APOS 理論視角下高職高等數(shù)學(xué)概念教學(xué)研究

孫媛鳳

撫順職業(yè)技術(shù)學(xué)院（撫順師范高等?？茖W(xué)校），遼寧 撫順 113122

高等數(shù)學(xué)對(duì)學(xué)生的邏輯思維能力、創(chuàng)新創(chuàng)造能力的培養(yǎng)起著非常重要的作用[1]，為學(xué)生后續(xù)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)提供了必要的支撐。高等數(shù)學(xué)概念教學(xué)是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要環(huán)節(jié)，把APOS 理論應(yīng)用到高職高等數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，有助于解決當(dāng)前教學(xué)中存在的問題，提升課堂教學(xué)的效果。

一、高職高等數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的問題

（一）學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱

隨著近幾年國家大力發(fā)展職業(yè)教育，高職院校的招生規(guī)模持續(xù)擴(kuò)大，生源結(jié)構(gòu)也出現(xiàn)多樣化的特點(diǎn)，高職學(xué)生既有參加全國高考考入的，也有參加單獨(dú)招生考試考入的，還包括了三校生和五年制高職學(xué)生。學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)參差不齊，大都比較薄弱，數(shù)學(xué)入學(xué)成績(jī)普遍偏低，對(duì)中學(xué)階段所學(xué)的初等數(shù)學(xué)的一些基本概念和基本原理掌握得不夠扎實(shí)，所以在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)會(huì)遇到很多障礙。

（二）教學(xué)方法比較單一

在高職高等數(shù)學(xué)傳統(tǒng)教學(xué)中，仍然是以教師“滿堂灌”“一言堂”的教學(xué)方法占主導(dǎo)地位。尤其是對(duì)概念的教學(xué)，教師通過語言描述以及PPT 課件的演示來講解數(shù)學(xué)概念，學(xué)生全程被動(dòng)地聽講，始終是“受眾”群體，教學(xué)氛圍不夠活躍。在這種以教師為主體的教學(xué)模式下，學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性很難提高，學(xué)生只是被動(dòng)地接受知識(shí)，他們只知其然而不知其所以然[2]。這樣的課堂教學(xué)缺少師生互動(dòng)，教師無法了解學(xué)生對(duì)概念的理解程度，也無法培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立思考能力以及學(xué)習(xí)的積極性、主動(dòng)性和創(chuàng)造性。

（三）學(xué)生沒有好的學(xué)習(xí)習(xí)慣

絕大多數(shù)高職學(xué)生在傳統(tǒng)的教學(xué)方式下養(yǎng)成了被動(dòng)學(xué)習(xí)的習(xí)慣，學(xué)習(xí)態(tài)度不夠端正。他們對(duì)高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性認(rèn)識(shí)不足，缺乏主動(dòng)學(xué)習(xí)的動(dòng)力和興趣，不愿意主動(dòng)探索和思考數(shù)學(xué)問題。有些高職學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)存在恐懼或抵觸心理，認(rèn)為數(shù)學(xué)難學(xué)，從而對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)失去信心，形成惡性循環(huán)。學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，沒能發(fā)揮主觀能動(dòng)性，也沒有參與到發(fā)掘新知識(shí)的過程中，對(duì)知識(shí)的理解只停留在表面，這些都不利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力。

二、高職高等數(shù)學(xué)概念教學(xué)與APOS 理論

（一）高職高等數(shù)學(xué)概念教學(xué)

高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)有“三個(gè)基本”，即基本概念、基本理論和基本方法，其中基本概念是數(shù)學(xué)的基石，是學(xué)好這門課程的基礎(chǔ)[3]。我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“新的數(shù)學(xué)方法和概念，常常比解決數(shù)學(xué)問題本身更重要?！焙芏鄬W(xué)生解高數(shù)題時(shí)經(jīng)常出現(xiàn)錯(cuò)誤，其根本原因就是對(duì)相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念沒有理解透徹。學(xué)生只有真正深刻地理解了基本概念，才能更好地掌握理論和方法，從而去解決實(shí)際問題。

對(duì)于剛剛進(jìn)入大學(xué)的學(xué)生來說，高等數(shù)學(xué)與中學(xué)階段的初等數(shù)學(xué)的主要區(qū)別是，數(shù)學(xué)概念與方法是不同的，甚至是全新的。高等數(shù)學(xué)的概念基本上都是動(dòng)態(tài)的，是以運(yùn)動(dòng)的形式出現(xiàn)的，比初等數(shù)學(xué)的概念更加抽象，更不好理解。如果教師在學(xué)生建構(gòu)新概念的過程中沒有細(xì)致正確地引導(dǎo)，學(xué)生就會(huì)對(duì)概念的理解產(chǎn)生偏差，甚至是錯(cuò)誤。所以教師在課堂教學(xué)中既要研究高職學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，又要研究高等數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)特點(diǎn)，再選擇適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)形式來進(jìn)行概念教學(xué)。

