微觀能量分析氣動(dòng)光學(xué)效應(yīng)時(shí)變誤差的方法

楊博，于賀，*，樊子辰

1.北京航空航天大學(xué) 宇航學(xué)院，北京 100083

2.北京控制與電子技術(shù)研究所，北京 100038

高超聲速飛行器是人類(lèi)今后發(fā)展的戰(zhàn)略運(yùn)輸工具［1-2］。隨著軍事需求的快速推動(dòng)，自主導(dǎo)航技術(shù)已經(jīng)成為高超聲速飛行器發(fā)展的關(guān)鍵問(wèn)題之一［3］。與其他導(dǎo)航系統(tǒng)相比，天文導(dǎo)航系統(tǒng)具有絕對(duì)的自主優(yōu)勢(shì)，同時(shí)具備強(qiáng)抗干擾能力、高可靠性［4-5］。然而高超聲速飛行器在大氣層內(nèi)飛行時(shí)，光學(xué)頭罩與來(lái)流之間形成的復(fù)雜流場(chǎng)會(huì)產(chǎn)生強(qiáng)烈的氣動(dòng)光學(xué)效應(yīng)［6-7］，由此阻礙了天文導(dǎo)航在高超聲速飛行器上的順利應(yīng)用，因此針對(duì)高超聲速條件下氣動(dòng)光學(xué)效應(yīng)的研究具有重要意義。

氣動(dòng)光學(xué)效應(yīng)問(wèn)題涉及高超聲速流場(chǎng)、受擾光場(chǎng)2 個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)的耦合。光學(xué)窗口上方的復(fù)雜流場(chǎng)對(duì)傳輸光線產(chǎn)生嚴(yán)重的干擾，導(dǎo)致光學(xué)探測(cè)系統(tǒng)的目標(biāo)圖像發(fā)生偏移、模糊和抖動(dòng)等畸變現(xiàn)象［8-10］。當(dāng)前氣動(dòng)光學(xué)研究的關(guān)注點(diǎn)主要集中于2 個(gè)方向。一種是基于風(fēng)洞試驗(yàn)和圖像分析理論來(lái)研究目標(biāo)圖像的畸變特性。通過(guò)分析不同風(fēng)洞試驗(yàn)條件下獲取的目標(biāo)圖像研究受擾畸變圖像的移動(dòng)、模糊程度，進(jìn)而總結(jié)畸變規(guī)律以便對(duì)光學(xué)導(dǎo)航系統(tǒng)的測(cè)量偏差進(jìn)行補(bǔ)償。Sutton［11］將湍流統(tǒng)計(jì)量和氣動(dòng)光學(xué)畸變統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行了關(guān)聯(lián)。WyCkham［12］在此基礎(chǔ)上發(fā)展了邊界層光程差均方根的標(biāo)度律。Jumper 和Gordeyev［13］通過(guò)統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)總結(jié)了邊界層氣動(dòng)光學(xué)效應(yīng)的預(yù)測(cè)模型。這種方法能夠在受擾圖像的基礎(chǔ)上直接獲取較為精確的畸變結(jié)果，但是難以揭示光線在復(fù)雜流場(chǎng)中受擾的本質(zhì)過(guò)程。另一種研究方向是通過(guò)流場(chǎng)觀測(cè)技術(shù)，如基于背景紋影技術(shù)的波前傳感器（BOS-based Wavefront Sensor，BOSWS）［14］、納米粒子示蹤技術(shù)（NPLS）［15］，或者通過(guò)計(jì)算流體力學(xué)技術(shù)，如大渦模擬法（Large Eddy Simulation，LES）［16］、直接數(shù)值模擬法（Direct Numerical Simulation，DNS）［17］等，獲得高速流場(chǎng)的密度數(shù)據(jù)。當(dāng)光線通過(guò)高超聲速飛行器光學(xué)窗口周邊的高速流場(chǎng)時(shí)，一般取其湍流邊界層（Turbulent Boundary Layer，TBL）附近區(qū)域的折射率場(chǎng)進(jìn)行分析，利用幾何光學(xué)的光線追跡方法研究光線通過(guò)高速流場(chǎng)時(shí)氣動(dòng)光學(xué)效應(yīng)引起的相位畸變，用光程差（Optical Path Difference，OPD）、斯特列爾比（Strehl Ratio，SR）來(lái)描述受擾圖像的畸變結(jié)果［18-19］，這也是目前對(duì)氣動(dòng)光學(xué)效應(yīng)研究最常用的方法。這種結(jié)合流場(chǎng)、光路計(jì)算的研究過(guò)程能夠?qū)饩€傳輸?shù)钠厶匦赃M(jìn)行宏觀層面上的分析，但是無(wú)法描述光線在湍流傳輸中的散射、能量耗散過(guò)程。采用波動(dòng)光學(xué)對(duì)氣動(dòng)光學(xué)效應(yīng)進(jìn)行描述時(shí)，雖然從理論上可以通過(guò)波動(dòng)振幅反映能量的變化，但在針對(duì)湍流內(nèi)部的光線傳輸時(shí)，一般會(huì)忽略振幅變化，只利用簡(jiǎn)化的麥克斯韋方程組進(jìn)行解算。通過(guò)弱散射理論可以證明在小尺度渦結(jié)構(gòu)中，散射場(chǎng)功率的數(shù)值結(jié)果不能作為小值處理［20］。因此尋找一種能夠反映光在湍流中的能量傳輸過(guò)程的氣動(dòng)光學(xué)效應(yīng)分析方法，對(duì)于探究氣動(dòng)光學(xué)效應(yīng)的作用本質(zhì)和完整描述具有重要意義。

