對(duì)稱度量空間上的一個(gè)注記

鄭頂偉,洪宇翔,何慶明

(廣西大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 廣西 南寧 530004)

0 引言

一個(gè)對(duì)稱度量空間[1]指的是一個(gè)序?qū)?X,d),其中X是一個(gè)非空集,d:X×X→[0,∞)是一個(gè)函數(shù),使得對(duì)x,y∈X,下列條件成立:

①d(x,y)=0當(dāng)且僅當(dāng)x=y。

②d(x,y)=d(y,x)。

對(duì)稱度量與度量空間的區(qū)別在于缺失了三角不等式。盡管如此,一些度量空間中概念可以類似地在對(duì)稱度量空間中定義。在對(duì)稱度量空間(X,d)中,序列(xn)的極限定義如下:

limd(xn,x)=0?limxn=x。

以x為中心、r為半徑的開球定義如下:

B(x,r)={y∈X:d(x,y)

與度量公理比較,對(duì)稱度量缺少三角不等式,從而通常的ε球B(x,ε)={y∈X:d(x,y)<ε}不能形成拓?fù)涞幕?/p>

一個(gè)對(duì)稱度量空間(X,d)稱為一個(gè)半度量空間,如果滿足對(duì)任意A?X,

所以,對(duì)一個(gè)對(duì)稱度量空間(X,d),如果映射c:A→c(A)={x∈X:d(x,A)=0}是閉包運(yùn)算,則(X,d)是一個(gè)半度量空間。

對(duì)稱度量與半度量的區(qū)別也可以反映在序列的收斂上[2]。在半度量空間中,d(xn,x)→0和以拓?fù)洇觗意義下xn→x是等價(jià)的。而在對(duì)稱度量空間中,以拓?fù)洇觗意義下xn→x是推不出d(xn,x)→0的,所以研究在什么條件下對(duì)稱度量空間是半度量空間是有意義的。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[1]對(duì)集合X,函數(shù)d:X×X→R+稱為X的對(duì)稱距離,若對(duì)x,y∈X,下述條件成立:

①d(x,y)=0當(dāng)且僅當(dāng)x=y。

②d(x,y)=d(y,x)。

空間X稱為對(duì)稱度量空間,如果存在X的對(duì)稱距離d,滿足U∈τ(X)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)x∈U,存在ε>0,使B(x,ε)?U,這時(shí)d稱為X的對(duì)稱度量。

若d是X的對(duì)稱距離,那么(X,d)是對(duì)稱度量空間當(dāng)且僅當(dāng)d滿足:A?X是X的閉集的充要條件是對(duì)x∈X-A,d(x,A)>0。易驗(yàn)證,對(duì)稱度量性是可加性、開遺傳性和閉遺傳性。

定義2[1]設(shè)d是X的對(duì)稱距離,d稱為X的半度量,若(X,d)是對(duì)稱度量空間,并且對(duì)x∈X和ε>0,x∈B(x,ε)°,這時(shí)(X,d)稱為半度量空間。

設(shè)(X,d)是對(duì)稱度量空間, 則有以下2種方式引入拓?fù)?

方式1U是開集當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意x∈U,存在ε>0,使得B(x,ε)?U。按照此種方式顯然生成一個(gè)拓?fù)?本文將這個(gè)拓?fù)溆洖棣?。

下面證明這2個(gè)拓?fù)涫峭粋€(gè)拓?fù)?即τ2=τ1。

證明首先證明τ1?τ2。

任意取U∈τ1,要證U∈τ2,只需證X-U是τ2中的閉集。設(shè)x∈X,d(x,X-U)=0。下證x∈X-U。

反證法。若x?X-U,則x∈U。由于U∈τ1,則存在ε>0,使得B(x,ε)?U,因此d(x,X-U)≥ε,與d(x,X-U)=0矛盾,故x∈X-U,即X-U是τ2中的閉集,則U∈τ2。τ1?τ2得證。

