廣泛聯(lián)想 多解探究
——對一道“華數(shù)之星”試題的解法探究及思考

陸祥雪

（江蘇省泰州中學(xué)附屬初級中學(xué)）

解題的核心是把待解決的問題與自己已有的知識經(jīng)驗，尤其是解決類似問題的經(jīng)驗聯(lián)系起來，進(jìn)而找到解決問題的思路與方法.解題思路的探尋有三個基本環(huán)節(jié)：一是觀察，即審題，解決任何問題都離不開已知的條件與事實；二是聯(lián)想，包括激活與重組，創(chuàng)新、創(chuàng)造離不開繼承，任何問題的解決都要建立在相關(guān)知識與經(jīng)驗的基礎(chǔ)上；三是預(yù)見，包括猜想與轉(zhuǎn)化.聯(lián)想指由眼前所感知的信息，激活大腦中存儲的相關(guān)信息，創(chuàng)造性地提出新的信息組合的思想活動過程.聯(lián)想既是重組信息、用好信息的關(guān)鍵，也是形成直覺、產(chǎn)生預(yù)見的關(guān)鍵，這表明了聯(lián)想在化歸中的作用.而解題的實質(zhì)就是一個不斷化歸的過程.從不同的角度觀察，形成廣泛的聯(lián)想，可以得到多種解決問題的方法.

本文以某次“華數(shù)之星”青少年數(shù)學(xué)大會數(shù)學(xué)水平測試中的一道四級試題為例，從待求結(jié)論、已知條件、圖形特征等方面入手進(jìn)行廣泛聯(lián)想，形成多種解法，以充分體現(xiàn)聯(lián)想思維在數(shù)學(xué)解題中的重要作用.

一、題目呈現(xiàn)

題目如圖1，在△ABC中，∠A=60°，∠ABC=80°，點(diǎn)I為△ABC的內(nèi)心，連接BI，CI.求證：CI=AB.

圖1

由已知，可得下列結(jié)論：①∠ACB=40°；②∠ABI=∠CBI= 40°；③∠ACI= ∠BCI= 20°；④∠BIC= 120°.（以上結(jié)論在下面的證明中可以直接應(yīng)用.）

二、廣泛聯(lián)想

聯(lián)想1：三角形中邊與角之間的關(guān)系.

題目給出的條件都是關(guān)于角的，但結(jié)論是要證明邊相等.解決問題的方法是將條件與結(jié)論聯(lián)系起來，于是思考三角形中邊與角之間的關(guān)系是解題的首選方案.在初中所學(xué)的知識范圍內(nèi)，學(xué)生容易想到直角三角形邊角之間的關(guān)系.運(yùn)用差異分析法，發(fā)現(xiàn)需要作垂線來構(gòu)造直角三角形.于是得到解法1.

解法1：如圖2，過點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作CE⊥BI，交BI的延長線于點(diǎn)E.

圖2

在Rt△ABF中，

因為∠CIE=∠IBC+∠ICB，所以∠CIE=60°.

在Rt△ICE中，

因為在Rt△BCF中，BF=BCsin∠FCB=BCsin 40°，

在Rt△BCE中，CE=BCsin∠EBC=BCsin 40°，

所以BF=CE.

所以AB=CI.

事實上，若運(yùn)用高中階段的正弦定理解此題，會更加便捷，但是此知識不在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》要求的范圍內(nèi)，故在此不作介紹，讀者可自行嘗試.

初中階段證明線段相等的方法比較多，常用的有三角形全等、等角對等邊、平行四邊形的性質(zhì)、圓中兩條弧與弦之間的關(guān)系等.

聯(lián)想2：構(gòu)造全等三角形.

若想通過三角形全等證明CI=AB，則需要尋找分別包含CI和AB的兩個三角形全等.圖中現(xiàn)有的△ICB和△ABC并不全等，故可以考慮構(gòu)造分別含有CI，AB的全等三角形.以當(dāng)前已知的△ICB或△ABC為基礎(chǔ)進(jìn)行構(gòu)造是考慮之一，相當(dāng)于將其中一個三角形剪貼到另一個三角形的位置，剪貼時將相等的邊重合或相等的角重合，這樣考慮構(gòu)造的方向比較明確.具體而言，要證IC=AB，可以考慮以IC為一邊構(gòu)造三角形與△ABC全等.

分別將點(diǎn)A與點(diǎn)I、點(diǎn)B與點(diǎn)C對應(yīng)，在IC上方構(gòu)造三角形與△ABC全等，可得解法2.

解法2：如圖3，過點(diǎn)C作BA的平行線，交BI的延長線于點(diǎn)D，可得∠D= ∠ACB，∠DIC= ∠A，CD=CB.即可得△IDC≌△ACB.所以IC=AB.

圖3

分別將點(diǎn)A與點(diǎn)I、點(diǎn)B與點(diǎn)C對應(yīng)，在IC下方構(gòu)造三角形與△ABC全等（實際上是將圖3中的△ICD沿IC翻折而成），可得解法3.

