基于軌道可達(dá)域的機(jī)動(dòng)航天器接近威脅規(guī)避方法

張賽，楊震，*，杜向南，羅亞中

1.國(guó)防科技大學(xué) 空天科學(xué)學(xué)院，長(zhǎng)沙 410073

2.空天任務(wù)智能規(guī)劃與仿真湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)沙 410073

3.上海機(jī)電工程研究所，上海 201109

隨著技術(shù)的進(jìn)步，在軌航天器數(shù)量急劇增加，并且具有了更加強(qiáng)大的機(jī)動(dòng)能力。一方面，軌道機(jī)動(dòng)使得軌道攔截、交會(huì)、飛越等空間任務(wù)成為可能；另一方面，在軌航天器面臨被非合作目標(biāo)機(jī)動(dòng)接近甚至打擊的風(fēng)險(xiǎn)。已有的不確定性事件［1］和X-37B、MEV 等空間實(shí)驗(yàn)［2-3］都表明太空安全形式已經(jīng)變得非常復(fù)雜，因此開展來襲航天器威脅評(píng)估與規(guī)避方法的研究十分必要。

考慮實(shí)際工程約束，為了評(píng)估空間任務(wù)的可行性和安全性，有必要研究機(jī)動(dòng)能力有限的非合作目標(biāo)軌道機(jī)動(dòng)可達(dá)域計(jì)算方法。航天器軌道機(jī)動(dòng)可達(dá)域（Reachable Domain， RD）是在給定軌道機(jī)動(dòng)約束條件下航天器所有可能到達(dá)位置的集合［4］，是機(jī)動(dòng)航天器進(jìn)行態(tài)勢(shì)分析的有效工具。Caruso 等［5］首先將可達(dá)域的概念應(yīng)用于彈道武器的可達(dá)性分析，Vinh 等［6］和Battin［7］隨后將此概念擴(kuò)展到彈道武器的攔截問題和具有固定速度的航天器軌道轉(zhuǎn)移問題。在此基礎(chǔ)上，Xue 等［8］研究了具有固定脈沖幅值的航天器單脈沖機(jī)動(dòng)（三維）可達(dá)域，但求解精度有待提高。Wen 等［9］提出的將可達(dá)域包絡(luò)求解問題轉(zhuǎn)化為可達(dá)方向上矢徑極值求解問題的方法，能夠精確求解機(jī)動(dòng)位置固定的單脈沖機(jī)動(dòng)可達(dá)域。該方法被杜向南和楊震［10］所采用并作了進(jìn)一步優(yōu)化，求解流程更加簡(jiǎn)單?？蛇_(dá)域方法已經(jīng)在航天器地面軌跡覆蓋區(qū)域分析［11］、目標(biāo)飛越［12-13］、航天器軌道安全性分析與碰撞預(yù)警［14-15］以及軌道博弈［16-17］等空間任務(wù)的分析中得到應(yīng)用。在軌道安全性分析中，可達(dá)域能夠直觀描述航天器軌道在非合作目標(biāo)可達(dá)域范圍內(nèi)的危險(xiǎn)區(qū)段，并得到航天器穿過危險(xiǎn)區(qū)段時(shí)間［15］，即得到目標(biāo)的威脅告警信息。

基于可達(dá)域獲得來襲目標(biāo)的潛在威脅告警信息后，航天器可以進(jìn)行變軌以規(guī)避目標(biāo)威脅。已有的航天器威脅規(guī)避方法主要分為針對(duì)無機(jī)動(dòng)目標(biāo)的碰撞規(guī)避策略和針對(duì)來襲機(jī)動(dòng)目標(biāo)的主動(dòng)規(guī)避策略2 類［18］。對(duì)于無機(jī)動(dòng)空間目標(biāo)的碰撞規(guī)避，現(xiàn)有研究以碰撞概率計(jì)算為基礎(chǔ)［19-20］，研究最優(yōu)機(jī)動(dòng)的計(jì)算方法和實(shí)施策略等問題［21］。相比于無機(jī)動(dòng)空間目標(biāo)，可機(jī)動(dòng)空間目標(biāo)產(chǎn)生的打擊威脅對(duì)航天器來說更加危險(xiǎn)且難以預(yù)測(cè)。目前對(duì)于航天器機(jī)動(dòng)規(guī)避策略的研究較為充分［22-25］。在軌航天器對(duì)來襲機(jī)動(dòng)航天器進(jìn)行機(jī)動(dòng)規(guī)避時(shí)，兩航天器均主動(dòng)施加控制但追求相反的相對(duì)位置狀態(tài)，因此該過程屬于軌道博弈的范疇［26］。部分學(xué)者研究了追逃博弈雙邊規(guī)劃問題［27-30］，分別給出了博弈雙方的追逃策略，上述文獻(xiàn)研究對(duì)于航天器威脅規(guī)避策略的形成具有一定的參考價(jià)值。然而在空間攻防中，攻擊方大多具備較高機(jī)動(dòng)能力，地面站難以及時(shí)更新其異常機(jī)動(dòng)信息，使得在軌航天器不能及時(shí)探測(cè)到被打擊的威脅。因此如何通過有限信息分析來襲目標(biāo)潛在威脅能力并設(shè)計(jì)主動(dòng)規(guī)避機(jī)動(dòng)策略對(duì)潛在威脅域進(jìn)行避讓具有一定的研究意義。

