含逆變型分布式電源的不平衡配電網(wǎng)快速短路電流計算

李瀟雨，何晉，李智軒，孔玲玲，周石金

（1.云南民族大學(xué)電氣信息工程學(xué)院，昆明 650504；2.西門子變壓器（武漢）有限公司，武漢 430415）

以光伏、風(fēng)能為代表的分布式發(fā)電DG（distributed generator）接入電網(wǎng)使得電網(wǎng)潮流和短路電流分布發(fā)生改變[1]。DG 出力的隨機(jī)性和間接性給電力系統(tǒng)保護(hù)帶來了極大的挑戰(zhàn)[2]。由于變流器控制的四象限特性，采用變流器接口的逆變器型分布電源IIDG（inverter-interfaced distributed generator）被廣泛應(yīng)用。不同于傳統(tǒng)同步發(fā)電機(jī)，IIDG故障輸出特性受其變流器控制策略影響，且輸出電流大小受限于變流器極限電流限值[3]，使得傳統(tǒng)短路電流計算方法不再適用，因此需要對含IIDG 電網(wǎng)的短路計算方法深入研究。

目前，已有許多學(xué)者對IIDG 故障輸出特性和短路電流計算方法開展了研究。文獻(xiàn)[4-5]采用抑制負(fù)序電流控制的IIDG 等效為正序受控電流源，在短路電流分析過程中IIDG 僅出現(xiàn)于正序網(wǎng)絡(luò)中。文獻(xiàn)[6]采用相同的IIDG 等值模型，分析了IIDG接入前后系統(tǒng)短路電流的變化，指出了IIDG接入將導(dǎo)致故障邊界條件發(fā)生變化，但需要預(yù)設(shè)IIDG 的輸出電流僅包含正序分量。根據(jù)并網(wǎng)規(guī)程[7]，不對稱故障時，IIDG應(yīng)向電網(wǎng)注入負(fù)序無功電流以減小三相電壓不平衡度。文獻(xiàn)[8-9]提出了正負(fù)序電流解耦控制，可以有效抑制不對稱故障情況下IIDG 輸出功率和直流母線電壓的振蕩。文獻(xiàn)[10-11]考慮了IIDG 輸出電流包含負(fù)序分量的情況，建立了IIDG 的正負(fù)序等效模型，同時進(jìn)一步分析了IIDG接入容量及變流器約束對IIDG 輸出短路電流的影響?？紤]配電網(wǎng)存在不平衡的情況，文獻(xiàn)[12-13]提出了基于相分量法的短路電流計算方法，但基于相分量法的短路電流計算過程較為繁瑣，不利于短路電流的快速求解。為此，文獻(xiàn)[14]提出了通過引入序補償電流建立三相不平衡系統(tǒng)的序解耦模型，但當(dāng)系統(tǒng)存在單相或兩相線路時，僅引入補償電流無法建立系統(tǒng)序解耦模型。文獻(xiàn)[15-16]提出了廣義Fortescue變換概念，通過兩相和三相線路變換至相同階數(shù)的Fortescue 域來建立不平衡配電網(wǎng)的序等效模型，但文中未能考慮IIDG接入的情況。

為實現(xiàn)含IIDG 電網(wǎng)的快速短路電流計算，文獻(xiàn)[17]提出了基于短路點網(wǎng)絡(luò)局部迭代的短路電流計算方法。文獻(xiàn)[18]基于疊加定理將系統(tǒng)分解為正常分量網(wǎng)絡(luò)和故障分量網(wǎng)絡(luò)，在此基礎(chǔ)上通過引入前推回代法實現(xiàn)了短路電流的快速計算。文獻(xiàn)[19-20]基于同步發(fā)電機(jī)的運算曲線法，提出了雙饋感應(yīng)電機(jī)的短路電流運算曲面法，但由于IIDG 短路電流受并網(wǎng)點電壓的影響，運算曲面法是否可用于IIDG的短路電流計算還有待驗證。文獻(xiàn)[21]提出了將機(jī)器學(xué)習(xí)算法引入IIDG 接入配電網(wǎng)的短路電流計算，通過實驗數(shù)據(jù)訓(xùn)練學(xué)習(xí)算法對短路電流進(jìn)行預(yù)測，由于前期訓(xùn)練為離線訓(xùn)練，因此可實現(xiàn)快速在線預(yù)測短路電流，但針對不同電網(wǎng)情況需要對算法進(jìn)行重新訓(xùn)練。

