小學(xué)畢業(yè)生數(shù)學(xué)運算能力的現(xiàn)狀及教學(xué)啟示

田淑玲

本文系河北省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2022年度“雙示范區(qū)”專項課題“創(chuàng)建基于課程標(biāo)準(zhǔn)的小學(xué)數(shù)學(xué)階段性評價體系研究”（課題編號：2207014）研究成果。

摘? ?要：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》提出的核心素養(yǎng)之一——運算能力倍受關(guān)注。選取近幾年小學(xué)畢業(yè)生質(zhì)量檢測中的數(shù)據(jù)，通過分析標(biāo)準(zhǔn)差、得分率、試題區(qū)分度、平均分四方面的數(shù)據(jù)，了解目前小學(xué)畢業(yè)生的運算能力的真實狀況，并力求通過分析典型案例得到教學(xué)的啟示。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；畢業(yè)年級；運算能力；核心素養(yǎng)；教學(xué)啟示

中圖分類號：G623.5? ?文獻標(biāo)識碼：A? ?文章編號：1009-010X（2024）01-0057-05

一、研究背景及問題

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》（以下簡稱《課標(biāo)》）在“課程目標(biāo)”中明確指出“數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，主要包括會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界?！辈⑦M一步指出：“在義務(wù)教育階段，數(shù)學(xué)思維主要表現(xiàn)為：運算能力、推理意識或推理能力。”同時指出“運算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運算律正確地進行運算的能力。”還指出運算能力的具體內(nèi)容是“能夠明晰運算的對象和意義，理解算法與算理之間的關(guān)系；能夠理解運算的問題，選擇合理簡潔的運算策略解決問題；能夠通過運算促進數(shù)學(xué)推理能力的發(fā)展?！迸囵B(yǎng)運算能力的目的是“有助于形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì)，養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實的科學(xué)態(tài)度?！?/p>

自《課標(biāo)》實施以來，許多專家教授著眼于小學(xué)生運算能力的研究，論述運算能力對提高學(xué)生核心素養(yǎng)的重要性。如上海特級教師曹培英老師從課堂教學(xué)的角度研究了如何培養(yǎng)小學(xué)生的運算能力，并提出一些培養(yǎng)策略。

在小學(xué)六年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，幾乎所有的學(xué)習(xí)內(nèi)容都與數(shù)學(xué)運算分不開，學(xué)生是否形成良好的運算能力是檢驗小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)質(zhì)量的一個重要標(biāo)準(zhǔn)，同時良好的運算能力還是學(xué)生繼續(xù)完成中學(xué)乃至大學(xué)學(xué)習(xí)的一塊基石。作為教研員，筆者經(jīng)常聽到教師們抱怨學(xué)生的運算能力不如從前的種種說法，深入課堂聽課時，發(fā)現(xiàn)很多教師知道運算能力特別重要，能引導(dǎo)學(xué)生理解算理，總結(jié)算法，并讓學(xué)生反復(fù)練習(xí)，但學(xué)生在計算時仍會出現(xiàn)各種錯誤，一些學(xué)生的運算能力達(dá)不到目標(biāo)要求，甚至有些時候會影響到進一步的數(shù)學(xué)推理和數(shù)學(xué)抽象。那么，經(jīng)過六年的學(xué)習(xí)和教師悉心培養(yǎng)的小學(xué)畢業(yè)生的運算能力究竟如何？本文以區(qū)域教學(xué)質(zhì)量檢測的真實案例對小學(xué)畢業(yè)生運算能力現(xiàn)狀做出研究和探討。

二、研究數(shù)據(jù)及方法

本次研究選取某區(qū)一次小學(xué)畢業(yè)生質(zhì)量檢測中的數(shù)據(jù)及案例，受試學(xué)生5992名。此時的學(xué)生經(jīng)歷了暑假的休息，遺忘了不少記憶性知識，沒有任何前期復(fù)習(xí)，所以測試能客觀地反應(yīng)學(xué)生經(jīng)歷小學(xué)六年的學(xué)習(xí)所形成的的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

