測(cè)邊網(wǎng)坐標(biāo)平差的加性乘性混合型誤差模型解算

王樂(lè)洋,胡芳芳

(1.東華理工大學(xué) 自然資源部環(huán)鄱陽(yáng)湖區(qū)域礦山環(huán)境監(jiān)測(cè)與治理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,南昌 330013; 2.東華理工大學(xué) 測(cè)繪與空間信息工程學(xué)院,南昌 330013)

加性乘性混合型誤差模型在大地測(cè)量領(lǐng)域前進(jìn)的步伐未曾停止。在20世紀(jì)早期,Helmert[1-2]首次提及了加性誤差模型,引入了大地測(cè)量觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)誤差的概念;到20世紀(jì)中期,考慮到觀測(cè)誤差的比值是恒定的而不是方差,Kneissl[3-4]引入了乘性誤差模型的概念;20世紀(jì)80年代,Wübbena[5-7]提出了用于GPS觀測(cè)調(diào)整的組合模型的概念,將加性誤差模型和乘性誤差模型擴(kuò)展為允許在單一模型中考慮兩種類(lèi)型誤差的加性乘性混合型誤差模型。

此后學(xué)者對(duì)于加性乘性混合型誤差模型的研究不斷深入[8-15]。文獻(xiàn)[8]通過(guò)改變直線(xiàn)擬合算例中點(diǎn)的質(zhì)量驗(yàn)證了文中所提出的偏差改正最小二乘方法與擬似然函數(shù)法的等價(jià)性,同時(shí)還驗(yàn)證了該方法具有二階無(wú)偏性。文獻(xiàn)[9]推導(dǎo)出了文獻(xiàn)[8]中所提出方法的精度評(píng)定公式,通過(guò)模擬一個(gè)用激光雷達(dá)測(cè)量的滑坡模型驗(yàn)證了偏差改正加權(quán)最小二乘方法比普通最小二乘方法的性能要好很多。文獻(xiàn)[10]通過(guò)模擬的直線(xiàn)擬合模型和數(shù)字高程模型(digital elevation model,DEM)驗(yàn)證了Sterling插值方法可以使乘性隨機(jī)誤差模型的精度評(píng)定方法的精度達(dá)到二階。文獻(xiàn)[11]增加了一個(gè)真實(shí)的病態(tài)DEM數(shù)據(jù)案例來(lái)驗(yàn)證文中提出的比例無(wú)跡變換(scaled unscented transformation, SUT)精度評(píng)定方法能夠得到更準(zhǔn)確的參數(shù)估計(jì)且該算法在大地測(cè)量領(lǐng)域的適用性也更強(qiáng)。文獻(xiàn)[12]和[13]通過(guò)模擬的直線(xiàn)擬合模型和DEM模型驗(yàn)證了更加符合現(xiàn)代大地測(cè)量手段的加性乘性混合型誤差模型的參數(shù)求解方法的有效性,其中偏差改正加權(quán)最小二乘法是二階近似無(wú)偏的,精度最好。之后,文獻(xiàn)[14]和[15]將加性乘性混合型誤差模型和智能優(yōu)化算法相結(jié)合,通過(guò)模擬的直線(xiàn)擬合模型和改進(jìn)的DEM模型驗(yàn)證了兩者相結(jié)合后可以得到更快的收斂速度、更優(yōu)的參數(shù)估值和更合理的精度信息。

以上對(duì)于加性乘性混合型誤差模型的參數(shù)估計(jì)方法的算例當(dāng)中鮮少提及使用測(cè)邊網(wǎng)坐標(biāo)平差算例來(lái)進(jìn)行驗(yàn)證。測(cè)邊網(wǎng)坐標(biāo)平差模型用于測(cè)量邊長(zhǎng)的測(cè)距儀的標(biāo)準(zhǔn)精度可以表示為:σSi=a+bSi,其中a和b可以很好的對(duì)應(yīng)于加性乘性混合型誤差模型當(dāng)中的加性隨機(jī)誤差和乘性隨機(jī)誤差。測(cè)邊網(wǎng)坐標(biāo)平差模型是大地測(cè)量領(lǐng)域廣泛采用的數(shù)學(xué)模型,是一種利用邊長(zhǎng)測(cè)量的觀測(cè)方法,其主要應(yīng)用于對(duì)由大量測(cè)量邊長(zhǎng)組成的測(cè)邊網(wǎng)進(jìn)行處理。顯而易見(jiàn),距離測(cè)量相對(duì)操作簡(jiǎn)單可行,每一條邊長(zhǎng)的觀測(cè)時(shí)間均較短,同時(shí)測(cè)邊網(wǎng)坐標(biāo)平差模型被廣泛應(yīng)用于確定區(qū)域內(nèi)各個(gè)測(cè)量點(diǎn)的坐標(biāo),這對(duì)于地圖繪制、土地規(guī)劃和建筑工程等領(lǐng)域具有極大的實(shí)用價(jià)值。此外,該模型還能夠有效地校正測(cè)量誤差,提高測(cè)量精度。因此,對(duì)于測(cè)邊網(wǎng)坐標(biāo)平差的加性乘性混合型誤差模型解算的研究十分有必要。

1 加性乘性混合型誤差模型及其求解

已有文獻(xiàn)中研究的加性乘性混合型誤差模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式為[12]:

y=f(β)⊙(1+εm)+εa.