光子理論是基于普朗克、愛(ài)因斯坦和玻爾等對(duì)于光的量子化概念發(fā)展出的描述光與物質(zhì)相互作用的理論。根據(jù)能級(jí)躍遷假設(shè)，具有確定內(nèi)部運(yùn)動(dòng)定態(tài)的原子集合中的每個(gè)定態(tài)的特征具有一定的總能量。當(dāng)原子發(fā)射或吸收光子時(shí)，是從能量（EH）較高的定態(tài)跳到能量（EL）較低的定態(tài)（EH＞EL），其發(fā)射一個(gè)頻率為ν的光子；反之，則是吸收一個(gè)頻率為ν的光子。當(dāng)處于基態(tài)的原子與能量較高的粒子碰撞，粒子將其部分能量轉(zhuǎn)移給原子去跳到較高能態(tài)，粒子則衰變至較低能級(jí)，隨之產(chǎn)生光子發(fā)射。在分析光的能量傳輸分析上，已有不少學(xué)者采用光子傳輸理論對(duì)介質(zhì)產(chǎn)生的光學(xué)畸變進(jìn)行分析［21-22］。而光在高速流場(chǎng)中的傳輸在本質(zhì)上即是光子與氣流分子的相互作用過(guò)程。氣動(dòng)光學(xué)效應(yīng)則可認(rèn)為是光子與不均勻流氣體分子相互作用后產(chǎn)生不同能量分布的表征。因此，本文以新的視角，提出基于光子傳輸理論從微觀能量分析的角度剖析光在高速流場(chǎng)中傳輸導(dǎo)致的氣動(dòng)光學(xué)效應(yīng)時(shí)變誤差的方法。通過(guò)光子統(tǒng)計(jì)估計(jì)氣動(dòng)光學(xué)效應(yīng)中的光子能量損失，建立微觀參量與宏觀特征描述的映射關(guān)系，并通過(guò)數(shù)值仿真和風(fēng)洞試驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證，同時(shí)得到氣動(dòng)光學(xué)效應(yīng)的時(shí)變誤差，用于高超聲速飛行器天文導(dǎo)航系統(tǒng)的誤差補(bǔ)償。

1 氣動(dòng)光學(xué)效應(yīng)的微觀機(jī)制描述

氣動(dòng)光學(xué)效應(yīng)的微觀本質(zhì)是光子在湍流中與氣體分子的相互作用，如圖1所示。以微觀物理學(xué)為基礎(chǔ)，研究湍流中氣體分子的吸收、散射特性，以及光子在湍流中的傳輸模型、氣動(dòng)光學(xué)效應(yīng)在光子能量分析層面的微觀物理表征。

圖1 氣動(dòng)光學(xué)效應(yīng)微觀角度的光子傳輸過(guò)程Fig.1 Photon transmission process of aero-optical effects from microscopic angle

1.1 光子與湍流氣體分子的相互作用

1.1.1 湍流氣體分子對(duì)光子的吸收作用

光子經(jīng)過(guò)湍流氣體分子層傳輸時(shí)會(huì)被氣體分子吸收。令光子經(jīng)過(guò)ds距離傳輸，被氣體分子吸收的概率為μads，定義物理量吸收系數(shù)為μa(r，ν，t)，描述吸收過(guò)程，是空間、時(shí)間及頻率的函數(shù)。光子與氣體分子的吸收作用伴隨著電子的極化、電子能態(tài)的改變。當(dāng)光子被吸收后，氣體分子會(huì)從基態(tài)能級(jí)躍遷到激發(fā)態(tài)能級(jí)，如圖2所示。

圖2 光子被吸收產(chǎn)生的能級(jí)躍遷Fig.2 Energy level transition caused by photon absorption

