基于分數(shù)階PID的宏微復合驅(qū)動器宏動控制策略*

喻曹豐,魏益軍,鄭 爽,楊 坤,陶雪楓,肖志豪

(1.安徽理工大學機電工程學院,淮南 232001;2.浙江大學流體動力基礎件與機電系統(tǒng)國家重點實驗室,杭州 310027)

0 引言

精密加工技術在微電子制造行業(yè)中具有重要地位。隨著中國微電子制造行業(yè)的發(fā)展,對精密定位平臺的工作性能提出了更高的要求[1]。在傳統(tǒng)單級平臺中,由于其結構的限制,無法同時實現(xiàn)大行程和高精度定位的特性[2]。為了克服這個問題,提出了宏微復合驅(qū)動系統(tǒng),它采用了宏動臺和微動臺的復合結構,宏動臺負責實現(xiàn)大行程運動,而微動臺則負責實現(xiàn)短行程的精密定位[3]。宏微復合驅(qū)動方式主要有兩種,即堆棧疊加式(微動臺堆棧于宏動臺之上)和同軸對中式(微動臺與宏動臺在同一軸線上)。其中堆棧疊加式結構簡單,但對于位移的測量存在阿貝誤差,影響了定位精度;而同軸對中式避免了測量時的阿貝誤差,但安裝時需要保持宏動和微動的軸線對齊,對結構安裝提出了較高的要求[4]。為解決上述問題,課題組將音圈電機(voice coil motor,VCM)與超磁致伸縮驅(qū)動器(giant magnetostrictive actuator,GMA)結合,提出一種大行程、高精度特性的同軸集成式宏微復合驅(qū)動器,并成功研制了試驗樣機[5]。該方案將宏動部分與微動部分集成在同一體中,避免了安裝時對軸線對齊的要求,同時也避免了堆棧疊加式中的阿貝誤差,提高了定位精度[6]。

精密定位平臺方面的控制策略一直是國內(nèi)外學者的熱點研究領域。程苗苗等[7]設計了基于正反弦弦函數(shù)的自學習非線性 PID 控制器作為音圈電機的控制策略,有效提高了系統(tǒng)的魯棒性和定位精度,但定位時間沒有得到有效改善。LIN等[8]提出了一種自適應動態(tài)滑模模糊小腦神經(jīng)網(wǎng)絡控制(cerebellar model articulation controller,CMAC)方法,用于音圈電機的軌跡跟蹤控制,但該方法在多輸入-多輸出系統(tǒng)中控制難度較大?？禒柫嫉萚9]提出一種以線性自抗擾控制(LADRC)為核心的PMSM無位置傳感器控制方法,但實現(xiàn)相對困難。

針對上述問題,本文提出了一種基于分數(shù)階PID的控制策略,以提高宏微復合驅(qū)動器宏動系統(tǒng)的定位性能。該策略采用遺傳算法對分數(shù)階PID控制器進行次最優(yōu)參數(shù)整定,并仿真分析了系統(tǒng)采用分數(shù)階PID控制器的理階躍論響應曲線,確認該控制策略的理論可行性,最后通過實驗確定分數(shù)階PID控制器的實際有效性。

1 同軸集成式宏微復合驅(qū)動器結構及宏動部分數(shù)學模型

1.1 同軸集成式宏微復合驅(qū)動器結構

同軸集成式宏微復合驅(qū)動器宏動部分主要由永磁體、宏動線圈架、內(nèi)外磁軛、宏微結合架等部分構成。宏動部分驅(qū)動磁場由6個安裝在外磁軛內(nèi)表面的永磁體提供,與安裝在內(nèi)、外磁軛之間的宏微線圈架共同構成了宏動部分的磁路。微動部分由超磁致伸縮(GMM)棒、微動線圈、微動線圈架、導磁塊、隔磁筒、輸出桿、后頂桿等組成。微動線圈纏繞在微動線圈架上,GMM棒通過導磁塊分別與后頂桿和輸出桿同軸連接。當宏動部分定位完成后,向微動線圈通電后線圈產(chǎn)生磁場,GMM棒在磁場作用下發(fā)生軸向形變,補償宏動部分定位誤差。工作臺整體結構如圖1所示。

圖1 同軸式宏微復合驅(qū)動器結構示意圖

1.2 宏微復合驅(qū)動器宏動部分的數(shù)學模型

宏動線圈繞組可以看做1個等效的RL電路,其等效電路圖如圖2所示。

圖2 宏動線圈繞組等效電路圖

圖2中,Uc是電源的輸出電壓,V;RL是線圈回路的電阻,Ω;Lθ是線圈回路的電感,H;Ur是線圈回路運動中產(chǎn)生的反電動勢,V。

當線圈中通入直流電時,宏動線圈會受到安培力產(chǎn)生軸向運動,此時產(chǎn)生的反電動勢Ur如式(1)所示。

Ur=BnLov

(1)

