計及多重不確定性的規(guī)?；妱悠嚱尤肱潆娋W(wǎng)調度方法

李金鵬，馮 華，陳曉剛，章寒冰，占震濱，許銀亮

（1.清華大學深圳國際研究生院，廣東省 深圳市 518000；2.國網(wǎng)浙江省電力有限公司麗水供電公司，浙江省 麗水市 323000；3.國網(wǎng)浙江省電力有限公司，浙江省 杭州市 310027；4.國網(wǎng)浙江省電力有限公司電力科學研究院，浙江省 杭州市 310014）

0 引言

截至2023 年6 月底，中國電動汽車（EV）保有量已經(jīng)超過1 200 萬輛，大規(guī)模接入電網(wǎng)的EV 若不進行合理調度，將對電網(wǎng)安全運營帶來嚴峻挑戰(zhàn)［1］。同時，EV 作為一種具有時空和容量高度靈活性的負荷，具有很大的調節(jié)潛力，可以作為靈活性資源為配電網(wǎng)提供輔助服務并帶來安全效益，增強電力系統(tǒng)管控不確定性風險的能力。

單輛EV 調節(jié)能力有限，無法參與電力市場，EV 聚合商作為EV 與配電網(wǎng)的中間體，能夠管理EV 充放電和電力市場交易，與配電網(wǎng)進行互動［2］。通過建立EV 聚合模型，便于從整體角度分析EV 集群的可調節(jié)潛力，減少模型中的變量個數(shù)，降低模型復雜度與EV 數(shù)量的關聯(lián)［3］。EV 接入和離開充電站的時間、充電需求、滲透率日益增加的光伏/風電等可再生能源、電網(wǎng)中的非靈活性負荷等均存在著不確定性，如何處理不確定性是EV 并網(wǎng)充放電調度研究中的關鍵性問題［4］。

現(xiàn)有處理不確定性的經(jīng)典方法包括隨機優(yōu)化（SO）［5-6］、魯棒優(yōu)化（RO）［7-8］、機會約束［9-10］等。其中，SO 一般以目標函數(shù)的數(shù)學期望為目標，如文獻［11］考慮了EV 到達/離開時間、非靈活性負荷、市場價格的隨機性，最大化配電網(wǎng)和EV 聚合商利益的期望值。然而，SO 往往需要場景驅動，復雜度與場景的數(shù)量高度相關，場景過少可能導致對隨機性的刻畫不準確，場景過多則帶來很大的計算負擔。與SO 不同，RO 關注可能出現(xiàn)的最壞情況，如文獻［12］考慮隨機的可再生能源出力和負荷，通過強對偶理論和列與約束生成算法來轉化和求解兩階段RO 問題。與SO 問題相比，RO 復雜度與場景的個數(shù)關聯(lián)較低，但由于最壞的情況在實際中可能以很低的概率出現(xiàn)，這種方法可能過于保守。此外，由于SO 和RO 均未將風險系數(shù)考慮在建模中，無法直觀地管理系統(tǒng)風險。

為解決SO 和RO 方法存在的問題并平衡經(jīng)濟成本與系統(tǒng)安全，分布式魯棒機會約束（distributionally robust chance constraint，DRCC）模型受到越來越多的關注［13］。文獻［14］通過建立DRCC 模型處理了非靈活性負荷、可再生能源出力、市場價格等不確定性因素。文獻［15］采用機會約束限制電壓、功率等范圍以確保配電網(wǎng)在一定概率下安全運行。文獻［16］采用DRCC 模型對EV 的可調空間進行建模。然而，上述研究中的多個機會約束是獨立的，忽視了機會約束之間可能存在的關聯(lián)，同時在單一機會約束的風險參數(shù)選擇上具有一定主觀性，如文獻［15-16］均對每條約束取相同的風險等級。為此，有必要聯(lián)合考慮機會約束，將問題建模為分布式魯棒聯(lián)合機會約束（distributionally robust joint chance constraint，DRJCC）模型。然而，DRJCC 模型是隱式的，難以求解，經(jīng)典的Bonferroni 近似（Bonferroni approximation，BA）方法直接將聯(lián)合約束轉化為獨立約束，并根據(jù)Bonferroni 不等式預先分配獨立約束的風險等級，這可能導致模型過于保守。為降低模型保守性，文獻［17］提出最優(yōu)Bonferroni 近似（optimized Bonferroni approximation，OBA）方法用于近似機會約束問題，這種方法在滿足Bonferroni不等式的前提下將獨立約束的風險等級也視為變量進行優(yōu)化，可以降低模型的保守性。進一步地，文獻［18］將OBA 方法求解DRJCC 問題應用到考慮不確定性的潮流問題中，提出了基于多項式展開近似、連續(xù)凸近似等方法，并對比了不同近似方法的表現(xiàn)。盡管對采用OBA 方法求解的DRJCC 模型已有了初步的研究，但其應用在大規(guī)模EV 接入配電網(wǎng)的調度研究中尚且罕見。為此，本文在大規(guī)模EV 接入配電網(wǎng)的調度問題中建立了DRJCC 模型，聯(lián)合考慮了節(jié)點電壓、線路功率、備用需求，并采用OBA 的方法求解。與相關研究相比，本文的主要貢獻如下:

