基于局部焦距追跡計算優(yōu)化的廣角鏡頭設(shè)計方法

陳露，劉輝，封志明，陳熙源，張帆，許寧晏，袁群，高志山

（1 江蘇省計量科學研究院（江蘇省能源計量數(shù)據(jù)中心），南京 210023） （2 東南大學 儀器科學與工程學院，南京 210018） （3 南京理工大學 電子工程與光電技術(shù)學院，南京 210094）

0 引言

光線追跡是開展光學系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計的基礎(chǔ)手段?；赟nell 定律的光線追跡計算既可以獲得光學系統(tǒng)的焦距、入瞳、F數(shù)等一階參數(shù)，也可以獲得各類型像差分量。相較于描述成像清晰度的像差，畸變最為特殊，它通過追跡各視場主光線在像面上的高度，計算與理想投影模型的偏差，描述物像映射的變形量［1-3］。投影模型規(guī)定了光學系統(tǒng)成像關(guān)系中物方視場角與像高的關(guān)系。常規(guī)的投影模型為等線投影映射，當光學系統(tǒng)的視場較大時，演變出了等距投影映射。體視投影映射、等立體角投影映射、正交投影映射也有相應(yīng)復雜場景的應(yīng)用［4-5］。顯而易見，投影模型中物方視場角和像高由焦距相關(guān)聯(lián)。

焦距是光學系統(tǒng)最基礎(chǔ)的特性參數(shù)，其本征定義為像方主面與像方焦點之間的距離，通過追跡零視場小孔徑近軸光線計算獲取，該計算方式描述稱為“小孔徑法”。光學設(shè)計軟件中的有效焦距（Effective Focal Length，EFL）即是采用“小孔徑法”追跡計算獲得的。但“小孔徑法”依托的數(shù)理定義難以指導開展實驗測量，其原因在于入瞳上高度極小的小孔徑近軸光線過于理想，是數(shù)學描述上存在而物理實踐上難以操控的光線。通常采用“小像高法”實驗測量光學系統(tǒng)焦距，即測量零視場旁極小視場角的旁軸光線對應(yīng)的像高計算焦距，該方式在光學設(shè)計中亦可通過光線追跡計算實現(xiàn)，在光學設(shè)計軟件中體現(xiàn)為畸變焦距（Distortion Focal Length，DFL）。盡管“小像高法”選定的是極小視場角的旁軸光線，但與“小孔徑法”的焦距本征定義相比，“小像高法”測得的焦距中因有視場要素，仍不免耦合了成像畸變。如果以“小孔徑法”作為焦距的設(shè)計描述，以“小像高法”作為焦距的測量描述，則存在著設(shè)計指標不是檢驗指標的邏輯矛盾。

光學系統(tǒng)設(shè)計時，一般通過在評價函數(shù)中追跡控制各采樣視場主光線的實際像高與投影模型規(guī)定的理想像高的偏差量實現(xiàn)對畸變的優(yōu)化校正。在光學系統(tǒng)實物加工完成后，采用對標準網(wǎng)格板成像的方式可以實現(xiàn)畸變的測量。但對于大視場的光學系統(tǒng)，比如視場角超過120°的廣角鏡頭，網(wǎng)格板構(gòu)建困難，通常采用精密測角法標定鏡頭的畸變，確立實際的物像映射關(guān)系［6-9］。

