基于固有頻率的錯斷式墜落危巖體穩(wěn)定系數計算模型

張曉勇，謝謨文，張 磊，杜 巖，高世崇，李雙全

(1.北京科技大學土木與資源工程學院，北京 100083；2.北京中關村智連安全科學研究院有限公司，北京 100083)

危巖體失穩(wěn)崩塌是危巖體自母巖脫離并突然崩落的地質現象，是多山地區(qū)常見的地質災害之一。危巖體失穩(wěn)崩塌往往能夠帶來巨大的生命財產安全損失，而我國平均每年發(fā)生危巖體崩塌災害次數約為2000 余起[1]，嚴重制約我國經濟建設發(fā)展。

針對危巖體崩塌失穩(wěn)的防控，眾多學者從危巖體崩塌機理、防控手段著手進行 研究。BERTRAN[2]基于地質地貌學對阿爾卑斯山脈Claix 崩塌形成機制進行了分析；BRAATHEN 等[3]通過對Norway境內巖質邊坡失穩(wěn)原因進行分析，認為軟質巖層對巖質邊坡穩(wěn)定影響較大；ISHIKAWA 等[4]通過對裂縫寬度、溫度進行監(jiān)測，發(fā)現裂縫擴展受低溫度影響；AREF[5]通過對也門山區(qū)危巖體綜合調查，并對該區(qū)域危巖失穩(wěn)崩塌致災因素進行總結，提出響應的防控措施；陳洪凱等[6]通過斷裂力學理論分析危巖體失穩(wěn)機理，并提出基于強度因子的穩(wěn)定系數計算方法，陳維等[7]通過對凹腔型危巖體研究發(fā)現，危巖體失穩(wěn)受巖腔深度、危巖體厚度和高度、主控裂隙深度等影響。王根龍等[8]認為危巖體失穩(wěn)是由于危巖體后緣裂隙尖端應力集中引起的。危巖體崩塌產生原因多類多樣，但危巖體穩(wěn)定程度直接受其后緣裂隙強度控制[9]。在分析各類危巖體失穩(wěn)機理基礎上，針對各類危巖體監(jiān)控技術應運，常見的監(jiān)測指標包括：位移、應力、應變及環(huán)境因素等[10]。但危巖體由穩(wěn)定到失穩(wěn)時常年累月地損傷積累過程，初期危巖體的形變緩慢而微小，直至臨近失穩(wěn)才會出現較大變形，另外，邊坡危巖體的變形及破壞是一個多因素相互作用的非線性過程[11-12]，因此危巖體失穩(wěn)表現出空間位置隨機性、時間不確定性及突發(fā)性的特點，常見的基于位移、應力-應變等監(jiān)測指標在監(jiān)測預警中有一定的時間滯后性及不確定性[13]，基于當前的監(jiān)測技術仍無法有效地防控危巖體失穩(wěn)。

如何引入有效的監(jiān)測指標來定量分析危巖體穩(wěn)定系數，是實現危巖體安全評價的關鍵所在。借鑒結構力學分析方法，巖體本身可作為結構進行分析，危巖體后緣裂隙擴展是巖體結構損傷的表現。當前結構損傷識別主要集中在高危建筑、橋隧及機械等領域[14-17]，而基于動力學特征參數的損傷識別及定位是常用方法之一，基于結構動力學的損傷識別方法所采用的主要模態(tài)參數包括：固有頻率、阻尼及振型等。同樣，巖體結構損傷后在時域、頻域上出現明顯的改變[18]，眾多學者[19-22]通過實踐及試驗發(fā)現，隨著危巖體損傷程度變化，其振幅、頻率等動力特征有著較為明顯的變化。HAN 等[23]通過設計振動臺對具有不連續(xù)面高陡巖質邊坡的動力響應進行研究；葉陽升等[24]通過室內試驗發(fā)現墜落危巖體的固有頻率隨危巖后緣貫通率的增大而明顯降低；杜巖等[25]通過試驗及理論分析得出結論：隨著危巖體與基巖粘結程度降低，滑移型危巖體的固有頻率降低。VALENTIN 等[26]基于常時微動測量技術對現場危巖體進行測量，并建議采用頻譜特征分析監(jiān)測巖石損傷斷裂情況。DU 等[27]通過模擬凍融的方法模擬了危巖體崩落過程，并提出將基于固有頻率作為危巖體穩(wěn)定程度的表征指標的方法。當前危巖體動力學基本停留在理論及試驗角度以定性的角度得到危巖體損傷程度與固有頻率之間的關系，其主要分析方法是將危巖體作為質點進行考慮，而實際上危巖體與母巖都是可變形體，對危巖振動頻率與其后緣裂隙深度之間精確定量關系鮮有報道[28]。本文基于修正Timoshenko 梁理論，建立錯斷式墜落危巖體穩(wěn)定系數與固有頻率的定量關系，以期為危巖體崩塌防控提供有益借鑒。