1）為高效處理多重隨機性下EV 接入配電網(wǎng)的調度問題，建立了DRJCC 模型，算例表明所提模型緩解了SO 模型求解時間長［19］、RO 的模型過于保守等問題［20］。

2）為處理難以求解的聯(lián)合機會約束模型，提出一種OBA 方法，將風險等級也視為決策變量，將問題轉化成混合整數(shù)二次規(guī)劃模型，降低了模型的保守性，與預先確定風險等級的方法［14-16］相比，在滿足可靠度要求的前提下降低約6.5%的成本。

3）所提模型將節(jié)點電壓、支路功率、備用需求等綜合考慮作為聯(lián)合機會約束建模，能夠通過設定系統(tǒng)整體風險等級參數(shù)以直觀管理系統(tǒng)風險，并便于平衡系統(tǒng)運營成本和可靠度。

1 EV 接入配電網(wǎng)的DRJCC 模型

本文考慮的多重不確定性包含除EV 充電負荷外的凈負荷的不確定性和EV 負荷的不確定性兩個維度，凈負荷和充電負荷的不確定性分別影響配電網(wǎng)和充電站的備用需求。將不確定性分為凈負荷和充電負荷兩類考慮的原因主要有:凈負荷與EV 負荷可能具有不同的分布特性，分開建模便于對概率分布進行擬合；配電網(wǎng)和EV 充電站屬于不同主體，分開建模能夠使風險等級的物理意義更為明確，例如，配電網(wǎng)側電壓/功率越限風險、配電網(wǎng)側備用不足風險、充電站側備用不足風險等。

1.1 目標函數(shù)

目標函數(shù)如式（1）所示，為最小化充電站與配電網(wǎng)的總成本，包括從上級電網(wǎng)購買電能和備用的成本、配電網(wǎng)所轄分布式發(fā)電機組的發(fā)電和備用成本、充電站的充電成本和向EV 用戶支付的放電補貼成本。

1.2 EV 聚合能量可行域約束

2）EV 能量約束

式中:Ei，t為t時刻節(jié)點i處EV 的能量；分別為節(jié)點i處EV 的充、放電效率；Δt為時間間隔；底標“-”表示對應變量的下限。

3）能量可行域的上下限

4）充電樁聚合的功率與能量約束

關于聚合的具體過程詳見附錄A。

1.3 配電網(wǎng)潮流約束

1）節(jié)點注入的有功、無功功率

2）支路上的有功、無功功率

式中:Vi，t、θi，t分別為t時刻節(jié)點i處電壓幅值、相角。

3）從上級電網(wǎng)購電的容量約束

4）削峰約束

式中:B為所有節(jié)點集合；Mp為調度前負荷的峰值；β為削峰百分比。電壓、功率的幅值約束在1.5 節(jié)中寫為聯(lián)合機會約束的形式。

1.4 備用市場約束

1）從上級電網(wǎng)購買和從發(fā)電機組發(fā)出的備用約束

2）備用的供需平衡約束

1.5 聯(lián)合機會約束

節(jié)點電壓、支路功率、備用需求的聯(lián)合機會約束如式（19）所示。

式中:Ut、Vt分別為t時刻凈負荷和充電需求總偏差的隨機變量；ΔVi，t、ΔPij，t、ΔQij，t分別為t時刻節(jié)點i電壓、支路ij有功功率和無功功率的偏差。式（19）意味著在t時刻由凈負荷和充電負荷不確定性引起的備用需求和電壓、功率的波動需要被同時以不低于1-?t的概率聯(lián)合滿足，其中，?t為t時刻系統(tǒng)整體的風險等級。