“小像高法”作為焦距測量的描述方式，與投影模型的定義高度吻合，是投影模型中視場角極小時的特殊情況。畸變是視場相關(guān)的參數(shù)，如果將焦距也變成視場相關(guān)的參數(shù)，則可以對其賦予“小像高法”的定義［10］?？紤]到焦距和畸變共同描述了實際光學系統(tǒng)的物像映射關(guān)系，本文將焦距的內(nèi)涵由零視場拓展至全視場，對非零視場也賦予焦距值，形成局部焦距（Local Focal Length，LFL）的概念。采用“小像高法”的定義方式對局部焦距進行賦值，可以描述各視場處，極小視場角增量光線對應(yīng)的像高增量。繼而，原本由傳統(tǒng)焦距和畸變共同描述的物像映射關(guān)系，可以由局部焦距這一單一參量表征。局部焦距全面覆蓋了軸上和軸外視場，解決了傳統(tǒng)焦距“小像高法”測量描述中耦合畸變的問題。按照上述思路，可由理想投影模型推導光學設(shè)計時局部焦距的目標值，實際局部焦距與目標值的偏差也等價于畸變。另一方面，可以基于精密測角法的原理，按照“小像高法”測量局部焦距，實現(xiàn)設(shè)計描述和測量描述的統(tǒng)一。本文在廣角鏡頭的設(shè)計中引入局部焦距，開展優(yōu)化設(shè)計方法研究，旨在通過對全視場范圍內(nèi)局部焦距的追跡計算和優(yōu)化控制，滿足各類型復雜的物像映射關(guān)系。

1 局部焦距的定義

1.1 焦距的“小孔徑法”和“小像高法”描述

光學系統(tǒng)焦距的本征定義如圖1（a），是像方主面與像方焦點之間的距離。依照“小孔徑法”，追跡平行于光軸、在入瞳上高度值h極小的近軸光線，獲取其經(jīng)光學系統(tǒng)與光軸的夾角U′計算焦距。

圖1 焦距的追跡計算方法Fig. 1 Principles for focal length calculation utilizing ray tracing

焦距的“小像高法”定義方式如圖1（b），追跡過入瞳中心、與光軸夾角ω極小的旁軸光線，獲取其在像面（焦面）上的高度y′計算焦距。

在光學設(shè)計軟件中，無論是平行于光軸、在入瞳上高度值h極小的近軸光線，還是過入瞳中心、與光軸夾角ω極小的旁軸光線，均可以通過設(shè)置合理的光瞳和視場采樣，追跡滿足上述要求的特征光線。

然而，由于實驗采用的測量光束存在一定的口徑，無限接近于光軸的細光路難以物理實現(xiàn)，導致準確測量會聚光線與光軸的夾角極其困難。相對而言，角度和像高的測量更具有物理實操的可行性，現(xiàn)有的焦距測量方法大多采用精密測角法?！靶∠窀叻ā敝敢私咕嗟膶嶒灉y量，但軸外視場的像高中不可避免地耦合了畸變。因此，對于視場較大、畸變像差較為顯著的光學系統(tǒng)，其有效焦距和畸變焦距通常不一樣。在光學設(shè)計的過程中，設(shè)計時通常只關(guān)注有效焦距，忽略畸變焦距，造成設(shè)計指標和檢驗指標的不一致。

1.2 局部焦距的“小像高法”定義

將焦距的內(nèi)涵從軸上視場拓展到軸外視場，則形成局部焦距的概念，局部焦距采用“小像高法”的定義方式全面覆蓋了從軸上零視場到軸外邊緣視場所有各視場角對應(yīng)的焦距值。如圖2 所示，假定在全視場范圍內(nèi)某個視場角θ的主光線在焦面上的像高為y′，追跡相對該視場角有極小視場角增量Δθ的主光線，獲得對應(yīng)的像高增量Δy′，則視場角θ時的局部焦距LFL 表示為

圖2 局部焦距的定義Fig. 2 Definitions for local focal length.

上述的視場角增量Δθ按照徑向方向增長，適用于旋轉(zhuǎn)對稱的光學系統(tǒng)。對于旋轉(zhuǎn)非對稱的光學系統(tǒng)，需要在子午和弧矢，甚至更復雜的方向引入視場角增量，計算多方向的局部焦距值。

1.3 投影模型的局部焦距

按照式（3）求解等線投影映射、等距投影映射、體視投影映射、等立體角投影映射、正交投影映射的局部焦距，將其表達式列入表1。等距投影模型的各視場局部焦距值相同。

表1 投影模型的局部焦距Table 1 Local focal length for projection models

2 廣角鏡頭的設(shè)計

小視場光學系統(tǒng)的物像映射投影關(guān)系較為簡單，而大視場光學系統(tǒng)的物方場景較為復雜，目標映射的需求也不盡相同。因此，本文研究將局部焦距的調(diào)控變換應(yīng)用到廣角鏡頭的設(shè)計中。