相較于相分量法，采用基于序分量的短路計算方法可有效減小短路電流計算的復(fù)雜度。但不平衡配電網(wǎng)中包含的兩相、單相線路及對應(yīng)線路負(fù)載的存在，限制了基于序分量法短路電流計算方法的應(yīng)用。為此，本文通過引入虛擬節(jié)點和虛擬線路，同時結(jié)合廣義Fortescue 變換建立不平衡配電網(wǎng)的序解耦模型。通過分析IIDG 的故障穿越控制，推導(dǎo)IIDG 的序等效受控電流源模型，并在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)出短路電流迭代計算方法?？紤]到迭代計算過程耗時主要集中在求解高維稀疏方程組，因此本文引入預(yù)條件處理的廣義極小殘差GMRES（generalized minimal residual）算法求解高維稀疏方程組，可有效提升計算速度。最后，通過多個測試系統(tǒng)驗證了所提方法的正確性和可行性。

1 IIDG 故障穿越控制及其等效模型

當(dāng)電網(wǎng)側(cè)發(fā)生故障時，IIDG 通常將從PQ控制模式切換至故障穿越模式，且故障輸出特性受其所采用的故障穿越控制的影響?？紤]到目前商用IIDG多采用三線制，故在本文分析中不考慮零序分量。

正常運行時，IIDG 采用PQ控制模式向電網(wǎng)注入恒定有功和無功功率。根據(jù)瞬時功率理論，在dq坐標(biāo)系下IIDG瞬時有功和無功功率的計算公式為

式中：P和Q分別為IIDG 瞬時有功和無功功率；vd、vq、id、iq分別為dq坐標(biāo)系下IIDG 公共耦合點PCC（point of common coupling）電壓和電流的d軸和q軸分量。在電網(wǎng)側(cè)發(fā)生不對稱故障時，IIDG 輸出電壓和電流相量將包含負(fù)序分量，此時IIDG 電流參考值和輸出功率之間的關(guān)系可表示為

式中：上標(biāo)+和-分別表示正序和負(fù)序分量；下標(biāo)ref表示參考值；下標(biāo)c 和s 分別表示cos 分量和sin 分量；分別為有功功率振蕩的余弦和正弦分量；分別為無功功率振蕩的余弦和正弦分量；Pref和Qref分別為有功和無功功率的參考值。

針對不同控制目標(biāo)，例如消除有功功率輸出振蕩、消除無功功率輸出振蕩、平衡三相電流輸出，在dq坐標(biāo)系下IIDG正負(fù)序電流參考值[22]可表示為

式中，K為控制參數(shù)，取值范圍為[-1，1]。通過K取不同的數(shù)值，可實現(xiàn)不同的控制目標(biāo)，即當(dāng)K=1時可實現(xiàn)消除有功功率輸出振蕩，當(dāng)K=-1時可實現(xiàn)消除無功功率振蕩，當(dāng)K=0時可實現(xiàn)平衡三相電流輸出。

根據(jù)并網(wǎng)規(guī)程要求[7]，DG在電網(wǎng)故障期間應(yīng)優(yōu)先向電網(wǎng)注入無功功率支撐電網(wǎng)電壓，此時IIDG無功功率參考值可表示為

式中：S為變流器額定容量；Vpu為PCC 處電壓的標(biāo)幺值。為維持系統(tǒng)有功功率平衡，IIDG應(yīng)將剩余容量以有功功率形式注入電網(wǎng)，同時確保變流器輸出電流大小不超出變流器限值，因此故障后IIDG 可輸出最大有功功率Pmax可表示為

式中：Vnom為PCC處額定電壓幅值；V+和V-分別為PCC處正序、負(fù)序電壓幅值?？紤]到故障時IIDG輸出無功功率大小受電壓跌落程度影響，由式（5）可知，在電壓跌落程度較為嚴(yán)重時可能出現(xiàn)Qref＞S的情況，此時設(shè)定Qref=NP，Pmax=0。

假設(shè)正常運行時IIDG 輸出的有功功率為Pn，故障時IIDG有功功率參考值可修正為

將式（5）和式（8）代入式（3）可得到dq坐標(biāo)系下IIDG電流參考值。假設(shè)IIDG電流控制環(huán)控可使得IIDG 輸出電流準(zhǔn)確跟蹤電流參考值，此時IIDG 輸出電流的正負(fù)序分量可表示為

