基于CPFS結(jié)構(gòu)的圓錐曲線教學(xué)研究

黃婕

摘 要：良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)應(yīng)該呈現(xiàn)出一個層次分明的網(wǎng)絡(luò)形式，如何構(gòu)建起一個完整的數(shù)學(xué)認(rèn)知框架對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)起著關(guān)鍵作用.本文利用CPFS結(jié)構(gòu)理論來分析高中圓錐曲線的CPFS結(jié)構(gòu)，并以“橢圓的簡單幾何性質(zhì)”一課為例，進(jìn)行基于CPFS結(jié)構(gòu)理論的圓錐曲線教學(xué)研究.

關(guān)鍵詞：CPFS結(jié)構(gòu)；圓錐曲線；教學(xué)研究

在眾多影響學(xué)生學(xué)習(xí)的因素中，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是最為重要的影響因素^［1］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程是讓學(xué)習(xí)者的認(rèn)知結(jié)構(gòu)日益完善的過程，這一點在現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育家中被廣泛認(rèn)可^［2］.CPFS結(jié)構(gòu)是一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)特有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)^［3］.它可以幫助學(xué)生更好地理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識，從而加深他們對數(shù)學(xué)的理解，提高他們的數(shù)學(xué)能力.

1 CPFS結(jié)構(gòu)組成

CPFS結(jié)構(gòu)由四部分組成：概念域、概念系、命題域和命題系^［3］.CPFS是一個高度抽象的數(shù)學(xué)概念，是一個命題及其中包含的數(shù)學(xué)思維的有機整體. CPFS比數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)具有更高的精確度，能夠?qū)W(xué)習(xí)者的邏輯思維進(jìn)行訓(xùn)練，并對其終身學(xué)習(xí)能力的發(fā)展起到推動作用.

1.1 概念域

概念域是指這個概念完全等效定義的圖式.更確切地說，就是指某一概念（知識）的某些等價定義在個人腦海中所構(gòu)成的知識網(wǎng)絡(luò)與個人對于數(shù)學(xué)知識的表征^［3］.

1.2 概念系

通俗地說，某一概念的全部等價概念就共同組成一個概念域，而概念系是指概念間所滿足的一組關(guān)系^［3］.概念系強調(diào)若干數(shù)學(xué)概念間的互相關(guān)聯(lián)，亦要求學(xué)習(xí)者把腦海中原有知識與新學(xué)概念建立聯(lián)系，即架起新、舊知識間的橋梁，讓腦海中知識構(gòu)成一個關(guān)聯(lián)的整體.

1.3 命題域

等價命題網(wǎng)絡(luò)是由典型命題的等價命題集與連接這些命題之間的互推關(guān)系所構(gòu)成的，等價命題網(wǎng)絡(luò)的圖式就稱為典型命題的命題域^［3］.對于給定一個特殊的數(shù)學(xué)問題或一類特殊的實際問題，可以利用這個最易被理解的典型命題來研究它所對應(yīng)的具體對象之間的聯(lián)系.

1.4 命題系

在一個命題集中，每個命題都至少與其他命題存在一種“演繹”上的關(guān)聯(lián)，這樣該命題就被劃分為一個半等價命題的圖式^［3］.經(jīng)過仔細(xì)分析，不難發(fā)現(xiàn)，在大多數(shù)情況下，命題系實際上是一個自然擴(kuò)展的命題域，而命題域?qū)嶋H上是某個命題系的一個子圖式.

2 基于CPFS結(jié)構(gòu)理論的圓錐曲線教學(xué)研究

2.1 教學(xué)內(nèi)容分析

本節(jié)課的內(nèi)容選自人教A版選擇性必修第一冊中的“橢圓的簡單幾何性質(zhì)”.

在解析幾何領(lǐng)域，一個基本問題是利用曲線方程研究曲線的幾何性質(zhì)，而“橢圓的簡單幾何性質(zhì)”則是學(xué)生首次系統(tǒng)地學(xué)習(xí)如何在解析幾何中運用代數(shù)手段來研究曲線性質(zhì)，這為后續(xù)基于方程研究雙曲線、拋物線甚至一般曲線的幾何性質(zhì)都具有示范作用.

