建構(gòu)之本 始于關(guān)聯(lián)
——以“二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)”單元教學(xué)為例

周海東，蔣妍兮

（江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)星洋學(xué)校；西安交通大學(xué)附屬蘇州初級中學(xué)）

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力，以及情感、態(tài)度和價值觀的綜合體現(xiàn).傳統(tǒng)的課時教學(xué)比較關(guān)注基礎(chǔ)知識、基本技能的習(xí)得，這種碎片化的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式有利于夯實基礎(chǔ)，熟練技能，但卻無法將知識蘊含的數(shù)學(xué)本質(zhì)表述清楚，更無法體現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).開展基于發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)，教師需要以教材為基礎(chǔ)，用系統(tǒng)論的方法對教材中具有某種內(nèi)在關(guān)聯(lián)的內(nèi)容進行分析、重組、整合，形成相對完整的教學(xué)單元，在整體觀的指導(dǎo)下將教學(xué)諸要素有序規(guī)劃.這樣就能讓學(xué)生在關(guān)注知識技能的同時，思考知識技能所蘊含的數(shù)學(xué)本質(zhì)，體悟知識中蘊含的數(shù)學(xué)思想，從而促進學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展，達到學(xué)科育人的目的.本文以蘇科版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》九年級下冊“二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)”這一內(nèi)容為例，基于系統(tǒng)分析的視角，從發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目標出發(fā)，把握教材內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián)，對教學(xué)內(nèi)容進行重新建構(gòu)，進行單元教學(xué)設(shè)計.現(xiàn)將本節(jié)課的建構(gòu)過程進行呈現(xiàn)，以期為培養(yǎng)初中學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的研究提供借鑒.

一、教學(xué)內(nèi)容分析：用系統(tǒng)的觀點建構(gòu)課堂教學(xué)體系

系統(tǒng)的觀點也就是整體的觀點、聯(lián)系的觀點，即要素與要素、要素與相關(guān)要素、要素與環(huán)境之間的關(guān)系.運用系統(tǒng)的觀點分析二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)：要素是二次函數(shù)表達式的系數(shù)和函數(shù)的圖象；相關(guān)要素是自變量與函數(shù)值之間的關(guān)聯(lián)，二次函數(shù)表達式之間的關(guān)聯(lián)，以及它們所對應(yīng)的圖象之間的關(guān)聯(lián)；環(huán)境是教學(xué)目標的定位、教學(xué)策略的選擇，以及學(xué)生已有經(jīng)驗之間的關(guān)聯(lián).從宏觀視角來看，二次函數(shù)是學(xué)生在初中階段學(xué)習(xí)的最后一個代數(shù)函數(shù)，是描述現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，其內(nèi)容蘊含“變化與對應(yīng)”的函數(shù)思想.從中觀視角來看，用運動變化的觀點，采用從特殊到一般的路徑、數(shù)形結(jié)合的方法探索二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象和性質(zhì)是二次函數(shù)的核心內(nèi)容，也是應(yīng)用二次函數(shù)知識解決相關(guān)問題的基礎(chǔ).從微觀視角來看，教材安排了4個課時，分別研究y=x2及y= -x2，y=ax2，y=ax2+c及y=a(x+h)2，y=ax2+bx+c的圖象及它們之間的關(guān)系，但這四個具體內(nèi)容在研究方法、研究路徑、圖象與性質(zhì)方面又具有一致性，這樣我們就能從系統(tǒng)的觀點來建構(gòu)本節(jié)課的教學(xué)體系（如圖1）.

