重構(gòu)數(shù)與運(yùn)算一致性　形成結(jié)構(gòu)化知識(shí)體系

陳光明

摘要：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出數(shù)與運(yùn)算之間有密切的關(guān)聯(lián)，數(shù)的概念本質(zhì)上具有一致性，數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上具有一致性，并對(duì)數(shù)與運(yùn)算的教學(xué)提出了新的要求。教師應(yīng)在課程標(biāo)準(zhǔn)理念的指導(dǎo)下，探索“數(shù)的認(rèn)識(shí)”和“數(shù)的運(yùn)算”知識(shí)體系的構(gòu)建策略。

關(guān)鍵詞：數(shù)與運(yùn)算一致性；結(jié)構(gòu)化；知識(shí)體系

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下通稱“新課標(biāo)”）增加了“數(shù)與運(yùn)算一致性”的內(nèi)容，這對(duì)教材編寫和教學(xué)體系設(shè)計(jì)的影響尤其深遠(yuǎn)。因?yàn)檫@不是對(duì)課程內(nèi)容做簡(jiǎn)單的補(bǔ)充，而是對(duì)整個(gè)小學(xué)階段“數(shù)的認(rèn)識(shí)”和“數(shù)的運(yùn)算”知識(shí)體系的根本變革。教師可以從當(dāng)前數(shù)與運(yùn)算一致性的底層邏輯分析入手，探討新課標(biāo)中這種變革的必要性和可行性，并探索在這一理念下對(duì)“數(shù)的認(rèn)識(shí)”和“數(shù)的運(yùn)算”知識(shí)體系的構(gòu)建策略。

一、數(shù)與運(yùn)算一致性的底層邏輯

數(shù)與運(yùn)算一致性包括三個(gè)方面的內(nèi)容：一是數(shù)的概念的一致性；二是數(shù)的運(yùn)算的一致性；三是數(shù)的認(rèn)識(shí)與運(yùn)算的一致性。數(shù)與運(yùn)算的教學(xué)能否做到一致性？數(shù)與運(yùn)算的教學(xué)怎樣做到一致性？這是亟待解決的兩個(gè)問題。

（一）數(shù)與運(yùn)算的教學(xué)能否做到一致性

首先，數(shù)的產(chǎn)生和發(fā)展離不開運(yùn)算，數(shù)的認(rèn)識(shí)與運(yùn)算具有一致性。古人在勞動(dòng)實(shí)踐中創(chuàng)造了簡(jiǎn)單的幾個(gè)自然數(shù)，并逐漸產(chǎn)生了“加法”的運(yùn)算。通過“加法”的運(yùn)算擴(kuò)充了自然數(shù)的范圍，并進(jìn)一步產(chǎn)生了“減法”“乘法”和“除法”運(yùn)算。其中，“減法”運(yùn)算為“0”和“負(fù)數(shù)”的產(chǎn)生提供了契機(jī)?！俺ā边\(yùn)算促進(jìn)了“分?jǐn)?shù)”的產(chǎn)生。由于分?jǐn)?shù)在計(jì)算和比較時(shí)不太方便，因此誕生了小數(shù)。其次，整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)的構(gòu)成都是以計(jì)數(shù)單位為基礎(chǔ)的，有了這個(gè)基礎(chǔ)，數(shù)的概念教學(xué)的一致性便有了自然的邏輯結(jié)構(gòu)。最后，所有的運(yùn)算都是以加法運(yùn)算為基礎(chǔ)的，所以加減乘除四則運(yùn)算在算理上有共同的邏輯本源，數(shù)的運(yùn)算之間具有一致性。

（二）數(shù)與運(yùn)算的教學(xué)怎樣做到一致性

數(shù)與運(yùn)算的一致性可以通過以下教學(xué)方法達(dá)成：一是將“計(jì)數(shù)單位”確定為核心理念；二是將運(yùn)算的意義以及基礎(chǔ)運(yùn)算規(guī)律（五個(gè)運(yùn)算定律和等式特性）作為計(jì)算的邏輯基礎(chǔ)；三是將兩個(gè)基本事實(shí)（加法口訣和乘法口訣）作為算法的起點(diǎn)；四是把數(shù)的意義理解為計(jì)數(shù)單位的疊加，把數(shù)的運(yùn)算歸結(jié)為計(jì)數(shù)單位的運(yùn)算和計(jì)數(shù)單位數(shù)量的運(yùn)算。