測試運用“海云天”網(wǎng)絡(luò)閱卷系統(tǒng)中的試卷分析功能，分別對運算能力的平均分、標(biāo)準(zhǔn)差、試題區(qū)分度、得分率四方面的數(shù)據(jù)進行收集，通過后期的數(shù)據(jù)分析反應(yīng)學(xué)生運算能力的獲得狀況。其中平均分反映的是考生分?jǐn)?shù)的一般水平；標(biāo)準(zhǔn)差可以反映考生分?jǐn)?shù)的波動性大小，標(biāo)準(zhǔn)差越大說明考生分?jǐn)?shù)的波動性越大；試題區(qū)分度是反映試題對考生素質(zhì)的區(qū)分情況，數(shù)值在-1～1之間，數(shù)值越高說明試題設(shè)計越好，一般區(qū)分度要在0.3以上。區(qū)分度與難度有關(guān)，中等難度的題目區(qū)分度比較好；得分率是平均分占總分的百分比。

三、數(shù)據(jù)分析

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）解讀》一書中指出：運算能力是核心素養(yǎng)在小學(xué)階段唯一作為“能力”要求的行為表現(xiàn)，主要包括四個方面：

1.能夠根據(jù)運算律、運算法則和運算程序熟練的進行數(shù)的四則運算；

2.理解運算對象、運算律與算法之間的關(guān)系，感悟運算一致性；

3.能夠通過運算解決數(shù)學(xué)問題和簡單的實際問題；

4.能夠通過運算探究、發(fā)現(xiàn)簡單的數(shù)量關(guān)系與規(guī)律。

結(jié)合這次小學(xué)畢業(yè)生質(zhì)量檢測題目的特點，僅對以上四個方面的第“1”和第“3”兩個方面進行了數(shù)據(jù)的統(tǒng)計（如表1）。為了方便研究，本文還從數(shù)學(xué)素養(yǎng)的推理意識、數(shù)感、符號意識、運算能力、空間觀念、數(shù)據(jù)意識六個方面收集數(shù)據(jù)，以期通過對比，得到目前學(xué)生運算能力的現(xiàn)狀。

綜合分析上表，發(fā)現(xiàn)本次測試中數(shù)學(xué)運算試題的區(qū)分度分別為0.53和0.65，僅低于數(shù)據(jù)意識的區(qū)分度0.83，且1>0.53>0.3，1>0.65>0.3說明本次測試考察運算能力的試題命制較其他題目更合理、科學(xué)，能較好的區(qū)分學(xué)生的運算能力的高低；在各項能力指標(biāo)中數(shù)學(xué)運算得分率為0.79和0.67，僅高于符號意識0.66，說明本次測試中學(xué)生在數(shù)學(xué)運算方面的得分低于數(shù)感、符號意識、直觀想象，且僅高于數(shù)學(xué)抽象；同時數(shù)學(xué)運算的標(biāo)準(zhǔn)差最高，說明存在較強的兩級分化現(xiàn)象。整體看，在小學(xué)數(shù)學(xué)各項能力中，數(shù)學(xué)運算的能力偏弱。

進一步分析運算能力的兩個層次，統(tǒng)計結(jié)果顯示學(xué)生在第“1”方面“能夠根據(jù)運算律、運算法則和運算程序熟練地進行數(shù)的四則運算”上的得分率高于第“3”方面“能夠通過運算解決數(shù)學(xué)問題和簡單的實際問題?！闭f明第“1”方面的能力高于第“3”方面的能力，并且第“3”層次的標(biāo)準(zhǔn)差遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于第“1”層次，說明第“3”層次的運算能力存在較高的兩極分化現(xiàn)象。

四、現(xiàn)狀分析及對策

基于上面的統(tǒng)計結(jié)果，值得思考的兩個問題是“為什么會有這樣的結(jié)果？面對這樣的結(jié)果我們該怎么做？”我們不妨從學(xué)生的答題情況尋找答案。

從本次測試看，多數(shù)學(xué)生完成計算題和解方程題時，不論是否能運用簡便算法，都做到了算法正確，算理明晰?？梢娊處熢谄饺战虒W(xué)中對學(xué)生的要求是到位的，傳統(tǒng)的計算教學(xué)是卓有成效的。

但是，細(xì)觀學(xué)生的答題過程，發(fā)現(xiàn)目前仍存在學(xué)生對四則運算的意義理解不到位，對法則、規(guī)律的特征把握不準(zhǔn)導(dǎo)致運算能力缺失的現(xiàn)象。選取其中出錯頻率較高的題目，針對答題的實際情況，挖掘提高學(xué)生運算能力的空間。我們一共發(fā)現(xiàn)了6種現(xiàn)象如下：

