基于全純嵌入線性潮流的配電網靈活性資源優(yōu)化配置

丁豪杰，李宏仲

（上海電力大學電氣工程學院，上海 200090）

在“雙碳”目標的要求下，配電網中接入風、光等分布式可再生能源已成為配電系統(tǒng)轉型發(fā)展的趨勢[1-2]。然而，隨著可再生能源滲透率的不斷提高，配電網的電壓波動問題與用戶不斷提高的電壓質量要求之間的矛盾愈發(fā)突出[3]。隨著新型電力系統(tǒng)的快速發(fā)展，配電網中愈發(fā)多樣的靈活性資源是改善電壓波動問題的重要手段。在進行靈活性資源優(yōu)化配置時兼顧經濟性和電壓質量，對于可再生能源有序消納和靈活性資源的合理配置具有重要意義。此外，由于潮流計算的非線性特性導致配電網靈活性資源優(yōu)化配置問題是一個混合整數非線性非凸問題，難以直接求解。因此，有必要開展可應用于優(yōu)化配置的線性化潮流方法研究，降低模型的求解難度。

對于配電網的靈活性資源優(yōu)化配置問題，國內外學者已有一些研究。文獻[4]將微型燃氣輪機、儲能、需求側響應作為靈活性資源，以年化成本最優(yōu)為目標函數，采用粒子群優(yōu)化算法求解非線性的雙層配置模型。文獻[5]考慮源網荷靈活性資源，建立了以配電網年綜合成本最小和日平均靈活性水平最高為優(yōu)化目標的經濟靈活多目標優(yōu)化模型，并采用內嵌潮流計算的多目標復合差分進化算法進行求解。上述文獻以經濟性最優(yōu)開展靈活性資源配置，僅將電壓作為約束條件。

隨著對配電網電壓質量要求的提高，有必要將電壓質量也作為優(yōu)化配置的目標。文獻[6]以提高配電網經濟性和電壓質量為目標，提出了考慮功率四象限輸出的配電網儲能選址定容優(yōu)化配置策略，并以最小綜合成本為目標建立了一個混合整數二階錐模型，但二階錐模型依然是一個非線性模型。文獻[7-10]將系統(tǒng)電壓偏差作為目標函數之一，建立了多目標儲能優(yōu)化配置模型，利用改進的多目標粒子群優(yōu)化算法求解非線性模型。文獻[11]將需求側響應和儲能作為靈活性資源，以電壓偏移度作為下層目標函數以提高電壓穩(wěn)定性，采用基于改進麻雀算法和二階錐規(guī)劃的混合優(yōu)化算法進行求解。上述文獻采用啟發(fā)式算法求解混合整數非線性的優(yōu)化配置模型，但該類算法不能保證解的精度，且求解時間較長[12]。文獻[12]針對分布式發(fā)電選址定容問題，利用凸松弛、二階錐近似等數學方法，將原模型轉換為一個多目標線性規(guī)劃模型，極大降低了模型求解復雜度。文獻[13]針對工業(yè)用戶共享儲能配置問題，對配電網潮流模型進行了線性化近似，將非凸非線性規(guī)劃問題轉化為線性規(guī)劃問題。以上文獻利用線性化潮流方法將原非線性模型轉化線性模型，顯著降低了模型求解難度。因此，建立一個合適的線性化潮流模型，對于降低配電網靈活性資源優(yōu)化配置問題的難度、提高求解效率十分必要。文獻[14]將復變量嵌入到潮流方程的電壓中，提出了一種遞歸型的全純嵌入潮流方法，該方法將潮流方程迭代求解轉化為遞歸求解電壓冪級數系數，解決了迭代類算法存在迭代可能不收斂等問題。在此基礎上，文獻[15-16]提出了一種快速靈活的全純嵌入FFHE（fast and flexible holomorphic embedding）潮流方法，可以將任一可行解作為參考狀態(tài)，在計算結果與牛拉法相同的前提下具有更快的計算速度。全純嵌入法的提出為求解潮流提供了新的途徑[17-18]。然而，現有的全純嵌入潮流法不能列寫顯性的電壓與功率解析表達式，因此該方法在配電網靈活性資源優(yōu)化配置研究中鮮見應用。理論上基于全純嵌入方法的冪級數系數特性，可建立一個適用于優(yōu)化配置研究的線性化潮流模型，從而建立考慮電壓質量和運行經濟性的線性化優(yōu)化配置模型。