式中：θ+、θ-分別為PCC 處正序、負(fù)序電壓分量的相位；分別為dq坐標(biāo)系下正序、負(fù)序電流dq軸分量的參考值。

結(jié)合式（3）、式（5）和式（10）可以分析得出，IIDG 的故障電流大小主要與參考功率Pref和Qref、控制參數(shù)及故障發(fā)生的位置、故障類型有關(guān)。由于故障的位置和類型決定了PCC處電壓大小，故可認(rèn)為故障穩(wěn)態(tài)時，IIDG 是受Pref、Qref、控制參數(shù)和PCC 處電壓共同影響的受控電流源。綜上可得故障前后IIDG等效模型如圖1所示。

圖1 IIDG 故障前后等效模型Fig.1 IIDG equivalent model under normal and faulty conditions

2 不平衡配電網(wǎng)序?qū)Ъ{矩陣的建立

為方便分析，以一個簡單不平衡配電網(wǎng)為例進(jìn)行討論。4 節(jié)點不平衡配電網(wǎng)模型如圖2 所示，系統(tǒng)包含4個節(jié)點及3種不同類型的線路和負(fù)載?？紤]到配電網(wǎng)線路長度通常遠(yuǎn)小于輸電線長度，故下文分析中忽略了線路對地電容的影響。同時，本節(jié)將負(fù)載等效為恒定阻抗元件，后文再進(jìn)一步考慮負(fù)載類型的影響。

圖2 4 節(jié)點不平衡配電網(wǎng)模型Fig.2 Model of four-node unbalanced distribution network

2.1 三相線路和負(fù)載

根據(jù)圖2所示結(jié)構(gòu)，Bus1-Bus2之間的三相線路及接入Bus處的三相負(fù)載對應(yīng)的相導(dǎo)納矩陣可表示為

式中：上標(biāo)數(shù)字表示節(jié)點號；下標(biāo)a、b、c 表示A 相、B 相、C 相。通過3 階Fortescue 變換（3 階Fortescue變換即對應(yīng)對稱分量變換）[15-16]，可得到式（11）對應(yīng)在3階Fortescue域下的序?qū)Ъ{矩陣為

式中：下標(biāo)“0，1，2”分別表示零序、正序和負(fù)序；下標(biāo)F3表示3 階Fortescue 域。當(dāng)線路和負(fù)載為三相對稱結(jié)構(gòu)時，各序分量之間不存在耦合，其對應(yīng)序?qū)Ъ{矩陣為對角矩陣；但當(dāng)結(jié)構(gòu)為非對稱三相結(jié)構(gòu)時，其對應(yīng)序?qū)Ъ{矩陣是1個3×3 滿矩陣。

2.2 兩相線路和負(fù)載

對于Bus2-Bus3之間的兩相線路，可通過增加虛擬C相線路和Bus3處增加C相虛擬節(jié)點，將兩相線路等效為三相線路，如圖3所示。

圖3 引入虛擬節(jié)點和虛擬線路的4 節(jié)點不平衡配電網(wǎng)Fig.3 Four-node unbalanced distribution network with dummy nodes and dummy lines

根據(jù)圖3可得到兩相線路的相導(dǎo)納矩陣為

由式（13）可知，兩相線路在3 階Fortescue 域下的序?qū)Ъ{矩陣與式（11）類似，可表示

同樣，對于接入Bus3處的兩相負(fù)載，根據(jù)圖3所示結(jié)構(gòu)可得到其對應(yīng)相導(dǎo)納矩陣為

通過2階Fortescue變換可得到兩相負(fù)載在2階Fortescue域下的序?qū)Ъ{矩陣為

由式（15）和式（17）可知，兩相線路和兩相負(fù)載的序?qū)Ъ{矩陣階數(shù)不相同，但最終建立系統(tǒng)序?qū)Ъ{矩陣需要系統(tǒng)中所有元件的序?qū)Ъ{矩陣應(yīng)具備相同的階數(shù)。因此，這里需要將兩相負(fù)載的2階序?qū)Ъ{矩陣映射至3階Fortescue域中。