二、數(shù)的概念一致性的教學(xué)策略

數(shù)的概念的教學(xué)以“計(jì)數(shù)單位”為核心概念，將數(shù)的認(rèn)識(shí)歸結(jié)為計(jì)數(shù)單位的累加。根據(jù)這個(gè)要點(diǎn)，數(shù)的概念的教學(xué)，一定要凸顯計(jì)數(shù)單位的核心地位，通過幫助學(xué)生建立計(jì)數(shù)單位的概念，再通過計(jì)數(shù)單位來認(rèn)識(shí)數(shù)，形成數(shù)感。

（一） “一”是所有計(jì)數(shù)單位的基礎(chǔ)

當(dāng)我們提到計(jì)數(shù)單位時(shí)，很多教師腦海里一定會(huì)涌現(xiàn)出“十、百、千、萬……”“十分之一、百分之一、千分之一……”“二分之一、三分之一、四分之一……”，然而對(duì)“一”這個(gè)計(jì)數(shù)單位卻似乎并不重視。事實(shí)上，其他的計(jì)數(shù)單位都是通過“一”得出的，通過“一”的累積，形成整數(shù)的計(jì)數(shù)單位，通過對(duì)“一”的均分，形成分?jǐn)?shù)（小數(shù)）的計(jì)數(shù)單位?！耙弧笔撬杏?jì)數(shù)單位的基礎(chǔ)，計(jì)數(shù)單位“一”把整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)單位連成一個(gè)整體。所以，在教學(xué)“10以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”時(shí)，教師應(yīng)讓學(xué)生體會(huì)“所有的整數(shù)都可以分解成若干個(gè)‘一”“‘一的不斷累加可以產(chǎn)生各種不同大小的整數(shù)”的含義。

（二）“十的認(rèn)識(shí)”是數(shù)的認(rèn)識(shí)的一次飛躍

“十的認(rèn)識(shí)”這一課，對(duì)于引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)計(jì)數(shù)單位在數(shù)的認(rèn)識(shí)和表示上的作用，初步理解“位值制”計(jì)數(shù)法的原理非常關(guān)鍵。而傳統(tǒng)的教學(xué)沒能注意到這一要點(diǎn)，只是將“十的認(rèn)識(shí)”與“十以內(nèi)各數(shù)的認(rèn)識(shí)”等同起來教學(xué)。為了改變這一現(xiàn)狀，筆者將“十的認(rèn)識(shí)”這一課做了如下重構(gòu)。

教師先向?qū)W生呈現(xiàn)教材上的主題圖，然后詢問：“圖中有幾位孩子？（9位）請(qǐng)?jiān)谟?jì)數(shù)器上用珠子表示。”

師：再加上老師，一共有多少人？（10個(gè)）你會(huì)用數(shù)來表示嗎？

師：為什么9只要寫一個(gè)數(shù)字，而10卻要寫兩個(gè)數(shù)字？

（教師組織學(xué)生討論：為什么不再另外創(chuàng)造一個(gè)符號(hào)來表示“十”）

通過討論，學(xué)生明白了：如果數(shù)字“十”用一個(gè)符號(hào)來表示，那么“十一、十二、十三……”也要用單獨(dú)的符號(hào)來表示，這樣就需要記住很多符號(hào)，很不方便。接著，教師通過與學(xué)生一起在只有一個(gè)擋位的計(jì)數(shù)器上撥珠子表示“十、十一、十二……”，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)：在一個(gè)檔位上撥太多的珠子，在計(jì)數(shù)上很不方便。所以人們就規(guī)定：計(jì)數(shù)器上的一個(gè)檔位最多只能撥9個(gè)珠子，如果要表示更大的數(shù)，就得在左邊增加一個(gè)檔位，原來的檔位叫做“個(gè)位”，新增加的檔位叫做“十位”。

師：現(xiàn)在誰知道“十”在計(jì)數(shù)器上該如何表示？

生：在個(gè)位上撥9個(gè)，在十位上撥1個(gè)，合起來一共是10個(gè)。

生：只要在十位上撥1個(gè)珠子就可以了。

師：你認(rèn)為哪種方法更好，為什么？

經(jīng)過交流，學(xué)生了解到：盡管第一個(gè)學(xué)生的方法能用于表示超過十的數(shù)，但是數(shù)值越大，需要的珠子就越多，所以對(duì)于表示一個(gè)很大的數(shù)就不十分方便。而通過第二個(gè)學(xué)生的方法，只需用十位的一個(gè)珠子替代個(gè)位的10個(gè)珠子，便可表示更大的數(shù)，這樣就無需準(zhǔn)備大量的珠子了。

