一些鳥，又飛來了3只鳥，現(xiàn)在有7只鳥”的情境建立符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的聯(lián)系？原題中，“飛來”就是“增加”，與符號表征“4+3=7”具有同構(gòu)對應(yīng)關(guān)系。而“7-3=4”需要學(xué)生想象反向過程，即撤銷轉(zhuǎn)變，進(jìn)而“減少”的過程。這是一個互逆的過程（如圖1），用算式表示為“4+3-3=7-3=4”。理解這種加減運算之間的互逆關(guān)系，對學(xué)生在計算過程中運用轉(zhuǎn)換思想至關(guān)重要。

三、逆運算的動作與理解

算術(shù)教學(xué)要考慮學(xué)生在解決問題時所面臨的兩個認(rèn)知需求：一個是如何高效準(zhǔn)確地進(jìn)行算術(shù)計算，另一個是如何選擇合適的算術(shù)運算來解決特定問題。前者可稱為“數(shù)值計算”，即對數(shù)字進(jìn)行運算，如加法求和與減法求差，依賴于學(xué)生對數(shù)字間關(guān)系的理解；后者則稱為“關(guān)系計算”，關(guān)注情境中數(shù)字間關(guān)系的轉(zhuǎn)換和組合。這兩種計算既相對獨立，又相互關(guān)聯(lián)。［7］在數(shù)值計算中，相同的數(shù)字間存在多種關(guān)系。以“7-3”為例，第一種情況為“樹上原有7只鳥，飛走了3只”，是學(xué)生較為熟悉的一種情況，它接近減法的初始概念，即“拿走”，較少涉及關(guān)系計算。第二種情況為“飛來了3只鳥，現(xiàn)在有7只”，更貼近學(xué)生所接觸的加法概念。要讓學(xué)生將此問題理解為減法問題，就要讓他們意識到關(guān)系的變化，即“飛來了3只鳥”，并思考通過何種變化可回歸初始狀態(tài)，即“樹上原來有幾只鳥”。因此，學(xué)生需要理解變化的逆過程，即撤銷轉(zhuǎn)變。加減法的互逆關(guān)系與數(shù)值計算以及數(shù)學(xué)問題中數(shù)量的分析密切相關(guān)，是數(shù)值計算和關(guān)系計算的重要方面。其中，學(xué)生較難理解的就是數(shù)學(xué)運算中的關(guān)系計算。

互逆（Inversion）是數(shù)學(xué)中結(jié)構(gòu)研究的基本關(guān)系組成部分，也是人類個體經(jīng)驗和社會經(jīng)驗的基本關(guān)系組成部分，與平衡（Equilibrium）、不變性（Invariance）、撤銷（Reversal）、補償（Compensation）、對稱（Symmetry）、抵消（Balance）和守恒（Conservation）等諸多關(guān)鍵要素密切相關(guān)。［8］涉及互逆的概念包括互逆原理（Inverse Principle）a+b-b=a、相減否定原理（Subtractive Negation Principle）a-a=0、相減恒等原理（Subtractive Identity Principle）a-0=a、互補原理（Complementary Principle）a+b=c等價于a=c-b。［9］這些概念在加減法運算中也有所體現(xiàn)。

在純形式算術(shù)中，加法和減法之間的互逆關(guān)系對計算的靈活性與高效性以及學(xué)生理解程度的評估具有重要意義，同時，也會對學(xué)生計算技能的發(fā)展產(chǎn)生影響。這種互逆關(guān)系主要包含三種情況：分解、順序（想加算減—間接加法—補償）和捷徑（a+b-b=a）。［10］第一種情況是分解（Decomposition），要求學(xué)生理解進(jìn)位和退位的過程，以便掌握加減法之間的互逆關(guān)系。其中，減數(shù)“守恒”對學(xué)生來說較難理解。如512-28，從12-8可知，減數(shù)從十位上減去1個十，同時在個位上以10個一的形式加上10，數(shù)值仍保持不變。第二種情況是順序（Sequential），即學(xué)生熟悉的“想加算減法”，意思是當(dāng)數(shù)字彼此接近時，可用加法來解減法。如52-49，學(xué)生可以從49開始數(shù)，即將52-49=3轉(zhuǎn)換為49+3=52，體現(xiàn)了互逆關(guān)系中的互補原理。這種用加法來解決減法的方式稱為間接加法，而運用這種間接加法來解決減法的則稱為“補償”。第三種情況在日常進(jìn)行口算時較為常用，可以稱為逆捷徑策略（Inversion Shortcut Strategy）。如88-19，其常見描述為88-（19+1）+1，即88-20+1，這種無須計算便可直接得出答案的策略，就是運用了互逆原理a+b-b=a。