為此，本文提出基于全純嵌入線性潮流的配電網靈活性資源優(yōu)化配置方法。首先，推導出冪級數系數在單節(jié)點單位功率變化和多節(jié)點功率變化兩類情況下的關系，并給出基于全純嵌入的電壓-功率解析表達式；其次，將單節(jié)點單位功率增量對應的冪級數系數表示為幅值改變量和相角改變量的形式，建立一個適用于優(yōu)化配置研究的全純嵌入線性化潮流模型；最后，以微型燃氣輪機、儲能、可轉移負荷、可削減負荷作為配電網靈活性資源建立統(tǒng)一模型。計及電壓穩(wěn)定性和日運行成本建立多目標靈活性資源優(yōu)化配置模型，對微型燃氣輪機和儲能開展選址定容。利用所提線性潮流模型將混合整數非線性的優(yōu)化配置模型轉化為混合整數線性模型。最后，在改進的IEEE33 節(jié)點測試系統(tǒng)進行仿真，驗證所提方法的有效性。

1 全純嵌入線性潮流模型

1.1 全純嵌入原理

根據文獻[15]，對于一個N節(jié)點的電力系統(tǒng)，將節(jié)點電壓Vi視為復變函數嵌入復變量s，則可得到全純嵌入潮流方程為

將電壓全純函數Vi(s)、Vi(s*)展開為冪級數形式，即

式中：q為冪級數的冪次；ai,q為節(jié)點i的第q階冪級數系數；為節(jié)點i的第q階冪級數系數共軛值。

將式（2）和式（3）代入式（1）中，所得方程兩側同階冪級數系數相等，進一步可得到冪級數系數的遞推公式。將遞推公式的實部、虛部分開，得到由2N個方程組成的線性方程組，可表示為

式中：A為2N階方陣；Xq、bq均為2N×1維列向量。以3節(jié)點系統(tǒng)為例，節(jié)點1為PQ節(jié)點，節(jié)點2為PV節(jié)點，節(jié)點3為松弛節(jié)點，3節(jié)點系統(tǒng)示意如圖1所示。

圖1 3 節(jié)點系統(tǒng)示意Fig.1 Schematic of 3-bus system

線性方程組系數矩陣A可表示為

式中：ak,0,re、ak,0,im分別為節(jié)點k的電壓冪級數常數項ak,0的實部和虛部，1 ≤k≤3；Gi,k、Bi,k為節(jié)點i與節(jié)點k之間的導納，1 ≤i≤3。

常數項冪級數系數即為參考狀態(tài)電壓，相比于文獻[18]等其他以幅值為1 p.u.、相角為0°作為參考狀態(tài)的全純嵌入形式，FFHE 中的系數矩陣A含有常數項冪級數系數ai,0。

式（4）所示的方程組中待求向量Xq可表示為

式中，ai,q,re、ai,q,im分別為節(jié)點i電壓冪級數系數ai,q的實部和虛部，1 ≤i≤3。

在計算一階冪級數系數ai,1時，向量b1可表示為

在計算高階冪級數系數ai,q（q≥2）時，向量bq可表示為

式中，q′為冪級數系數對應的冪次，q′≤q-1。

FFHE方法的求解過程可簡述如下。

由s=0 的參考狀態(tài)可得到

冪級數系數的常數項即為參考狀態(tài)下的節(jié)點電壓。之后，利用式（4）遞歸求解系數ai,q（q≥1），遞歸過程可表示為

式中，下標qend為滿足中止條件時冪級數系數的冪次。

將各階系數代入式（2），即可得到目標狀態(tài)下節(jié)點電壓[18]。

1.2 冪級數系數線性計算的潮流模型

式（10）所示的遞歸求解過程導致無法列寫冪級數系數的顯性表達式。本節(jié)針對此問題，通過分析多種情況之間的冪級數系數關系，推導出了冪級數系數的線性計算方法。