不同的躍遷方式取決于吸收光子后的電子自由狀態(tài)，由于直接計(jì)算單一分子不同躍遷方式的吸收系數(shù)十分復(fù)雜，因此選擇復(fù)折射率的形式對(duì)光子吸收系數(shù)進(jìn)行描述。根據(jù)洛倫茲的色散理論，復(fù)數(shù)折射率n?的計(jì)算公式［23］為

式中：nR為實(shí)部，即幾何光學(xué)中常用的介質(zhì)折射率，用于反映湍流氣體分子的色散特性；nI為虛部，用于反映分子的吸收特性。nR、nI的關(guān)系滿足

式中：KGD為Gladstone-Dale 常數(shù)，其取值由光束的波長(zhǎng)決定，KGD取為

式中：λ為入射光的波長(zhǎng)。

根據(jù)湍流分子對(duì)光子的吸收系數(shù)μa與復(fù)折射率虛部的關(guān)系滿足

因此可以發(fā)現(xiàn)，吸收系數(shù)與空間、時(shí)間、頻率均相關(guān)。由于湍流氣體分子的分布具有時(shí)變性、不均勻性，因此不同時(shí)間光子經(jīng)過(guò)不同區(qū)域的湍流氣體分子傳輸時(shí)，由于分子間距變化的不穩(wěn)定，光子被氣體分子吸收作用不同，從而會(huì)造成光子能量損失程度的差異。

1.1.2 湍流氣體分子對(duì)光子的散射作用

光子經(jīng)過(guò)湍流氣體分子傳輸時(shí)，氣體分子紊亂度的增加導(dǎo)致了光子散射作用增強(qiáng)，也會(huì)引起光子能量擴(kuò)散及光強(qiáng)減弱。

假設(shè)光子在氣體中經(jīng)過(guò)ds距離后被散射的概率為μs(ν)ds，定義散射系數(shù)μs(r，ν，t)為描述該過(guò)程的物理量。光子的散射與湍流分子不均勻性的尺度有關(guān)，本文主要考慮小尺度湍流氣體分子的瑞利散射，其由分子密度變化和偶極矩變化形成的光學(xué)不均勻性所致。根據(jù)光子散射理論，單分子的瑞利散射截面為

湍流分子的散射截面與λ4成反比，為了減少單一分子散射截面的計(jì)算量，實(shí)際散射系數(shù)可以表示為

通過(guò)式（8）可以看出湍流分子的散射系數(shù)也是空間、時(shí)間、頻率的函數(shù)。對(duì)于高速湍流，氣體分子轉(zhuǎn)捩程度的增加將導(dǎo)致散射的增強(qiáng)、光子能量的擴(kuò)散。

1.2 光子在湍流氣體中傳輸模型

光子在湍流氣體中傳輸時(shí)與氣體分子相互作用，光子數(shù)目發(fā)生變化。設(shè)在任意時(shí)刻t，處于位置坐標(biāo)r處、頻率ν的光子，沿著Ω方向傳播時(shí)，定義光子的分布函數(shù)可表示為f(r，ν，Ω，t)，單元光子數(shù)dP可表示為

式（9）即表示t時(shí)刻在位置點(diǎn)r附近的體積單元dV內(nèi)，通過(guò)頻率處于ν附近dν單元內(nèi)、方向處于Ω附近dΩ單元內(nèi)的光子數(shù)。光子的分布函數(shù)f(r，ν，Ω，t)決定了湍流中光子場(chǎng)的強(qiáng)度I，關(guān)系公式為

式中：c為光速；h為普朗克常數(shù)；I(r，ν，Ω，t)為t時(shí)刻處于位置點(diǎn)r、在Ω方向上傳輸?shù)念l率為ν的光子的能量，推出光子在湍流中傳輸?shù)牟柶澛匠蹋?4-25］為

式中：υ為光子速度矢量；a為加速度矢量；若忽略相對(duì)論效應(yīng)，則a=0，且υ=cΩ；?r、?υ分別為幾何空間、速度空間的散度算子；Q(r，Ω，t)為光子源項(xiàng)，表征了光子與湍流氣體分子相互作用的過(guò)程，本文主要研究與光子能量相關(guān)的吸收、散射效應(yīng)。將直角坐標(biāo)系x-y-z平移獲得光子局部坐標(biāo)系ex-ey-ez，單位方向向量余弦和光子方向矢量在坐標(biāo)軸上的投影關(guān)系如圖3所示。

圖3 光子局部坐標(biāo)系的矢量關(guān)系Fig.3 Vector relation of photon local coordinate system