本文在現(xiàn)有研究基礎(chǔ)上，提出了基于軌道可達(dá)域的機(jī)動(dòng)航天器接近威脅計(jì)算、評(píng)估和規(guī)避方法。首先給出了航天器單脈沖軌道機(jī)動(dòng)可達(dá)域的一般求解方法；其次，通過判斷在軌航天器軌道在來襲航天器可達(dá)域內(nèi)的區(qū)段得到危險(xiǎn)區(qū)域，并基于兩航天器進(jìn)出危險(xiǎn)區(qū)的時(shí)間定義危險(xiǎn)區(qū)比例和時(shí)間窗口匹配性威脅評(píng)價(jià)指標(biāo)；最后，給出了基于最小化危險(xiǎn)區(qū)的航天器多脈沖機(jī)動(dòng)主動(dòng)規(guī)避策略，并通過仿真驗(yàn)證了所提基于軌道可達(dá)域的機(jī)動(dòng)航天器接近威脅規(guī)避方法的有效性。

1 單脈沖軌道機(jī)動(dòng)可達(dá)域求解

1.1 坐標(biāo)系定義及軌道狀態(tài)描述

1.1.1 坐標(biāo)系定義

如圖1所示，定義J2000 地心慣性坐標(biāo)系SJ(OJxJyJzJ)：坐標(biāo)原點(diǎn)OJ在地球中心；xJ軸沿地球赤道面和黃道面的交線，指向春分點(diǎn)?；zJ軸和地球自轉(zhuǎn)軸重合并指向北極；yJ軸根據(jù)右手法則得到。定義近心點(diǎn)坐標(biāo)系Sp(Opxpyp)zp：原點(diǎn)Op位于地心；xp軸指向初始軌道近地點(diǎn)；zp軸指向初始軌道角動(dòng)量方向；yp軸位于初始軌道平面內(nèi)，并與xp、zp軸構(gòu)成右手直角坐標(biāo)系。

圖1 坐標(biāo)系位置關(guān)系示意圖Fig.1 Illustration of defined coordinates

如圖2所示，定義航天器LVLH 坐標(biāo)系：原點(diǎn)O位于航天器質(zhì)心；x軸與r重合；z軸指向軌道角動(dòng)量方向；y軸位于軌道平面內(nèi)，并與x、z軸構(gòu)成右手直角坐標(biāo)系。初始軌道上的LVLH 坐標(biāo)系記為S0(O0x0y0z0)，轉(zhuǎn)移軌道上的LVLH 坐標(biāo)系記為S1(O1x1y1z1)。

圖2 坐標(biāo)系關(guān)系與速度機(jī)動(dòng)球示意圖Fig.2 Illustration of defined coordinates and impulsive maneuvering ball

1.1.2 軌道狀態(tài)描述

如圖2所示，將航天器初始位置矢量和終端位置矢量分別記為r0和rf；定義航天器初始軌道平面為M0；轉(zhuǎn)移軌道平面為M1；記M0和M1的夾角為β，r0和rf的夾角為θ。

設(shè)航天器在初始軌道上機(jī)動(dòng)位置處的軌道根數(shù)為[a0e0i0Ω0ω0f0]，則r0在坐標(biāo)系Sp下可表示為

初始速度v0在坐標(biāo)系S0中可表示為

式中：μ=3.986×1014m3s2為地球引力常數(shù)；為軌道半通徑。

初始速度v0在坐標(biāo)系S1中可表示為［4］

將航天器的最大機(jī)動(dòng)能力記為Δvmax，機(jī)動(dòng)方向任意，因此其機(jī)動(dòng)速度增量可以用速度機(jī)動(dòng)球建模表示。 若航天器的機(jī)動(dòng)速度增量為，其在轉(zhuǎn)移軌道面內(nèi)的投影為ΔvM，其大小為［4］