式（17）所示的2 階序?qū)Ъ{矩陣可通過2 階至3階Fortescue映射矩陣映射至3階Fortescue域中，即

不同相序的兩相負(fù)載的映射矩陣如表1 所示，其中a3=ej2π/3[15]。

表1 不同負(fù)載相序下和矩陣Tab.1 andmatrices for different types of load phase

表1 不同負(fù)載相序下和矩陣Tab.1 andmatrices for different types of load phase

2.3 單相線路和負(fù)載

對于Bus2-Bus4之間的單相線路，可直接延用兩相線路處理方法，通過增加AB 兩相線路和Bus4處AB兩相虛擬節(jié)點，將單相線路還原為三相線路，如圖3所示。因此，單相線路相導(dǎo)納矩陣可表示為

同樣，對于接入Bus4處的單相負(fù)載，其對應(yīng)的相導(dǎo)納矩陣可表示為

對于單相負(fù)載，通過1 階Fortescue 變換可得到對應(yīng)的在1 階Fortescue 域下的序?qū)Ъ{矩陣為同理，在此需要將單相負(fù)載的1 階序?qū)Ъ{矩陣映射3階Fortescue域中，即

表2 不同負(fù)載相序下和 矩陣Tab.2 and matrices for different types of load phase

表2 不同負(fù)載相序下和 矩陣Tab.2 and matrices for different types of load phase

根據(jù)以上分析，可建立4 節(jié)點不平衡配電網(wǎng)的系統(tǒng)序?qū)Ъ{矩陣為

綜上所述，本節(jié)首先通過引入虛擬節(jié)點和虛擬線路將不平衡配電網(wǎng)線路等效為三相線路，然后通過廣義Fortescue變換獲取系統(tǒng)各元件的序阻抗值，最后建立了不平衡配電網(wǎng)的系統(tǒng)序?qū)Ъ{矩陣。雖然本節(jié)中僅以4 節(jié)點不平衡配電網(wǎng)系統(tǒng)為例進(jìn)行分析，但所提方法可推廣至任意節(jié)點數(shù)的不平衡電網(wǎng)系統(tǒng)。

3 含IIDG 不平衡配電網(wǎng)短路電流計算方法

根據(jù)電路定理，如果已知網(wǎng)絡(luò)中所有電源的輸出電流及系統(tǒng)短路電流，通過系統(tǒng)節(jié)點電壓方程即可求出網(wǎng)絡(luò)所有節(jié)點的電壓。由于IIDG 輸出電流受其接入節(jié)點電壓的影響，所以無法一次性求解系統(tǒng)短路電流。目前，多數(shù)研究采用迭代算法進(jìn)行短路電流計算[10-12]。根據(jù)疊加定理，可將任意系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)分解為正常分量網(wǎng)絡(luò)和故障分量網(wǎng)絡(luò)的疊加，其中故障分量網(wǎng)絡(luò)僅保留短路電流從短路節(jié)點注入網(wǎng)絡(luò)，IIDG 輸出短路電流，系統(tǒng)電源則注入正常分量網(wǎng)絡(luò)。

假設(shè)系統(tǒng)共包含n個節(jié)點，若干臺IIDG分別接入系統(tǒng)節(jié)點k～節(jié)點j，節(jié)點f處發(fā)生短路故障，可將系統(tǒng)分解為如圖4所示的等效網(wǎng)絡(luò)。

圖4 系統(tǒng)故障時正常分量網(wǎng)絡(luò)和故障分量網(wǎng)絡(luò)Fig.4 Normal-and faulty-component network under system fault

對于正常分量網(wǎng)絡(luò)，其序節(jié)點電壓方程可表示為

同理，對于故障分量網(wǎng)絡(luò)，其序節(jié)點電壓方程可表示為

式中：I3×3為3×3 單位矩陣；為故障節(jié)點在第i次迭代的序電壓；為3 階Fortescue 變換矩陣；CI3φ和CV3φ為故障邊界條件矩陣，具體取值可見文獻(xiàn)[14]；Zeq,f為從故障節(jié)點f向網(wǎng)絡(luò)看去的等效序阻抗矩陣，其計算公式[14]為

式中，zff為故障節(jié)點等效序?qū)Ъ{矩陣的阻抗，下標(biāo)數(shù)字相同表示為該序自阻抗，下標(biāo)數(shù)字不同表示各序之間互阻抗。

由式（24）和式（25）分別求出正常分量網(wǎng)絡(luò)和故障分量網(wǎng)絡(luò)節(jié)點電壓后，根據(jù)疊加定理可得到故障時系統(tǒng)各節(jié)點電壓為