1 錯斷式墜落危巖體穩(wěn)定系數靜力學計算方法

錯斷式墜落危巖體[29]又稱“懸掛式危巖體”或“壁掛式危巖體”，該類危巖體往往厚度較薄，呈片狀或長條狀，巖體結構豎向節(jié)理發(fā)育。危巖體底面臨空無支撐，危巖體與基巖的粘結面受由自重引起的張拉-剪切復合作用力，當作用力大于主控斷裂面強度時，巖體沿主控斷裂面拉剪崩落。如圖1 所示，錯斷式墜落危巖體形成主要原因為差異風化作用。由于坡體底部受河谷下切或人工開挖擾動，巖體在卸荷回彈作用下在后緣形成陡傾張拉裂縫，在自重及漸進風化作用下裂縫不斷加深，巖橋部位應力集中程度加劇進一步加深，直至巖橋突然破裂，危巖發(fā)生失穩(wěn)崩落。

圖1 危巖體風化過程示意圖Fig.1 Schematic diagram of weathering process of dangerous rock mass

錯斷式墜落危巖體受力示意圖如圖2 所示，危巖體模型高度為H，寬度為L， 厚度為B，后緣裂縫深度為h。基于該模型可計算得裂縫處截面所受最大拉應力 σmax和剪應力τ，二者表達式如下：

圖2 危巖體受力示意圖Fig.2 Force diagram of dangerous rock mass

式中， ρ /( kg·m-3)為巖體密度。

如式(1)所示，隨著裂縫深度h增加，裂縫處截面上最大拉應力 σmax和剪應力τ隨之增大。若墜落危巖體以剪切破壞為主，則當前危巖體穩(wěn)定系數為Fs1：

實際上，裂縫處截面受拉剪復合作用，拉剪復合作用條件下巖石抗拉強度遠小于單軸抗拉強度[30]，拉剪復合作用條件下巖石的抗拉強度為：

式中： σt為拉剪復合作用下巖石抗拉強度；Rt為巖石單軸抗拉強度；c為巖石內聚力；τ為巖石當前所受剪應力。由式(1)與式(3)可計算當前巖石抗拉強度為：

若危巖體破壞形式為拉剪復合作用下張拉破壞，則當前危巖體穩(wěn)定系數為：

實際上，危巖體破壞形式受幾何形式、巖體力學參數及后緣裂縫深度等因素，采用單一形式的破壞判據有失客觀，為安全起見，危巖體當前穩(wěn)定系數取上述兩種破壞形式所采用的穩(wěn)定系數最小值：