圖1 “二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)”教學(xué)體系

二、教學(xué)結(jié)構(gòu)分析：用區(qū)塊鏈的結(jié)構(gòu)形成學(xué)習(xí)路徑

從哲學(xué)的視角來看，特殊與一般既對立又統(tǒng)一.一般包含了特殊，比特殊更能反映事物的本質(zhì)；而與一般相比，特殊往往顯得簡單和容易，直觀和具體.因此，從內(nèi)在結(jié)構(gòu)來看，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與y=x2，y=x2+ 1，y=(x+1)2圖象之間體現(xiàn)了這種辯證關(guān)系.而具體到某個特殊的函數(shù)，對其圖象與性質(zhì)的研究又是一個相互獨立的系統(tǒng).同時，某個具體函數(shù)的圖象與性質(zhì)的研究方法和路徑又可以沿用到其他具體的函數(shù)，就像科技領(lǐng)域的區(qū)塊鏈技術(shù)，其研究過程既相互獨立又有內(nèi)在關(guān)聯(lián)，在每個獨立的探索過程中都能形成封閉的研究路徑，積累的基本活動經(jīng)驗相互關(guān)聯(lián)，逐步推進學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的提升，從而有利于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成.因此，我們用區(qū)塊鏈的結(jié)構(gòu)形成了如圖2所示的學(xué)習(xí)路徑.

圖2

三、教學(xué)過程分析：用數(shù)形結(jié)合的方法探索函數(shù)的性質(zhì)

圖象研究的是圖形的結(jié)構(gòu)特征，性質(zhì)描述的是數(shù)量間的變化規(guī)律.二次函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要模型，它的變化特征反映了它所刻畫的客觀世界變化規(guī)律的特征.因此，本節(jié)課的教學(xué)過程緊扣“數(shù)”與“形”，用數(shù)形結(jié)合的方法探索二次函數(shù)的性質(zhì).下面呈現(xiàn)探索過程片斷.

活動：探索函數(shù)y=x2的圖象和性質(zhì).

問題1：觀察表達式，變量x，y的取值有何要求？兩個變量之間有怎樣的變化規(guī)律？

問題2：你能猜想一下函數(shù)y=x2的圖象有什么特征嗎？

【教學(xué)說明】研究函數(shù)的性質(zhì)時，我們往往習(xí)慣于從圖象出發(fā)，直觀地感受其中的變化規(guī)律，卻忽略了表達式的重要性.描述一個函數(shù)，可以利用表達式、表格及圖象三種方式來呈現(xiàn)，且從這三種表達方式都可以看出函數(shù)的性質(zhì).從“數(shù)”出發(fā)想象圖形的特征，是一個“從數(shù)到點再到形”的過程，有利于學(xué)生形成對圖象特征的構(gòu)建，從整體上對圖象的分布和形態(tài)有一個較為清晰的認識，也為接下來的描點作圖指明了方向.

師：通過對表達式的分析，我們腦海中對函數(shù)y=x2的圖象有了一個大概印象.函數(shù)y=x2的圖象分布在x軸及其上方，關(guān)于y軸對稱，過原點且原點為最低點，圖象從左到右呈現(xiàn)了先下降再上升的趨勢.但是符合這些特征的圖象有很多，光“想”可能還不夠，應(yīng)該怎么辦呢？

學(xué)生回答畫出圖形.

師：回憶之前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，你能試著畫出函數(shù)y=x2的圖象嗎？

操作：學(xué)生在透明紙上按下列步驟畫出函數(shù)y=x2的圖象：①列表（如表1）；②描點（如圖3）；③連線.

表1

圖3

討論：圖4 和圖5 都符合對函數(shù)y=x2的圖象的猜想，哪種連線方式能反映圖象的特征呢？

圖4

圖5

操作：利用幾何畫板軟件改變點的密集程度和點的個數(shù)，得圖6，再制作一個動點，使得其縱坐標是橫坐標的平方，追蹤這個動點，觀察它經(jīng)過的路線所形成的圖形，如圖7所示.