計算出系統(tǒng)各節(jié)點故障電壓后，根據(jù)式（3）～（10）修正IIDG 輸出電流，同時對式（24）所示的序電流矩陣進(jìn)行新一輪迭代計算，直到前后兩次迭代計算所得節(jié)點序電壓滿足收斂條件，則計算停止。該收斂條件可表示為

式中，ε為常數(shù)，本文取ε=1×10-6。需要注意的是，系統(tǒng)電源和IIDG 的輸出電流迭代初始值設(shè)定為其正常運行時的輸出電流，可由初始潮流計算或時域仿真獲得。

為了獲得更加精確的短路電流計算結(jié)果，繼續(xù)將負(fù)載等效為恒定阻抗是不合理的，因此本文考慮負(fù)載為恒功率型負(fù)載和電壓依賴型負(fù)載兩種類型，其ZIP負(fù)荷模型[13]可表示為

式中：V為負(fù)載接入節(jié)點電壓；V0、P0和Q0分別為負(fù)載的額定電壓、額定有功和額定無功；F和F′為分?jǐn)?shù)常數(shù)，取值詳見文獻(xiàn)[13]；下標(biāo)Z、I和P分別表示恒定阻抗、恒定電流和恒定功率作用。

因此，在迭代中需要不斷更新負(fù)載的等效阻抗值，每次迭代中負(fù)載等效阻抗Zload,i可表示為

式中，下標(biāo)i表示第i個阻抗。

綜上所述，本文所提的短路電流計算流程如圖5所示。

圖5 短路電流迭代計算流程Fig.5 Flow chart of iterative calculation of short-circuit current

4 短路電流快速計算的GMRES 算法

分析圖5 的迭代計算可以發(fā)現(xiàn)，在整個迭代計算過程中需要多次求解式（24）、式（25）和式（27）。進(jìn)一步觀察式（24）、式（25）和式（27）可以發(fā)現(xiàn)，可將上述公式視為稀疏線性方程組Ax=b，其中A對應(yīng)系統(tǒng)導(dǎo)納矩陣YF3，x和b分別對應(yīng)序電壓矩陣和序電流矩陣。考慮到配電網(wǎng)結(jié)構(gòu)，對應(yīng)的序?qū)Ъ{矩陣為一個高維稀疏矩陣，因此可采用LU分解等直接法來求解(YF3)-1會需要較多的計算成本和計算時間[24]。而迭代法中Krylov子空間算法常被用來求解大規(guī)模稀疏方程組[24-25]。根據(jù)系數(shù)矩陣A的特點，可選擇不同的Krylov子空間算法，例如針對對稱問題的共軛梯度CG（conjugate gradient）法，針對非對稱問題的GMRES 算法、雙共軛梯度BCG（bi-conjugate gradient）法、共軛梯度平方CGS（conjugate gradient squared）法[26]。在文獻(xiàn)[26]中詳細(xì)對比了上述4 種迭代算法，指出了上述迭代算法相較直接法更加適合求解高維稀疏線性方程，其中GMRES 算法擁有更好的收斂性和更快的計算速度。為此，本文選取GMRES算法來求解系統(tǒng)節(jié)點電壓方法。

對于任意n維非線性方程組Ax=b，其中A為非奇異矩陣，A∈Rn×n，x∈Rn，b∈Rn。GMRES 算法通過求取殘差量rm=b-Axm的最小矢量來逼近線性方程組的精確解，其中xm∈x0+Km，Km為m維Krylov 子空間，x0為初始猜想解。GMRES 算法原理如下[23-25]。

定義x0為初始猜想解，可得對應(yīng)的殘差向量為r0=b-Ax0，進(jìn)一步可得r0生成的Krylov子空間為

式中，上標(biāo)m表示Krylov子空間維數(shù)。

通常Arnold 過程被用來求解Krylov 子空間Km的標(biāo)準(zhǔn)正交基，故經(jīng)過Arnold 過程可獲得Km的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，基于施密特正交化的Arnoldi 過程可參見文獻(xiàn)[24，27]。

在完成k次Arnoldi過程后可得到一組n×（k+1）維的標(biāo)準(zhǔn)正交基Wk+1，以及1 個（k+1）×k維的上Hessenberg矩陣，且滿足如下關(guān)系：