式(6)所涉及的巖石材料力學參數及危巖體幾何形式往往是可測的，根據該式可基于巖體材料參數得到危巖體后緣裂隙臨界深度值。然而，隨著危巖體整體力學性質劣化，其后緣裂縫深度h不斷增大，而裂縫深度的動態(tài)變化無法經靜力學進行實時計算，危巖體的穩(wěn)定系數也就無法確定。因此，如何反映穩(wěn)定系數計算必需參數h的動態(tài)變化仍是亟需解決的問題。從動力學角度而言，任何物體的動力特征參數可反映該物體的本質特征，如材料參數、形狀、邊界條件等。固有頻率是動力特征參數之一，能夠反映物體固有的特征參數。隨著危巖體后緣裂隙深度增加，母巖對危巖體的約束程度降低，固有頻率亦隨之變化，為分析固有頻率與危巖體后緣裂隙深度的關系，筆者對危巖體固有頻率計算方法進行分析。

2 錯斷式墜落危巖體的固有頻率計算方法研究

2.1 錯斷式墜落危巖體動力學方程建立

錯斷式墜落危巖體動力學模型如圖2 所示，將危巖體與基巖分離的部分簡化為巖梁，巖梁長度為裂縫深度h， 寬度為L，厚度為B。

由圖3 可知，隨著裂縫深度增大，巖梁長度h不斷增大，母巖對危巖體的約束長度H-h不斷減小，巖梁的幾何形式及邊界特征變化直接導致其振動特征發(fā)生改變，為獲取巖梁長度h對振動特征的影響，建立基于修正Timoshenko 梁理論的動力學方程[31]，修正Timoshenko 梁理論的同時考慮了梁的剪切變形、轉動慣量，且不存在雙頻譜的問題，修正Timoshenko 梁理論方程式如下：

圖3 危巖體動力學模型Fig.3 Dynamic model of dangerous rock mass

式中：S為巖梁橫截面積；G為巖石剪切模量；EI為巖梁抗彎剛度；μ為巖梁剪切系數，若截面為矩形，則

基于分離變量法可獲取方程的通解，獲取振型函數Y(x) 、彎矩引起的轉角函數 Φ(x)及剪切引起的轉角函數B(x)：

式中：

通解見式(8)～式(10)，式中的c1～c4為待求系數，需根據邊界條件進行求解。

2.2 巖梁約束條件分析

本文不考慮巖梁在X方向的平移運動，僅考慮梁的橫向彎曲。危巖體與母巖未分離部分受側向約束，橫向彎曲轉角近乎為0°，可忽略。將危巖體未分離部分的運動變形進行分解，如圖4 所示。未分離部分的運動變形包括剛性運動及變形，其中剛性運動又包括剛性平移與剛性旋轉?；谠摬糠值倪\動變形特征可知，該部分受側向母巖的抗搖擺約束及抗平移約束，另外剪切變形也提供抗上部巖梁的搖擺運動作用。

圖4 運動分解示意圖Fig.4 Motion decomposition diagram

由于母巖尺度遠大于危巖，因此，將未分離部分與母巖之間關系視為半無限空間地基與基礎的關系，可采用動力基礎半空間理[32]進行分析，如圖5 所示。

圖5 半無限空間地基與基礎示意圖Fig.5 Semi-infinite space foundation bed and foundation schematic diagram

半空間提供的抗平移剛度Ky與抗搖擺剛度Kψ計算方法如下：

式中：G′為半無限空間材料剪切模量；r1為橫向運

其中系數F1(α1) 計算方法[33]見表1，F2(α2)表達式見式(12)：

表1F1(α1)計算式Table 1 Formulas ofF1(α1)