其次證明τ2?τ1。

設(shè)U∈τ2,則X-U是τ2中的閉集。下證U∈τ1。

反證法。若U?τ1,則存在x∈U, 對(duì)任意ε>0, 有B(x,ε)?U。

同理,可以驗(yàn)證下面關(guān)于半度量空間的定義是相同的。

① 一個(gè)對(duì)稱度量空間(X,d)稱為一個(gè)半度量空間,如果滿足對(duì)任意A?X,

② 一個(gè)對(duì)稱度量空間(X,d)稱為一個(gè)半度量空間,如果滿足對(duì)任意x∈X,ε>0,有x∈int(B(x,ε))。

由①可知,d(x,X-B(x,ε))=0,但顯然d(x,X-B(x,ε))≥ε,矛盾。

limd(x,yn)=0即d(x,A)=0。

許多學(xué)者在對(duì)稱度量空間(X,d)提出新的條件來作為三角不等式的部分替代。1931年,Wilson[3]在半度量空間上提出性質(zhì)Wilson Ⅲ(以下簡(jiǎn)稱W3)和性質(zhì)Wilson Ⅳ[3](以下簡(jiǎn)稱W4)。1993年,Czerwik[4]提出度量型(metric type:MT)性質(zhì)。1995年,Jachymski等[5]提出了性質(zhì)(JMS)。2003年,Aamri等[6]提出性質(zhì)(HE)。2006年,Mihet[7]提出性質(zhì)(W)來替換性質(zhì)(W3)和(W4)。2008年,Cho等[8]提出了一個(gè)與對(duì)稱度量d的連續(xù)性有關(guān)的新性質(zhì)(CC)。2012年,Arandelovic等[9]提出性質(zhì)(SC)。

定義3設(shè)(X,d)是一個(gè)對(duì)稱度量空間。定義下列性質(zhì):

(MT)[4]: 存在s≥1使得對(duì)任意x、y、z有d(x,z)≤s(d(x,y)+d(y,z))。

在文獻(xiàn)[9]中,Arandelovic和Keckic對(duì)對(duì)稱度量空間做了詳盡的討論,特別地,他們得到了下面的定理。

定理1設(shè)(X,d)是一個(gè)對(duì)稱度量空間,則下列條件等價(jià):

②(X,d)是一個(gè)半度量空間且每個(gè)B(x,r)是開集。

問題1設(shè)(X,d)是一個(gè)對(duì)稱度量空間且滿足性質(zhì)(W4)和(HE),那么它滿足性質(zhì)(CC)嗎?

問題2設(shè)(X,d)是一個(gè)對(duì)稱度量空間且滿足性質(zhì)(W),那么它滿足性質(zhì)(CC)嗎?

問題3設(shè)(X,d)是一個(gè)對(duì)稱度量空間且滿足度量型(metric type:MT)性質(zhì),那么它是一個(gè)半度量空間嗎?

MT性質(zhì)的對(duì)稱度量空間也被稱為度量型空間或b-度量空間。許多學(xué)者討論和研究了其上的拓?fù)湫再|(zhì)以及不動(dòng)點(diǎn)理論,獲得了一系列不動(dòng)點(diǎn)定理,可參看文獻(xiàn)[9]及其參考文獻(xiàn)。

引理1[9]設(shè)(X,d)是一個(gè)對(duì)稱度量空間且具有MT性質(zhì),則(X,d)具有性質(zhì) (W)、(W3)、(W4)、(HE)、(W) 及(JMS)。

本文主要解決上述問題:其中肯定回答問題3,而問題1和問題2則是否定回答。

2 主要結(jié)果

定理2設(shè)(X,d)是一個(gè)對(duì)稱度量空間并且滿足MT性質(zhì), 也就是說,存在s>1使得對(duì)任意x,y,z∈X,d(x,z)≤s(d(x,y)+d(y,z)), 則(X,d)是一個(gè)半度量空間。

d(x,A)=inf{d(x,a):a∈A}。

為了證明(X,d)是一個(gè)半度量空間,本文只需要驗(yàn)證映射c是拓?fù)洇觗中的閉包運(yùn)算,其中

c:A→c(A)={x∈X:d(x,A)=0}。

首先,證明若A?X是一個(gè)閉集,則c(A)=A。

因?yàn)閏(A)?A恒成立,所以只需要證明相反的包含關(guān)系c(A)?A。對(duì)x∈c(A),則d(x,A)=0,由于A是τd中的閉集,由拓?fù)涞亩x知x∈A,即c(A)?A,從而可證c(A)=A。

其次,證明對(duì)任意一個(gè)非空集A?X,c(A) 是τd中的閉集。

設(shè)x∈X使得d(x,c(A))=0, 則存在序列(xn)?c(A) 使得

(1)

(2)

由MT性質(zhì),得

(3)

那么由式(1)-(3),可得

(4)

最后,容易看出,若B是閉集且B?A, 則B?c(A)。

從以上證明可以看出,c(A)是包含A的最小閉集,從而說明映射c是拓?fù)洇觗中的閉包運(yùn)算,其中c:A→c(A)={x∈X:d(x,A)=0},也就是說(X,d)是一個(gè)半度量空間。

由定理2,本文可正面回答問題3?；诙ɡ?、引理1和文獻(xiàn)[9]中的一個(gè)例子,給出問題1與問題2否定回答。順便提一下問題2已由Shahzad等在文獻(xiàn)[10]中解決。

例1設(shè)δ>0,X=[0,1]∪{2}賦予歐氏距離d。定義d*如下:

則對(duì)x,y,z∈X,