廣義 Rosenau-Kawahara 方程的有效譜方法

文賢 王中慶

摘要：針對廣義Rosenau-Kawahara方程提出了Legendre dual-Petrov-Galerkin 譜方法，并基于對 角化技巧，構(gòu)建了快速有效算法。在此基礎(chǔ)上研究了單個(gè)孤立波的傳播、守恒律及波的生成等物理現(xiàn)象。數(shù)值結(jié)果驗(yàn)證了所提算法的有效性。

關(guān)鍵詞：Legendre dual-Petrov-Galerkin譜方法；廣義Rosenau-Kawahara方程；孤立波；守恒律

中圖分類號：O 241.82 ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

An efficient spectral method for the generalized Rosenau-Kawahara equation

WEN Xian， WANG Zhongqing

（College of Science， University of Shanghai for Science and Technology， Shanghai 200093， China）

Abstract： The Legendre dual-Petrov-Galerkin spectral method was proposed to the generalized Rosenau-Kawahara equation. A fast and efficient algorithm was constructed based on the diagonalization technique. The motion of single solitary wave solution， conservation laws and the phenomena of wave generation were also studied. Numerical results illustrate the effectiveness of the suggested approach.

Keywords： Legendre dual-Petrov-Galerkin spectral method; generalized Rosenau-Kawahara equation; solitary wave; conservation laws

1 問題提出及預(yù)備知識

非線性波的傳播是自然界中普遍存在的物理現(xiàn)象，對其進(jìn)行數(shù)值研究具有十分重要的理論意義和應(yīng)用價(jià)值。在過去的幾十年里， Korteweg-de Vries （ KdV ）方程主要用來描述波動(dòng)行為。為了克服傳統(tǒng) KdV 方程無法處理波與波及波與墻相互作用的缺點(diǎn)，在離散動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的研究中經(jīng)常使用 Rosenau 方程。作為非線性波的進(jìn)一步考慮，在Rosenau 方程中添加兩個(gè)黏性項(xiàng)uxxx和?uxxxxx， 即可 得到 Rosenau-Kawahara 方程[1]。不失一般性，本文 將主要考慮如下廣義 Rosenau-Kawahara 方程的初 邊值問題[2]：

式中： p 為正整數(shù)； β， γ， ?，η 為常數(shù)； λ 為非負(fù)常數(shù)。

作為廣義 Rosenau-Kawahara方程的特殊情況， Kawahara 方程、 Rosenau-Kawahara 方程等在流體力學(xué)、電磁學(xué)、等離子體、非線性光學(xué)等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用[1-5]。

文獻(xiàn)[1-2]運(yùn)用 sine–cosine 和 tanh 等方法構(gòu)造了廣義 Rosenau-Kawahara方程的漸進(jìn)解。目前僅有為數(shù)不多的文獻(xiàn)討論了廣義 Rosenau-Kawahara 方程的數(shù)值方法。如文獻(xiàn)[3]對 Rosenau-Kawahara 方程考慮了兩種守恒有限差分格式，文獻(xiàn)[4]提出了 Rosenau-Kawahara 方程的一種緊致保結(jié)構(gòu)有限差分格式，文獻(xiàn)[2]則發(fā)展了廣義 Rosenau-Kawahara 方程的一個(gè)守恒有限差分格式。

作為微分方程的主要數(shù)值解法之一，譜方法以其高精度優(yōu)勢漸受關(guān)注，并被廣泛應(yīng)用于流體力學(xué)、海洋科學(xué)和大氣科學(xué)等問題的數(shù)值模擬中[5-8]。目前尚未發(fā)現(xiàn)使用譜方法求解廣義 Rosenau- Kawahara 方程的相關(guān)文獻(xiàn)。若使用傳統(tǒng)譜方法進(jìn)行求解，則離散后最終得到的系數(shù)矩陣是一個(gè)十一對角矩陣，因而極大地影響了計(jì)算效率。近年來，文獻(xiàn)[9-12]提出了橢圓型問題和 Camassa- Holm 方程等問題的對角化譜方法，其主要優(yōu)點(diǎn)是離散后的線性系統(tǒng)為對角矩陣，進(jìn)而從本質(zhì)上提高了計(jì)算效率。本文針對廣義 Rosenau-Kawahara 方程構(gòu)造了一組 Sobolev 雙正交基函數(shù)，由此提出一個(gè)有效的 Legendre dual-Petrov-Galerkin 譜方法，并對單個(gè)孤立波的傳播、守恒律及波的生成等物理現(xiàn)象進(jìn)行了數(shù)值模擬。