令單位方向矢量Ω=[μ η ξ]T，在直角坐標(biāo)系中滿足

根據(jù)式（10）、式（11）可以得到光子在湍流中的傳輸模型［26-27］為

式（13）等號(hào)右側(cè)2 項(xiàng)分別為光子源項(xiàng)Q(r，Ω，t)吸收、散射部分的表述，滿足

將式（13）改寫(xiě)為散度形式［26-27］，即

其中：

式中：i、j、k分別為x、y、z坐標(biāo)方向的單位矢量。光子傳輸方程不僅包含空間微分項(xiàng)，還包含角度積分項(xiàng)。針對(duì)某一湍流狀態(tài)的光子傳輸過(guò)程，采用離散坐標(biāo)法對(duì)微分方程進(jìn)行求解，因此，需要分別對(duì)空間、角度進(jìn)行離散化。首先，將空間計(jì)算域劃分為體積單元，并通過(guò)角度分段常數(shù)求積分的方法將立體角劃分為多個(gè)部分，如將天頂角θ、圓周角φ離散為Nθ×Nφ份，因此，可以將光子傳輸方程寫(xiě)為離散坐標(biāo)形式，即

式中：離散的天頂角、圓周角為

對(duì)天頂角和圓周角的導(dǎo)數(shù)需要進(jìn)行有限差分近似，可以將角分配項(xiàng)寫(xiě)為

因此光子在湍流分子中傳輸?shù)碾x散坐標(biāo)方程為

在體積單元ΔVP上對(duì)式（21）進(jìn)行積分，可以得到離散坐標(biāo)形式

其中：

式中：NP為單元P所具有的表面數(shù)；Ai為第i個(gè)表面的面積；ei、nR，i分別為第i個(gè)表面單位外法向量、折射率的實(shí)部；ΔVP為單元P的體積；nR，P為單元P中心的折射率實(shí)部。為了使得積分方程封閉，需要設(shè)置邊界條件，這里選擇下游表面的光子強(qiáng)度值等于上游中心的強(qiáng)度值，滿足

式中：Pi為與單元P共享第i個(gè)表面的相鄰單元；IPi(r，ν，Ωm，n)為單位Pi的光子強(qiáng)度。上述過(guò)程是一個(gè)方向上的空間坐標(biāo)離散化，其他方向相同，這樣就形成了一個(gè)離散方程組。光子強(qiáng)度通過(guò)求解和迭代離散方程來(lái)求解，詳細(xì)過(guò)程見(jiàn)文獻(xiàn)［26-27］。

綜上可以看出，光子在湍流中的傳輸方程為一個(gè)微分方程，變量為空間、時(shí)間坐標(biāo)，由于計(jì)算時(shí)間變量會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量急劇增長(zhǎng)，且光子運(yùn)動(dòng)速度遠(yuǎn)超過(guò)流場(chǎng)的變化速度，可以認(rèn)為在一個(gè)較短的時(shí)間間隔內(nèi)，光子與湍流分子作用期間不會(huì)影響湍流流動(dòng)狀態(tài)，湍流結(jié)構(gòu)是相對(duì)靜態(tài)的，但是為了分析氣動(dòng)光學(xué)效應(yīng)的時(shí)變誤差，因此后續(xù)的分析中，需要限制流場(chǎng)的采樣時(shí)間。

2 氣動(dòng)光學(xué)效應(yīng)的能量分析評(píng)估函數(shù)

湍流氣體分子運(yùn)動(dòng)的不確定性、分布的不均勻性，使得在其中傳輸?shù)墓庾幽芰慨a(chǎn)生耗散現(xiàn)象，最終導(dǎo)致實(shí)際光子在接收器上的落點(diǎn)（星點(diǎn)）與成像平面中心的標(biāo)準(zhǔn)落點(diǎn)之間產(chǎn)生偏差。事實(shí)上，在成像平面上獲得的“星點(diǎn)”即是光子能量統(tǒng)計(jì)的結(jié)果，并且僅是以能夠出現(xiàn)在接收面上的光子的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。因此，定義微觀意義下描述光子能量耗散程度的評(píng)價(jià)函數(shù)是必要的。

2.1 光子的能量散度

光子的能量散度（Photon Energy Divergence，PED）用于描述光子散射作用程度。以某一傳輸過(guò)程的接收平面為評(píng)估對(duì)象，統(tǒng)計(jì)矢徑在某一確定接收平面Λ上的光子分布情況。假設(shè)傳輸過(guò)程中散射并不改變光子的頻率，那么在平面Λ處的PED 為該平面上光子分布的集中度，計(jì)算公式為