2.2 學(xué)生學(xué)情分析

關(guān)于解析幾何中的直線、圓等基礎(chǔ)知識，以及在上一節(jié)課中所學(xué)習(xí)的橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，學(xué)生已經(jīng)有了一定的掌握，學(xué)生也有用函數(shù)圖象研究相應(yīng)函數(shù)性質(zhì)的經(jīng)歷.在高中階段，大多數(shù)學(xué)生的思維更加靈活，對于學(xué)習(xí)的熱情也很高，參與意識強烈，有一定動手體驗和探究的興趣.但總體上學(xué)生創(chuàng)造力較弱，看待與分析問題不深入，知識的系統(tǒng)性不完善，需要進(jìn)一步提高邏輯推理等方面的能力.

2.3 教學(xué)目標(biāo)設(shè)定

基于上述教材內(nèi)容分析和學(xué)生學(xué)情分析，設(shè)定教學(xué)目標(biāo)如下.

（1）掌握橢圓的簡單幾何性質(zhì)，并能初步運用其性質(zhì)解決問題.

（2）類比函數(shù)性質(zhì)的研究，經(jīng)歷橢圓幾何性質(zhì)的推導(dǎo)和證明過程.通過圖形觀察和代數(shù)證明，建立橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程結(jié)構(gòu)特點和幾何性質(zhì)之間的聯(lián)系.

（3）掌握利用曲線方程探索曲線性質(zhì)的一般方法，感知數(shù)形結(jié)合、類比、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想方法，促進(jìn)學(xué)生直觀想象，邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展，擴(kuò)充和完善學(xué)生的CPFS結(jié)構(gòu).

2.4 教學(xué)設(shè)計

片段一：創(chuàng)設(shè)問題情境，促進(jìn)CPFS結(jié)構(gòu)聯(lián)系性發(fā)展

師生活動：教師請學(xué)生嘗試?yán)L制橢圓x²9＋y²4＝1，教師進(jìn)行巡視并適當(dāng)指導(dǎo)，在作圖過程中，學(xué)生主要運用定義法、描點法和幾何性質(zhì)法三種方案.

問題1：橢圓可能有哪些幾何性質(zhì)？怎么研究這些幾何性質(zhì)？

設(shè)計意圖：通過創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問題類情境，激發(fā)學(xué)生思考.讓學(xué)生在作圖過程中，感受到定義法和描點法存在不足，引發(fā)認(rèn)知沖突，教師進(jìn)而闡明利用幾何性質(zhì)作圖的必要性，由此順利地引入課題.該情境的創(chuàng)設(shè)基于學(xué)生前面所學(xué)的相關(guān)知識，不僅可以重新回顧現(xiàn)有的知識結(jié)構(gòu)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，更能夠幫助學(xué)生建立前后知識間的連貫性，為擴(kuò)展橢圓CPFS結(jié)構(gòu)做好充分準(zhǔn)備.

師生活動：教師讓每個學(xué)生任意繪制一個橢圓x²a²＋y²b²＝1（a＞b＞0），相互對照，觀察這些橢圓的圖象，它們在“形”的角度有沒有異同點？學(xué)生自行繪制并比較，在教師的引導(dǎo)下得出結(jié)論.

問題2：橢圓作為一種曲線，曲線的方程和函數(shù)的解析式之間有什么關(guān)系？由此你有什么啟發(fā)？

問題3：以前我們研究過函數(shù)的哪些性質(zhì)？ 這些性質(zhì)和橢圓的幾何性質(zhì)有聯(lián)系嗎？

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生通過觀察圖象，初步形成對橢圓幾何性質(zhì)的整體印象，找到橢圓之間的共同點：范圍、對稱性、頂點.不同點：扁平程度.為后續(xù)研究圓錐曲線的幾何性質(zhì)奠定了基礎(chǔ).引導(dǎo)學(xué)生將曲線的方程與函數(shù)解析式進(jìn)行類比，幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，促進(jìn)CPFS結(jié)構(gòu)聯(lián)系性發(fā)展.

片段二：設(shè)計探究活動，促進(jìn)CPFS結(jié)構(gòu)形成性發(fā)展

任務(wù)一：限定橢圓的范圍

問題4：什么是函數(shù)的定義域和值域？

追問1：類比研究函數(shù)的定義域和值域，你認(rèn)為可以研究橢圓的什么性質(zhì)？

追問2：觀察橢圓的圖象，橢圓的范圍是什么？

追問3：我們能通過橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程x²a²＋y²b²＝1來確定它的范圍嗎？

設(shè)計意圖：類比函數(shù)的定義域和值域，學(xué)生猜想可以研究橢圓的范圍.先讓學(xué)生從圖象上直觀感知，再用代數(shù)法進(jìn)行驗證，最終得到橢圓的范圍.學(xué)生在觀察圖象和數(shù)學(xué)運算中深刻體會到函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合的思想.