教師通過在計(jì)數(shù)器上撥珠，可以使學(xué)生明白“為什么9只要寫一個(gè)數(shù)字來表示，而10卻要寫兩個(gè)數(shù)字來表示”的道理。這樣，學(xué)生會(huì)自然地明白“十進(jìn)制計(jì)數(shù)法”的原理，理解“位值制”計(jì)數(shù)法的優(yōu)越性。

（三）基于“數(shù)量”引入分?jǐn)?shù)，通過“計(jì)數(shù)單位”理解分?jǐn)?shù)

現(xiàn)行人教版數(shù)學(xué)教材是通過“率”來引入分?jǐn)?shù)的，在認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的過程中淡化“計(jì)數(shù)單位”的作用，這與整數(shù)、小數(shù)的認(rèn)識(shí)不太一致。為此，筆者對(duì)“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)”這一單元做了如下重構(gòu)。

【認(rèn)識(shí)幾分之一】

師：把1塊月餅平均分給兩個(gè)人，每個(gè)人能得到多少塊月餅？

生：半個(gè)。

師：把1塊月餅平均分給三個(gè)人，每個(gè)人能得到多少塊月餅？

生：小半個(gè)。

師：把1塊月餅平均分給四個(gè)人，每個(gè)人能得到多少塊月餅？

生：小小半個(gè)。

隨著情境的繼續(xù)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，用生活中的“半個(gè)”“小半個(gè)”“小小半個(gè)”無法準(zhǔn)確地表示分到月餅的數(shù)量，那到底該用什么數(shù)來表示每人分到的個(gè)數(shù)呢？

通過對(duì)以上問題的探討，教師自然地引入一種新的數(shù)——分?jǐn)?shù)，體現(xiàn)了數(shù)是對(duì)數(shù)量的抽象，與整數(shù)的認(rèn)識(shí)相一致。

【認(rèn)識(shí)幾分之幾】

1.媽媽、小明和爸爸一起吃一塊比薩。

2.你能在下面的線段上找到媽媽、小明和爸爸吃的塊數(shù)嗎？你還能找到哪些數(shù)？

以上教學(xué)使學(xué)生明白：分?jǐn)?shù)也是用來表示數(shù)量多少的，分?jǐn)?shù)也是可以“數(shù)”出來的，分?jǐn)?shù)也是可以用“數(shù)線”上的點(diǎn)來表示的，分?jǐn)?shù)也是可以和整數(shù)比較大小的。由此，分?jǐn)?shù)與整數(shù)在意義、結(jié)構(gòu)和研究方法等方面都是一致的。

三、數(shù)的運(yùn)算一致性的教學(xué)策略

（一）數(shù)的加減運(yùn)算的一致性

在數(shù)的加減運(yùn)算教學(xué)中，無論是教材還是課堂實(shí)踐都做到了一致性。例如，在教學(xué)中教師通常都會(huì)引導(dǎo)學(xué)生將整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)加減運(yùn)算的算理、算法進(jìn)行比較。學(xué)生需要明白，無論是在整數(shù)加減中的“數(shù)位對(duì)齊”、小數(shù)加減中的“小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊”，或者是分?jǐn)?shù)加減中的“通分”，都有相同的核心要領(lǐng)，就是“相同的計(jì)數(shù)單位上的個(gè)數(shù)相加減，計(jì)數(shù)單位保持不變?！?/p>

（二）數(shù)的乘法運(yùn)算的一致性

與數(shù)的乘法運(yùn)算一致的算法是：計(jì)數(shù)單位乘以計(jì)數(shù)單位，計(jì)數(shù)單位上的個(gè)數(shù)相乘。為了讓學(xué)生理解其道理，教師需要分兩個(gè)方面來引導(dǎo)他們進(jìn)行探討：

一是計(jì)數(shù)單位乘以計(jì)數(shù)單位怎么算。整數(shù)的計(jì)數(shù)單位相乘可以通過“數(shù)數(shù)”的過程來理解。例如，對(duì)于“一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)，10個(gè)一是1個(gè)十”“一十一十地?cái)?shù)，10個(gè)十是1個(gè)百”“一百一百地?cái)?shù)，10個(gè)百是1個(gè)千”……教師可以繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生用算式來表示這些結(jié)論：“1 × 10 = 10”“10 × 10 = 100”“10 × 100 = 1000”……

小數(shù)、分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)單位相乘可以借助“面積模型”來理解。例如，求下列陰影部分小長(zhǎng)（正）方形的面積。