2 DRJCC 模型求解

2.1 隨機變量概率分布的擬合

由式（8）—式（11）可得如式（20）所示矩陣形式，其中下標0 表示與上級電網(wǎng)相連的參考節(jié)點，下標c表示除參考節(jié)點以外的節(jié)點，有N-1 個。

式中:Pc，t、Qc，t、θc，t、Vc，t分別為節(jié)點c的有功、無功功率注入、電壓相角、電壓幅值的向量；BE=其中，B1，c和B2，c分別為B1和B2去除第1 行和第1 列的子矩陣；B1，0和B2，0分別為由B1和B2第1 列的第2 至第N個元素構成的向量；V0、θ0分別為參考節(jié)點的電壓幅值和相角。

由式（20）可知，凈負荷帶來的誤差導致電壓幅值和相角的變化可以表示為:

式中:ξPl，nett為凈負荷的誤差；Δ 表示對應變量的變化量。

由式（21）知，電壓幅值的靈敏度可寫為節(jié)點凈負荷變化的線性函數(shù)，即ΔVc，t=LV(ξPtl，net)。線路的有功和無功潮流變化為:

式中:Lij為長度為N的行向量，其中第i個元素為1，第j個元素為-1，其他元素為0；LP(·)、LQ(·)分別為有功和無功功率的靈敏度線性函數(shù)［21］。

Ut為t時刻系統(tǒng)除充電需求以外的凈負荷的偏差值，可由光伏、風電出力和凈負荷的偏差值疊加得到，Vt為t時刻充電需求的偏差值，可以通過對所有充電站t時刻下充電需求的偏差值［22］求和得到，由于Ut和Vt是解耦的，無須建立Ut和Vt的聯(lián)合概率分布模型。

優(yōu)化模型的求解中，需要已知ΔVi，t、ΔPij，t、ΔQij，t、Ut、Vt等隨機變量概率分布的離散值，由于上述變量是通過隨機變量ξx變換得到的，且這些變換是線性、離散、一對一的，可以先通過對ξx的歷史數(shù)據(jù)進行對應的變換，生成ΔVi，t、ΔPij，t、ΔQij，t、Ut、Vt的數(shù)據(jù)樣本，再通過高斯混合模型（Gaussian mixed model，GMM）擬合上述隨機變量，其通式可表示為［23］:

由于聯(lián)合機會約束式（19）是隱式的，上述模型難以求解。因此，提出基于BA 和OBA 方法的兩個模型以求解上述問題。

2.2 基于BA 方法的模型求解

BA 方法將聯(lián)合機會約束式（19）轉化為獨立約束式（25）—式（31）以便求解。其中，獨立約束的風險等級?i，t滿足Bonferroni 不等式，即般地，令各個風險等級相等，如式（32）所示，其中，n為式（19）中機會約束的個數(shù)。

式（19）與式（25）—式（32）的等價關系證明見附錄B。 式（25）— 式（31）可轉化為式（33）—式（39）。

至此，聯(lián)合機會約束被轉化成獨立的線性約束，模型變?yōu)榭山獾耐箚栴}。基于BA 方法求解的DRJCC 模型（下文簡稱BA 模型）的緊湊形式為:

2.3 基于OBA 方法近似的模型求解

上述BA 模型雖然能夠給出聯(lián)合機會約束的線性轉換形式，但由于預先確定風險系數(shù)?i，t，導致模型過于保守。與BA 模型預先確定風險系數(shù)不同，提出一種基于OBA 方法的模型，將風險系數(shù)也視為決策變量，以減少模型的保守性。引入二元變量滿足式（41），K為控制精度的參數(shù)，式（42）為Bonferroni 不等式，對應BA 模型中的式（32）。