2.1 中央視場等線投影的160°魚眼鏡頭

魚眼鏡頭是一種典型的超廣角光學系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)特點是第一片透鏡呈彎月型，可實現(xiàn)超廣角入射光線的大傾角變化，其視場接近甚至超過180°。由于魚眼鏡頭的視場較大，如果按照大多數(shù)成像系統(tǒng)常規(guī)采用的y'=f'tanθ等線投影模型，那么邊緣視場的像高太大。因此，魚眼鏡頭的設(shè)計通常滿足y'=f'θ等距投影模型。

以靶面1/4 英寸（1 英寸=2.54 cm）的OV9281 型探測器作為成像接收器，其像素數(shù)為1 296×816，單個像素尺寸為3 μm×3 μm。首先設(shè)計一款全視場160°，F(xiàn)數(shù)為4.2，工作波長為可見光，滿足y'=f'θ等距投影模型的魚眼鏡頭，按照探測器靶面對角線長度并留有一定余量，設(shè)置像面為±2.25 mm，則其軸上焦距為1.61 mm。如表1，其各視場的局部焦距LFL 均為1.61 mm。光學設(shè)計時從軸上至邊緣視場等間隔采樣11 個視場角，不控制目標像高，而是按照“小像高法”追跡計算各采樣視場的局部焦距值，實現(xiàn)焦距與投影模型同步優(yōu)化控制的效果。優(yōu)化設(shè)計的鏡頭結(jié)構(gòu)如圖3（a），采用6 片透鏡，其中1 片塑料非球面，全視場點列圖均方根半徑達到衍射極限。如圖4（a），全視場局部焦距與目標值的相對偏差≤0.5%，通過設(shè)計軟件追跡計算，實際像高與y'=f'θ等距投影模型的偏離量≤0.3%。

圖3 采用局部焦距追跡計算優(yōu)化的160°視場魚眼鏡頭的光學設(shè)計結(jié)果Fig. 3 Optical layouts of fisheye lens with 160° FOVs utilizing LFL raytracing and controlling

圖4 160°視場魚眼鏡頭的目標局部焦距值和設(shè)計局部焦距值曲線Fig. 4 Curves of targeted LFL and designed LFL for fisheye lens with 160°FOVs for the design configurations

上述等距投影魚眼鏡頭對正方形網(wǎng)格的成像效果如圖5（a），其各個局域均存在較為明顯的網(wǎng)格畸變。但如前文所述，因為視場角較大，魚眼鏡頭很難滿足等線投影模型。繼而，參考魚眼中央凹的特征［11］，考慮對魚眼鏡頭的中央視場設(shè)置為等線投影，對其邊緣視場的物像映射關(guān)系不做限制。符合中央?yún)^(qū)域無畸變成像，邊緣區(qū)域獲得超大視場的魚眼鏡頭成像目標。

圖5 160°視場魚眼鏡頭的網(wǎng)格畸變Fig. 5 Grid distortions for fisheye lens with 160° FOVs for the design configurations

仍采用OV9281 型探測器，設(shè)置±40°視場范圍內(nèi)滿足等線投影，并占據(jù)50%的像面高度，根據(jù)上述要求可計算出軸上焦距為1.34 mm，局部焦距LFL 按照表1 中等線投影模型的公式計算，從中央到邊緣各視場局部焦距漸變增加。光學設(shè)計時從軸上至50%視場等間隔采樣6 個視場角，按照“小像高法”追跡計算并控制各采樣視場的局部焦距值，對±40°～±80°的視場的局部焦距不做控制，僅控制80°視場的像高在探測器范圍內(nèi)。優(yōu)化設(shè)計的鏡頭結(jié)構(gòu)如圖3（b），采用8 片透鏡，其中2 片塑料非球面，全視場點列圖均方根半徑達到衍射極限。如圖4（b），50%中央視場內(nèi)局部焦距與目標值的相對偏差≤1.4%，通過設(shè)計軟件追跡計算發(fā)現(xiàn)實際像高與等線投影模型的偏離量≤0.9%。對正方形網(wǎng)格的成像效果如圖5（b），中央近60%的區(qū)域幾乎無網(wǎng)格畸變，即局部焦距的調(diào)控方法工作效果較好。