以3節(jié)點系統(tǒng)為例，保持參考狀態(tài)不變，分析以下3種情況。

（1）僅PV 節(jié)點2 存在單位有功增量變化，即令式（7）中ΔP2=ΔP，其他參數為0，其中ΔP為單位有功增量，則遞歸計算時的向量可表示為

（2）僅PQ 節(jié)點1 存在單位無功增量變化，即令式（7）中ΔQ1=ΔQ，其他參數為0，其中ΔQ為單位無功增量，則遞歸計算時的向量可表示為

（3）PV 節(jié)點2 存在有功增量變化，PQ 節(jié)點1 存在無功 增量變 化，即令式（7）中ΔP2=h2ΔP，ΔQ1=l1ΔQ，其他參數為0，其中h2、l1分別為節(jié)點2的有功增量系數和節(jié)點1的無功增量系數。在此情況中，既有有功功率變化，又有無功功率變化。因此，本文將此情況下公式的上標記為ΔS，則遞歸計算時的向量可表示為

由于系數矩陣A僅與導納參數和參考狀態(tài)電壓有關，與功率增量的大小無關，則由式（14）可知一階冪級數系數滿足

式中，O(bq,h2,l1)為冪級數系數的耦合相乘部分。

因此，對于2階冪級數系數滿足

式中，Ο(ai,2,h2,l1)為Ο(b2,h2,l1) 計算得到的耦合冪級數系數，無顯性表達式。

對于更高階的遞歸計算，式（17）中的耦合項將更為復雜，q≥3 的冪級數系數滿足

以上理論可推廣至N節(jié)點電力系統(tǒng)，若各個節(jié)點功率增量為

則各階冪級數系數與各節(jié)點單位有功、無功情況下的冪級數系數的關系式為

式中，hk、lk分別為節(jié)點k的有功增量系數和無功增量系數。

由式（20）可知，在同一參考狀態(tài)下，多節(jié)點功率變化時，各個節(jié)點的一階冪級數系數可以由單節(jié)點發(fā)生單位功率變化時一階冪級數系數線性計算獲得；在計算高階冪級數系數時，由于涉及到冪級數系數的耦合乘且其計算非線性，使得無法列寫高階冪級數系數的顯性表達式。然而在配電網潮流計算中，隨著冪次q的升高，的值將逐漸減小，其數量級大小如表1 所示。因此可將高階系數略去，得到節(jié)點電壓的解析表達式為

表1 冪級數系數的數量級Tab.1 Order of magnitude of power series coefficient

式（21）即為系數線性計算的潮流模型。由式（21）可知，在略去高階系數后，節(jié)點電壓是關于有功增量系數hk和無功增量系數lk的線性函數，即目標狀態(tài)的節(jié)點電壓是參考狀態(tài)節(jié)點電壓與各節(jié)點單位功率增量對應的一階冪級數系數的線性組合。

對于一個確定的電網，可以選定一個可行解作為參考狀態(tài)，并基于此參考狀態(tài)計算任一時間斷面的潮流。因此，可以在參考狀態(tài)下計算各個節(jié)點單位有功增量ΔP對應的冪級數系數，以及單位無功增量ΔQ對應的冪級數系數，從而建立單位功率增量電壓冪級數系數集Cvpc。將Cvpc視為已知量，之后根據各時間斷面下的增量系數hk、lk，通過式（21）計算電壓。對于t時刻的增量系數hk,t和lk,t，其計算公式為

式中：Pk,t、Qk,t分別為電力系統(tǒng)t時刻節(jié)點k注入的有功和無功；Pk、Qk分別為參考狀態(tài)下節(jié)點k注入的有功和無功。

略去高階冪級數系數是系數計算線性潮流法的誤差來源，因此，節(jié)點電壓的誤差表達式為

由式（23）可知，節(jié)點電壓的誤差與冪次qend、有功增量系數hk和無功增量系數lk有關。由表1可知，隨著冪次的升高，系數數量級顯著降低。因此，冪次對誤差的影響可忽略不計，而功率增量系數的大小是誤差的主要影響因素。

