刀具偏心跳動(dòng)下側(cè)銑硬脆材料的瞬時(shí)銑削力模型

馬廉潔，杜文豪，趙鎮(zhèn)，邱喆

1.東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，沈陽(yáng) 110819

2.東北大學(xué)秦皇島分校 控制工程學(xué)院，秦皇島 066004

切削力是表征加工狀態(tài)的關(guān)鍵參數(shù)之一［1-4］。銑削過(guò)程中，刀具的偏心跳動(dòng)是導(dǎo)致銑削力不均勻的重要因素，刀具及主軸部件的制造誤差、裝夾誤差造成刀具軸線和主軸理想回轉(zhuǎn)軸線之間漂移和偏心使刀具在加工中產(chǎn)生偏心跳動(dòng)［5］。然而，偏心現(xiàn)象難以根除，其不僅影響切入角和切出角，還會(huì)影響瞬時(shí)切削厚度，導(dǎo)致刀具的偏移側(cè)承受更高的峰值力和切削刃的不均勻磨損［6］。這一問(wèn)題在硬脆材料銑削加工中尤為突出，因此銑削力預(yù)測(cè)中考慮刀具的偏心跳動(dòng)是提高預(yù)測(cè)精度的關(guān)鍵。

銑削的特點(diǎn)是刀具間歇接觸工件的過(guò)程，各齒瞬時(shí)切削厚度不同，確定切削點(diǎn)相對(duì)工件的運(yùn)動(dòng)軌跡尤為重要，決定了瞬時(shí)未變形切削厚度［7］。Bao 和Tansel［8-9］提出了包含刀具移動(dòng)和旋轉(zhuǎn)的刀齒軌跡的切屑厚度模型，同時(shí)將刀具跳動(dòng)考慮到微銑削中，提出了一個(gè)分析切削力模型，該模型具有切屑厚度的緊湊表達(dá)式。Zheng 等［10］將切屑幾何形狀分為6 種情況，建立了切削力預(yù)測(cè)模型，并在假設(shè)切屑幾何形狀不變、忽略刃口變化的情況下，建立了簡(jiǎn)化的動(dòng)態(tài)切屑模型。Sutherland 和Devor［11］考慮系統(tǒng)變形對(duì)切屑負(fù)載的影響，平衡切削力和產(chǎn)生的系統(tǒng)變形的切屑負(fù)載，將切削力和表面誤差的柔性系統(tǒng)模型與鑄造鋁合金試驗(yàn)值、剛性系統(tǒng)模型預(yù)測(cè)值進(jìn)行比較，表明該柔性模型預(yù)測(cè)更加準(zhǔn)確。Wan 等［12］將總切削力視為獨(dú)立于跳動(dòng)的標(biāo)稱分量加上跳動(dòng)引起的擾動(dòng)分量的總和，通過(guò)使用來(lái)識(shí)別平面端銑削中的刀具偏心跳動(dòng)和切削力系數(shù)標(biāo)稱分量的瞬時(shí)值求解擾動(dòng)分量的線性化方程，處理后的切削力模型的預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合度較高。Zhang 等［13］在考慮刀具跳動(dòng)的情況下，將瞬時(shí)銑削力和銑削力系數(shù)用欠定義線性方程組表示，采用最小二乘法，利用提出的校準(zhǔn)程序?qū)で笞罴训奶鴦?dòng)參數(shù)，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證提高了預(yù)測(cè)精度。Wang 等［14］提出了一種預(yù)測(cè)球頭銑刀銑削力及其概率特性的方法，通過(guò)對(duì)不同銑削力的積分，建立了銑削力預(yù)測(cè)模型，利用銑削力的平均值和幅度來(lái)識(shí)別銑削力系數(shù)?？紤]切削參數(shù)隨機(jī)性的銑削力概率分析，并采用自適應(yīng)克里格模型重建了切削參數(shù)與銑削力之間的函數(shù)關(guān)系。Zhang等［15］通過(guò)考慮刀具跳動(dòng)和傾斜偏差對(duì)刀具路徑以及底刃切削的影響，提出了一種微型平面立銑刀的切削力模型，并根據(jù)剪切域和耕犁域狀態(tài)下的銑削機(jī)制來(lái)計(jì)算，通過(guò)最小二乘擬合方法，并研究了基于所提出模型的不同進(jìn)給率和軸向切削深度下的預(yù)測(cè)切削力。劉濤和張麗芳［16］從渦旋盤銑削過(guò)程出發(fā)，建立了考慮刀具跳動(dòng)的瞬時(shí)銑削力模型，提出了一種基于改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法（Particle Swarm Optimization， PSO）對(duì)銑削力模型參數(shù)進(jìn)行求解的方法，提高瞬時(shí)銑削力預(yù)測(cè)精度。眾多學(xué)者運(yùn)用不同的改進(jìn)方案，提高模型參數(shù)和系數(shù)辨識(shí)精度，進(jìn)而提高了銑削力預(yù)測(cè)的精度。