選擇正確的計算方法進(jìn)行數(shù)值計算是檢驗學(xué)生是否理解加減法互逆關(guān)系的重要標(biāo)準(zhǔn)，而選擇正確的算術(shù)運算方法解決問題則是學(xué)生獲得概念的重要途徑，這揭示了學(xué)生在心理上執(zhí)行的關(guān)系的構(gòu)成。關(guān)系計算是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點，當(dāng)遇到涉及情境的算術(shù)運算時，學(xué)生應(yīng)考慮其中是否有關(guān)系計算。比如在減法的“拿走”問題中，若所求為結(jié)果量，便與學(xué)生最初接觸的減法概念緊密相連，無須進(jìn)行關(guān)系計算；若所求為起始量和變化量，涉及加減法的互逆關(guān)系，就需要進(jìn)行關(guān)系計算。在加減法情境問題中，當(dāng)學(xué)生能夠利用6+2=8推理出8-2=6（或8-6=2）時，就表明他至少有意識地援引了a+b=c→c-b=a（或c-a=b）的代數(shù)互補原理。這種“關(guān)系演算”就是算術(shù)和代數(shù)間表達(dá)的核心，而要理解這些關(guān)系計算，學(xué)生就需要親身經(jīng)歷轉(zhuǎn)換過程。

四、在具身動作中形成思維圖式

勒內(nèi)·笛卡爾（René Descartes，1596—1650）曾提出“身心二元論”，認(rèn)為人的心智和肉體是相互獨立的。隨后，莫里斯·梅洛-龐蒂（Maurice Merleau-Ponty，1908—1961）提出“具身的主體性（Embodied Subjectivity）”概念，強調(diào)人不是一種離身的心智，不是笛卡爾所謂的“純粹思維”，更不是“復(fù)雜的機器”，而是通過身體與世界互動的創(chuàng)造者。認(rèn)知心理學(xué)領(lǐng)域由此迎來了一場以“具身認(rèn)知（Embodied Cognition）”為核心的變革。美國的喬治·萊考夫（George Lakoff）和馬克·約翰遜（Mark Johnson）提出了具身認(rèn)知理論的相關(guān)觀點。這一理論主要源于認(rèn)知科學(xué)的三個主要發(fā)現(xiàn)：一是人的認(rèn)知是“具身的（Embodied）”，二是人的思想（Thought）往往是“無意識的（Unconscious）”，三是對抽象概念的理解大多依賴于“隱喻（Metaphor）”。［11］

具身認(rèn)知理論認(rèn)為，人的認(rèn)知來源于頭腦、身體與環(huán)境的互動。在這一過程中，個體會在頭腦中形成思維圖式，也稱為“意象圖式（Image Schema）”，并將其應(yīng)用于相關(guān)活動之中。［12］5由此可知，對抽象概念的理解需借助具體的操作活動，而具身活動的開展有利于學(xué)生理解減法運算的意義。因此，教師要幫助學(xué)生通過具身操作在頭腦中形成關(guān)于逆運算的思維圖式，從而理解運算的意義。

運算的意義不僅在于從算式到結(jié)果的“算（Calculation）”，更在于人的“運（Operation）”，也就是涉身的動作?！凹樱ˋddition）”和“減（Subtraction）”作為運算的互逆關(guān)系，從認(rèn)知的角度看，涉身的動作有很多，所以要理解加減法的互逆運算，關(guān)鍵就在于重視動作和運算過程的轉(zhuǎn)換。例如，可以利用容器圖式中“放入”和“取出”的操作進(jìn)行隱喻，將“加”視為向容器中“放入”的動作，“減”則表示從容器中“取出”的動作，“放入”和“取出”這兩個動作具有“互逆”的關(guān)系。［12］6比如，盤子中原來有a個蘋果，再放入b個蘋果，即“a+b”，再從盤子中取出b個蘋果，即“a+b-b”。經(jīng)歷放入再拿出這一過程后，盤子中的蘋果數(shù)量與初始狀態(tài)一致，即“a+b-b=a”。同樣，也可以通過路徑圖式中人腳“前進(jìn)”和“后退”的行走動作來隱喻加減法的“加”和“減”。從起點前進(jìn)，然后后退相同的步數(shù)，人就又回到了起點。諸如此類具身活動，均可成為隱喻加減運算互逆關(guān)系的具身經(jīng)驗。而這種“加”與“減”的互逆關(guān)系，則是溝通這兩個運算的基本規(guī)律。［13］因此，對于抽象的數(shù)學(xué)符號“a+b-b”，可以利用容器圖式和路徑圖式中的動作來表示隱喻。教師要幫助學(xué)生在具身操作中理解運算過程中相同數(shù)字的加減法是相互抵消的，熟練掌握并運用a+b-b=a的運算形式。這有助于學(xué)生進(jìn)一步理解逆運算，從而將對加減法互逆關(guān)系的理解從表面學(xué)習(xí)提升至深度學(xué)習(xí)。