1.3 潮流模型的極坐標表示

電壓幅值和相角是優(yōu)化配置研究中的重要參數，而式（21）所求的電壓為復變量。因此，計算電壓幅值和相角的過程依然是非線性的。

由式（24）和式（25）可推導出式（21）的極坐標形式為

式中，vi(1)、θi(1)分別為電壓Vi(1)的幅值和相角。由式（26）可直接通過功率增量系數線性計算得出電壓的幅值和相角。

2 線性的靈活性資源優(yōu)化配置模型

2.1 統(tǒng)一的靈活性資源模型

本文以微型燃氣輪機、儲能、可轉移負荷、可削減負荷作為配電網靈活性資源，建立統(tǒng)一模型，即

式中：Pdis,i,t、Pcha,i,t分別為節(jié)點i處靈活性資源在t時刻的供電功率和取電功率；Pdis,i,max、Pcha,i,max分別為節(jié)點i處靈活性資源的最大供電功率和最大取電功率；Pdis,i,min、Pcha,i,min分別為節(jié)點i處靈活性資源的最小供電功率和最小取電功率；edis,i,t、echa,i,t分別為節(jié)點i處靈活性資源在t時刻的供電和取電狀態(tài)變量；zi為節(jié)點i處是否具有靈活性資源的指示變量；Ei,t為節(jié)點i處靈活性資源在t時刻的累計交互能量；γdis,i、γcha,i分別為節(jié)點i處靈活性資源的供電和取電效率；Ei,min、Ei,max分別為節(jié)點i處靈活性資源的累計交互能量的最小值和最大值。

靈活性資源依據其與電網能量交互的方向可分為單向供能和雙向能量交互兩類。微型燃氣輪機僅向電網提供能量，可削減負荷可視為向負荷提供能量而使負荷從電網取能減少，此類靈活性資源數學模型為式（27）所示的統(tǒng)一模型中第1 個公式和第4 個公式的供電狀態(tài)變量約束。儲能和可轉移負荷既可以向電網提供能量，又可以從電網獲取能量，其數學模型與統(tǒng)一模型一致。

2.2 線性的優(yōu)化配置模型

為降低模型求解難度，本文建立計及電壓穩(wěn)定性和日運行成本的線性目標函數，并利用所提潮流方法將非線性約束轉換為線性約束。

2.2.1 目標函數

考慮電壓波動問題，從平均電壓偏差和日運行成本兩個方面建立多目標優(yōu)化配置模型，即

式中：f1為平均電壓偏差；f2為日運行成本；f1,opt為僅以平均電壓偏差最小為目標的最優(yōu)值；f2,opt為僅以日運行成本最小為目標的最優(yōu)值；w1、w2為權重系數，本文取0.5。

1）平均電壓偏差

以所有節(jié)點電壓幅值的平均偏差為目標來計及電壓波動問題，則平均電壓偏差可表示為

式中：vi,t為節(jié)點i在t時刻的電壓幅值；為節(jié)點i電壓幅值的平均值。

2）日運行成本

日運行成本包括微型燃氣輪機的投資運行成本C1、儲能的投資運行成本C2、可轉移負荷補償成本C3、可削減負荷補償成本C4、棄風棄光懲罰成本C5，并減去微型燃氣輪機和儲能的供電收益C6，則日運行成本可表示為

式中：cgt,p、ces,p分別為微型燃氣輪機和儲能的單位功率投資成本；Pgt,i、Pes,i分別為節(jié)點i處微型燃氣輪機和儲能的配置功率；Pdis,gt,i,t為節(jié)點i處微型燃氣輪機在t時刻的供電功率；Pdis,es,i,t、Pcha,es,i,t分別為節(jié)點i處儲能在t時刻的供電功率和取電功率；λgt、λes分別為微型燃氣輪機和儲能的貼現率；ygt、yes分別為微型燃氣輪機和儲能的計劃壽命；cgt、ces分別為微型燃氣輪機和儲能的單位功率的運行維護成本；ces,s為儲能單位容量投資成本；Ees,i為節(jié)點i處儲能配置容量；ctl、ccl分別為可轉移負荷和可削減負荷的單位能量補償成本；Pdis,tl,i,t、Pdis,cl,i,t分別為節(jié)點i處可轉移負荷和可削減負荷在t時刻的供電功率；Pcha,ares,i,t為節(jié)點i處風、光設備在t時刻的棄風、棄光功率；cares為單位能量棄風棄光懲罰成本；ct為t時刻的電價。