1) 抗巖梁搖擺剛度分析

“基礎”部分可發(fā)生整體縱向剪切變性和局部剪切變形，兩種變形同時存在。首先考慮“基礎”整體的剪切變形，如圖4 所示。

由材料力學可得“基礎”剪切變形提供的抗搖擺靜剛度為：

“基礎”局部變形如圖5 所示，由材料力學理論可得“基礎”部分局部變形產生的抗搖擺靜剛度為：

式中，Kψ1與Kψ2為“彈簧串聯”的關系?！凹羟小弊冃伟殡S著旋轉運動，其參振質量不可忽略，設“基礎”搖擺角度的簡諧運動為 Θ：

則考慮參振部分轉動慣量的抗“基礎”搖擺動剛度Kψ3為：

半無限空間的抗搖擺動剛度可由式(11)進行計算，但該方法是基于等效圓面積比擬所得，為更加精確求解“地基”對矩形“基礎”的動約束剛度，本文采用等效圓面積條件下動、靜剛度之比乘以矩形“基礎”靜約束剛度的方法得到矩形“基礎”底部動剛度。等效圓面積條件下“地基”對“基礎”的靜約束剛度為：

結合式(11)與式(17)，可計算得到動、靜剛度比 γ1：

“地基”對矩形“基礎”的靜搖擺約束剛度為：

式中：γ1′=-0.0001χ4+0.002χ3-0.0148χ2+0.139χ+0.363，

結合式(18)與式(19)可得“地基”對矩形“基礎”動約束剛度：

考慮“基礎”的轉動慣量造成“地基―基礎”對巖梁約束剛度的影響，“地基―基礎”對巖梁搖擺的約束剛度為：

由于Kψ3與Kψ7是“彈簧串聯”的關系，基于“彈簧串聯”理論最終得到“地基―基礎”對巖梁搖擺的約束剛度：

2) 抗巖梁橫向位移剛度分析

根據式(11)可得，不考慮“基礎”參振質量條件下“地基”對與圓形等效面積的“矩形基礎”平移約束剛度。“地基”對圓形等效面積矩形“基礎”的平移靜約束剛度表達式如下：

結合式(11)與式(23)，可計算得到動、靜剛度比 γ2：

“地基”對矩形“基礎”的平移靜約束剛度為：

式中： γ2′=-0.0036χ2+0.1231χ+1.9932。

結合式(24)與式(25)可得“地基”對矩形“基礎”的平移動約束剛度：

由于“基礎”是質量體，其慣性條件需考慮，類比“地基―基礎”對巖梁搖擺約束剛度的計算方法，可得“地基―基礎”抗巖梁橫向位移剛度為：

通過上述分析，可根據式(22)與式(27)獲得抗巖梁搖擺約束剛度與抗巖梁橫向位移約束剛度，為巖梁振型的求解提供明確的約束邊界條件。

2.3 巖梁邊界條件分析及固有頻率求解

危巖體懸空端受剪力及彎矩皆為0，可將懸空自由端x=h處邊界條件寫作：

由于巖梁底部未分離部分受基巖限制，其橫向彎曲主要由彎矩引起，因此僅考慮梁未分離部分由彎矩引起的橫向彎曲及橫向平移。值得注意的是，修正Timoshenko 梁理論是基于梁內部相對變形及作用內力推導的，并不考慮整體剛性的位移或旋轉。而“半空間地基”需作為可變形體考慮，巖梁搖擺勢必引起剛性旋轉及剛性平移。基于該性質，可推導x=0時梁的橫向彎曲運動及橫向平移運動的邊界條件，即：

式(30)中c1～c4為待求解系數，由線性代數理論可知，當c1～c4全部為0 時，式(30)無意義，因此，c1～c4不全為0，故c1～c4的系數組成的4 階矩陣D行列式為零，對式 |D|=0進行求解便可得到巖梁的固有頻率，其中矩陣D見式(31)。由于計算較為復雜，需要借助數值計算。式(31)中未知數僅為含ω項，利用編程軟件采用數值迭代法便可快速求解得到ω值，計算結果形式如圖6 所示，其中|D|第一個零點對應頻率值即為第一階固有頻率。