由于硬脆材料的特殊性能，銑削時(shí)的每齒進(jìn)給量極小，放大了刀具偏心跳動(dòng)對(duì)各齒銑削力變化的影響，因而常規(guī)銑削力模型對(duì)硬脆性材料來(lái)說(shuō)難以適用。以側(cè)銑可加工微晶陶瓷為對(duì)象，以Martellotti銑削力模型理論［17］基礎(chǔ)，通過(guò)切削層面積和偏心跳動(dòng)確定瞬時(shí)銑削力作用點(diǎn)，建立瞬時(shí)整體銑削力模型，用以研究硬脆材料銑削力的變化規(guī)律。從而簡(jiǎn)化銑削力建模和系數(shù)求解的過(guò)程，同時(shí)降低求解的隨機(jī)性和復(fù)雜性。當(dāng)前有關(guān)金屬材料的銑削力建模已做豐富研究［18-19］，然而對(duì)硬脆材料銑削力的探討主要集中在微銑削［20-21］加工中。

1 瞬時(shí)銑削面積

1.1 切削微元次擺線方程

銑削過(guò)程中，刀具與工件的相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡是一個(gè)次擺線運(yùn)動(dòng)，圖1所示為第1 個(gè)軸向微元所在平面處的銑刀截面圖。點(diǎn)O為主軸的旋轉(zhuǎn)中心，點(diǎn)O'為立銑刀的軸線，線段OO'為偏心距r0。定義距離OO'連線最近的微元切削刃為第1 條切削刃O'A1，1，沿刀具旋轉(zhuǎn)反方向依次定義為第2、3、…、N條切削刃，N為銑刀的切削刃數(shù)。

圖1 刀具偏心跳動(dòng)與微元切削半徑的關(guān)系Fig.1 Relationship between tool eccentricity and runout with micro-element cutting radius

如圖1所示，偏心角δ0為第1 刃與偏心方向的夾角。由于微元切削刃在軸向沿螺旋線分布，故同一切削刃上的不同微元的瞬時(shí)切削半徑不同，因此引入微元滯后角：

式中：β為銑刀螺旋角；ap為軸向切深；Rmt為銑刀半徑；M為沿軸向切深ap將切削刃等分的分段數(shù)量。

針對(duì)ΔOO'Ai，j，利用余弦定理可得微元平面上第i條切削刃第j個(gè)微元的瞬時(shí)切削半徑：

式中：δi，j為第i條切削刃第j個(gè)微元的偏心角，其表達(dá)式為

根據(jù)上述分析，將銑刀的各微元刃的旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)換到主軸中心，同一平面上的各相鄰微元點(diǎn)與主軸中心的連線形成新微元夾角為θm，故新的微元Ai，j的瞬時(shí)角位置為

式中：n為主軸轉(zhuǎn)速；ti為第i條切削刃對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間。