在仿射空間x0+Km中，任意向量可表示

式中：y為m×1維向量；Wm為m次Arnoldi過程得到的標(biāo)準(zhǔn)正交基。因此，求解最小殘量問題可定義為

結(jié)合式（34）和式（36）可進(jìn)一步化簡為

式中：β=||r0||；e1為標(biāo)準(zhǔn)基的第1 個矢量，e1∈Rm+1e1=(1,0,0,…,0) 。因此，求解使殘差量rm=b-Axm范數(shù)最小的問題轉(zhuǎn)化為求解范數(shù)的最小二乘問題。最終GMRES算法求得方程組近似解xm滿足以下關(guān)系式：

對于上述求解上Hessenber 矩陣的最小二乘問題，文獻(xiàn)[28]指出可使用Given 旋轉(zhuǎn)將分解為上三角矩陣，具體分解步驟詳見文獻(xiàn)[24]。

進(jìn)一步將上三角矩陣代入式（37），則式（37）可修正為

式中：Rm為矩陣的前m行、前m列子陣；gm為矩陣的前m行；γm為矩陣的行分塊子矩陣。因為Rm為非奇異矩陣，所以當(dāng)時，殘差范數(shù)最小，此時‖rm‖2=|γm+1| 。可見，當(dāng)|γm+1|=0 時，算法可取得精確解，但實際實現(xiàn)較為困難，因此本文設(shè)定若 |γm+1| 小于預(yù)設(shè)收斂值，則算法停止。

由于上述計算舍入了誤差，GMRES 算法迭代收斂性和收斂速度將依賴系數(shù)矩陣A的條件數(shù)cond（A）和特征值分布。為了改善系數(shù)矩陣A的條件數(shù)和特征值分布，通常對方程組進(jìn)行適當(dāng)變化，該過程被稱為預(yù)條件處理[28]。若預(yù)條件矩陣M直接選取A的逆矩陣，則處理后系數(shù)矩陣條件數(shù)等于1，特征值≡1，此為最理想的預(yù)條件處理。但實際中上述理想情況不可能實現(xiàn)，因此本文設(shè)定若預(yù)條件處理矩陣M能直接選取A-1，則無需采用迭代法計算方程組。

預(yù)條件子可通過如下公式對線性方程組Ax=b進(jìn)行處理：

式中，M=M1M2，M1和M2表示預(yù)條件子。若M1=I則得到右條件子，此時殘量；若M2=I則得到左條件子，此時殘量

對于預(yù)條件子的選取，目前主要有3 種方法：①直接抽取系數(shù)矩陣A的對角元素作為預(yù)條件子陣，即M=diag(A) ；②高斯賽德爾預(yù)條件子，即M=Low(A)；③矩陣A的不完全LU分解，即M=LU?？紤]到本文中系數(shù)矩陣A為系統(tǒng)序節(jié)點導(dǎo)納矩陣，其具有主對角元素占優(yōu)的特點，因此本文選取直接抽取序節(jié)點導(dǎo)納矩陣對角線元素作為預(yù)條件子，同時取左預(yù)條件子。引入預(yù)條件處理的GMRES算法計算流程如圖6所示。

圖6 引入預(yù)條件處理的GMRES 算法計算流程Fig.6 Computational flowchart of the GMRES algorithm with the introduction of preconditioning processing

需要注意的是，本文采用的重開始GMRES 算法，即將x初值置為xm，然后重啟算法，而不是采用增加Krylov 子空間維數(shù)并重復(fù)算法的方法?；谏鲜龇治隹芍?，GMRES 算法可以方便地嵌入圖5所示的短路電流計算流程中，從而加快整體的計算速度。

5 算例驗證

為驗證本文所提短路電流計算方法的正確性和可行性，本節(jié)設(shè)置了基于IEEE13、IEEE123 節(jié)點及多個大型合成節(jié)點搭建的測試系統(tǒng)，以對算法進(jìn)行驗證。在PSCAD 中搭建測試系統(tǒng)，仿真結(jié)果作為參考值，在Matlab中編寫短路電流計算程序。所使用的軟件為PSCAD4.6和Matlab2019b，PC處理器為Intel Core i5-1135G7 2.42 GHz，16 GB RAM。

5.1 13 節(jié)點測試系統(tǒng)

圖7 為基于IEEE13 節(jié)點[29]搭建的含IIDG 的13節(jié)點模型，修改了IEEE13 節(jié)點系統(tǒng)中部分線路參數(shù)。單臺IIDG 系統(tǒng)數(shù)據(jù)如表3 所示，額定容量為500 kV·A，采用理想變壓器并入系統(tǒng)運行，正常運行時IIDG 以單位功率因數(shù)運行，故障穿越控制采用文獻(xiàn)[10]中所提的控制方法。