下面回顧 Legendre 多項(xiàng)式的基本知識。記Ln（ξ）為n階 Legendre 多項(xiàng)式，滿足以下三遞推關(guān)系[8]：

其正交性為

式中，δmn為 Kronecker 符號。

進(jìn)一步地，

令PN為不超過N次代數(shù)多項(xiàng)式的集合。正如文獻(xiàn)[5]所指出的，針對五階微分方程，由于算子的非對稱性，應(yīng)使用 dual-Petrov-Galerkin譜方法，即分別考慮如下的測試函數(shù)空間和檢驗(yàn)函數(shù)空間：

相應(yīng)地，兩組基函數(shù)選擇如下[5]：

顯然

記?（2k+ m）n+1：=（2k+ m）（2k+2+ m）···（2k+2n+ m），al，k =（?k， ψl）， bl，k =（?k ， ?xψl），cl，k =（?x?k ， ?x（2）ψl）， dl，k =（?x（2）?k ， ?x（3）ψl）。由?Legendre 多項(xiàng)式的性質(zhì)式（2）～（4）和兩組基函數(shù)的定義可得，矩陣A =（alk）k>0，l0，l0， l0， l0，l

2 Legendre dual-Petrov-Galerkin 譜方法

2.1 譜格式

為了使用 Legendre dual-Petrov-Galerkin 譜方法求解原方程（1），進(jìn)行?（x）= x/L ，= t/L線性變換，仍用（x， t）表示（?（x）， ）?？紤]如下壓縮的廣義 Rosenau-Kawahara 方程：

記時(shí)間步長為τ， M = T/τ， u（k）= u（x， kτ）， k =0， 1， ··· ， M。上述方程的標(biāo)準(zhǔn)中心差分格式為

相應(yīng)的全離散 Legendre dual-Petrov-Galerkin 譜格式如下：

求u +1）∈ VN ， 使得

其中，

2.2 對角化方法

為了更加高效地求解廣義 Rosenau-Kawahara方程，應(yīng)使用對角化技巧，即重新選擇兩組基函數(shù)，使得方程組（6）中的系數(shù)矩陣為對角矩陣，從而提高在每個(gè)時(shí)間層求解方程組（6）的效率。為此，先介紹兩組修正的基函數(shù)Φn（x）：=Φn，α，β，?，λ，η（x）和Ψn（x）：=Ψn，α，β，?，λ，η（x） ， 它們關(guān)于如下雙線性算子?Sobolev 雙正交，即Bα，β，?，λ，η（u， v）：=α（u， v）?β（u， v x）+?（ux ， v xx）+λ（u xx ， v xx）+η（u xx ， v xxx）。顯然，該算子是式（6）中雙線性算子的一般化。

引理1 設(shè)Φ0（x）=?0（x）， Ψ0（x）=ψ0（x），且Φn（x）∈

Vn+5， Ψn ∈?Vn（?）+5是兩組?Sobolev 雙正交多項(xiàng)式，滿足

Φn ??n ∈?Vn+4 ， Ψn ?ψn ∈?Vn（?）+4 ， 且

Bα，β，?，λ，η（Φn， Ψm）=ρnδn，m ，?n， m >0

則下述遞推式成立，即

Φn =?n ? anΦn?1? bnΦn?2? cnΦn?3?

當(dāng) n <0時(shí)，Φn（x）≡Ψn（x）≡0， ρn =0；當(dāng) n <1時(shí)， an =0；當(dāng)n <2時(shí)， bn =0；當(dāng)n <3時(shí)， cn =0；當(dāng)n <4時(shí)， dn =0；當(dāng)n <5時(shí)， en =0，且

ρn = b（a） n，ρ（） ，c（n）ρ（β） ndn2（?） ρ（e）n（n）5（η）+ an（2）ρn?1?

an = （an，n?1α+ bn，n?1β+ cn，n?1?+ dn，n?1λ+

n，end（en） an?1ρn?2? cnbn?1ρn?3+ dncn?1ρn?4?

bn = n（2）2ρ（an） encn（+ bn） ）cn，n?2?+ cnan?2ρn?3?

cn =ρ3（an，n?3α+ bn，n?3β+ dnan?3ρn?4? enbn?3ρn?5）

e（d）n（n） α（an），n?4α+ bn，n?4β+ enan?4ρn?5）

限于文章篇幅，具體證明過程可參照文獻(xiàn)[9-12]類似可得。特別地，取兩組修正的 Sobolev 雙正交基函數(shù)Φ（?）n（x）和Ψ（?）m（x），滿足