2.2.2 約束條件

1）靈活性資源數量約束

式中：zgt,k、zes,k、ztl,k、zcl,k分別為微型燃氣輪機、儲能、可轉移負荷、可削減負荷在節(jié)點k處是否存在的指示變量；ngt、nes、ntl、ncl分別為微型燃氣輪機、儲能、可轉移負荷、可削減負荷的總數。

2）線性潮流約束

本文所提潮流模型明確給出了節(jié)點電壓與節(jié)點功率的線性解析表達式。因此，原始非線性潮流約束可轉化為線性潮流約束，即

式中：vi,max、vi,min分別為節(jié)點i處電壓幅值的最大值和最小值；θi,max、θi,min分別為節(jié)點i處電壓相角的最大值和最小值。

3）棄風棄光約束

式中：Pdis,res,i,max為節(jié)點i處風、光設備的最大功率；Pdis,res,i,t為節(jié)點i處風、光設備在t時刻的出力；κ為風、光設備的最大棄能率。

4）靈活性資源約束

各類靈活性資源的功率、荷電狀態(tài)等約束可由統(tǒng)一模型表示，此處不再贅述。

3 算例分析

3.1 線性潮流誤差分析

本節(jié)利用多個算例分析所提線性潮流方法計算單一時間斷面潮流時的誤差情況，以驗證所提方法的適用性。算例采用IEEE33節(jié)點測試系統(tǒng)的改進算例[19]和MATPOWER中的9個算例[20]。節(jié)點注入功率增量取參考狀態(tài)節(jié)點注入功率的[-30%，30%]。FFHE 方法與牛拉法的計算結果相同，因此本文僅將計算結果與牛拉法進行對比。電壓幅值的平均相對誤差如表2所示，相角的平均相對誤差如表3所示。

表2 電壓幅值平均相對誤差Tab.2 Average relative error of voltage amplitude

表3 電壓相角平均相對誤差Tab.3 Average relative error of phase angle of voltage

由于功率增量系數hk、lk的取值將隨功率增量所占比率的提高而逐漸增大，因此由式（23）可知電壓相對誤差也隨之增大。由表2 和表3 可知，功率增量所占比率為±10%時，電壓幅值和相角的平均相對誤差均不超過0.009%和0.501%；在功率增量所占比率為±20%時，各算例電壓幅值和相角的平均相對誤差均不超過0.034%和1.211%；在功率增量所占比率為±30%時，各算例電壓幅值和相角的平均相對誤差均不超過0.078%和2.219%。這表明所提潮流方法具有良好的準確性。

3.2 優(yōu)化配置仿真

3.2.1 參數設置

以改進的IEEE33 節(jié)點測試系統(tǒng)為例，節(jié)點18接入1.2 MW 光伏設備，節(jié)點22、25、33 分別接入1.6 MW、1.5 MW、1.1 MW 的風電機組。改進的IEEE33 節(jié)點測試系統(tǒng)的網絡拓撲如圖2 所示。負荷功率因數不變，負荷、光伏和風電的功率變化如圖3 所示。模擬的時間尺度為24 h，采樣間隔為5 min。算例其他參數如表4～表9所示。

表4 微型燃氣輪機參數Tab.4 Parameters of micro gas turbine

表6 可轉移負荷參數Tab.6 Parameters of transferable load

表7 可削減負荷參數Tab.7 Parameters of curtailable load

表8 棄風棄光參數Tab.8 Parameters of wind power and photovoltaic abandonment

表9 電價參數Tab.9 Parameters of electricity price

圖2 改進的IEEE33 節(jié)點測試系統(tǒng)Fig.2 Improved IEEE 33-bus test system

圖3 負荷、光伏和風電的功率曲線Fig.3 Power curves of load,photovoltaic and wind power

本文所提靈活性資源優(yōu)化配置模型為混合整數線性模型，因此可直接采用成熟的商業(yè)求解器直接求解。本文使用YALMIP建模調用GUROBI求解器對模型進行求解。將本文方法的計算結果與采用二階錐方法的計算結果進行對比。在使用二階錐方法計算時，為使建立的模型為二階錐模型，將平均電壓偏差式（29）中的電壓替換為電壓的平方。