表3 IIDG 系統(tǒng)參數(shù)Tab.3 Parameters of IIDG system

圖7 含IIDG 的13 節(jié)點測試系統(tǒng)示意Fig.7 Schematic of 13-node test system with IIDGs

設(shè)置母線652 處發(fā)生A 相接地故障(f1)，故障過渡電阻為0.01 Ω；母線671處發(fā)生BC兩相相間故障和BC 兩相接地故障(f2)，故障過渡電阻為0.01 Ω。3 種故障情況下的PSCAD 仿真結(jié)果、直接法計算結(jié)果（即直接求解(YF3)-1）及GMRES 算法計算結(jié)果對比如表4～表6所示?？紤]到篇幅限制，表4～表6中僅展示了故障相的節(jié)點電壓計算結(jié)果，由于13節(jié)點系統(tǒng)為不對稱系統(tǒng)，節(jié)點645、646、611無A相，節(jié)點684、652、611 無B 相，節(jié)點652 無C 相，因此沒有數(shù)據(jù)記錄，以“—”替代。

表4 A 相接地故障情況下A 相節(jié)點電壓計算結(jié)果對比Tab.4 Comparison of calculation results of phase-A node voltage under phase-A grounding fault

表5 BC 相間故障情況下B 相節(jié)點電壓計算結(jié)果對比Tab.5 Comparison of calculation results of phase-B node voltage under phase-to-phase fault between phases B and C

表6 BC 兩相接地故障情況下C 相節(jié)點電壓計算結(jié)果對比Tab.6 Comparison of calculation results of phase-C node voltage under two-phase grounding fault in phases B and C

對比表4～表6的計算結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，直接法和GMRES 算法的計算結(jié)果基本相同，但相較于直接法，GMRES 算法的誤差近似為0，存在誤差的原因是GMRES 算法在迭代中舍入了誤差，本文中GMRES 算法的計算迭代誤差設(shè)置為1×10-4。進(jìn)一步對比表4～表6中GMRES算法和PSCAD計算結(jié)果可知，節(jié)點電壓有效值最大相對誤差發(fā)生在BC 相間故障情況下的節(jié)點680處，為0.079 kV；最大相對相角誤差發(fā)生在BC相間故障情況下的節(jié)點633處，為1.68°。由此可見，本文所提短路電流計算方法具有較高的計算準(zhǔn)確度。

5.2 123 節(jié)點測試系統(tǒng)

為驗證GMRES算法比直接法在面對大型網(wǎng)絡(luò)擁有更快的計算速度，搭建含IIDG的123節(jié)點測試系統(tǒng)和多個大型合成節(jié)點系統(tǒng)對兩種方法的計算速度進(jìn)行對比。

圖8 為基于IEEE123 節(jié)點[29]搭建的含IIDG 的123 節(jié)點測試系統(tǒng)。設(shè)置系統(tǒng)共接入4 臺IIDG 機(jī)組，正常運行時4 臺IIDG 皆以單位功率因數(shù)運行，采用理想變壓器并入系統(tǒng)運行，IIDG系統(tǒng)參數(shù)依舊采用表3所示參數(shù)，IIDG額定容量均為500 kV·A。

圖8 含IIDG 的123 節(jié)點測試系統(tǒng)示意Fig.8 Schematic of 123-node test system with IIDGs

設(shè)置3種故障情況：①節(jié)點37處發(fā)生A相接地故障（f1），故障過渡電阻為0.001 Ω；②節(jié)點52 處發(fā)生BC相間故障（f2），故障過渡電阻為0.001 Ω；③節(jié)點52 處發(fā)生BC 兩相接地故障（f3），故障過渡電阻為0.001 Ω。同時系統(tǒng)節(jié)點250、54、450、151、300處開關(guān)保持?jǐn)嚅_，其余開關(guān)保持閉合。

3種故障情況下PSCAD 仿真結(jié)果、直接法計算結(jié)果、GMRES 算法計算結(jié)果對比如圖9～圖11 所示，本文僅展示了故障相節(jié)點電壓計算結(jié)果。由于123 節(jié)點系統(tǒng)部分節(jié)點為單相或兩相節(jié)點，因此圖9～圖11中節(jié)點橫坐標(biāo)有所差異。

圖9 A 相接地故障下節(jié)點電壓計算結(jié)果對比Fig.9 Comparison of calculation results of node voltage under-phase A grounding fault