傳統(tǒng)的高等數(shù)學(xué)概念教學(xué)模式是教師詳細(xì)講解概念的定義，包括關(guān)鍵術(shù)語和符號(hào)的含義，然后通過具體的例子來解釋概念的應(yīng)用，幫助學(xué)生理解概念的實(shí)際意義，再介紹與概念相關(guān)的一些定理，并展示其證明過程，以加深學(xué)生對(duì)概念的理解。這種模式的優(yōu)點(diǎn)是系統(tǒng)性強(qiáng)，能夠幫助學(xué)生建立扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。然而，也存在一些局限性，例如可能相對(duì)缺乏靈活性和互動(dòng)性，對(duì)學(xué)生的主動(dòng)性和創(chuàng)造力的培養(yǎng)相對(duì)較少。而研究發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)應(yīng)該是一個(gè)以學(xué)生為主體的主動(dòng)建構(gòu)的過程，教學(xué)方法需要結(jié)合更多的互動(dòng)、探索和實(shí)際應(yīng)用，以更好地滿足學(xué)生的學(xué)習(xí)需求[4]。

（二）APOS 理論

美國數(shù)學(xué)教育家杜賓斯基在皮亞杰的“反省抽象”理論基礎(chǔ)上提出的APOS 理論，是一種基于認(rèn)知科學(xué)和建構(gòu)主義理論的數(shù)學(xué)概念的教學(xué)模式[5]。APOS 理論認(rèn)為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時(shí)首先是要進(jìn)行心理建構(gòu)，這個(gè)建構(gòu)過程需要經(jīng)歷四個(gè)階段[6]：活動(dòng)（Action） 階段，這就是問題情境呈現(xiàn)階段，通過具體的操作和實(shí)踐活動(dòng)來體驗(yàn)和感受數(shù)學(xué)概念，從而加深對(duì)概念的理解；過程（Process） 階段，就是在經(jīng)過對(duì)“活動(dòng)”的反思之后，通過對(duì)思維的內(nèi)化和壓縮，抽象概括出數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性，在活動(dòng)中經(jīng)歷概念的形成過程，從具體到抽象，逐步構(gòu)建對(duì)概念的認(rèn)識(shí)；對(duì)象（Object） 階段，將概念作為一個(gè)具體的對(duì)象來理解和思考，認(rèn)識(shí)到概念的本質(zhì)和特征；圖式（Scheme） 階段，將概念內(nèi)化，形成自己的認(rèn)知圖式，其中包含以上三個(gè)過程，并且能夠靈活運(yùn)用概念解決問題。

APOS 理論的實(shí)質(zhì)是強(qiáng)調(diào)學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時(shí)的主動(dòng)建構(gòu)過程。它認(rèn)為學(xué)習(xí)不僅僅是知識(shí)的傳遞，更是學(xué)生通過自身的活動(dòng)和思考來構(gòu)建對(duì)概念的理解。APOS 理論為數(shù)學(xué)概念教學(xué)提供了一種動(dòng)態(tài)、積極的方法，體現(xiàn)了學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體地位，強(qiáng)調(diào)了學(xué)生的自主探索和思考，讓學(xué)生通過學(xué)習(xí)去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美[7]。

三、APOS 理論應(yīng)用于高職高等數(shù)學(xué)概念教學(xué)的必要性

（一）符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律

APOS 理論強(qiáng)調(diào)學(xué)生的認(rèn)知過程，與高職學(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)和認(rèn)知發(fā)展規(guī)律相符合。通過經(jīng)歷活動(dòng)、過程、對(duì)象和圖式四個(gè)階段，學(xué)生能夠更深入地理解和掌握數(shù)學(xué)概念。

（二）培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

APOS 理論倡導(dǎo)的多種教學(xué)方法和活動(dòng)，可以增加學(xué)習(xí)的趣味性和互動(dòng)性，激發(fā)高職學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)興趣，提高他們的參與度。該理論有助于學(xué)生從具體的活動(dòng)和實(shí)踐中逐步抽象出數(shù)學(xué)概念，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維、邏輯推理和問題解決能力，這對(duì)于他們未來的職業(yè)發(fā)展和終身學(xué)習(xí)都非常重要。

（三）增強(qiáng)概念的應(yīng)用能力

APOS 理論注重將數(shù)學(xué)概念與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合，使學(xué)生更好地理解概念的意義和價(jià)值，提高他們將概念應(yīng)用于實(shí)際問題的能力。高職教育注重培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力和職業(yè)技能，APOS 理論的應(yīng)用可以幫助學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，為其專業(yè)課程的學(xué)習(xí)和職業(yè)發(fā)展奠定基礎(chǔ)。