綜上，可得銑刀任一微元Ai，j的運(yùn)動(dòng)軌跡次擺線方程：

式中：vf為進(jìn)給速度。

圓心Oi，j的運(yùn)動(dòng)軌跡方程為

1.2 瞬時(shí)切削厚度

如圖2所示，由式（5）模擬切削刃的運(yùn)動(dòng)軌跡。Di，j是第i個(gè)切削刃的第j個(gè)微元在時(shí)間ti時(shí)的位置，角度為θi，j，Di-1，j是第i-1 個(gè)切削刃的第j個(gè)微元軌跡與線段Oi，j Di，j的相交點(diǎn)，設(shè)其時(shí)間為ti-1，角度為θi-1，j。以線段Di-1，j Di，j為研究對(duì)象，進(jìn)行瞬時(shí)切削厚度分析。

圖2 微元平面內(nèi)偏心跳動(dòng)的瞬時(shí)切削厚度Fig.2 Instantaneous cutting thickness caused by eccentricity and runout in infinitesimal plane

根據(jù)式（5），可得Di-1，j、Di，j坐標(biāo)分別為

根據(jù)式（6），可求得Oi-1，j、Oi，j的坐標(biāo)為(vfti-1/60，0)、(vfti/60，0)。

故直線Oi，j Di，j的方程為

直線Oi，j Di，j與切削軌跡Ai-1，j必存在交點(diǎn)，并取在切削范圍內(nèi)的交點(diǎn)，將式（7）代入式（9），可得交點(diǎn)Di-1，j的坐標(biāo)滿足如式（10）所示的方程。

式中：θi-1，j和θi，j分別由ti-1和ti決定，當(dāng)給定ti的范圍，利用二分法可得到ti-1的值，進(jìn)而得到交點(diǎn)Di-1，j的坐標(biāo)，其計(jì)算流程如圖3所示。

圖3 瞬時(shí)切削厚度計(jì)算流程圖Fig.3 Calculation flow chart of instantaneous cutting thickness

當(dāng)偏心跳動(dòng)量大于每齒進(jìn)給量時(shí)，會(huì)導(dǎo)致某些切削刃出現(xiàn)空切，通過(guò)求解當(dāng)前微元刃所在齒位角與前N-1 個(gè)切削刃微元軌跡的交點(diǎn)，選擇與Di，j距離最小的點(diǎn)，即為，由此可以得到偏心跳動(dòng)下的瞬時(shí)切削厚度：

由圖2 分析，將側(cè)銑過(guò)程分為2 個(gè)階段：圓弧軌跡切削階段（P1之前）和工件邊緣切削階段（P1P2）。當(dāng)銑刀經(jīng)過(guò)圓弧軌跡切削階段時(shí)（P1之前），瞬時(shí)切削厚度hi，j如式（12）所示。當(dāng)銑刀經(jīng)過(guò)工件邊緣切削階段P1P2位置時(shí)，其瞬時(shí)切削厚度hi，j如式（13）所示。

如果hi，j為正值，說(shuō)明第i條切削刃的第j個(gè)微元參與切削，hi，j為當(dāng)前的瞬時(shí)切削厚度；如果hi，j為負(fù)值，說(shuō)明第i條切削刃的第j個(gè)微元空切，此時(shí)的瞬時(shí)切削厚度為0：

圖4（a）是模擬加工過(guò)程中各銑削刃的運(yùn)動(dòng)軌跡圖（軌跡T1、T2、T3），模擬參數(shù)為：ae=0.4 mm，vf=250 mm/min，n=500 r/min，ap=4 mm，r0=-0.016 mm，δ0=20.1°。圖4（b）是除去其他軌跡的干涉，提取出主要的加工過(guò)程示意圖，軌跡T1與軌跡T3交于點(diǎn)J13，軌跡T2與軌跡T3交于點(diǎn)J23，軌跡T3與軌跡T2交于點(diǎn)J32，軌跡T1、T2、T3分別與未加工表面交于點(diǎn)J1e、J2e、J3e，圖中陰影部分斜線展示了部分瞬時(shí)切削厚度，可見(jiàn)瞬時(shí)切削厚度是隨著刀具轉(zhuǎn)動(dòng)不斷變化的。圖4（c）所示，每條切削刃的切削過(guò)程都經(jīng)歷了瞬時(shí)切削面積的增加和減小過(guò)程，在軌跡T2切削刃參與切削的最大未變形切削厚度最大，隨刀具的轉(zhuǎn)動(dòng)瞬時(shí)切削厚度呈現(xiàn)周期性變化。