任務(wù)二：探究橢圓的對稱性

問題5：在“形”和“數(shù)”這兩個方面，函數(shù)的奇偶性分別有什么結(jié)論？

問題6：類比函數(shù)的奇偶性，你認(rèn)為可以研究橢圓的什么性質(zhì)？可以從哪些方面進(jìn)行研究？

追問：從“形”上看，橢圓具有什么特征？能從“數(shù)”的角度進(jìn)一步驗證嗎？

設(shè)計意圖：在通過觀察圖象直觀得到橢圓具有對稱性的基礎(chǔ)上，再進(jìn)一步利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程來證明，從而更深刻地領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合的思想.教師運用問題鏈的方式對學(xué)生進(jìn)行追問，可以引導(dǎo)他們逐步建立起各個知識點之間的相互關(guān)聯(lián)，并不斷形成和拓展CPFS結(jié)構(gòu).

任務(wù)三：尋找橢圓的頂點

問題7：在圖象上，函數(shù)的最值指的是什么？

追問1：類比函數(shù)的最值可以研究橢圓的什么性質(zhì)？

追問2：類比函數(shù)頂點的定義和結(jié)合圖象觀察，橢圓有幾個頂點？具體是哪些？

設(shè)計意圖：類比函數(shù)的頂點定義引導(dǎo)學(xué)生刻畫橢圓的頂點，再利用幾何直觀進(jìn)一步研究得出橢圓的頂點坐標(biāo)，在這過程中讓學(xué)生體會到類比遷移和數(shù)形結(jié)合的思想，提高了思維的深刻性.在本任務(wù)中，教師主要通過提出一系列問題來整理和總結(jié)結(jié)論，有助于學(xué)生能夠有條不紊地將該部分知識整合到他們的CPFS結(jié)構(gòu)中.

任務(wù)四：掌握橢圓的離心率

問題8：根據(jù)剛剛所學(xué)知識，請同學(xué)們嘗試在同一直角坐標(biāo)系上繪制出橢圓x²36＋y²9＝1和x²36＋y²16＝1的圖象.觀察圖象，它們在形狀上有何差異嗎？

追問1：在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，哪些量的變化會導(dǎo)致橢圓的扁平程度不同？請再嘗試畫出橢圓x²25＋y²16＝1進(jìn)行分析.

追問2：畫出三個橢圓的邊界矩形，觀察并思考，a和b怎么影響邊界矩形的扁平程度？

設(shè)計意圖：通過繪制三個不同的橢圓，學(xué)生可以更直接感受到橢圓扁平程度的差異.利用“數(shù)形結(jié)合”引導(dǎo)學(xué)生找出影響橢圓扁平程度的參數(shù)，并以邊界矩形為“橋梁”進(jìn)一步尋找參數(shù)a，b與橢圓扁平程度的關(guān)系.

問題9：能否從橢圓的定義出發(fā)，利用橢圓的基本量a和c來刻畫橢圓的扁平程度？

師生活動：教師運用信息技術(shù)，根據(jù)橢圓的定義畫出給定長軸的長度和焦點坐標(biāo)的橢圓，引導(dǎo)學(xué)生觀察并思考：保持半焦距c不變，拖動頂點的位置，或者保持長半軸長a不變，拖動焦點的位置發(fā)現(xiàn)了什么？將a，c同時放大或縮小，又發(fā)現(xiàn)了什么？ 師生共同討論得出結(jié)論并給出離心率e的概念.

問題10：離心率e的取值范圍是多少？能嘗試從代數(shù)的角度說明離心率e如何影響橢圓的扁平程度嗎？

設(shè)計意圖：教師根據(jù)a，b，c之間的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生從ba過渡到ca刻畫橢圓的扁平程度.通過信息技術(shù)的形象展示，使學(xué)生能夠更直觀地感知橢圓扁平程度的變化，進(jìn)而建立數(shù)學(xué)模型e＝ca來反映橢圓的扁平程度，領(lǐng)悟其變化規(guī)律.在代數(shù)運算過程中，學(xué)生也進(jìn)一步明晰了離心率的變化對橢圓扁平程度的具體影響，從而深刻理解離心率的概念.