為驗證本文模型，設置以下3個案例：案例1不考慮電壓波動，不開展靈活性資源配置；案例2 不考慮電壓波動，開展靈活性資源優(yōu)化配置；案例3考慮電壓波動，同時開展靈活性資源優(yōu)化配置。

3.2.2 結果分析

3 個案例的各類靈活性資源配置結果如表10所示，所有節(jié)點的平均電壓偏差如表11所示，配置成本如表12所示。

表10 3 個案例的各類靈活性資源配置結果Tab.10 Configuration results of various flexible resources in three cases

表11 3 個案例的平均電壓偏差Tab.11 Average voltage deviation in three cases

表12 3 個案例的各類靈活性資源成本Tab.12 Cost of various flexible resources in three cases

由表10～表12可知，本文方法與二階錐方法的計算結果相差較小，具有較高的準確度。在本文方法中，案例1 不開展靈活性資源優(yōu)化配置，因此沒有配置微型燃氣輪機和儲能，也沒有負荷的調節(jié)；案例2以日運行成本最小為目標，在節(jié)點5配置0.3 MW 的微型燃氣輪機，在節(jié)點8 配置功率為0.36 MW、容量為3 MW·h 的儲能；案例3 所配置儲能功率增加到0.39 MW。由表11 和表12 可知，在不進行靈活性資源配置的情況下，電壓波動程度最大，并且由于棄風棄光嚴重而產生較大的懲罰成本；案例2 在進行靈活性資源配置后，電壓波動較小且減少了棄風棄光量，日運行成本也大幅較少；案例3 在犧牲一定經濟性的情況下進一步減小了電壓波動。

本文方法與二階錐方法計算3 個案例的時間如表13所示。

表13 不同方法計算時間對比Tab.13 Comparison of calculation time between different methods

由表13 可知，相比于二階錐方法，本文方法的計算效率在3個案例中都具有顯著優(yōu)勢，極大地減少了求解時間。

本文方法計算的3 個案例各個靈活性資源運行情況如圖4所示。

圖4 3 個案例各個靈活性資源的出力情況Fig.4 Contribution of each flexible resource in three cases

由圖4（a）可知，案例1由于沒有對靈活性資源進行調節(jié)而出現了大量的棄風棄光現象，只能通過上級電網進行電力電量平衡。由圖4（b）可知，案例2通過儲能和可轉移負荷大幅減少了棄風棄光量，并利用儲能、微型燃氣輪機、可轉移負荷極大地減少了從上級電網獲取的電能。由圖4（c）可知，案例3相比于案例2，還利用了可削減負荷進行調節(jié)。

本文方法計算的3 個案例各節(jié)點電壓幅值的平均偏差如表14所示。

表14 3 個案例各個節(jié)點電壓幅值的平均偏差Tab.14 Average deviation of voltage amplitudes at each node in three cases

由表14可知，案例1中各節(jié)點的電壓波動幅度都較大；在配置靈活性資源后，案例2和案例3中各節(jié)點的電壓波動幅度明顯減??；相比于案例2，案例3的電壓波動幅度更小，電壓更為平穩(wěn)。

4 結論

本文針對配電網靈活性資源配置模型因非線性潮流而難以求解的問題，開展了適用于優(yōu)化配置問題的線性潮流計算研究，并建立了統(tǒng)一的靈活性資源模型，得出以下結論。

（1）本文提出了系數線性計算的全純嵌入潮流方法，給出了電壓與功率的線性解析表達式，實現了配電網電壓幅值和相角的線性計算。該方法具有較高的準確性。

（2）利用所提潮流方法，將靈活性資源多目標優(yōu)化配置模型轉化為線性混合整數模型，降低了模型的求解難度，實現了兼顧電壓穩(wěn)定與運行經濟性的靈活性資源優(yōu)化配置。