圖4 瞬時(shí)切屑厚度仿真圖Fig.4 Simulated diagram of instantaneous chip thickness

1.3 瞬時(shí)切削面積

由瞬時(shí)切削厚度hi，j和滯后角ψ( )j，可得出銑削過(guò)程中任一時(shí)刻參與切削的切削刃對(duì)應(yīng)的切削層面積Si(φ)即第i條切削刃在位置角φ處所有微元的瞬時(shí)切削面積：

齒位角等分的數(shù)量M越大，求解的精度越高，當(dāng)M趨近于無(wú)窮大時(shí)，求解的瞬時(shí)切削面積近似為實(shí)際瞬時(shí)切削面積。根據(jù)式（15）獲得隨銑刀旋轉(zhuǎn)角度的瞬時(shí)切削面積，如圖5所示。

圖5 仿真的瞬時(shí)切削面積Fig.5 Simulated instantaneous cutting area

2 瞬時(shí)銑削力作用點(diǎn)

2.1 刀具偏心角

如圖6所示，通過(guò)線性搜索法，不斷改變刀具偏心量r0和偏心角δ0，尋找最優(yōu)的結(jié)果，各齒銑削力實(shí)驗(yàn)值峰值占所有銑削力峰值的比值與計(jì)算獲得的各齒瞬時(shí)切削面積峰值所占瞬時(shí)切削面積峰值總和的比值的平方和ξ最?。?/p>

圖6 刀具偏心跳動(dòng)參數(shù)線性搜索流程圖Fig.6 Linear search flow chart of tool eccentricity and runout parameters

式中：Fjmax為第j齒對(duì)應(yīng)的銑削力的峰值，Sjmax為第j齒對(duì)應(yīng)的瞬時(shí)切削面積的峰值。

2.2 瞬時(shí)銑削力作用點(diǎn)

以整體銑削力構(gòu)建銑削力模型時(shí)，需要使用整體的瞬時(shí)切削層面積計(jì)算，因此銑削力的作用點(diǎn)的選取尤為重要，將直接影響銑削力的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換結(jié)果，影響模型精度。選取切削刃瞬時(shí)切削層面積的1/2 處所對(duì)應(yīng)的角度為銑削力作用點(diǎn)對(duì)應(yīng)的角度，與之對(duì)應(yīng)的位置點(diǎn)為銑削力作用點(diǎn)。

由于偏心跳動(dòng)對(duì)瞬時(shí)切削厚度和切削層形狀的影響比較復(fù)雜，難于直接計(jì)算，故利用一維搜索算法進(jìn)行包含偏心跳動(dòng)的瞬時(shí)銑削力作用點(diǎn)的精確求解，求解流程如圖7所示。

圖7 瞬時(shí)銑削力作用點(diǎn)算法流程圖Fig.7 Algorithm flow chart of instantaneous milling force action point

3 瞬時(shí)銑削力模型

3.1 建模思想

實(shí)際測(cè)量的銑削力是3 個(gè)方向的整體銑削力，反映的是銑削過(guò)程中某時(shí)刻的所有微元的合力。而傳統(tǒng)銑削力模型中的切削力是切削微元力，微元力大小在實(shí)驗(yàn)中不易獲得，同理，其切削力系數(shù)亦是微元力系數(shù)。同時(shí)，傳統(tǒng)的切削力系數(shù)的求解中包含的大量的刀具參數(shù)和材料屬性等，模型復(fù)雜，計(jì)算量大。

考慮可加工微晶陶瓷銑削去除過(guò)程的隨機(jī)性和瞬時(shí)銑削力的不穩(wěn)定性，以Martellotti 銑削力模型理論［17］為基礎(chǔ)，從整體思想出發(fā)，建立包含瞬時(shí)切削面積和瞬時(shí)銑削力作用點(diǎn)的瞬時(shí)整體銑削力模型。在運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的基礎(chǔ)上，通過(guò)銑削力實(shí)驗(yàn)，基于最小二乘法獲取銑削力系數(shù)。從而簡(jiǎn)化銑削力建模和系數(shù)求解的過(guò)程，同時(shí)降低求解的隨機(jī)性和復(fù)雜性。