運算的意義的理解過程始于現(xiàn)實世界的具體操作，再轉(zhuǎn)化為思維世界的圖式，最后用符號進(jìn)行表征。在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)通過與運算有關(guān)的具體操作來表示隱喻，引導(dǎo)學(xué)生模擬操作，并反復(fù)進(jìn)行相似的實踐。在這一過程中，學(xué)生的主體認(rèn)知與外界環(huán)境產(chǎn)生互動，從而構(gòu)建起關(guān)于運算的意象圖式，即形成關(guān)于加減法互逆關(guān)系的具體經(jīng)驗。這有助于學(xué)生深入理解逆運算的意義，使其能根據(jù)具體情況選擇合適的算術(shù)運算進(jìn)行表征，以證明其對運算意義的理解。而學(xué)生運用數(shù)學(xué)符號表征問題的主要目的在于理解符號的價值，當(dāng)學(xué)生再次看到相關(guān)符號時，頭腦中會形成一種思維傾向，即與符號有關(guān)的具體操作。只要他們付諸行動，就意味著其不但理解了符號的意義，也理解了運算的意義。

綜上所述，本文重點分析了學(xué)生在減法問題上出現(xiàn)“欲減卻加”現(xiàn)象的原因，提出理解減法運算需要在具身操作中把握加減法的互逆關(guān)系，并對加減法情境問題進(jìn)行了合適的表征。小學(xué)數(shù)學(xué)中，不僅有加減運算的互逆關(guān)系，還包括乘除運算的互逆關(guān)系。教師要利用日常生活經(jīng)驗，如弄臟襯衫后通過清洗使它恢復(fù)到原來的狀態(tài)，從罐子里拿出三塊餅干后再放入三塊餅干數(shù)量不變，或者通過具體操作來表示隱喻，幫助學(xué)生理解互逆關(guān)系，提高學(xué)生的運算能力，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界的能力。

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：12.

［2］Common Core State Standards Initiative （CC-SSI）. Common core state standards for mathematics ［EB/OL］.（2010-06-10）［2023-08-22］. http：//www.corestandards. org/Math/Practice/.

［3］鄭為川.小學(xué)中低年級學(xué)生對加減法簡單應(yīng)用題數(shù)量關(guān)系認(rèn)知的實驗研究［J］.教育理論與實踐，1992（3）：34-37.

［4］VAN DE WALLE J A，KARP K S，BAY-WILLIAMS J M. Elementary and middle school mathematics：Teaching developmentally（10th）［M］. Boston：Pearson Education，2018：155-165.

［5］VERGNAUD G. Cognitive and developmental psychology and research in mathematics education：Some theoretical and methodological issues［J］.For the learning of mathematics，1982，3（2）：31-41.

［6］郜舒竹.小學(xué)數(shù)學(xué)這樣教（第2版）［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，2021：291.

［7］NUNES T，BRYANT P，EVANS D，et al. Teaching children how to include the inversion principle in their reasoning about quantitative relations［J］.Educational studies in mathematics，2012，79（3）：371-388.

［8］GREER B. Inversion in mathematical thinking and learning［J］.Educational studies in mathematics，2012，79（3）：429-438.

［9］SCHNEIDER M. Commentary 2：Knowledge integration in mathematics learning：The case of inversion［J］. Educational studies in mathematics，2012，79（3）：447-453.

［10］SELTER C，PREDIGER S，N?HRENB?-

RGER M，et al. Taking away and determining the difference：A longitudinal perspective on two models of subtraction and the inverse relation to addition［J］. Educational studies in mathematics，2012，79（3）：389-408.

［11］LAKOFF G，JOHNSON M.Philosophy in the flesh：The embodied mind and its challenge to western thought［M］. New York：Basic Books，1999：3.

［12］郜舒竹.“0+1”和“1+0”一樣嗎［J］.教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2020（5）：4-9.

［13］郜舒竹.為“錯”說理［J］.教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2020（6）：4-9.

（首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院）