式（43）為電壓機會約束的轉化形式，對應式（33）。

類似地，式（44）和式（45）為有功和無功功率的機會約束轉化形式，分別對應式（34）和式（35）。

式（46）為應對凈負荷隨機性的向上備用機會約束轉化形式，對應式（28）。

與上述證明過程類似，式（47）對應式（29）、式（48）對應式（30）、式（49）對應式（31）。

至此，聯(lián)合機會約束被轉化為獨立的混合整數(shù)線性約束，可用商業(yè)求解器求解?；贠BA 方法求解的DRJCC 模型（下文簡稱OBA 模型）的緊湊形式見式（50），式（50）所示是混合整數(shù)二次規(guī)劃問題，可以通過常見的商業(yè)求解器求解。

式中:X表示與BA 模型相同的決策變量，另須注意OBA 模型中需要優(yōu)化的變量還包括風險等級?i，t。

3 算例分析

本章首先在修改的IEEE 33 節(jié)點系統(tǒng)上驗證了所提模型的有效性，進而在修改的IEEE 123 節(jié)點系統(tǒng)上驗證了所提模型對更大系統(tǒng)和更多EV 接入的可擴展性。下述算例均是在帶有i5-12500 處理器和8 GB 內存的個人電腦上進行的，算法采用MATLAB 的YALMIP 工具箱構建，采用商業(yè)求解器Gurobi 10.0 求解。模型參數(shù)見附錄C。

3.1 IEEE 33 節(jié)點系統(tǒng)驗證結果

本節(jié)研究的IEEE 33 節(jié)點配電系統(tǒng)轄有3 個分布式發(fā)電機組、1 座光伏發(fā)電站和1 座風力發(fā)電站，有2 089 輛EV 通過4 個充電站接入配電網(wǎng)。具體的連接方式與網(wǎng)絡結構見附錄D 圖D1。隨機變量Ut、Vt的分布和GMM 擬合結果如圖1 所示，可見GMM能夠精準地擬合隨機變量的分布。

圖1 隨機變量的分布和GMM 擬合結果
Fig.1 Distribution and GMM fitting results of random variables

3.1.1 所提模型對經(jīng)濟性和可靠度的平衡

將所提模型與經(jīng)典的SO［24］和RO［25］進行對比，以驗證模型平衡成本與系統(tǒng)風險的能力。其中，SO模型采用的是場景驅動的SO 模型，最小化多個場景中的期望成本，RO 模型中隨機變量的不確定集與所提模型采用的不確定集相同。表1 給出了不同模型的運營成本、可靠度、求解時間等信息，其中，風險等級通過20 次獨立的蒙特卡洛模擬得到，每次蒙特卡洛模擬均生成1 000 個場景，可靠度Re定義為這些場景下聯(lián)合機會約束式（19）被滿足的概率，表1 中列出了20 次蒙特卡洛模擬可靠度的均值Re，avg、最小值Re，min、最大值Re，max。

表1 不同模型的成本、可靠度和求解時間（?t=0.05）Table 1 Cost, reliability and solving time of different models with ?t=0.05

由表1 結果可知，SO 模型的成本最低，但其可靠度無法滿足95%的要求，且求解時間最長。RO模型的可靠度最高，但過于保守，可靠度顯著高于要求值。相比RO 和SO，所提BA 模型和OBA 模型能夠更好地平衡成本和可靠度。另外，所提模型能夠通過調整參數(shù)?t控制整體風險，在實際應用時具有更大的靈活性。圖2 展示了調整參數(shù)?t對模型的成本和可靠度的影響。

圖2 不同預設風險等級?t 下模型的成本和可靠度Fig.2 Cost and reliability of models with different preset risk level ?t

圖2 結果表明，當預設風險等級較低時，與BA模型相比，OBA 模型能夠進一步降低保守性，同時滿足可靠度要求；當預設風險等級較高時，OBA 模型成本降低更加明顯。這是由于OBA 模型將風險等級也視為決策變量進行優(yōu)化，使得模型靈活度更高，能夠以更為經(jīng)濟的方式滿足可靠度的要求。

圖3 展示了OBA 模型和BA 模型的備用結果，對比可知兩個模型的總備用容量并沒有顯著差距，但備用的分配卻有較大差異，這表明OBA 模型能夠充分利用電價的時間差異性、隨機變量的分布特性、多個約束之間的成本和可靠度的敏感性差異等作出更合理的決策。更為具體的討論可參考附錄E。