圖6 固有頻率計算示意圖Fig.6 Diagram of natural frequency calculation

3 基于固有頻率的錯斷式墜落危巖體穩(wěn)定系數計算模型

3.1 固有頻率指標敏感性分析

危巖體穩(wěn)定系數計算服務于危巖體失穩(wěn)的防控，危巖體失穩(wěn)防控需要明確兩個問題：① 危巖體穩(wěn)定程度是否發(fā)生劣化；② 當前危巖體穩(wěn)定系數是否達到臨界值。若無法實時地確定危巖體穩(wěn)定程度是否發(fā)生劣化，則當前的穩(wěn)定系數的計算不具有任何意義，而反映危巖體穩(wěn)定程度或后緣裂縫深度指標的敏感性是最為關鍵的，因此表征危巖體后緣裂縫深度的關鍵參數不僅要能夠反映當前危巖體穩(wěn)定程度，還要對危巖體后緣裂縫深度變化有足夠的敏感性。

為了危巖體固有頻率對危巖體后緣裂縫深度變化的敏感性，本文采用數值軟件ABAQUS 數值計算方法進行分析。由于母巖相對危巖尺寸無限大，且母巖的位移相對危巖近乎為0，因此，本次模擬中母巖尺寸為60 cm×60 cm×60 cm，并對母巖模型進行固支。危巖模型尺寸：厚度B為10 cm、寬度L為10 cm、高度H為40 cm。數值模型如圖7 所示。

考慮危巖體與母巖一般材料相近或一致，本次模擬對母巖和危巖賦值同種材料屬性。數值模擬旨在分析危巖體固有頻率對裂縫深度的敏感性，暫不考慮危巖體的強度力學參數。材料各參數見表2。模擬過程中采用不斷加深后緣裂縫深度的方式模擬裂縫深度變化，每次加深長度為3 cm，裂縫深度h最大為36 cm。本次數值計算重點考察在平面上的彎曲運動，由于模型是三維的，危巖體對應的模態(tài)不一定全部在單一平面做彎曲運動，裂縫深度為3 cm時，考察的平面彎曲運動為第4 階模態(tài)；裂縫深度為6 cm～27 cm 時，考察的平面彎曲運動為第2 階模態(tài)；裂縫深度為27 cm～36 cm 時，考察的平面彎曲運動為第1 階模態(tài)。危巖體固有頻率理論值與模擬值對比如圖8 所示。

表2 材料屬性表Table 2 Material property table

圖8 固有頻率計算Fig.8 Natural frequency calculation

如圖8 所示，隨著裂縫深度的增加，危巖體在考察平面彎曲運動固有頻率逐步降低，其降低的趨勢為：裂縫深度為3 cm～6 cm 時，固有頻率值降低速度相對較緩；裂隙深度為9 cm～24 cm時，固有頻率值降低速度較快；裂縫深度為27 cm～33 cm 時，固有頻率值降低速度又呈相對較緩的趨勢。裂隙深度由3 cm 逐步變?yōu)?3 cm 時，固有頻率下降幅值約250 Hz，由此可見，固有頻率值對后緣裂縫深度的變化較為敏感，可以有效地表征危巖體穩(wěn)定程度是否發(fā)生劣化。數值模擬與理論值存在些許誤差，原因在于：① 數值模擬過程中計算單元中的偽應變能是不可避免的，偽應變能的存在使得模型變形變大，一定程度上使得固有頻率降低；② 由于理論模型的復雜性，本文采用動力基礎半空間理論時未考慮輻射阻尼，一定程度上使得固有頻率理論計算值比實際要高。

3.2 基于固有頻率錯斷式墜落危巖體穩(wěn)定系數計算模型建立

由于振動系統(tǒng)機械能主要集中在一階頻率，本文重點考察一階頻率，由數值模擬驗證了危巖體固有頻率與后緣裂縫深度呈負相關，危巖體固有頻率隨后緣裂縫深度增大而降低。因此，可根據當前危巖體固有頻率反演危巖體后緣裂縫深度。將固有頻率-裂縫深度曲線擬合得到關系式：