解法3：如圖4，以BC為邊在BC下方作等邊三角形BCD，連接ID，可得B，D，C，I四點(diǎn)共圓.所以∠DIC= ∠DBC= ∠A= 60°.因為∠DCI= ∠ABC= 80°，CD=BC，所以△IDC≌△ACB.所以CI=AB.

圖4

分別將點(diǎn)A與點(diǎn)C、點(diǎn)B與點(diǎn)I對應(yīng)，在IC下方構(gòu)造三角形與△ABC全等，可得解法4.

解法4：如圖5，分別過點(diǎn)C和點(diǎn)I作直線IB，AB的平行線，交于點(diǎn)D，ID與BC交于點(diǎn)M，可得∠DIC=∠ABC，∠DCI= ∠A，ID=BC.所以△IDC≌△BCA.所以IC=AB.

圖5

同理，可以以AB為邊構(gòu)造三角形與△IBC全等.

分別將點(diǎn)A與點(diǎn)I、點(diǎn)B與點(diǎn)C對應(yīng)，在AB左側(cè)構(gòu)造三角形與△IBC全等，可得解法5.

解法5：如圖6，以點(diǎn)B為頂點(diǎn)在△ABC外作∠ABD=20°，交CA的延長線于點(diǎn)D，可得∠BCI=∠ABD，∠IBC=∠D，BC=BD.所以△ICB≌△ABD.所以IC=AB.

圖6

分別將點(diǎn)A與點(diǎn)I、點(diǎn)B與點(diǎn)C對應(yīng)，在AB的右側(cè)構(gòu)造三角形與△IBC全等，可得解法6.

解法6：如圖7，作∠ABI的平分線交△ABC的外接圓于點(diǎn)D，連接CD，AD，可證得△BCD是等邊三角形.所以BC=BD.又因為∠IBC= ∠ADB，∠ICB=∠ABD，所以△ICB≌△ABD.所以IC=AB.

圖7

根據(jù)∠A=60°，∠BIC=120°，聯(lián)想到∠BIC的外角與∠A相等，考慮到要證明IC=AB，故作垂線構(gòu)造全等三角形，可得解法7.

解法7：如圖8，過點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作CE⊥BI，交BI的延長線于點(diǎn)E，可以證得△CBE≌△BCF.所以CE=BF.因為∠CIE= ∠A= 60°，所以△ICE≌△ABF.所以IC=AB.

圖8

聯(lián)想3：利用60°角構(gòu)造等邊三角形，轉(zhuǎn)化線段證明全等.

在要證明的相等線段所在的三角形不全等的情況下，可以考慮先等量代換，再證明三角形全等.由60°角聯(lián)想到等邊三角形，從而轉(zhuǎn)化線段.由∠A=60°及∠BIC的鄰補(bǔ)角等于60°，可得解法8和解法9.

解法8（轉(zhuǎn)化AB）：如圖9，在AC上截取AD=AB，連接BD，則△ABD是等邊三角形.所以∠BIC=∠BDC=120°，∠ICB=∠DBC.又因為BC=CB，所以△ICB≌△DBC.所以IC=BD.所以IC=AB.

圖9

解法9（轉(zhuǎn)化IC）：如圖10，延長BI到點(diǎn)D，使ID=IC，連接CD，則可得△ICD是等邊三角形.所以∠D=60°，∠BCD=80°.所以∠D=∠A，∠BCD=∠ABC.又因為BC=CB，所以△DBC≌△ACB.所以DC=AB.所以IC=AB.

圖10

聯(lián)想4：平移匯聚轉(zhuǎn)化.

由于AB，IC，∠A，∠BIC的位置比較分散，聯(lián)想到通過幾何變換可以使分散的線段、角集中，故考慮利用平移將線段AB，IC匯聚到一起，可得解法10.

解法10：如圖11，分別過點(diǎn)B，C作AC，AB的平行線交于點(diǎn)D，則四邊形ABDC為平行四邊形.在BD上截取BE=BI，連接CE.可證得△EBC≌△IBC.所以EC=IC，∠BEC= ∠BIC= 120°.所以∠DEC= 60°.又因為∠D=∠A=60°，所以△CDE是等邊三角形.所以CD=EC=AB.所以IC=AB.

圖11

上面的證法是聯(lián)想角的軸對稱性，也可以聯(lián)想角平分線的性質(zhì).如圖12，過點(diǎn)C分別作BD，BI的垂線，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，證明過程略.

圖12

解法10 中，將∠A與∠BIC匯聚到一個四邊形中后，因為∠BIC+∠D=180°，所以聯(lián)想到B，D，C，I四點(diǎn)共圓，也可以證明.證明過程略.

聯(lián)想5：圓中的等量關(guān)系.

我們知道在同圓或等圓中，弧、弦、圓周角、圓心角中的一組量相等，其余對應(yīng)的量也相等.盡管看似轉(zhuǎn)化跨度較大，但注意到∠IBC= ∠ACB，若作△ABC的外接圓，則可聯(lián)想到“在同圓中，相等的圓周角所對的弦相等”，所以不妨探索一下.

解法11：如圖13，作△ABC的外接圓，延長BI交圓于點(diǎn)D，連接CD，可證得△CDI是等邊三角形，得CD=IC.因為∠DBC=∠ACB=40°，所以CD=AB.所以IC=AB.