（四）提升課堂的教學(xué)效果

運(yùn)用APOS 理論要求教師更加關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程和體驗(yàn)，促使教師不斷探索創(chuàng)新教學(xué)方法，提高教學(xué)質(zhì)量。通過APOS 理論的引導(dǎo)，學(xué)生能夠更有效地構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)體系，加深對(duì)概念的理解和記憶，從而提升教學(xué)效果。

總之，將APOS 理論應(yīng)用于高職高等數(shù)學(xué)概念教學(xué)是必要的，可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和效果，培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)思維和應(yīng)用能力，使他們更好地適應(yīng)高職教育的培養(yǎng)目標(biāo)。

四、APOS 理論視角下高職高等數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計(jì)策略

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入概念

這是APOS 理論中的第一階段——活動(dòng)階段。APOS 理論認(rèn)為，在教學(xué)過程中教師只是教學(xué)活動(dòng)的組織者和引導(dǎo)者，而學(xué)生才是學(xué)習(xí)的主體[8]。在引入概念時(shí)，教師應(yīng)從高職學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律出發(fā)，遵循直觀性原則，創(chuàng)設(shè)出與實(shí)際問題相關(guān)的問題情境，即設(shè)置合適的“活動(dòng)”。高等數(shù)學(xué)中的很多概念都有相應(yīng)的幾何、物理、化學(xué)或經(jīng)濟(jì)背景，對(duì)于不同的數(shù)學(xué)概念應(yīng)選取相應(yīng)的背景來引入。例如極限的概念教學(xué)可以用“人在路燈下的影子變化”、劉徽的“割圓術(shù)”和《莊子天下篇》中的“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”引入；導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)可以用“變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度”“曲線切線斜率”“非恒定電流的電流強(qiáng)度”引入；微分的概念教學(xué)可以用“地板塊變形后面積的變化”和“物體自由落體運(yùn)動(dòng)的路程”引入；不定積分的概念教學(xué)可以用“剎車路程”和“由斜率求曲線方程”引入；定積分的概念教學(xué)可以用“變速直線運(yùn)動(dòng)的路程”和“曲邊梯形的面積”引入。此外，對(duì)于財(cái)經(jīng)類專業(yè)的學(xué)生，也可以引入一些經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)的相關(guān)案例。在教學(xué)活動(dòng)中，教師也可結(jié)合圖形、表格和數(shù)學(xué)軟件來引導(dǎo)學(xué)生，通過這些“活動(dòng)”讓學(xué)生了解概念的直觀背景，在親身經(jīng)歷中感受概念，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，讓學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)、獨(dú)立思考，對(duì)問題進(jìn)行整理、分析和歸納，為后面的表述概念做好充足的準(zhǔn)備。

（二）探究歸納，表述概念

這是APOS 理論中的第二階段——過程階段。學(xué)生通過“活動(dòng)”已經(jīng)對(duì)所要學(xué)習(xí)的概念有了初步的認(rèn)識(shí)，接下來就需要進(jìn)一步探究分析，表述出準(zhǔn)確的概念。學(xué)生掌握的概念通?？梢苑譃閮深悾阂活愂侨粘８拍?，另一類是科學(xué)概念?？茖W(xué)概念是在教學(xué)中系統(tǒng)地使學(xué)生在熟悉有關(guān)概念內(nèi)涵的條件下所掌握的概念。高等數(shù)學(xué)中的概念都是科學(xué)概念。這就需要教師引導(dǎo)學(xué)生把意識(shí)中的日常概念逐步提高到科學(xué)概念的水平。教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“活動(dòng)”進(jìn)行反思，概括出學(xué)習(xí)同一概念時(shí)所舉的幾個(gè)引例的共性，總結(jié)出規(guī)律，抽象出概念的本質(zhì)特征，由特殊到一般，類比分析，總結(jié)歸納，形成概念。教師在引導(dǎo)時(shí)，為了表述概念的準(zhǔn)確性和嚴(yán)謹(jǐn)性，要讓學(xué)生注意概念成立的前提條件，考慮是否需要分幾種情況來進(jìn)行描述，還要培養(yǎng)學(xué)生使用標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)語言或數(shù)學(xué)符號(hào)來表述概念。例如極限概念的表述，教師首先要引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言描述出來，再用數(shù)學(xué)符號(hào)來進(jìn)行表示，可以結(jié)合圖形，讓學(xué)生直觀感受到自變量在某種變化趨勢(shì)下函數(shù)值逼近某一常數(shù)值，進(jìn)一步抽象出極限過程[9]。在教學(xué)活動(dòng)中要充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，教師可以組織學(xué)生進(jìn)行分組討論，讓學(xué)生積極思考和交流，促進(jìn)學(xué)生的思維碰撞，加深他們對(duì)概念的理解。