式中：r0為光子直線傳輸情況下在接收平面上的矢徑。PED 為微觀統(tǒng)計(jì)意義下的接收平面上各處離散光子能量分布的集中度，PED 的值越大，表示光子傳輸?shù)纳⒍仍酱?，光子傳輸過(guò)程中遇到的散射作用越強(qiáng)。

2.2 光子的能量耗散比

光子的能量耗散比（Photon Energy Loss Ratio， PELR）為光子被吸收程度的物理描述。取傳輸過(guò)程的某一接收平面Λ，PELR 為該平面上的光子總能量與初始光子能量的損耗比例，即

式中：I0為初始光源的強(qiáng)度。PELR 的值越大，表示光子傳輸過(guò)程中能量的耗散比例越大，由此可以說(shuō)明湍流分子對(duì)光子的吸收作用。PELR 可以描述相對(duì)初始光源的光子能量的損耗。

2.3 光子的偏轉(zhuǎn)角

光子的偏轉(zhuǎn)角（Photon Deflection Angle，PDA）用于描述光子傳輸過(guò)程中速度方向偏轉(zhuǎn)程度。對(duì)于光子傳輸過(guò)程中的某一接收平面Λ，光子的偏轉(zhuǎn)角定義為，該平面上任意矢徑處光子的即時(shí)速度方向與初始傳輸方向的夾角：

式中：Ω0為初始光子的傳輸方向矢量。為了反映氣動(dòng)光學(xué)畸變的宏觀特征，定義平均光子偏轉(zhuǎn)角為平面Λ上任意矢徑處光子數(shù)權(quán)重與其偏轉(zhuǎn)角乘積的和，即

PDA 的值越大，說(shuō)明光子在傳輸方向上的偏移畸變?cè)酱?。相?duì)于傳統(tǒng)幾何光學(xué)的相位畸變分析，PDA 可以更加直接地描述光子傳輸方向受湍流結(jié)構(gòu)影響的程度。

3 仿真分析與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比

3.1 高速湍流流場(chǎng)的獲取

采用大渦模擬法（LES）獲取高速流場(chǎng)的瞬態(tài)結(jié)構(gòu)［28］。高速飛行器的物理結(jié)構(gòu)及尺寸如圖4所示。其中，光學(xué)窗口為凹窗設(shè)計(jì)，錐頭斜角為13.5°。xb-yb-zb、xw-yw-zw分別為本體、窗口坐標(biāo)系。

圖4 高速飛行器的物理結(jié)構(gòu)及尺寸Fig.4 Physical structure and size of high-speed aircraft

飛行器與光學(xué)窗口附近網(wǎng)格劃分如圖5所示，為了更加清晰地得到光學(xué)窗口附近的流場(chǎng)結(jié)構(gòu)，對(duì)窗口附近網(wǎng)格進(jìn)行加密處理。

圖5 飛行器與光學(xué)窗口附近網(wǎng)格分布Fig.5 Grid distribution near aircraft and optical window

飛行器的網(wǎng)格劃分?jǐn)?shù)量為1.895×107，且已經(jīng)過(guò)網(wǎng)格無(wú)關(guān)性驗(yàn)證。LES 的仿真采用商業(yè)軟件Fluent 2021R2 及北京超算中心的高性能服務(wù)器進(jìn)行湍流模擬。其中LES 的仿真條件為：飛行高度取20 km；飛行速度為Ma=3.0；來(lái)流密度為0.089 kg/m3；飛行攻角為設(shè)為0°；仿真時(shí)間步長(zhǎng)為10-7s。流場(chǎng)模擬結(jié)果如圖6、圖7所示。

圖6 飛行器外流場(chǎng)的速度分布Fig.6 Velocity distribution of aircraft outflow field

圖7 光學(xué)窗口上方流場(chǎng)的密度分布Fig.7 Density distribution of flow field above noptical window

3.2 湍流渦結(jié)構(gòu)對(duì)光子的能量耗散分析

從微觀分子角度看，湍流結(jié)構(gòu)尺度實(shí)際上即為湍流分子的密度、速度分布不同所致，剛進(jìn)入光學(xué)窗口的氣流分子由于窗口壁面黏性相對(duì)大導(dǎo)致分子速度變慢，較窗口之外氣體的流速變化率增大，分子與分子間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)加劇，能量傳遞范圍加大，在窗口前部形成了湍流大尺度渦，而經(jīng)過(guò)一段距離傳輸之后，分子動(dòng)能逐漸耗散，最終湍流大尺度渦轉(zhuǎn)捩為小尺度渦［29］。這一變化過(guò)程中，湍流各種尺度渦結(jié)構(gòu)對(duì)當(dāng)前接受到的光束的光子的散射作用不同，接收窗口對(duì)經(jīng)過(guò)湍流傳輸?shù)墓庾拥暮纳⒛芰恳膊煌?。采用Q準(zhǔn)則確定湍流流場(chǎng)數(shù)據(jù)內(nèi)部渦結(jié)構(gòu)，即通過(guò)速度的旋度來(lái)進(jìn)行渦結(jié)構(gòu)的判定，計(jì)算公式為