2.2 曲面物體等分辨率映射的120°廣角鏡頭

在2.1 節(jié)魚眼鏡頭的設(shè)計中，物體被定義在無限遠。但在大多數(shù)的成像場景中，物體在有限遠，且物體也不一定為平面，常有曲面物體存在。例如，對地偵察相機的物面為地球表面，可看作對凸面的成像［12-13］。圖6 為有限遠曲面物體的物像關(guān)系。完整的成像關(guān)系可以由物面、入瞳、鏡頭、像面共同描述。圖6 中曲面物體可以分為凸面（R＜0）和凹面（R＞0）兩種，平面物體是R=∞的極端情況。圖6 中，L表示物面與入瞳之間的間隔，平面物和曲面物的視場統(tǒng)一用視場角θ表示，α為視場角θ的曲面物的弧角，兩者之間的關(guān)系可以表示為

圖6 曲面物體的成像映射關(guān)系Fig. 6 Mapping relationships for curved object

式中，當物面為凹面，即R＞0 時，取正號；當物面為凸面，即R＜0 時，取負號。

有限共軛的平面物至平面像的成像關(guān)系通常滿足y'=f'tanθ等線投影映射。類似地，當曲面物至平面像成像時，為了滿足物像的相似性，其投影模型為曲面物的等弧長增量對應(yīng)平面像的等像高增量。其中，R=L的曲面物體最為特殊的，它的投影模型恰好為等距投影。當將平面物體看成R=∞的曲面物體時，其等線映射則與等弧長映射等價。

對視場120°的廣角鏡頭采用局部焦距追跡計算控制的方法開展曲面物體成像設(shè)計，工作波長為可見光，L為1 000 mm，F(xiàn) 數(shù)為2.8，軸上焦距設(shè)置為1 mm。選擇R=800 mm，R=1 000 mm，R=1 200 mm 的凹面，R=-20 000 mm 的凸面，以及R=∞成像物面做設(shè)計比對，球面采用等弧長映射，平面采用等物高映射的成像關(guān)系。為了方便比對，每種結(jié)構(gòu)均采用8 片透鏡，其中可以使用塑料非球面，全視場點列圖均方根半徑優(yōu)化至衍射極限。

對于各類型的成像物面，它們的最大視場角統(tǒng)一設(shè)置為60°。同時，在曲面物體上選擇極小的旁軸弧角δα，其對應(yīng)的視場角δθ可由式（4）獲得。因為軸上視場的局部焦距為f0'=1 mm，則極小的旁軸弧角δα對應(yīng)的目標像高可表示為

相應(yīng)地，對于弧角為α的曲面物體，其對應(yīng)的視場角θ可由式（4）獲得。按照等弧長的物像映射關(guān)系，其對應(yīng)的目標像高可以表示為

對于目標局部焦距的求解也可以參照以上方法。設(shè)置極小的弧角增量Δα，相應(yīng)的追跡曲面物體上弧角分別為α和α+Δα的主光線，其對應(yīng)的視場角θ和θ1可由式（4）獲得，其對應(yīng)的像高y'和y1'可由式（6）獲得，則局部焦距可以表示為

根據(jù)上述等弧長物像映射關(guān)系公式，可計算出視場120°的廣角鏡頭的目標像高和目標局部焦距值，其隨視場角變化的目標映射曲線如圖7。為了滿足各種物面的等弧長映射目標，其對應(yīng)的局部焦距的調(diào)控變換差距較大。