圖13

上述5 種聯(lián)想的方向主要集中在兩個方面.一是條件、結(jié)論間的聯(lián)想，如聯(lián)想1和聯(lián)想4都是為了充分溝通條件與結(jié)論；二是對解題方法的聯(lián)想，如聯(lián)想2中的全等三角形的構(gòu)造是以一個三角形為基礎(chǔ)，結(jié)合圖形位置進(jìn)行變換，聯(lián)想3是先轉(zhuǎn)化再證全等，聯(lián)想5是由直線型問題轉(zhuǎn)向曲線型問題，更能體現(xiàn)思維的廣闊性.這些都體現(xiàn)了廣泛聯(lián)想的信息源.對不同信息源的聯(lián)想，衍生出不同的問題解決方案，能夠促進(jìn)學(xué)生思維的深刻性和廣闊性.

三、幾點(diǎn)思考

1.問題的本質(zhì)

在講授兩個三角形全等的條件時，我們知道“有兩邊及一邊的對角分別相等的兩個三角形不一定全等”.在這兩個三角形不全等的情況下，兩個三角形中另一組相等的邊所對的角互補(bǔ).其逆命題是：（1）在兩個三角形中，若有一組角相等，有一組邊相等且其對角互補(bǔ)，則相等的角所對的邊相等；（2）在兩個三角形中，若有一組邊及其對角相等，有一組邊的對角互補(bǔ)，則互補(bǔ)的這對角所對的邊相等.這兩個命題均是真命題.如圖14，我們將圖1 分解，則可以看作是上述逆命題的具體化.這說明原題的很多解法是由兩個三角形的特殊位置得來的.

圖14

溯源問題，基于聯(lián)想，是對類似問題的聯(lián)想.對問題中圖形的抽象，是抽象能力和空間觀念的體現(xiàn)，是數(shù)學(xué)眼光的主要表現(xiàn)之一；探討問題，是推理意識或推理能力的體現(xiàn)，是數(shù)學(xué)思維的主要表現(xiàn)之一；表達(dá)問題，歸于常見模型，是模型觀念的體現(xiàn)，是數(shù)學(xué)語言的主要表現(xiàn)之一.這些均是數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2.聯(lián)想的實現(xiàn)

聯(lián)想是以觀察為基礎(chǔ)，根據(jù)研究的對象或問題的特點(diǎn)，聯(lián)系已有的知識和經(jīng)驗進(jìn)行想象的思維方法.聯(lián)想是一種自覺的、有目的的想象，是由當(dāng)前感知或思考的事物，想起有關(guān)的另一事物，或由此想起其他事物的心理活動.數(shù)學(xué)問題通常涉及數(shù)、式、圖形等，解決數(shù)學(xué)問題需要以“四基”為工具.那么，如何實現(xiàn)廣泛聯(lián)想，以儲備豐富的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗?zāi)?？掌握?shù)與式的結(jié)構(gòu)、基本圖形的特征等是必要的前提.題目中要求證明線段相等，那么如何證明線段相等呢？由此展開聯(lián)想，聯(lián)想的網(wǎng)能張多大，取決于學(xué)生對證明線段相等方法的積累有多少.由60°角可以得到哪些結(jié)論？哪些圖形與60°角相關(guān)？由兩角互補(bǔ)又能想到什么？四點(diǎn)共圓呢？學(xué)生若能養(yǎng)成解決問題后反思的習(xí)慣，反思條件、解法、結(jié)論、解題過程等，則會增加對知識和經(jīng)驗的積累，從而在聯(lián)想、發(fā)散、聚合的循環(huán)中不斷增加自身的知識儲備.

3.多解的意義

解決問題從觀察開始，由對問題中觸發(fā)思維聯(lián)想點(diǎn)的不同思考，就會產(chǎn)生不同的解法.一題多解，能培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維、求異性思維和創(chuàng)造性思維，還能更多、更廣地運(yùn)用所學(xué)的知識、思想和方法；能促進(jìn)學(xué)生養(yǎng)成解題后進(jìn)行反思回顧的習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生的元認(rèn)知能力；能使學(xué)生的解題從表層走向深入，從零散走向系統(tǒng)，為解題教學(xué)提供新的角度.學(xué)生在這個過程中逐步提升高階思維，對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有更深刻的認(rèn)識和體驗，理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

教師要積極鼓勵并正確引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行一題多解.學(xué)生只有意識到了一道題是可以有多種解法的，就會自然而然地對一題多解產(chǎn)生興趣，從而提升解決問題的能力.

聯(lián)想既是數(shù)學(xué)解題的一種習(xí)慣、一種策略、一種方法，也是有效發(fā)展學(xué)生思維能力的一種策略、一種載體、一種手段.數(shù)學(xué)解題教學(xué)應(yīng)該通過加強(qiáng)聯(lián)想教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生品性、心智、知識與技能的協(xié)調(diào)發(fā)展.廣泛聯(lián)想能促進(jìn)一題多解，反過來，一題多解又能增加聯(lián)想的思路.