則問題的數(shù)值解u +1）可表示為

式（6）在時(shí)間方向上是一個(gè)隱格式，實(shí)際計(jì)算包含非線性項(xiàng)的右端項(xiàng)時(shí)需要使用迭代方法求解。顯然，式（6）的系數(shù)矩陣是對角矩陣，而若使用經(jīng)典的基函數(shù)式（5），則系數(shù)矩陣為十一對角矩陣。因此，本文的對角化方法極大地提升了計(jì)算效率。對于區(qū)間（a， b）上的問題，只需作線性變換

3 數(shù)值結(jié)果

針對廣義 Rosenau-Kawahara方程給出一系列數(shù)值結(jié)果，用以描述廣義 Rosenau-Kawahara 方程單個(gè)孤立波的傳播、守恒律及波的生成等物理現(xiàn)象。除特殊說明外，以下均取L =100， N =256，τ=10?4。

3.1 孤立波解

眾所周知，孤立波在許多自然科學(xué)領(lǐng)域有重要價(jià)值。首先考慮 Rosenau-Kawahara方程的孤立波解[1]：

式中，uex（x， t）= Asech4（B （x?vt））。A =35（√156（205）?13），B =1√12（205）?13和?v =分別表示孤立波的振幅、波數(shù)和波速。方程的該解表示一個(gè)初始以 x =0為中心、波速為v的自左向右傳播的單個(gè)孤立波。

采用前述譜格式進(jìn)行數(shù)值求解。圖1表明孤立波在不同時(shí)刻以恒定的速度和振幅自左向右傳播，并展示了相應(yīng)的三維傳播圖?？梢杂^察到數(shù)值解的振幅和波速幾乎是常數(shù)，且與精確值完全一致。圖2分別給出了數(shù)值解的L2和L∞誤差，可以看到，在t =0.5（對應(yīng)實(shí)際時(shí)間t =50，下同）時(shí)的誤差量級在10?7，該結(jié)果表明本文算法提供了比已有文獻(xiàn)更好的數(shù)值結(jié)果。

下面考慮廣義 Rosenau-Kawahara方程的孤立波解：

式中，?uex（x， t）= Asech4/7（B （x?vt））。

分別表示孤立波的振幅、波數(shù)和波速。

采用前述譜格式進(jìn)行數(shù)值求解。圖3表明孤立波在不同時(shí)刻以恒定的速度和振幅自左向右傳播，并展示了相應(yīng)的三維傳播圖形?？梢杂^察到數(shù)值解的振幅和波速幾乎是常數(shù)，且與精確解完全一致。

3.2 守恒律

對廣義 Rosenau-Kawahara 方程，文獻(xiàn)[2-4]給出了3個(gè)基本的守恒量，即質(zhì)量、動(dòng)量和能量：

下面考慮對應(yīng)的離散守恒量及其相對誤差。作為例子，本文僅考慮 Rosenau-Kawahara方程，其初值

在圖4中，分別畫出3個(gè)守恒量及其相對誤差隨時(shí)間的變化情況。從圖中可以看到， Rosenau-Kawahara 方程的3個(gè)守恒量保持得非常好，且滿足：

3.3 波的生成

考慮 Rosenau-Kawahara 方程和初值 u0（x）=κsech4（√√205?13/12x），對于給定的κ， 該初值可用來模擬單個(gè)孤立波生成多個(gè)波的過程， 取區(qū)間I =（?2， 2）。

首先，令κ=6。圖5描繪了波的生成過程。由圖5可以發(fā)現(xiàn)，最終有4個(gè)孤立波生成，各個(gè)孤立波之間的距離隨著時(shí)間推移而逐漸增加，且各自以不同的波速和振幅自左向右傳播，振幅和波速大的孤立波會(huì)逐步遠(yuǎn)離那些振幅和波速小的波。另外，也可以清晰地看到，第2，3，4個(gè)孤立波是在傳播過程中生成的，其生成時(shí)刻分別約為t =0.03， 0.05， 0.20。特別地，通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)可以發(fā)現(xiàn)，對于給定的正整數(shù)κ= M（M +1），上述初值會(huì)生成M +2個(gè)波。

下面考慮負(fù)數(shù)κ=?2。圖6描繪了不同時(shí)刻波的形狀。數(shù)值結(jié)果顯示最終沒有孤立波生成，相反地，形成了一系列沿負(fù)方向傳播、振幅不斷衰減的振蕩色散波。

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（編輯：丁紅藝）