式中：Vx、Vy、Vz分別為氣流在x、y、z方向上的速度分量。在飛行器高速飛行時(shí)，在高速湍流中存在不同尺度的時(shí)變渦結(jié)構(gòu)，不妨將其分為大、中、小尺度結(jié)構(gòu)，如圖8所示。

圖8 Q 準(zhǔn)則下的不同尺度湍流結(jié)構(gòu)Fig.8 Turbulence structures of different scales under Q criterion

湍流的渦結(jié)構(gòu)與氣流分子的速度和密度分布均相關(guān)，為了探究渦結(jié)構(gòu)對(duì)光子傳輸?shù)母蓴_規(guī)律，分別在大、中、小尺度渦結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)情況下，使用上述光子傳輸?shù)哪芰糠植紒?lái)分析渦結(jié)構(gòu)尺度對(duì)光子能量耗散的影響。其中渦結(jié)構(gòu)的分離采用本征正交分解（Proper Orthogonal Decomposition，POD）來(lái)進(jìn)行，將其能量模態(tài)按照降序分為3種進(jìn)行重構(gòu)［30-32］。假設(shè)光源初始設(shè)置為在邊界層流場(chǎng)中心高斯分布的點(diǎn)光源，入射角為90°，波長(zhǎng)為572 nm，光子數(shù)目為108，光子接收成像面尺寸為50 mm×50 mm 的方形尺寸。光子在3 種尺度流場(chǎng)結(jié)構(gòu)中傳輸模擬得到的光子能量散布，如圖9～圖11所示，其中紅色方框?yàn)楣庾觽鬏斶_(dá)到接收器成像平面的最小“能量圈”。

圖9 大尺度湍流結(jié)構(gòu)示意圖與光子能量散布圖Fig.9 Schematic diagram of large-scale turbulence structure and photon energy distribution

圖10 中尺度湍流結(jié)構(gòu)示意圖與光子能量散布圖Fig.10 Schematic diagram of meso-scale turbulence structure and photon energy distribution

圖11 小尺度湍流結(jié)構(gòu)示意圖與光子能量散布圖Fig.11 Schematic diagram of small-scale turbulence structure and photon energy distribution

通過(guò)圖9～圖11 可以看出，假定同樣數(shù)量的光子通過(guò)大尺度結(jié)構(gòu)之后，可以有較多的光子達(dá)到了成像平面上，即紅框之內(nèi)，并且光子集中度高，亮度（光強(qiáng)）大，向著成像面中心集中。同理看到通過(guò)中尺度結(jié)構(gòu)次之，而通過(guò)小尺度渦結(jié)構(gòu)后，散射到紅框之外的光子增加（見(jiàn)圖11），并且紅框內(nèi)即達(dá)到成像平面的光子減少，且集中度開(kāi)始下降，亮度（光強(qiáng)）減弱，從以上分析可看出，流場(chǎng)中小尺度結(jié)構(gòu)是對(duì)光子能量耗散起主要作用，可造成更多的光子散射，其宏觀表象就是“星點(diǎn)”的模糊和抖動(dòng)。

光子在湍流分子中傳輸過(guò)程，偏轉(zhuǎn)角達(dá)到一定界限時(shí)，光子便無(wú)法進(jìn)入接收器的成像平面內(nèi)，通過(guò)對(duì)不同尺度的渦結(jié)構(gòu)影響的光子統(tǒng)計(jì)可以獲得散射作用與渦結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系。表1 為根據(jù)能量分析的評(píng)價(jià)函數(shù)分別對(duì)圖9～圖11 的3 種情況進(jìn)行氣動(dòng)光學(xué)效應(yīng)評(píng)估的結(jié)果。

表1 不同尺度渦結(jié)構(gòu)下光子評(píng)價(jià)函數(shù)值Table 1 Photon evaluation function value with different scale vortex structures

由表1 可以看出光子能量散度PED 隨著渦結(jié)構(gòu)尺度減小而增大，而光子能量耗散比PELR、光子傳輸偏轉(zhuǎn)角PDA 也是隨著渦結(jié)構(gòu)尺度減小而增大，評(píng)價(jià)函數(shù)值的變化規(guī)律與圖9～圖11 不同渦結(jié)構(gòu)尺度的光子能量散布規(guī)律相吻合。