(1)

式中:y∈Rn×1表示觀測(cè)值向量;f(β)表示未知參數(shù)的函數(shù);β∈Rt×1表示未知參數(shù)向量;n為觀測(cè)值數(shù)量,t為未知參數(shù)個(gè)數(shù); ⊙表示向量或矩陣的哈達(dá)瑪乘積符號(hào);1∈Rn×1表示元素全為1的列向量;εm∈Rn×1表示服從正態(tài)分布的隨機(jī)乘性誤差列向量;εa∈Rn×1表示服從正態(tài)分布的隨機(jī)加性誤差列向量。

y=Aβ⊙(1+εm)+εa.

(2)

E(y)=Aβ.

(3)

由式(2)和式(3)可得觀測(cè)值y的方差協(xié)方差陣為:

Dy=E[(y-E(y))(y-E(y))T]T=

(4)

將最小二乘準(zhǔn)則應(yīng)用到式(2)的加性乘性混合型誤差模型當(dāng)中,可以得到目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式為[13]:

min:F(β)=(y-Aβ)TP(y-Aβ).

(5)

(6)

(7)

式中:

(i=1,2,…,t).

(8)

(9)

單位權(quán)中誤差的估計(jì)式為:

(10)

2 測(cè)邊網(wǎng)坐標(biāo)平差的加性乘性混合型誤差模型解算

測(cè)邊網(wǎng)是一種測(cè)量地面上點(diǎn)的方法,然而由于儀器誤差、環(huán)境條件和人為因素等各種因素的影響,測(cè)量數(shù)據(jù)可能存在誤差。為了提高測(cè)量精度,需要進(jìn)行坐標(biāo)平差。而坐標(biāo)平差則是指在已知部分點(diǎn)的坐標(biāo)和測(cè)量距離的情況下,通過(guò)數(shù)學(xué)方法計(jì)算出其余點(diǎn)的坐標(biāo),使得測(cè)量距離的觀測(cè)值與計(jì)算值之間的差異最小。

測(cè)邊網(wǎng)由一系列相互連接的點(diǎn)組成。其中,一些點(diǎn)的坐標(biāo)事先已知,而其他點(diǎn)的坐標(biāo)未知。已知點(diǎn)稱(chēng)為控制點(diǎn),未知點(diǎn)稱(chēng)為掛點(diǎn)。相鄰點(diǎn)之間的距離和角度測(cè)量是測(cè)邊網(wǎng)的基礎(chǔ)。本文將選用參考文獻(xiàn)[16]中的例7～10來(lái)進(jìn)行計(jì)算,該測(cè)邊網(wǎng)的基本計(jì)算步驟如下[16]:

1)根據(jù)所給已知點(diǎn)的坐標(biāo)和已知測(cè)距邊長(zhǎng)的信息,由邊長(zhǎng)交會(huì)計(jì)算出待定點(diǎn)的近似坐標(biāo)。如圖1所示,A,B,C,D為4個(gè)已知點(diǎn),P1,P2,P3,P4為4個(gè)待求點(diǎn),1～13為通過(guò)測(cè)距儀觀測(cè)得到的13條邊長(zhǎng),分別記為L(zhǎng)1～L13,則待定點(diǎn)的近似坐標(biāo)為:

圖1 測(cè)邊網(wǎng)示意圖

(11)

2)由已知點(diǎn)坐標(biāo)和求解得到的待定點(diǎn)近似坐標(biāo)計(jì)算出誤差方程的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng),列出整個(gè)網(wǎng)的誤差方程,誤差方程的個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)測(cè)距儀所測(cè)得的邊長(zhǎng)的個(gè)數(shù)。其中邊L2即邊AP1的誤差方程為:

(12)

(13)

其中:

l4=L4-SP1P2。

同理,可得到邊長(zhǎng)L5,L9,L10,L12的誤差方程。

4)由步驟1)～3)所求得的信息組成法方程求解待定點(diǎn)的坐標(biāo)改正值。根據(jù)步驟1)列出所有的誤差方程后可得到誤差和方程:

(14)

5)將待定點(diǎn)的近似坐標(biāo)與待定點(diǎn)的坐標(biāo)擬合值相加得到待定點(diǎn)的坐標(biāo)平差值結(jié)果,求解單位權(quán)中誤差。

3 算例與分析

本文選用文獻(xiàn)[16]中的例7～10,采用測(cè)距精度為σs=3+1×10-6S的某測(cè)距儀觀測(cè)了13條邊長(zhǎng)(S為測(cè)量邊長(zhǎng))。表1為已知點(diǎn)坐標(biāo),表2為觀測(cè)邊長(zhǎng)。