1.2 單脈沖軌道機(jī)動(dòng)可達(dá)域求解方法

1.2.1 可達(dá)域問題描述

航天器單脈沖軌道機(jī)動(dòng)可達(dá)域是圍繞初始軌道的有限三維區(qū)域，該區(qū)域被一個(gè)邊界面所覆蓋，稱為可達(dá)域包絡(luò)［15］。通常情況下，二維平面上的包絡(luò)由內(nèi)包絡(luò)和外包絡(luò)構(gòu)成，可達(dá)域及其包絡(luò)的幾何關(guān)系如圖3所示，求解可達(dá)域的核心工作是確定空間中全部可達(dá)區(qū)域的包絡(luò)。

圖3 初始軌道、可達(dá)域及其包絡(luò)的幾何關(guān)系Fig.3 Geometry of initial orbit， RD， and envelope of RD

為簡(jiǎn)化計(jì)算，可以將連續(xù)包絡(luò)的求解離散為若干包絡(luò)點(diǎn)的求解。在任意一個(gè)以地心為坐標(biāo)原點(diǎn)的笛卡爾坐標(biāo)系中，方位角γ和φ能夠確定空間中的一個(gè)方向d(γ，φ)。若d(γ，φ)可達(dá)，可求得該可達(dá)方向上最近距離dmin和最遠(yuǎn)距離dmax，因此A(γ，φ，dmin)、B(γ，φ，dmax)兩點(diǎn)分別為P上內(nèi)包絡(luò)和外包絡(luò)的點(diǎn)。通過遍歷參數(shù)γ、φ的取值能夠得到所有包絡(luò)點(diǎn)，最終得到可達(dá)域。

1.2.2 軌道機(jī)動(dòng)可達(dá)性判據(jù)

將圖3 中的坐標(biāo)系選作近心點(diǎn)坐標(biāo)系Sp，為使得Sp中的方向d(γp，φp)可達(dá)，需保證機(jī)動(dòng)后的速度矢端能夠落在邊界速度雙曲線（Terminal Velocity Hyperbola， TVH）上。此時(shí)，可達(dá)的判定條件為［4］

1.2.3 可達(dá)域求解算法

已知坐標(biāo)系Sp中的一個(gè)可達(dá)方位d(γp，φp)，rf為該方位上任意終端矢徑。航天器從r0以速度機(jī)動(dòng)至rf，則基于二體軌道動(dòng)力學(xué)模型可算得rf的大小為［10］

定義表達(dá)式［10］：

由文獻(xiàn)［10］可知，對(duì)于機(jī)動(dòng)位置固定的可達(dá)域求解問題，rf的方位角[γp，φp]確定后，rf矢徑表達(dá)式（7）是關(guān)于變量α的一元函數(shù)，的零點(diǎn)可以通過求解P(α)=0 得到。

易知P(α) 至多存在2 個(gè)零點(diǎn)，記為和，同時(shí)將區(qū)間兩端邊界值設(shè)為和2π。將和分別代入式（7），得到、和。記4 個(gè)值中較大的為dmax，較小的為dmin，可得Sp坐標(biāo)系下rf方向上的極值點(diǎn)位置坐標(biāo)為

綜上所述，可達(dá)域計(jì)算步驟為：

步驟1首先給出γp和φp用于確定空間中的一個(gè)方位。

步驟2根據(jù)式（6）判斷該方位是否可達(dá)，若可達(dá)進(jìn)入步驟3；若不可達(dá)，返回步驟1。

步驟3通過求解式（8）的零點(diǎn)求得該可達(dá)方位矢徑極值，確定極值點(diǎn)坐標(biāo)，即式（9），即可得到該方位上可達(dá)域包絡(luò)。

步驟4重復(fù)步驟1～步驟3，通過遍歷γp和φp的取值得到所有可達(dá)方位上的內(nèi)外包絡(luò)點(diǎn)，進(jìn)而獲得Sp中的近似包絡(luò)，求得可達(dá)域。