圖6

圖7

【教學(xué)說明】學(xué)生對二次函數(shù)圖象的認識是一個從模糊到清晰最后走向理性的過程.由于畫圖的局限性，學(xué)生在經(jīng)歷了猜想、描點、連線的過程后，能夠大致感知圖象的特征，但還是無法準確把握圖象的形狀.“由數(shù)想形”無法看到全貌，“描點畫圖”無法合理解釋圖象的連續(xù)性.因此，這里借助信息技術(shù)，通過兩個層次的實驗來解決圖形的直觀性和連續(xù)性問題，從而讓學(xué)生真正理解函數(shù)y=x2的圖象.第一個實驗是通過“點加密”來直觀觀察y=x2的圖象，隨著點的數(shù)量的增加，學(xué)生能逐步看清楚圖象的形狀；第二個實驗是通過“點運動”來解釋圖象的連續(xù)性.

四、教學(xué)價值審視：在高觀點下實現(xiàn)思維的生長統(tǒng)一

函數(shù)的性質(zhì)其實就是變量在變化過程中所表現(xiàn)出的一種對應(yīng)，這種對應(yīng)可以被表征為一種“不變性”，而圖象就是外顯這種不變性的重要工具.回顧函數(shù)的發(fā)展歷史，無論是萊布尼茨從變量的觀點提出函數(shù)，還是康托爾提出集合、映射的觀點，數(shù)學(xué)家們始終在努力尋找這種變化中的對應(yīng).如果能確定變化過程中的不變性，便能對變量的“前世”“今生”“未來”進行確定把握.從“數(shù)”的角度無法準確把握的性質(zhì)，可以通過“形”來表征，對“形”的認識可以從對“點”的研究來找到.同時，借助“形”又可以認識“數(shù)”的規(guī)律，這也是研究函數(shù)圖象與性質(zhì)的一般路徑.從學(xué)科教學(xué)價值的視角來審視課堂，相對知識技能而言，教學(xué)更應(yīng)該重視這種思想方法的滲透.這里對每一個具體函數(shù)（y=x2，y=x2+ 1，y= (x+1)2）的學(xué)習(xí)都用如圖8 所示的研究路徑去統(tǒng)一，讓學(xué)生在對具體函數(shù)研究的基礎(chǔ)上用高觀點來形成認識上的統(tǒng)一，進行更高層次的抽象，實現(xiàn)高階思維的生長.

圖8

德國數(shù)學(xué)家F.克萊因認為，基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的教師應(yīng)該站在更高的視角來審視、理解初等數(shù)學(xué)問題，只有觀點高了，事物才能顯得明了而簡單.其實，不僅教師的教如此，學(xué)生的學(xué)也是如此.數(shù)學(xué)教學(xué)的終極目標是讓學(xué)生理解或掌握研究數(shù)學(xué)的方法，幫助學(xué)生建立學(xué)科觀念和學(xué)科思維.因此，在進行單元教學(xué)時，教師只有對教材內(nèi)容結(jié)構(gòu)有一個系統(tǒng)的、整體的把握，才能在教學(xué)設(shè)計中實現(xiàn)知識結(jié)構(gòu)的關(guān)聯(lián)，才能使學(xué)生學(xué)到結(jié)構(gòu)化、聯(lián)系緊密、遷移能力強的知識；只有把知識置于歷史、當(dāng)下和未來的生活中，用聯(lián)系的、發(fā)展的思維去認識、理解、把握、體驗、應(yīng)用，才能讓學(xué)生理解、接受、掌握知識的數(shù)學(xué)本質(zhì)，真正把握知識的脈絡(luò).

教學(xué)價值是教學(xué)設(shè)計的靈魂.核心素養(yǎng)是當(dāng)前基礎(chǔ)教育的育人目標和方向.我們對單元教學(xué)的認識可能還不夠清晰，對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的理解可能還有所欠缺，但我們堅信，這樣的教學(xué)實踐在學(xué)生學(xué)科關(guān)鍵能力的生成，思維習(xí)慣的培養(yǎng)，以及情感、態(tài)度和價值觀的形成方面一定能發(fā)揮獨特的作用.