（三）啟發(fā)對(duì)比，剖析概念

這是APOS 理論中的第三階段——對(duì)象階段。通過前面兩個(gè)階段的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)了概念的本質(zhì)，并給予了精確的表述，現(xiàn)在我們把數(shù)學(xué)概念上升為一個(gè)獨(dú)立的、具體的對(duì)象來處理。在教學(xué)活動(dòng)中，要引導(dǎo)學(xué)生明確概念的定義和關(guān)鍵特征，注重分析解剖數(shù)學(xué)概念中精練的語言和所使用的符號(hào)的含義，還要分析概念所適用的范圍和條件，并與其他相關(guān)概念聯(lián)系與比較，突出概念的獨(dú)特性，避免混淆，進(jìn)而深挖概念的內(nèi)涵和外延。以函數(shù)的極限概念為例，教師應(yīng)強(qiáng)調(diào)極限的關(guān)鍵特征，如趨近過程、極限值的唯一性等，對(duì)比函數(shù)的極限與數(shù)列的極限，突出函數(shù)極限中自變量的連續(xù)變化與數(shù)列極限中項(xiàng)數(shù)的離散變化的區(qū)別，介紹函數(shù)極限在微積分中的重要性，如導(dǎo)數(shù)的定義、連續(xù)性的判斷等。在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，要始終注重對(duì)數(shù)學(xué)概念的剖析，不斷進(jìn)行完善和補(bǔ)充，從而形成一個(gè)內(nèi)在統(tǒng)一的數(shù)學(xué)概念體系，進(jìn)一步培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

（四）知識(shí)建構(gòu)，應(yīng)用概念

這是APOS 理論中的第四階段——圖式階段。經(jīng)過前面三個(gè)階段的螺旋式漸進(jìn)上升學(xué)習(xí)過程，此時(shí)學(xué)生頭腦中已經(jīng)形成了完整的概念綜合心理圖式。在這個(gè)階段的教學(xué)活動(dòng)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生制作概念圖或思維導(dǎo)圖，將新概念與已有知識(shí)體系相聯(lián)系，建構(gòu)出完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。例如，在學(xué)生學(xué)習(xí)了定積分概念后，可以讓他們將極限、導(dǎo)數(shù)、積分等概念聯(lián)系起來，制作思維導(dǎo)圖，展示它們之間的關(guān)系和應(yīng)用場(chǎng)景。在訓(xùn)練學(xué)生應(yīng)用新概念時(shí)，教師要通過對(duì)一些實(shí)際案例的講解，來揭示概念在解決實(shí)際問題中的意義。例如，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)概念來分析經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型、物理運(yùn)動(dòng)問題等，讓學(xué)生可以更好地理解概念的實(shí)際意義和應(yīng)用價(jià)值。教師也可以設(shè)計(jì)一些綜合性的項(xiàng)目，要求學(xué)生分組完成任務(wù)，運(yùn)用多個(gè)概念解決實(shí)際問題。例如，讓學(xué)生設(shè)計(jì)一個(gè)實(shí)驗(yàn)來測(cè)量物體的體積，其中可能涉及積分、導(dǎo)數(shù)、幾何學(xué)等多個(gè)概念的綜合應(yīng)用。教師還可以引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)概念應(yīng)用于數(shù)學(xué)建模中，應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件解決現(xiàn)實(shí)世界中的問題。例如，利用微分方程建模來描述生態(tài)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)變化。通過以上圖式階段的教學(xué)活動(dòng)，學(xué)生能夠?qū)⑿赂拍钪饾u融入已有的知識(shí)體系中，建構(gòu)出完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，多維度掌握知識(shí)概念[10]，并在實(shí)際問題的解決中鞏固對(duì)概念的理解和運(yùn)用能力。

綜上，將APOS 理論應(yīng)用到高職高等數(shù)學(xué)概念教學(xué)，是一種創(chuàng)造性活動(dòng)，教師在教學(xué)中要把握學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理和思維狀況，引導(dǎo)學(xué)生積極參與探究分析問題，及時(shí)排除學(xué)生遇到的學(xué)習(xí)障礙，有利于提高學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣和主動(dòng)性，有助于培養(yǎng)學(xué)生的綜合素養(yǎng)和解決問題能力，為他們?cè)诟叩葦?shù)學(xué)及其他領(lǐng)域的學(xué)習(xí)和研究奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。