圖10 BC 相間故障B 相節(jié)點電壓計算結(jié)果對比Fig.10 Comparison of calculation results of phases-B node voltage under phase-to-phase fault between phases B and C

圖11 BC 兩相接地故障C 相節(jié)點電壓計算結(jié)果對比Fig.11 Comparison of calculation results of phases-C node voltage under two-phase grounding fault in phases B and C

由圖9～圖11 可知，直接法、GMRES 算法的計算結(jié)果及PSCAD仿真結(jié)果基本吻合。由于GMRES算法在迭代中舍入了誤差，相較于直接法，GMRES算法計算誤差略大，但計算誤差保持在較小的范圍內(nèi)，這與13 節(jié)點測試系統(tǒng)的計算結(jié)果一致。在單相故障情況下，GMRES 算法的子空間維數(shù)m=48，GMRES算法比直接法的計算速度提升了4.54%，提升速度相對較小。

5.3 大型合成節(jié)點測試系統(tǒng)

為進(jìn)一步驗證GMRES算法比直接法擁有更快的計算速度，搭建基于IEEE69節(jié)點系統(tǒng)的合成網(wǎng)絡(luò)，如圖12所示。其中，Zline為各子系統(tǒng)聯(lián)絡(luò)線路等效阻抗。大型合成節(jié)點測試系統(tǒng)由多個69 節(jié)點子系統(tǒng)級聯(lián)形成，每個子系統(tǒng)的節(jié)點1 與電網(wǎng)相連，同時每子系統(tǒng)的節(jié)點27與下一級子系統(tǒng)的節(jié)點69通過聯(lián)絡(luò)線路相連。由此分別搭建了483 節(jié)點、966節(jié)點和1 932 節(jié)點測試系統(tǒng)，本節(jié)算例用于驗證所提方法可有效提升短路電流計算速度，因此所有測試系統(tǒng)的故障類型均設(shè)置為同一類型。需要說明的是，483 節(jié)點和966 節(jié)點測試系統(tǒng)的故障節(jié)點都選取在節(jié)點29，故障類型為A 相接地故障，過渡電阻為0.001 Ω；1 932 節(jié)點測試系統(tǒng)的故障節(jié)點選取節(jié)點9，故障類型為A 相接地故障，過渡電阻為0.010 Ω。

圖12 基于IEEE69 節(jié)點系統(tǒng)的合成網(wǎng)絡(luò)Fig.12 Synthetic network based on IEEE 69-node system

直接法與GMRES 算法的計算時間對比如表7所示，GMRES 算法短路電流計算結(jié)果與PSCAD 仿真結(jié)果的對比如表8所示。

表7 直接法和GMRES 算法的計算時間對比Tab.7 Comparison of calculation time between direct and GMRES algorithm

表8 PSCAD 仿真和GMRES 算法短路電流計算結(jié)果對比Tab.8 Comparison of calculation results of short-circuit current between PSCAD simulation and GMRES algorithm

由表7 可知，隨著系統(tǒng)節(jié)點數(shù)增加，直接法和GMRES 算法求解時間隨之增加。同時GMRES 算法比直接法計算提升速度從123節(jié)點的4.54%增加至1 932 節(jié)點的54.91%。由此可知相對于直接法，GMRES算法在處理大型網(wǎng)絡(luò)的短路電流計算時擁有更快的計算速度，這對于提升短路電流計算速度有顯著的工程意義。

6 結(jié)語

本文研究了含IIDG 的不平衡配電網(wǎng)短路電路快速計算方法。首先分析了含IIDG 的不平衡配電網(wǎng)故障穿越控制方法，推導(dǎo)了通用短路計算等效模型，并指出在不對稱故障時，IIDG 輸出電路包含負(fù)序分量；其次，通過引入虛擬節(jié)點和虛擬線路，同時結(jié)合廣義Fortescue 變換推導(dǎo)了不平衡配電網(wǎng)的序等效建模方法。在考慮負(fù)載、多相線路及線路耦合對短路電流影響的基礎(chǔ)上，提出了基于疊加定理的短路電流迭代計算法，通過引入GMRES 算法迭代求解稀疏方程組，可避免求解系統(tǒng)阻抗矩陣，從而大幅減小短路電流計算時間。通過測試算例驗證了本文所提短路電流計算方法在兼顧計算精度的同時有效地提升了短路電流計算速度。