二是為什么計(jì)數(shù)單位乘以計(jì)數(shù)單位作積的計(jì)數(shù)單位，計(jì)數(shù)單位上的個(gè)數(shù)相乘作積的計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)。需要以下三節(jié)“關(guān)鍵課”來學(xué)習(xí)。

【整十?dāng)?shù)乘以整十?dāng)?shù)】

六年級(jí)同學(xué)舉行藝術(shù)隊(duì)列表演活動(dòng)，一共有30列，每列20人，參加藝術(shù)隊(duì)列表演的同學(xué)一共有多少人？

師：你會(huì)列算式嗎？（30 × 20）

師：到底有多少個(gè)人呢？逐個(gè)計(jì)數(shù)實(shí)在太麻煩，應(yīng)該怎么數(shù)呢？（以百為單位來計(jì)數(shù)）

師：在點(diǎn)子圖里圈一圈、數(shù)一數(shù)。

師：說一說你是怎么數(shù)的。

生：按10行10列為一塊，每塊有10 × 10 = 100個(gè)；30里面有3個(gè)10，一行分成3塊；20里面有2個(gè)10，一列有2塊；用3 × 2算出一共有6塊；每塊100個(gè)，所以有600個(gè)。

根據(jù)學(xué)生的回答，教師適時(shí)進(jìn)行以下板書。

【小數(shù)乘以小數(shù)】

長(zhǎng)方形玻璃的長(zhǎng)是0.3米，寬是0.2米，求長(zhǎng)方形玻璃的面積。

教師同樣也是引導(dǎo)學(xué)生將長(zhǎng)方形分割成3 × 2個(gè)邊長(zhǎng)為0.1米的小正方形，先計(jì)算一個(gè)小正方形的面積為0.1 × 0.1 = 0.01（m2），再算3 × 2 = 6（塊），最后算6 × 0.01 = 0.06（m2）。

【分?jǐn)?shù)乘以分?jǐn)?shù)】

分?jǐn)?shù)乘以分?jǐn)?shù)的教學(xué)方法與小數(shù)乘以小數(shù)相同。

通過對(duì)乘法運(yùn)算的算理、算法的重構(gòu)，教師可引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)乘法運(yùn)算在思想方法上的一致性：都要先用兩個(gè)因數(shù)的計(jì)數(shù)單位相乘得到積的計(jì)數(shù)單位，再用兩個(gè)因數(shù)各自計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相乘得到積的計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)，最后根據(jù)數(shù)的意義將積的計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)和計(jì)數(shù)單位相乘，得到最后的積。

（三）數(shù)的除法運(yùn)算的一致性

根據(jù)除法是乘法的逆運(yùn)算，很容易得出除法運(yùn)算的一致性算法：計(jì)數(shù)單位除以計(jì)數(shù)單位作商的計(jì)數(shù)單位，計(jì)數(shù)單位上的個(gè)數(shù)相除作商的計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)。但是，在實(shí)際教學(xué)中還有一些細(xì)節(jié)需要處理。

二是計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)除不盡的情況。例如，0.07 ÷ 3，計(jì)算時(shí)會(huì)出現(xiàn)7 ÷ 3除不盡的情況，這就需要在認(rèn)識(shí)小數(shù)之后學(xué)習(xí)“整數(shù)除以整數(shù)得小數(shù)”這一關(guān)鍵課。這一課可以讓學(xué)生順著有余數(shù)除法，將余數(shù)的計(jì)數(shù)單位變小接著往下除，這樣不但可以讓學(xué)生體會(huì)小數(shù)產(chǎn)生的必要性，也可以在除不盡的時(shí)候順勢(shì)引出循環(huán)小數(shù)，完善對(duì)小數(shù)的認(rèn)識(shí)。有了這些準(zhǔn)備以后，計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)除不盡的情況就可以解決了。

從一致性的角度嘗試將整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)和運(yùn)算的知識(shí)體系進(jìn)行重構(gòu)的教學(xué)，有利于學(xué)生對(duì)數(shù)的概念和運(yùn)算進(jìn)行一致性地理解，幫助學(xué)生形成結(jié)構(gòu)化的知識(shí)體系，既減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，又提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。

參考文獻(xiàn)：

［1］施寶春.重構(gòu)“分?jǐn)?shù)除法”單元? 體會(huì)除法運(yùn)算一致性［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（小學(xué)版），2023（10）.

［2］翟雪皎.踐行新課標(biāo)? 凸顯一致性：以“分?jǐn)?shù)乘除法”一課為例［J］.小學(xué)教學(xué)研究，2023（26）.