在本教學(xué)片段中，教師利用設(shè)計探究活動和問題鏈的方式引導(dǎo)學(xué)生親身經(jīng)歷知識的形成過程，以激發(fā)學(xué)生逐步構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)，促進(jìn)

CPFS結(jié)構(gòu)形成性發(fā)展，提高學(xué)生的核心素養(yǎng).

片段三：指導(dǎo)知識建構(gòu)，促進(jìn)CPFS結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)性發(fā)展

問題11：請你根據(jù)前面的探究，嘗試總結(jié)出焦點在坐標(biāo)軸上的橢圓的幾何性質(zhì).

設(shè)計意圖：通過類比已有知識，將新舊知識進(jìn)行連接，學(xué)生能夠自主總結(jié)出焦點在坐標(biāo)軸上的橢圓的幾何性質(zhì).這個主動發(fā)現(xiàn)、探索和創(chuàng)造的過程，有利于激發(fā)他們的邏輯思維能力，還為他們在學(xué)習(xí)雙曲線和拋物線的幾何性質(zhì)時提供堅實的基礎(chǔ).同時，還能幫助學(xué)生建構(gòu)知識，將所學(xué)知識有機地融合在一起，形成一個相互關(guān)聯(lián)、有序的整體，促進(jìn)CPFS結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)性發(fā)展.

片段四：運用變式練習(xí)，促進(jìn)CPFS結(jié)構(gòu)深化性發(fā)展

例題：已知橢圓的焦點在x軸上，a＝5，e＝35，求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

變式：已知橢圓經(jīng)過兩點（-22，0）和（0，2），求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

設(shè)計意圖：通過變式練習(xí)讓學(xué)生學(xué)會分析問題，尋找問題的切入點，加深學(xué)生對橢圓幾何性質(zhì)的認(rèn)識與應(yīng)用，進(jìn)而拓展思維，合理鏈接知識，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性與全面性，鞏固和完善他們頭腦中剛剛建立起來的

CPFS結(jié)構(gòu)，促進(jìn)CPFS結(jié)構(gòu)深化性發(fā)展.

片段五：總結(jié)強化提升，促進(jìn)CPFS結(jié)構(gòu)整體性發(fā)展

問題12：梳理本節(jié)課的所學(xué)知識以及探究過程，請嘗試從知識、方法、數(shù)學(xué)思想等幾個方面說說有哪些收獲？

師生活動：師生共同構(gòu)建本節(jié)課的知識和思想方法結(jié)構(gòu)圖，促進(jìn)學(xué)生知識的系統(tǒng)化.

設(shè)計意圖：教師幫助學(xué)生建立知識間的縱橫聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)知識的整體結(jié)構(gòu)，總結(jié)形成思想方法體系，從而提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，促進(jìn)CPFS結(jié)構(gòu)整體性發(fā)展.

3 基于CPFS結(jié)構(gòu)理論的圓錐曲線教學(xué)策略

3.1 變式教學(xué)——多元表征理解所學(xué)，構(gòu)建完備知識網(wǎng)絡(luò)

在日常的教學(xué)過程中，教師可以采用變式教學(xué)來擴(kuò)充和完善學(xué)生的CPFS結(jié)構(gòu).變式教學(xué)可以幫助學(xué)生從多個角度全面理解所學(xué)內(nèi)容，從而獲得更加深入的學(xué)習(xí)體驗.此外，為了提高教育教學(xué)的質(zhì)量，教師需要對知識內(nèi)涵進(jìn)行深入剖析，并巧妙地將概念、習(xí)題以及命題的多種變化形式應(yīng)用于實際教學(xué)中.教師還可以運用點帶面的思維方式，通過對所學(xué)內(nèi)容的延伸和擴(kuò)展，構(gòu)建一個完備的知識網(wǎng)絡(luò)^［4］.

在教學(xué)實踐中，教師應(yīng)當(dāng)采用多樣化的教學(xué)方法，以協(xié)助學(xué)生全面掌握各種表達(dá)形式，從而使他們能夠精準(zhǔn)地理解不同形式之間的差異和相似之處^［5］.比如，當(dāng)教授“橢圓的概念”時，教師應(yīng)運用多種教學(xué)方法，多角度闡釋橢圓的概念，進(jìn)而幫助學(xué)生更好地理解抽象的概念.先以日常生活中常見的橢圓形物體或圖片為切入點，幫助學(xué)生初步理解橢圓的概念，從而將其引入本次教學(xué).接著，結(jié)合生活實例，將橢圓與現(xiàn)實生活聯(lián)系起來，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲.以學(xué)生為中心，引導(dǎo)他們深入了解橢圓的形成過程，從而順暢地闡述橢圓的第一定義，進(jìn)一步加強學(xué)生對橢圓定義的理解.再結(jié)合相關(guān)案例來分析討論如何利用生活實例講解橢圓的第二定義，從而使學(xué)生更好地感受到橢圓是什么以及它存在的意義.緊隨其后，教師可以運用多種類型的實例，深入地探討橢圓的概念.在課程的末尾，引導(dǎo)學(xué)生歸納和總結(jié)橢圓的定義，來促進(jìn)對橢圓定義的全面理解，并將其融入到自己的知識網(wǎng)絡(luò)中，從而建立一個更加系統(tǒng)的知識框架，實現(xiàn)完整CPFS結(jié)構(gòu)的構(gòu)建.