（一）分?jǐn)?shù)、小數(shù)不能合理互化，造成計算難度加大，或計算錯誤

小數(shù)、分?jǐn)?shù)互化的知識是在小學(xué)五年級學(xué)習(xí)的，通過本次測試發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生沒有掌握分?jǐn)?shù)、小數(shù)互化的方法，并且運算過程中不能判斷分?jǐn)?shù)、小數(shù)是否需要互相轉(zhuǎn)化。如：當(dāng)算到4.6x=289.8時，可得到x=289.8÷4.6，不需要把4.6轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)。但學(xué)生把4.6化成分?jǐn)?shù)進行計算，轉(zhuǎn)化出現(xiàn)錯誤，導(dǎo)致結(jié)果錯誤。學(xué)生把4.6化成分?jǐn)?shù)計算，雖然計算結(jié)果正確，但加大了運算的難度。同理，學(xué)生把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)計算，互化出現(xiàn)錯誤，導(dǎo)致結(jié)果錯誤。

（二）解題方法多樣化，但有些方法、過程缺乏優(yōu)化

《課標(biāo)》指出“學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。認(rèn)真聽講、積極思考、動手實踐、自主探索、合作交流等，都是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程?！苯虒W(xué)過程中，學(xué)生經(jīng)歷自主運算的過程后必然出現(xiàn)算法多樣化的現(xiàn)象，此時教師引導(dǎo)學(xué)生對不同的算法進行對比優(yōu)化很有必要。通過本次測試發(fā)現(xiàn)學(xué)生解答計算題時用到的方法比較多，但缺少優(yōu)化。如：一道解比例的題目，運用比例的基本性質(zhì)，將2.5：12=：x轉(zhuǎn)化成2.5 x =12 ×，再解方程是最佳方法，但學(xué)生先把比轉(zhuǎn)化成除法，使比例式轉(zhuǎn)化成方程再解方程，盡管計算結(jié)果正確，但加大了運算的難度。

（三）不能根據(jù)題目特點尋求合理簡潔的運算途徑，導(dǎo)致結(jié)果錯誤

乘法分配律的知識是在小學(xué)四年級學(xué)習(xí)的，之后教材上便很少出現(xiàn)利用運算定律解決問題的例子，教師們在教學(xué)中多少有些忽視，導(dǎo)致學(xué)生們在運算時出現(xiàn)一個怪現(xiàn)象，即只有要求用簡便方法計算時才意識到使用運算定律簡算。而本次測試恰恰沒有要求學(xué)生用簡便方法計算，很多學(xué)生便沒有簡算的意識了。雖然不用簡便方法算不會丟分，但能夠根據(jù)題目特點尋求合理簡潔的運算途徑解決問題是運算能力的內(nèi)涵之一，學(xué)生簡算的意識缺失也是運算能力缺失的一個方面。如：利用乘法分配律進行計算是最簡潔的方法，但部分學(xué)生對乘法分配律的特征沒有掌握，或者說是沒有養(yǎng)成用簡便方法計算的習(xí)慣。還有一些學(xué)生把分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)或是把小數(shù)轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)計算，雖然都能計算，但是難度明顯加大，而且發(fā)生錯誤的幾率也明顯增加。

針對以上問題，建議教師在小學(xué)低年級就重視學(xué)生的運算能力，積少成多，才能蛻變成蝶。平時的教學(xué)中還要細(xì)心發(fā)現(xiàn)來自學(xué)生的不同算法，并善于把幾種算法都呈現(xiàn)出來，讓學(xué)生們經(jīng)歷觀察、比較、思考的過程，自主發(fā)現(xiàn)計算簡捷、步驟精煉的最優(yōu)的運算方法，讓學(xué)生掌握一定的計算技巧。

（四）運算的法則、方法缺失

分?jǐn)?shù)除法、乘法、約分的知識是在小學(xué)五年級學(xué)習(xí)的，通過測試發(fā)現(xiàn)，部分學(xué)生一直到小學(xué)畢業(yè)也沒有突破了這個難點。如：學(xué)生在遇到分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)時，不會計算兩個帶分?jǐn)?shù)的除法，或?qū)s分的知識不敏感，導(dǎo)致錯誤。等式的基本性質(zhì)是小學(xué)五年級的知識，但多數(shù)學(xué)生在解方程時不愿意使用或使用不當(dāng)。比例的基本性質(zhì)是六年級的知識，學(xué)生運用時常發(fā)生內(nèi)外項的錯亂。如： 2.5x=，往下算時，運用乘法各部分間的關(guān)系“一個因數(shù)=積÷另一個因數(shù)”出現(xiàn)問題。遇到這樣的問題時，約70％的學(xué)生會自覺地運用乘法各部分間的關(guān)系繼續(xù)往下算，如果學(xué)生運用等式的基本性質(zhì)，將方程的左右兩邊同時除以2.5，就會避免錯誤的發(fā)生。還有對比例的基本性質(zhì)掌握不好導(dǎo)致的錯誤。有學(xué)生不愿意接受方程的性質(zhì)，嫌棄書寫繁瑣的原因，更有教師教學(xué)的因素，建議教師認(rèn)真領(lǐng)會教材的編排意圖，加強校本研修，改進教學(xué)方法，加強算理教學(xué)，讓學(xué)生感受計算的合理性。