2 在軌航天器軌道危險(xiǎn)區(qū)求解及威脅評(píng)估

來襲航天器軌道可達(dá)域?qū)?huì)是圍繞其初始軌道平面形成的扁平形區(qū)域。如圖4所示，將來襲航天器軌道可達(dá)域與在軌航天器軌道的交集部分定義為在軌航天器軌道危險(xiǎn)區(qū)。危險(xiǎn)區(qū)會(huì)出現(xiàn)在來襲航天器初始軌道平面與在軌航天器軌道平面的交點(diǎn)附近，在危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)，在軌航天器存在被接近的風(fēng)險(xiǎn)。

圖4 在軌航天器軌道危險(xiǎn)區(qū)示意圖Fig.4 Diagram of danger area for on-orbit spacecraft

2.1 軌道危險(xiǎn)區(qū)域求解方法

由于來襲航天器機(jī)動(dòng)能力有限，因此要進(jìn)行威脅規(guī)避機(jī)動(dòng)策略設(shè)計(jì)，首先要判斷危險(xiǎn)區(qū)的存在性。

設(shè)來襲航天器機(jī)動(dòng)前的初始軌道根數(shù)為[acecicΩcωcfc]；在軌航天器軌道的初始軌道根數(shù)為[atetitΩtωtft]。如圖5所示，綠色軌道面為來襲航天器初始軌道，天球面交點(diǎn)緯度幅角為uc；藍(lán)色軌道面為目標(biāo)軌道，天球面緯度幅角為ut。

圖5 軌道面天球交點(diǎn)Fig.5 Orbital celestial sphere node

在慣性坐標(biāo)系SJ下，兩軌道天球面的交點(diǎn)在慣性系中存在等式：

式中：rs表示天球的半徑；M1(·)表示繞OJxJ軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)移矩陣；M3(·)表示繞OJzJ軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)移矩陣。

進(jìn)一步可以求得

從式（11）中可以求解得到uc和ut的值，且由圖5 可知，uc和ut有2 組解關(guān)于引力中心對(duì)稱，且是一一對(duì)應(yīng)的，即

uc1和ut1對(duì)應(yīng)的交點(diǎn)在來襲航天器初始軌道及在軌航天器軌道上的真近點(diǎn)角fc1、ft1表示為

若來襲航天器在fc1處采取軌道機(jī)動(dòng)，則兩航天器軌道在天球面的交點(diǎn)的方向在來襲航天器近心點(diǎn)坐標(biāo)系中可表示為

若來襲航天器軌道可達(dá)域與在軌航天器軌道存在交點(diǎn)，如圖6所示，虛線表示軌道面交線，綠色軌跡表示目標(biāo)軌道，在右側(cè)在軌航天器軌道存在危險(xiǎn)點(diǎn)如圖中紅點(diǎn)所示。

圖6 在軌航天器軌道危險(xiǎn)點(diǎn)Fig.6 Danger point of on-orbit spacecraft

由于來襲航天器機(jī)動(dòng)可達(dá)域具備一定厚度，因此在軌航天器軌道穿過該威脅域的危險(xiǎn)區(qū)段應(yīng)是圖6所示危險(xiǎn)點(diǎn)附近一段延伸的軌道區(qū)段。

二體假設(shè)下航天器任意時(shí)刻的位置速度可通過初始時(shí)刻t0=0 時(shí)的位置速度r0、v0外推得到。設(shè)外推時(shí)間步長(zhǎng)為Δt，ti時(shí)刻表示為

通過二體軌道外推確定的ti時(shí)刻在軌航天器位置ri［7］在基于來襲航天器初始軌道建立的近心點(diǎn)坐標(biāo)系Sp中可以表示為

進(jìn)一步，在來襲航天器近心點(diǎn)坐標(biāo)系中確定(ri)p的空間指向[γi，φi]為

將式（17）所得ti時(shí)刻在軌航天器的空間指向[γi，φi]代入1.2.3 節(jié)中可獲得來襲航天器在該指向上的可達(dá)范圍[ri，min，ri，max]，此時(shí)在軌航天器的地心距為，分析目標(biāo)地心距與來襲航天器可達(dá)域之間的關(guān)系可能有如下2 種情況：

按照式（15）給定的時(shí)間步長(zhǎng)對(duì)目標(biāo)軌道外推并記錄所有處于危險(xiǎn)區(qū)的時(shí)間范圍[tmin，tmax]，如圖7所示。

圖7 在軌航天器軌道危險(xiǎn)區(qū)的時(shí)間范圍Fig.7 Time window of on-orbit spacecraft’s danger area

圖8 來襲航天器與危險(xiǎn)區(qū)關(guān)系Fig.8 Relationship between incoming maneuvering spacecraft and danger area