3.2 分層教學(xué)——尊重差異因材施教，塑造個性知識結(jié)構(gòu)

在日常的教學(xué)過程中，由于受到多種因素的影響，學(xué)生在知識水平、認(rèn)知結(jié)構(gòu)等方面難免會存在差異.因此，教師必須精準(zhǔn)地洞察學(xué)生之間的差異，并根據(jù)這些差異對學(xué)生進(jìn)行分組，以便為不同層次的學(xué)生量身定制適宜的授課方式，從而激發(fā)他們在學(xué)習(xí)過程中的自發(fā)性和積極性，幫助他們塑造個性化知識結(jié)構(gòu)^［6］.

在教授圓錐曲線的課程時，對于那些已經(jīng)建立了相當(dāng)完備的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的學(xué)生，教師可以教授更具綜合性和動態(tài)性的問題，如弦或弦長求定值或最值等問題，這有助于提升其認(rèn)知水平，提高學(xué)習(xí)效率，進(jìn)一步加強和鞏固他們的認(rèn)知框架.在講解綜合性較強的問題時，教師可以特別關(guān)注學(xué)生對數(shù)學(xué)思維方法的運用，這樣不但可以幫助他們準(zhǔn)確理解相關(guān)知識之間的聯(lián)系，還可以增強他們的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而能有效促進(jìn)學(xué)生綜合素質(zhì)的提升.然而，對于那些在認(rèn)知結(jié)構(gòu)上存在缺陷的其他學(xué)生而言，教師應(yīng)當(dāng)避免傳授過于綜合的知識或練習(xí).教師可以以圓錐曲線的定義為出發(fā)點，引導(dǎo)學(xué)生將問題的本質(zhì)歸納為圓錐曲線定義的變形.在此基礎(chǔ)上再設(shè)計出幾個例題來引導(dǎo)學(xué)生去探索其中所蘊含的幾何意義，以此來協(xié)助學(xué)生逐步擴(kuò)充和完善CPFS結(jié)構(gòu)，以適應(yīng)不斷變化的教學(xué)需求.

3.3 問題鏈教學(xué)——積極思考自主探究，擴(kuò)充完善認(rèn)知體系

目前來看，由于受到傳統(tǒng)應(yīng)試教育觀念的影響，大多數(shù)老師都是將課堂上傳授的理論知識作為唯一的目標(biāo)，忽略了課堂教學(xué)中所滲透出來的思維方法、思想情感等方面的教育，這樣被動地接受知識嚴(yán)重阻礙了學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成^［7］.因此，教師需要采用更有利于學(xué)生形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)的問題鏈?zhǔn)浇虒W(xué)模式.這種方式有利于提高課堂教學(xué)效率，培養(yǎng)學(xué)生自主探究能力.通過運用問題鏈，引導(dǎo)學(xué)生積極思考，不斷深化對知識的理解和方法的運用，從而進(jìn)一步擴(kuò)充和完善他們的認(rèn)知體系.

比如，在教授“橢圓的定義”這一教學(xué)內(nèi)容時，教師可以提出以下問題鏈：問題一：回顧之前學(xué)習(xí)圓的過程，是怎樣得到圓的定義的？問題二：圓與橢圓之間存在什么聯(lián)系？圓怎么變化能得到橢圓？問題三：圓上的點的軌跡必須滿足哪些條件？問題四：類比所描述的圓上點的軌跡，嘗試說一說橢圓上點的運動軌跡？通過設(shè)計問題鏈，利用圓的定義來探究橢圓定義的本質(zhì)，這樣不僅有助于學(xué)生在不同知識之間建立更加緊密的聯(lián)系，還能提高他們靈活地將知識運用到實際中解決問題的能力.

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