3.2 模型建立

可加工陶瓷以脆性斷裂為主，裂紋擴(kuò)展及成屑后，在已加工表面留下大量的凹坑，且陶瓷工件的彈性回復(fù)率較小，刀具-工件受到耕犁作用的影響較小。因此，基于Martellotti 銑削力模型，不考慮耕犁力，構(gòu)建銑削力與瞬時(shí)切削面積的關(guān)系，提出新的瞬時(shí)銑削力模型：

式中：Fti(φ)、Fri(φ)、Fai(φ)分別為第i條切削刃對(duì)應(yīng)的瞬時(shí)切向力、瞬時(shí)徑向力和瞬時(shí)軸向力；Kts、Krs、Kas分別為切向、徑向和軸向切削力系數(shù)。

現(xiàn)定義各切削力系數(shù)是瞬時(shí)切削面積的冪函數(shù)，即

式中：T0、T1、R0、R1、A0、A1為冪函數(shù)常數(shù)項(xiàng)。

圖8所示的受力關(guān)系，將模型中基于切削刃的坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為機(jī)床-刀具的笛卡爾正交坐標(biāo)系，有

圖8 瞬時(shí)銑削力受力分析Fig.8 Force analysis of instantaneous milling force

式中：Fxi(φ)、Fyi(φ)、Fzi(φ)分別為在x、y、z3 個(gè)方向上第i條切削刃對(duì)應(yīng)的瞬時(shí)銑削力；χ為銑削力等效作用點(diǎn)對(duì)應(yīng)的角度。

硬脆性材料一般以脆性斷裂為主，銑削加工時(shí)塊狀崩除成屑，新表面形成時(shí)表面殘留的凹坑較多，與刀具接觸的面積較小，所以，摩擦力、軸向力較小，可以忽略。不再考慮軸向力的影響。

將切削力系數(shù)代入式（19）中，得到包含瞬時(shí)切削面積和銑削力作用點(diǎn)的瞬時(shí)銑削力模型為

4 模型驗(yàn)證

4.1 實(shí) 驗(yàn)

銑削實(shí)驗(yàn)以TC500R 數(shù)控銑床為實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，以可加工微晶陶瓷為實(shí)驗(yàn)材料，采用直徑為6 mm 的硬質(zhì)合金銑刀，切削刃數(shù)為3，螺旋角為45°，無(wú)冷卻側(cè)銑加工。采用KISTLER 公司的高精度、六分量切削力測(cè)量系統(tǒng)測(cè)量瞬時(shí)銑削力，采樣頻率為10 Hz，銑削實(shí)驗(yàn)設(shè)備及測(cè)量系統(tǒng)如圖9所示。通過(guò)Type9119AA2 測(cè)力儀將銑削力轉(zhuǎn)化為電信號(hào)，經(jīng)Type5080A 多通道信號(hào)放大器放大，5697A1 數(shù)據(jù)收集系統(tǒng)記錄到計(jì)算機(jī)中。

圖9 銑削實(shí)驗(yàn)設(shè)備及測(cè)量系統(tǒng)Fig.9 Milling experiment equipment and surveying system

實(shí)驗(yàn)分2 個(gè)階段進(jìn)行，第1 階段以瞬時(shí)銑削力模型系數(shù)辨識(shí)為目標(biāo)，其實(shí)驗(yàn)參數(shù)如表1所示。第2 階段以模型準(zhǔn)確性驗(yàn)證為目標(biāo)，驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)參數(shù)如表2所示。

表1 銑削力模型系數(shù)辨識(shí)實(shí)驗(yàn)參數(shù)Table 1 Experiment parameter of identification coefficient for milling force model

表2 模型驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)參數(shù)Table 2 Model verification of experiment parameter

4.2 瞬時(shí)銑削力系數(shù)