（五）不關(guān)注細(xì)節(jié)，因小失大現(xiàn)象較多

小學(xué)生除了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識外，更重要的是要養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，為今后的人生奠定良好的基礎(chǔ)。本次測試發(fā)現(xiàn)學(xué)生因為心里毛糙，解題步驟書寫不全，或書寫亂、反復(fù)涂改導(dǎo)致結(jié)果錯誤的現(xiàn)象較多。遇到結(jié)果不能除盡時，有的學(xué)生在計算時出錯、有的在保留近似值的時候出錯，這樣的錯誤人數(shù)約占總參考人數(shù)的15.1%。建議教師平時多發(fā)現(xiàn)學(xué)生書寫的問題，并給學(xué)生提供自我查找問題的機會，知道提高運算能力要關(guān)注細(xì)節(jié)，書寫完整、整潔可以避免小毛病的發(fā)生。

（六）在綜合運用已掌握的計算方法、運算法則、選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蟮媒Y(jié)果時，分步計算的結(jié)果出錯嚴(yán)重

整體上，從《課標(biāo)》提出的學(xué)生學(xué)習(xí)的四個層次看，學(xué)生在了解、理解、掌握三個層面的學(xué)習(xí)效果優(yōu)于運用層面。如，學(xué)生能分別理解、掌握單位換算、計算時間和按比例分配問題，但當(dāng)把單位換算、計算時間和按比例分配三個問題綜合起來放在一個情境下時，學(xué)生就出現(xiàn)各種各樣運算的問題。如：

小明和小強兩家相距2.4千米，星期天兩人約好從各自家里步行出發(fā)相向而行，見面后一起去圖書館。他們上午8：50出發(fā)，9：10分見面了，小明和小強步行的速度比是11：13。小明和小強每分鐘各走多少米？

本題參考答案如下：

經(jīng)過時間：9點10分-8點50分=20分

單位換算：2.4千米=2400米

速度和：2400÷20=120（米/分）

小明走的路程：120×=55（米/分）或120÷（11+13）×11=55（米/分）

小強走的路程：120×=65（米/分）或120÷（11+13）×13=65（米/分）

分析答題情況統(tǒng)計數(shù)據(jù)（見表2）發(fā)現(xiàn)，在所有答題出現(xiàn)的錯誤中，分步算式計算結(jié)果出現(xiàn)的錯誤占到錯誤總量的（7.73%+8.25%+9.75%+11.15%+0.41%）38.29％，近40％ ， 這是一個值得思考的數(shù)據(jù)，里面隱含了巨大的提升空間。

表2 答題情況統(tǒng)計表

五、教學(xué)啟示

盡管這次檢測僅是一次評價，數(shù)據(jù)也有一定的偶然性，但從一個側(cè)面反映出小學(xué)畢業(yè)生運算能力的實際狀況，即目前小學(xué)畢業(yè)生的運算能力弱于其他各項素養(yǎng)，并且只有當(dāng)學(xué)生面對現(xiàn)成的計算題，需要直接運用法則求得結(jié)果時，才會表現(xiàn)出較好的的運算能力，而當(dāng)他們面對一個實際問題，需要理解算理和運算對象，分析數(shù)量關(guān)系，選擇運算方法求得結(jié)果時，表現(xiàn)出的運算能力較弱，并且兩極分化嚴(yán)重。分析學(xué)生答題情況給我們的啟示是提高小學(xué)生的運算能力需要日積月累，第一，從計算的合理性入手，理解算理和運算的一致性是關(guān)鍵，而非單純地練習(xí)口算；第二，不能忽視計算的技巧性，要重視計算方法、技巧的總結(jié)，特別是在解決問題的過程中也要重視運算的技巧性；第三，適度練習(xí)，才能提高計算的準(zhǔn)確性。

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版集團，2022.4.

［2］義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）解讀［M］.北京：北京師范大學(xué)出版集團，2022.8.