線圈回路的電壓平衡方程為:

(2)

綜合上式得到:

(3)

對式(3)進行拉氏變換,化簡得到宏動部分輸入電壓U(s)與輸出位移X(s)傳遞函數(shù):

(4)

根據(jù)式(4)得到宏動部分的數(shù)學模型框圖如圖3所示。

宏動部分相關參數(shù)具體數(shù)值由表1給出。

表1 宏動部分參數(shù)表

2 分數(shù)階PID控制器設計

2.1 分數(shù)階微積分定義及算法實現(xiàn)

分數(shù)階微積分作為一種推廣的微積分形式,其導數(shù)和積分的階數(shù)可以是任意實數(shù),而不僅僅是正整數(shù)或正實數(shù)。分數(shù)階微積分算子定義為:

(5)

式中:θ是分數(shù)階的階次,θ∈R;t是自變量,σ是該變量的下界。

本文采用分數(shù)階微積分基于RL定義。對于β(0<β<1),f(t)是t的因果函數(shù),即有當t<0時,f(t)=0,則RL分數(shù)階積分和微分定義分別為:

(6)

(7)

分數(shù)階微分方程用分數(shù)階傳遞函數(shù)描述方式通常為:

(8)

本文使用Oustaloup中近似給定近似頻段的范圍[γa,γb]及近似階次H。根據(jù)分數(shù)階微積分的階次θ,得到近似傳遞函數(shù)為:

(9)

式中:

(10)

(11)

(12)

2.2 分數(shù)階PID控制器簡述

分數(shù)階PID控制器原理圖如圖4所示,其中,e(t)為系統(tǒng)輸入值;u(t)為系統(tǒng)輸出值。

圖4 分數(shù)階PID控制原理圖

分數(shù)階PID控制器在頻域下的傳遞函數(shù)為:

(13)

與傳統(tǒng)的PID控制器相比,分數(shù)階PID控制器增加了控制參數(shù)積分階數(shù)λ和微分階數(shù)μ,使得其調(diào)節(jié)范圍擴大, 控制效果更優(yōu)。

2.3 基于遺傳算法的分數(shù)階PID控制器參數(shù)整定

鑒于遺傳算法可適用于復雜非線性、非凸優(yōu)化問題,且具有全局優(yōu)化、自適應性、并行性、可處理等式、不等式約束等優(yōu)點,所以選用遺傳算法對分數(shù)階PID控制器進行參數(shù)優(yōu)化。

在使用遺傳算法整定參數(shù)時不僅要考慮整定效果,還需要考慮整定時間。若直接對5個參數(shù)整定,會大大增加計算機的計算負擔,降低整定效率。為提高參數(shù)整定的效率,同時又兼顧控制效果,采用定階次的次最優(yōu)分數(shù)階PID控制器參數(shù)整定方法對分數(shù)階PID五個參數(shù)進行整定。次最優(yōu)分數(shù)階PID參數(shù)整定過程如圖5所示。

圖5 分數(shù)階PID控制器參數(shù)整定流程圖

圖中,比例系數(shù)Kp、積分系數(shù)Ki和微分系數(shù)Kd的整定步驟與整數(shù)階PID控制器參數(shù)整定步驟大致相同,雖然如此得到的參數(shù)不是最優(yōu)的,但為了避免某個固定階次可能帶來階次不匹配、系統(tǒng)動態(tài)特性和可調(diào)性受限的不好后果,后續(xù)則將階次在一定范圍內(nèi)以一定步長進行變化,得到一系列仿真曲線,在進行比較尋優(yōu),最終可得出控制效果最好的積分階次λ和微分階次μ。次最優(yōu)分數(shù)階PID參數(shù)整定方法雖然沒有將5個參數(shù)同時進行整定,但卻得到了相較于傳統(tǒng)PID控制器控制效果更好的分數(shù)階PID控制器,并且控制器參數(shù)由軟件仿真得到,保證了最終得到的分數(shù)階控制器具有良好的控制效果。

3 仿真分析

為驗證基于遺傳算法的分數(shù)階PID控制器的控制性能,利用遺傳算法模型得到最優(yōu)整數(shù)階PID控制器參數(shù),再基于宏微復合驅(qū)動器宏動系統(tǒng)搭建了分數(shù)階PID控制器。通過對微分階次λ和積分階次μ以一定的仿真步長在一定范圍內(nèi)仿真尋優(yōu)的方式,得出次最優(yōu)分數(shù)階PID控制器的5個參數(shù)。其中采樣時間為0.1 ms。為獲取滿意的響應曲線,將超調(diào)量(overshoot)和調(diào)節(jié)時間(settingTime)作為適應度函數(shù)的兩個指標,適應度函數(shù)C為:

C1=1/(settlingTime+overshoot)

(14)

C2=overshoot

(15)

C=ω1C1+ω2C2

(16)

式中:ω1與ω2為權重系數(shù),其值都為0.5。

遺傳算法種群大小選擇為popsize=30,交叉概率和變異概率分別選擇為Pc=0.8、Pm=0.001-[1:1:popsize]×0.001/popsize,選取參數(shù)Kp的取值范圍是[0,10],Ki取值范圍為[0,30],Kd取值范圍為[0,1],終止進化代數(shù)G=100。經(jīng)過100代迭代,獲得的最優(yōu)適應度C=0.706 5,PID整定優(yōu)化參數(shù)為Kp=9.016 0,Ki=25.527 0,Kd=0.740 7。整定過程中適應度函數(shù)C變化過程如圖6所示。

圖6 適應度值C變化過程

為了得到最終具有良好控制效果的控制器,選取階次λ=[0.2,1.4]、μ=[0.2,1.4]范圍內(nèi)變化,步長選取為0.1,這樣可以得到一系列的仿真曲線,階躍響應曲線如圖7所示(μ值為λ以0.1步長變化中對應的最優(yōu)值)。

由圖7可知,分數(shù)階PID控制器的階次對系統(tǒng)的控制效果影響較大。經(jīng)過多次仿真和選擇,得到當λ=0.3、μ=1.2時分數(shù)階PID控制器的控制效果最優(yōu)。由此可得到基于遺傳算法的次最優(yōu)分數(shù)階PID控制器的5個最優(yōu)參數(shù)為Kp=9.016 0、Ki=25.527 0、Kd=0.740 7、λ=0.3、μ=1.2,其控制器形式如式(17)所示。

(17)

最優(yōu)控制器階躍響應曲線如圖8所示。階躍響應對比如圖9所示。

圖8 次最優(yōu)分數(shù)階PID階躍響應

由仿真結果可知,采用遺傳算法整定的次最優(yōu)分數(shù)階PID控制器雖然階次采用的為定階次,但由于是采用在一定范圍內(nèi)的定階次整定方法,最后得到的控制系統(tǒng)具有穩(wěn)態(tài)誤差小、超調(diào)量低、上升速度快、調(diào)節(jié)時間短的優(yōu)點,尤其是在動態(tài)性能和穩(wěn)定性能上都大大優(yōu)于傳統(tǒng)PID控制器。

4 實驗驗證

為驗證次最優(yōu)分數(shù)階PID控制器的控制性能,搭建了實驗平臺進行驗證。實驗平臺實物圖如圖10所示。開關電源型號MEANWELL HRP-600-30,驅(qū)動器型號為PAC-483A,直流供電電壓為24～48 V,峰值電流為6 A。光柵位移傳感器型號RENISHAW RGH24I30D00A,分辨率為10 nm。

圖10 實驗系統(tǒng)搭建實物圖

實驗系統(tǒng)通訊流程圖如11所示。

圖11 實驗通訊流程圖

實驗對10 mm大行程、5 mm和1 mm中小行程及0.1 mm微行程分別進行傳統(tǒng)PID控制器與分數(shù)階PID控制器對比實驗,以此來突出分數(shù)階PID控制器在實際控制效果上的有效性。

由圖12～圖15可知,分數(shù)階PID控制器相較于傳統(tǒng)PID控制器,在10 mm大行程中超調(diào)量由1.407 mm下降至0.641 mm,下降了54.28%,調(diào)節(jié)時間由1261 ms減少至809 ms,減少了35.84%;在5 mm中行程中超調(diào)量由1.143 mm下降至0.482 mm,下降了57.83%,調(diào)節(jié)時間由1167 ms減少至885 ms,減少了24.16%;在1 mm中小行程中超調(diào)量由0.298 mm下降至0.276 mm,下降了7.38%,調(diào)節(jié)時間由718 ms減少至561 ms,減少了21.87%;在0.1 mm微行程中超調(diào)量由0.021 mm下降至0.020 mm,下降了4.76%,調(diào)節(jié)時間由230 ms減少至209 ms,減少了9.58%。

圖12 10 mm行程響應曲線

圖14 1 mm行程響應曲線

5 結論

本文提出了一種次最優(yōu)分數(shù)階PID控制方法,并將其與傳統(tǒng)PID控制方法進行實驗對比驗證。得出了以下結論:

(1)系統(tǒng)采用分數(shù)階PID控制器的位移超調(diào)量相較于傳統(tǒng)PID控制器得到了較大的抑制。且行程越大,抑制效果越明顯。

(2)分數(shù)階PID控制方法可確保系統(tǒng)在較短時間內(nèi)達到目標位移,相較于傳統(tǒng)PID控制方法在調(diào)節(jié)時間上得到了有效改善。