表1 已知點(diǎn)坐標(biāo) m

表2 觀測(cè)邊長(zhǎng) m

根據(jù)表1的已知點(diǎn)坐標(biāo)和表2的觀測(cè)邊長(zhǎng),通過(guò)勾股定理和邊長(zhǎng)交會(huì)可以求解出4個(gè)待求點(diǎn)的近似坐標(biāo)分別為:P1(48 580.270,60 500.505)m,P2(48 681.390,55 018.279)m,P3(43 767.223,57 968.593)m,P4(40 843.219,64 867.875)m。根據(jù)待定點(diǎn)P1,P2,P3,P4的近似坐標(biāo)和已知點(diǎn)A,B,C,D的坐標(biāo)求解出組成誤差方程的相關(guān)數(shù)據(jù);若誤差方程計(jì)算過(guò)程中涉及到點(diǎn)A,B,C,D的坐標(biāo)則選用式(12)計(jì)算,其余誤差方程的計(jì)算選用式(13)。求得該算例的誤差方程為:

(15)

其中待求的誤差改正數(shù)和測(cè)量長(zhǎng)度平差值的單位均為mm。

根據(jù)文獻(xiàn)[16]中的例7～10的測(cè)距儀的標(biāo)準(zhǔn)精度σs=3+1×10-6S設(shè)置本算例中的加性乘性混合型誤差模型中的隨機(jī)乘性誤差的標(biāo)準(zhǔn)差為1×10-3mm和隨機(jī)加性誤差標(biāo)準(zhǔn)差為3 mm,令單位權(quán)中誤差為10 mm,觀測(cè)值的方差協(xié)方差陣由式(4)計(jì)算得到。使用本文提到的測(cè)邊網(wǎng)坐標(biāo)平差的加性乘性混合誤差模型的WLS和bcWLS方法對(duì)待定點(diǎn)P1,P2,P3,P4的坐標(biāo)平差值進(jìn)行計(jì)算,求解得到的坐標(biāo)改正值和單位權(quán)中誤差估值結(jié)果見(jiàn)表3,待求點(diǎn)點(diǎn)位中誤差結(jié)果見(jiàn)表4。

表3待求點(diǎn)坐標(biāo)改正值和單位權(quán)中誤差估值 mm

表4 待求點(diǎn)點(diǎn)位中誤差 mm

如表3可知,本文所推導(dǎo)測(cè)邊網(wǎng)平差模型的加性乘性混合型誤差模型的WLS和bcWLS方法所求得單位權(quán)估值與設(shè)定的真值更加接近,且三種方法中的bcWLS所求得的結(jié)果最優(yōu)。通過(guò)本文的WLS方法所求得的單位權(quán)估值比文獻(xiàn)[16]中的方法所求得的單位權(quán)中誤差估值提高了25.304%,通過(guò)bcWLS所求得的單位權(quán)估值比文獻(xiàn)[16]中的方法所求得的單位權(quán)中誤差估值提高了25.305%。通過(guò)本文的WLS和bcWLS方法所求得的待定點(diǎn)的坐標(biāo)平差值與文獻(xiàn)[16]中的方法所求得的結(jié)果不相同,在點(diǎn)位P1和P2的x方向的坐標(biāo)改正值結(jié)果與文獻(xiàn)[16]的結(jié)果相差明顯,在點(diǎn)位P2和P4的y方向的坐標(biāo)改正值結(jié)果與文獻(xiàn)[16]的結(jié)果差距較小。

如表4可知,本文所推導(dǎo)的WLS和bcWLS所求得待定點(diǎn)的點(diǎn)位中誤差更小,精度更高;這是因?yàn)槲墨I(xiàn)[16]中的WLS所選用的權(quán)值與測(cè)距儀所測(cè)得的邊長(zhǎng)有關(guān),這些邊長(zhǎng)均是含有誤差的,而本文的WLS所選用的權(quán)值根據(jù)文獻(xiàn)[16]中所求得的結(jié)果進(jìn)行了一定的修正,bcWLS方法則進(jìn)一步修正了WLS方法中的偏差項(xiàng),因此通過(guò)bcWLS方法所求得的待定點(diǎn)坐標(biāo)中誤差最小,精度最高。

4 結(jié) 論

現(xiàn)代大地測(cè)量數(shù)據(jù)處理領(lǐng)域當(dāng)中的誤差模型大多為加性乘性混合型誤差模型。為了使該模型在處理實(shí)際數(shù)據(jù)時(shí)更具有優(yōu)勢(shì),本文首次引入加性乘性混合型誤差模型進(jìn)行測(cè)邊網(wǎng)平差。通過(guò)實(shí)驗(yàn)計(jì)算分析,表明加性乘性混合型誤差模型的WLS和bcWLS可以對(duì)根據(jù)測(cè)量值所得到的不正確的權(quán)值加以改正,通過(guò)本文所推導(dǎo)的WLS和bcWLS方法可以得到更準(zhǔn)確的坐標(biāo)改正值且得到的坐標(biāo)改正值精度更高。