將式(32)代入式(2)、式(5)及式(6)中可得錯斷式墜落危巖體穩(wěn)定系數計算式：

4 試驗驗證

為了說明本算法的正確性及適用性，筆者在室內澆筑危巖-母巖模型，考慮到實際條件中危巖體與母巖材料屬性一致，因此試驗中二者采用同種材料進行澆筑，澆筑材料及配比見表3，材料的力學參數見表4，母巖模型尺寸為長度30 cm、寬度30 cm、高度40 cm 的矩形。危巖體模型寬度10 cm、厚度10 cm、高度30 cm，為了模擬更加準確，母巖的頂部進行加載固定，模型示意圖如圖9 所示。

表3 模型材料配比Table 3 Model material ratio

表4 模型材料力學參數Table 4 Mechanical parameters of model materials

圖9 模型示意圖Fig.9 Diagram of model

如圖10 所示，實驗過程中，沿著危巖體與母巖體的接觸面向下進行切割裂隙。每次切割深度為2 cm，切割完成后靜置5 min，然后每隔3 s 用力錘輕輕在危巖體表面進行敲擊，并利用拾振器采集振動加速度數據，單次采集完成后重復切割步驟，當切割深度為26 cm 時，繼續(xù)切割過程中模型發(fā)生破壞。

圖10 裂隙切割示意圖Fig.10 Fracture cutting schematic

裂隙深度增加過程中，固有頻率隨裂隙深度變化數據如表5 所示。固有頻率ω-裂隙深度h曲線如圖11 所示。

表5 固有頻率與穩(wěn)定系數值Table 5 Natural frequency and stability coefficient

圖11ω-h關聯曲線Fig.11 The correlation curve ofω-h

通過對固有頻率ω(理論值)-裂隙深度h進行擬合，可得式(34)：

穩(wěn)定系數Fs與固有頻率ω的關聯曲線如圖12所示，對Fs-ω曲線進行擬合，二者之間近似呈負線性相關的關系。由此可知，錯斷式墜落危巖體的穩(wěn)定系數完全可由固有頻率ω進行表示，可基于危巖體的固有頻率實時計算當前危巖體的穩(wěn)定系數。該研究成果為危巖體失穩(wěn)防控自動化監(jiān)測提供有益借鑒。

圖12Fs-ω關聯曲線Fig.12 The correlation curve ofFs-ω

5 結論

針對錯斷式墜落危巖體特點，將危巖體―母巖概化為基礎―半無限空間地基模型，結合修正Timoshenko 梁理論得到危巖體固有頻率解析，獲取危巖體后緣裂隙深度、固有頻率及穩(wěn)定系數之間的一一對應關系，并通過數值分析及室內試驗驗證了固有頻率指標的敏感性及有效性。結論如下：

(1) 錯斷式墜落危巖體安全程度受后緣裂縫深度影響，裂縫深度是評判危巖體安全系數的關鍵參數之一，裂縫深度的動態(tài)變化制約了靜力學計算方法的使用，而通過危巖體一階固有頻率的變化可較好地反映裂縫深度的變化。

(2) 根據動力基礎半空間理論分析危巖體所受的動約束剛度，結合巖梁模型的運動邊界條件，根據修正Timoshenko 梁理論所得的振型通解可計算不同后緣裂縫深度條件下危巖體固有頻率值。

(3) 通過數值試驗及室內試驗得出結論：錯斷危墜落巖體的一階固有頻率ω隨后緣裂縫深度h變化而變化的趨勢較為明顯，且試驗結果與計算結果吻合度較高，說明危巖體一階固有頻率可作為危巖體安全系數的有效關鍵參數指標。

(4) 通過分析固有頻率ω與危巖體后緣裂隙深度h的關系，建立了基于ω反 算h的計算方法，形成了基于固有頻率的錯斷式墜落危巖體穩(wěn)定系數計算模型。

本文僅分析矩形梁在平面內的彎曲振動，未分析其阻尼特征，且未分析更復雜幾何形式的危巖體動力學特征。