按照表1 測(cè)得的瞬時(shí)銑削力實(shí)驗(yàn)結(jié)果，將瞬時(shí)銑削力、瞬時(shí)切削層面積和銑削力作用點(diǎn)進(jìn)行同步化處理并提取k個(gè)采樣關(guān)鍵點(diǎn)，將瞬時(shí)銑削力、瞬時(shí)切削面積和銑削力作用點(diǎn)角度峰和谷均相對(duì)應(yīng)（處理后的數(shù)據(jù)如圖10所示）。

圖10 同步化處理結(jié)果Fig.10 Synchronization processing result

根據(jù)第一階段（以瞬時(shí)銑削力模型系數(shù)辨識(shí)）實(shí)驗(yàn)結(jié)果，以最小二乘法可求解系數(shù)T0、T1、R0、R1，由此得到瞬時(shí)銑削力系數(shù)：

4.3 誤差分析

銑削力模型實(shí)驗(yàn)值與預(yù)測(cè)值對(duì)比結(jié)果如圖11和圖12所示，通過(guò)對(duì)比圖可以看出，銑削力模型預(yù)測(cè)曲線與實(shí)驗(yàn)實(shí)測(cè)曲線無(wú)論在波形、幅值、變化趨勢(shì)及非切削時(shí)間間隔等方面都較為吻合，整體的擬合效果較好，且實(shí)驗(yàn)V1 的擬合效果最好。由于螺旋立銑刀滯后角的存在，使其在該軸向切深下的切削層積存在不變區(qū)間，進(jìn)而使其銑削力預(yù)測(cè)值在峰值區(qū)域保持不變，呈現(xiàn)水平直線。

圖11 實(shí)驗(yàn)V1 的銑削力實(shí)驗(yàn)值與預(yù)測(cè)值對(duì)比Fig.11 Comparison between experimental value and predicted value of milling force in test V1

圖12 實(shí)驗(yàn)V2 銑削力實(shí)驗(yàn)值與預(yù)測(cè)值對(duì)比Fig.12 Comparison between experimental value and predicted value of milling force in test V2

本文研究的是瞬時(shí)銑削力，主要對(duì)銑削力的變化趨勢(shì)和周期性進(jìn)行分析，且銑削力的峰值對(duì)刀具和工件的影響較大，故本文選擇了對(duì)峰值力的平均值進(jìn)行比較，得到如表3 和表4所示的瞬時(shí)銑削力Fx和Fy的預(yù)測(cè)誤差表，其中，F(xiàn)x1、Fx2和Fx3分別為三刃銑刀三條切削刃作用下在x方向?qū)?yīng)的峰值銑削力，F(xiàn)y1、Fy2和Fy3分別為三條切削刃作用下在y方向?qū)?yīng)的峰值銑削力。通過(guò)分析計(jì)算，得到該模型的銑削力預(yù)測(cè)平均誤差控制在8%以內(nèi)，預(yù)測(cè)精度較高。

表3 Fx的預(yù)測(cè)誤差Table 3 Prediction error of milling force Fx

表4 Fy的預(yù)測(cè)誤差Table 4 Prediction error of milling force Fy

5 結(jié) 論

1） 通過(guò)分析刀具與工件的相對(duì)運(yùn)動(dòng)次擺線運(yùn)動(dòng)，得到了偏心跳動(dòng)下的瞬時(shí)切削厚度，進(jìn)而獲得了銑削過(guò)程中瞬時(shí)切削面積。通過(guò)線性搜索算法確定了銑刀偏心角、瞬時(shí)銑削力作用點(diǎn)。

2） 基于Martellotti 銑削力模型理論，整體思想出發(fā)通過(guò)對(duì)包含刀具偏心跳動(dòng)的銑削運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，建立了包含瞬時(shí)切削層面積、瞬時(shí)銑削力作用點(diǎn)和刀具偏心跳動(dòng)的瞬時(shí)銑削力模型。

3） 以模型系數(shù)識(shí)辯實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ)，利用最小二乘法獲得了銑削力模型系數(shù)，簡(jiǎn)化了系數(shù)求解過(guò)程。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，預(yù)測(cè)值和實(shí)驗(yàn)值銑削力波形擬合程度高，平均相對(duì)誤差不超過(guò)8%，瞬時(shí)銑削力模型具有較高的精度。