大單元整合設計中考備考教學新格局
——以二次函數(shù)綜合問題的解題思路為例

黃秀英

(福建師范大學第二附屬中學,福建 福州 350015)

與二次函數(shù)有關(guān)的綜合性問題考查的知識點多,求解難度較大,常常以中考壓軸題的形式出現(xiàn).在初中數(shù)學教學中,為了提高學生解答二次函數(shù)綜合問題的能力,教師應做好題型的分類,講解不同題型的解題思路,并結(jié)合具體實例,展示解題思路的具體應用,給學生帶來良好的啟發(fā).

1 周長問題

周長問題在二次函數(shù)綜合問題中較為常見,其中求解周長的最大值或最小值是中考的熱點問題.這種類型問題的求解思路為:利用二次函數(shù)與幾何圖形知識判斷需求解圖形的類型,靈活利用一次函數(shù)與二次函數(shù)關(guān)系式,求出關(guān)鍵點的坐標與線段長度之間的關(guān)系.一方面,可考慮構(gòu)建二次函數(shù),利用二次函數(shù)性質(zhì)求解;另一方面,可考慮利用相關(guān)模型或借助圖形之間的等量代換求解.利用二次函數(shù)性質(zhì)求解時需確定自變量的取值范圍,借助圖形求解時需靈活利用相關(guān)圖形的幾何性質(zhì)[1].

(1)求二次函數(shù)的解析式;

(2)P為二次函數(shù)圖象第一象限部分上的一點,且∠PAB=∠OCA,求點P點坐標;

圖1 例1題圖

問題(3)思路:分析四邊形CEFP由哪幾條線段構(gòu)成,確定長度不變的線段,將重點放在長度可變的線段上.結(jié)合最短路徑模型,通過點的平移、對稱,確定點的具體位置,然后利用一次函數(shù)知識求解.

2 面積問題

求三角形的面積是二次函數(shù)綜合類問題中的重點問題.解答該類問題的關(guān)鍵在于靈活運用三角形面積求解公式,其主要思路為:根據(jù)題意確定三角形是特殊三角形還是一般三角形,運用直線和拋物線之間的關(guān)系,求出線段長度、點的坐標.求解一般三角形的面積時可采用分割法、補形法,以達到化難為易,順利解題的目的[2].

例2 如圖3,拋物線y=x2+bx+c(b、c為常數(shù))的頂點為C,與x軸交于A、B兩點,A(1,0),AB=4,點P為線段AB上的動點,過點P作PQ∥BC交AC于點Q.求:(1)該拋物線的解析式;(2)△CPQ面積的最大值.

問題(1)思路:給出的拋物線解析式y(tǒng)=x2+bx+c中含有兩個參數(shù),并給出其圖象上兩點坐標,采用待定系數(shù)法可求得b、c的值,易得拋物線的解析式為y=x2+2x+3.

問題(2)思路:求出點C的坐標及直線BC、AC的方程.設出點P的坐標,由PQ∥BC,表示出直線PQ的方程,將其和直線AC聯(lián)立,求解點Q的坐標.分別表示出△APC和△APQ的面積,則S△CPQ=S△APC-S△APQ,將問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值,易求得S△CPQ的最大值為2.

3 角度問題

二次函數(shù)綜合類問題中的角度問題考查的內(nèi)容主要有:特殊三角形的性質(zhì),包括直角三角形、等腰三角形、等邊三角形;三角形全等、三角形相似、勾股定理等.解答該類問題的思路為:根據(jù)題意運用直線與拋物線、三角形之間的關(guān)系求出相關(guān)參數(shù),必要情況下可以作出輔助線,以三角形相似、全等為依據(jù),求出線段長度、角度.

例3 如圖4所示,在平面直角坐標系xOy中,拋物線圖象過點A(3,0),B(0,3),且其圖象的對稱軸為直線x=2.如圖動點C,D分別在x軸上方和下方的拋物線上運動,且滿足∠CAO=∠DAO,連接CD和x軸交于點E.求:(1)該拋物線的解析式;(2)當點C、D運動時,∠CEO的度數(shù)是否發(fā)生變化,若不變化求出sin∠CEO的值;若變化,求出∠CEO的變化范圍.

圖4 例3題圖

問題(1)思路:設出拋物線的頂點式方程,而后將A、B兩點坐標代入其中,求出對應參數(shù).

問題(2)思路:根據(jù)已知條件畫出函數(shù)圖象,設出C、D兩點坐標,由∠CAO=∠DAO構(gòu)造相似三角形,利用三角形相似的性質(zhì)確定C、D兩點坐標,利用待定系數(shù)法求出直線CD的方程,然后表示出點E坐標以及sin∠CEO,得出結(jié)論.

4 判斷形狀問題

判斷圖形形狀類的二次函數(shù)綜合問題需結(jié)合圖形性質(zhì)進行分析.解答該類問題的思路為:根據(jù)題干創(chuàng)設的情境,以直線、二次函數(shù)圖象為依托,求出相關(guān)圖形邊或角度,根據(jù)邊、角度關(guān)系作出判斷.

例4 如圖6,二次函數(shù)圖象的頂點P(3,3),其與x軸交于點A(6,0),點B在圖象上,OB與二次函數(shù)圖象的對稱軸l交于點M,點M、N關(guān)于點P對稱,連接BN、ON.

圖6 例4題圖

(1)求該二次函數(shù)解析式;

問題(2)思路:根據(jù)已知條件分別求出點N與點B的坐標,運用兩點間的距離公式求三角形邊長的平方,根據(jù)勾股定理逆定理判斷其形狀即可.

5 結(jié)束語

二次函數(shù)綜合問題雖然難度較大,但只要有明確的思路,并不難突破.解答二次函數(shù)綜合問題需具體問題具體分析,靈活運用幾何圖形性質(zhì)、直線與二次函數(shù)圖象之間的內(nèi)在聯(lián)系求出關(guān)鍵線段的長與關(guān)鍵點的坐標,必要情況下利用三角形全等、三角形相似、勾股定理等知識,便可找到解題切入點.