圖3 OBA 模型和BA 模型求解得到的備用結果Fig.3 Reserve results solved by OBA and BA models

3.1.2 所提模型的充電曲線優(yōu)化和負荷削減能力

圖4 展示了連接在節(jié)點22 的充電站采用所提的BA 和OBA 模型與即來即充模型的能量可行域以及相應的充電曲線。從圖中可以看出，即來即充曲線與能量可行域上界幾乎重合，然而由于上界考慮了放電的可能性，比即來即充策略的范圍更大。同時，BA 和OBA 模型的充電曲線十分相近，這是由于BA 和OBA 模型的區(qū)別在于備用分配和電壓、功率流的約束上下限不同，因而會影響發(fā)電機組的策略，進而影響充電策略，但這一影響較小。與即來即充策略相比，OBA 與BA 模型的充電策略在中午和晚上的高峰電價時期充電曲線更為平緩，甚至出現(xiàn)放電的現(xiàn)象以獲取額外的收益。在24:00 時刻處，可行域邊界、3 個模型的充電曲線均收斂至同一位置，表明所提模型的聚合過程能夠保證結果滿足充電需求。

圖4 OBA、BA 和即來即充模型的充電曲線Fig.4 Charging energy curves of OBA, BA and immediate charging models

對式（13）中的調峰參數(shù)β進行敏感性分析，結果見圖5?？梢娝崮Ｐ湍軌蚶肊V 集群的靈活性滿足不同的調峰需求，同時能夠避免峰值電價時段的高峰負荷以降低成本。

圖5 不同削峰深度得到的總負荷曲線Fig.5 Total load curves obtained under different peak-shaving depth

3.2 IEEE 123 節(jié)點系統(tǒng)驗證結果

本節(jié)研究的IEEE 123 節(jié)點配電系統(tǒng)轄有9 個分布式發(fā)電機組、3 座光伏發(fā)電站和3 座風力發(fā)電站，有4 404 輛EV 通過10 個充電站接入配電網(wǎng)。具體的連接方式與網(wǎng)絡結構見附錄D 圖D2。

表2 列出了不同模型在IEEE 123 節(jié)點系統(tǒng)上的成本、可靠度和計算時間，其結果特征與表1 一致，表明盡管系統(tǒng)規(guī)模增長，所提模型仍能夠較好地平衡成本和可靠度。對比表1 與表2 的模型求解時間可知，相較SO 模型，所提BA 和OBA 模型求解時間增長均較為平緩，表明所提模型對更大電力系統(tǒng)具有良好可擴展性。

表2 IEEE 123 節(jié)點系統(tǒng)上不同模型的成本、可靠度和求解時間（?t=0.05）Table 2 Cost, reliability and solving time of different models with ?t=0.05 on IEEE 123-bus system

表3 列出了模型在不同數(shù)量的EV 接入后的表現(xiàn)，結果表明計算時間隨EV 數(shù)量增加較為緩慢，驗證了模型對EV 數(shù)量有良好的可擴展性以及應對大規(guī)模EV 接入的潛力。

表3 IEEE 123 節(jié)點系統(tǒng)上不同數(shù)量EV 的結果Table 3 Results for different numbers of EVs on IEEE 123-bus system

4 結語

本文將考慮輔助市場的EV-配電網(wǎng)充放電調度問題建模為DRJCC 模型，以平衡運營成本和可靠性并克服經(jīng)典SO 和RO 的缺點。然后，基于OBA 方法，將無法求解的聯(lián)合機會約束轉化為混合整數(shù)二次規(guī)劃模型求解，與BA 方法不同的是，風險等級也被視為決策變量進行優(yōu)化，降低了模型的保守性。最后，通過算例驗證了模型平衡成本和風險的有效性、對EV 數(shù)量和更大電力系統(tǒng)的可擴展性。

本文研究未考慮擬合得到的隨機變量概率分布與真實分布之間可能存在的偏差。未來，將進一步研究基于模糊概率分布的分布式魯棒優(yōu)化模型，并增加對光伏、風電、負荷、EV 充電行為等多維不確定因素之間的相關性研究。

附錄見本刊網(wǎng)絡版（http：//www.aeps-info.com/aeps/ch/index.aspx），掃英文摘要后二維碼可以閱讀網(wǎng)絡全文。