圖7 120°廣角鏡頭對曲面物體成像的等弧長目標映射曲線Fig. 7 Ideal mapping relationships for curved object utilizing wide angle lens with 120° FOVs

對4 個不同曲率半徑的曲面物體和1 個平面物體，在0°～60°視場范圍內(nèi)等間隔采樣11 個視場角，不控制目標像高，而是按照“小像高法”追跡計算各采樣視場的局部焦距值，實現(xiàn)焦距與等弧長投影模型同步優(yōu)化控制的效果。優(yōu)化設(shè)計的鏡頭結(jié)構(gòu)如圖8 和9。在R=800 mm，R=1 000 mm，R=1 200 mm 的三個凹面成像的光學系統(tǒng)中均僅采用了1 片塑料非球面，全視場局部焦距與目標值的相對偏差≤0.2%，通過設(shè)計軟件追跡計算，實際像高與等弧長映射的目標像高偏離量≤0.1%。在R=-20 000 mm 的凸面成像以及R=∞的平面成像的光學系統(tǒng)中，均采用了2 片塑料非球面，全視場局部焦距與目標值的相對偏差≤0.6%，通過設(shè)計軟件追跡計算，實際像高與等弧長映射的目標像高偏離量≤0.21%。由此，可在120°視場范圍內(nèi)獲得相同的物方分辨率。

圖8 曲面物等弧長映射的120°廣角鏡頭光學設(shè)計結(jié)果Fig. 8 Optical layouts of wide angel lens with 120° FOVs for curved object with equal arc length mapping

圖9 曲面物等弧長映射的120°廣角鏡頭的物像映射設(shè)計結(jié)果Fig. 9 Designed result of wide angel lens with 120° FOVs for curved object with equal arc length mapping

綜合中央視場等線投影的160°魚眼鏡頭和曲面物體等分辨率映射的120°廣角鏡頭的設(shè)計效果可知：本文引入局部焦距替代傳統(tǒng)焦距和畸變，結(jié)合常規(guī)的像質(zhì)優(yōu)化共同構(gòu)建評價函數(shù)，獲得了達衍射極限的像質(zhì)和針對各類型復雜物像映射優(yōu)于1%的成像畸變；通過對有限數(shù)量離散采樣視場點局部焦距的追跡計算控制，能夠在各類型復雜物像映射的場景下，優(yōu)化獲得滿足目標的局部焦距，且全視場局部焦距呈連續(xù)分布。局部焦距表征了像高增量，將局部焦距做積分則為像高，本文通過對局部焦距的優(yōu)化控制，獲得了滿足目標的像高。因此，局部焦距的追跡優(yōu)化達到了系統(tǒng)焦距控制和物像映射控制的雙重目標。另一方面，對于曲面物體的成像，難以構(gòu)建物面網(wǎng)格測量成像畸變，但局部焦距采用“小像高法”定義，可以在像面放置靶標，通過精密測角法測量局部焦距值。因此，通過局部焦距的引入，達到了算測融合的效果。

3 結(jié)論

本文提出了局部焦距的概念，將焦距的內(nèi)涵由零視場拓展至全視場，用來表征光學系統(tǒng)各視場處極小視場角增量光線對應(yīng)的像高增量。并對其賦予了“小像高法”定義，使得焦距的定義方式和測量方式相吻合，設(shè)計參數(shù)和參量參數(shù)一致。應(yīng)用對局部焦距的追跡計算，可以實現(xiàn)系統(tǒng)焦距和成像畸變的優(yōu)化控制。據(jù)此設(shè)計了針對無限遠目標成像，全視場角160°，50%中央視場滿足f-tanθ等線投影的魚眼鏡頭，以及針對有限遠曲面物體成像，120°全視場范圍物方分辨率相同的廣角鏡頭。局部焦距在復雜物像映射場景光學系統(tǒng)的設(shè)計中具有較好的應(yīng)用前景，且具有算測融合的顯著優(yōu)勢。