3.3 光子的微觀能量分析與宏觀表征的統(tǒng)一

基于光子能量層面研究氣動(dòng)光學(xué)效應(yīng)是基于光子傳輸統(tǒng)計(jì)方法對(duì)光子能量耗散的定量分析。通過(guò)微觀能量分析的量化結(jié)果與傳統(tǒng)幾何光學(xué)的宏觀OPD、點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)（Point Spread Function PSF）、宏觀偏角（Light Offset Angle，LOA）3 個(gè)定性分析的物理量進(jìn)行比較，驗(yàn)證光子微觀能量分析方法的準(zhǔn)確性。

1） 微觀統(tǒng)計(jì)光子光強(qiáng)分布和宏觀PSF 對(duì)比

通過(guò)3.1 節(jié)中獲取的高速流場(chǎng)進(jìn)行光子傳輸仿真，取距離光學(xué)窗口不同高度的采樣平面進(jìn)行解析，通過(guò)I(r，ν，Ω，t)=chνf(r，ν，Ω，t)將光子能量分布轉(zhuǎn)化為光子場(chǎng)的強(qiáng)度。并用幾何光學(xué)的“光線追跡”法得到相應(yīng)采樣平面的PSF 對(duì)應(yīng)的光強(qiáng)，圖12 為不同傳輸距離上兩者的分布表示。

圖12 微觀統(tǒng)計(jì)光子場(chǎng)強(qiáng)度與平均PSF 的對(duì)比Fig.12 Comparison of micro-statistical photon field intensity and average PSF

對(duì)比圖12 中2 條曲線，接近重合，但仍然有平均1.2%的相對(duì)誤差。這里有2 點(diǎn)需要說(shuō)明：其一，圖12 僅是對(duì)落到截取平面上的光子進(jìn)行了光子微觀統(tǒng)計(jì)，并不包括由于湍流影響產(chǎn)生了能量耗散未被接收到的光子（如同圖9～圖11 中表示的接收能量邊界紅框外的光子）；其二，圖12 中PSF 是用幾何光學(xué)“光線追跡”得到的采樣點(diǎn)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)平均值分布，即各采樣點(diǎn)光場(chǎng)上“像點(diǎn)”的平均光強(qiáng)的分布，因此，兩者之間存在誤差是必然的。圖13、圖14 分別為微觀統(tǒng)計(jì)光子場(chǎng)強(qiáng)度分布和傳統(tǒng)宏觀PSF 的光強(qiáng)分布，結(jié)果也是明顯相近的，說(shuō)明微觀能量分析的方法是準(zhǔn)確的。

圖13 微觀統(tǒng)計(jì)光子場(chǎng)強(qiáng)度分布Fig.13 Micro statistical photon field intensity distribution

圖14 傳統(tǒng)宏觀PSF 的光強(qiáng)分布Fig.14 Light intensity distribution of traditional macro PSF

2） 光子統(tǒng)計(jì)光程差PS-OPD 與宏觀OPD對(duì)比

類(lèi)比傳統(tǒng)OPD 的物理表述，在某一確定接收平面Λ中的某一矢徑r處，設(shè)當(dāng)前位置光子數(shù)為NP=f(r，ν，t)，則定義光子統(tǒng)計(jì)光程差（Photon Statistical Optical Path Difference， PS-OPD）為

式中：r0為光子不受干擾傳輸情況下在接收平面上的矢徑。

由于瞬態(tài)流場(chǎng)更能體現(xiàn)湍流流場(chǎng)的動(dòng)態(tài)高頻特性，因此取流場(chǎng)中光子傳輸距離（與圖12 采用相同的采樣間隔距離）上的不同采樣平面，統(tǒng)計(jì)得到各采樣平面的平均PS-OPD、通過(guò)幾何光學(xué)的“光線追跡”對(duì)各采樣平面求得的宏觀平均OPD，如圖15所示。對(duì)比兩曲線看，2 種光程差仍然存在一定的偏差，產(chǎn)生誤差的原因也是由于部分光子未達(dá)到接收表面而影響了統(tǒng)計(jì)結(jié)果，同時(shí)可以從圖16、圖17 中比較傳統(tǒng)幾何光學(xué)宏觀OPD 與微觀光子統(tǒng)計(jì)光程差PS-OPD，可以看出來(lái)其趨勢(shì)基本一致，也說(shuō)明了微觀光子能量分析的方法與宏觀方法的統(tǒng)一性。

圖15 光子統(tǒng)計(jì)平均PS-OPD 與宏觀平均OPD 對(duì)比Fig.15 Comparison between photon statistical average PS-OPD and macroscopic average OPD

圖16 傳統(tǒng)幾何光學(xué)宏觀OPD 分布Fig.16 OPD distribution of traditional geometric optics

圖17 微觀光子統(tǒng)計(jì)光程差PS-OPD 分布Fig.17 PS-OPD distribution of microscopic photon statistical optical path difference

圖18 微觀光子統(tǒng)計(jì)平均PDA 與宏觀LOA 對(duì)比Fig.18 Comparison between microscopic photon statistical average PDA and macroscopic LOA

3.4 時(shí)變誤差仿真和微觀能量分析方法驗(yàn)證

隨著高速流場(chǎng)的不斷變化，氣動(dòng)光學(xué)效應(yīng)誤差也在不斷發(fā)生變化，實(shí)際仿真過(guò)程中，由于光子與湍流分子相互作用的時(shí)間比湍流變化更短，因此采用流場(chǎng)的不同采樣時(shí)間間隔作為分析氣動(dòng)光學(xué)效應(yīng)時(shí)變誤差的步長(zhǎng)。并將最終的仿真結(jié)果與風(fēng)洞試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證微觀能量分析方法的有效性。

在LES 仿真40 000 代之后，飛行器光學(xué)窗口上方流場(chǎng)已經(jīng)完全發(fā)展為湍流狀態(tài)。此時(shí)取20 ms 的流場(chǎng)變化數(shù)據(jù)，采樣200 個(gè)流場(chǎng)狀態(tài)，經(jīng)過(guò)光子傳輸仿真獲得--- -----PDA 時(shí)變誤差結(jié)果如圖19所示。

圖19 基于能量分析的氣動(dòng)光學(xué)效應(yīng)的時(shí)變誤差Fig.19 Time-varying error of aero-optical effect based on energy analysis

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文中的微觀能量分析方法，使用文獻(xiàn)［33-34］中的CFD 模擬和風(fēng)洞試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較，驗(yàn)證結(jié)果如圖20所示，其中，ξ為入射角，滿足ξ∈(0，180)°，光子能量分析方法的OPDrms實(shí)際代表微觀統(tǒng)計(jì)PS-OPD 的均方根，這里為了表示方便，對(duì)氣動(dòng)光學(xué)效應(yīng)的誤差均采用OPDrms進(jìn)行描述；OPDrms(90°)則表示ξ=90°時(shí)的OPDrms。最終從驗(yàn)證結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)氣動(dòng)光學(xué)效應(yīng)的微觀能量分析方法結(jié)果與實(shí)際風(fēng)洞試驗(yàn)的結(jié)果基本吻合。

圖20 不同分析方法的結(jié)果比較Fig.20 Comparison of results from different analysis methods

4 結(jié) 論

針對(duì)當(dāng)前高超聲速飛行器光學(xué)探測(cè)中氣動(dòng)光學(xué)效應(yīng)的瓶頸問(wèn)題，創(chuàng)新性地提出了基于光子微觀能量分析氣動(dòng)光學(xué)效應(yīng)的思想，并進(jìn)行了詳細(xì)的推導(dǎo)和驗(yàn)證，得出以下主要結(jié)論：

1） 本文推導(dǎo)了光子在湍流中的傳輸模型，并基于光子與湍流分子的作用機(jī)制，建立了基于光子能量分析氣動(dòng)光學(xué)效應(yīng)時(shí)變誤差的方法。

2） 分析了湍流不同尺度結(jié)構(gòu)與光子能量耗散的關(guān)系，得出湍流小尺度結(jié)構(gòu)是造成光子能量耗散的主要原因，揭示了湍流影響下的光接收成像平面上的“星點(diǎn)”僅是部分具備有“可達(dá)到”能量的光子散布，小尺度渦結(jié)構(gòu)可使散布范圍加大，即表現(xiàn)為模糊、抖動(dòng)加劇。

3） 從微觀光子角度建立了氣動(dòng)光學(xué)評(píng)價(jià)函數(shù)，并驗(yàn)證了微觀統(tǒng)計(jì)的量化值與宏觀定性描述物理量之間映射關(guān)系的合理性和準(zhǔn)確性。

4）進(jìn)行了氣動(dòng)光學(xué)效應(yīng)時(shí)變誤差仿真，可以從光子統(tǒng)計(jì)的角度進(jìn)行氣動(dòng)光學(xué)畸變規(guī)律的分析。

本文主要提出基于光子能量分析氣動(dòng)光學(xué)效應(yīng)的微觀思想，為高超聲速飛行器氣動(dòng)光學(xué)效應(yīng)的研究提供新的研究思路，后續(xù)還需針對(duì)飛行環(huán)境的適應(yīng)能力進(jìn)行進(jìn)一步評(píng)估。