由于在軌航天器軌道是否處于危險(xiǎn)區(qū)是按照步長(zhǎng)Δt外推進(jìn)行遍歷搜索的，因此圖7所示危險(xiǎn)區(qū)的2 個(gè)端點(diǎn)應(yīng)分別在[tmin-Δt，tmin] 和[tmax，tmax+Δt]時(shí)間內(nèi)獲得。危險(xiǎn)區(qū)端點(diǎn)時(shí)刻的精確區(qū)間可以通過二分法求得。 以[tmin-Δt，tmin]區(qū)間內(nèi)的端點(diǎn)為例，具體步驟為：

步驟1根據(jù)式（16）確定t=(tmin+tmin-Δt)2 處目標(biāo)軌道地心距(ri)p∈[ri，min，ri，max]。

步驟2若區(qū)間長(zhǎng)度ε＞ε0（一般可取為0.001s），則進(jìn)入步驟3；否則結(jié)束計(jì)算，所得區(qū)間窗口記為危險(xiǎn)區(qū)時(shí)間窗口。

步驟3判斷該地心距是否位于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)，若是，則用t替換tmin，組成新的時(shí)間范圍；若不是，則用t替換tmin-Δt，組成新的時(shí)間范圍；重復(fù)步驟1 和步驟2。

對(duì)危險(xiǎn)區(qū)的2 個(gè)端點(diǎn)時(shí)刻分別執(zhí)行上述步驟從而得到滿足高精度要求的危險(xiǎn)區(qū)時(shí)間窗口[t'min，t'max]。

2.2 威脅評(píng)價(jià)指標(biāo)

當(dāng)在軌航天器的軌道存在危險(xiǎn)區(qū)時(shí)，其受威脅程度取決于兩航天器軌道關(guān)系及來襲航天器的機(jī)動(dòng)能力。下面給出指標(biāo)描述在軌航天器受來襲航天器的威脅程度。

2.2.1 基于危險(xiǎn)區(qū)比例的評(píng)價(jià)指標(biāo)

由圖 7 可知，可采用危險(xiǎn)區(qū)時(shí)間占軌道周期的比例作為評(píng)價(jià)指標(biāo)。設(shè)2.1 節(jié)所述方法判定危險(xiǎn)區(qū)存在，且經(jīng)過二分法求得在軌航天器處于危險(xiǎn)區(qū)的時(shí)間范圍為[t'min，t'max]，則危險(xiǎn)系數(shù)ξD表示為

式中：危險(xiǎn)系數(shù)ξD越大，在軌航天器軌道位于威脅可達(dá)域內(nèi)的比例越高，被來襲航天器打擊的可能性就越大。

2.2.2 考慮時(shí)間窗口匹配性的評(píng)價(jià)指標(biāo)

除了考慮上述危險(xiǎn)系數(shù)ξD外，還需要考慮來襲航天器到達(dá)危險(xiǎn)區(qū)時(shí)間和在軌航天器本身到達(dá)危險(xiǎn)區(qū)時(shí)間窗口的匹配性。下面給出來襲航天器到達(dá)危險(xiǎn)區(qū)的時(shí)間窗口估計(jì)方法。

圖 8所示藍(lán)色平面為危險(xiǎn)區(qū)的2 個(gè)端點(diǎn)垂直于來襲航天器初始軌道平面在威脅域內(nèi)形成的2 個(gè)截面。2 個(gè)截面在基于來襲航天器初始軌道建立的近心點(diǎn)坐標(biāo)系Sp中，所對(duì)應(yīng)的方位角γ分別為γ1、γ2。危險(xiǎn)區(qū)2 個(gè)端點(diǎn)的位置分別為rtmin、rtmax。當(dāng)來襲航天器進(jìn)行機(jī)動(dòng)后，轉(zhuǎn)移軌道的平均角速度可以表示為

式中：atran為轉(zhuǎn)移軌道的半長(zhǎng)軸。

由于來襲航天器采取的脈沖機(jī)動(dòng)限制在速度機(jī)動(dòng)球內(nèi)，其到達(dá)危險(xiǎn)區(qū)的時(shí)間窗口可以根據(jù)軌道轉(zhuǎn)移時(shí)間取值范圍進(jìn)行估計(jì)。由式（19）可知，在轉(zhuǎn)移相位相同的情況下，轉(zhuǎn)移時(shí)間僅與轉(zhuǎn)移軌道的半長(zhǎng)軸atran相關(guān)。又由于當(dāng)來襲航天器的最大機(jī)動(dòng)能力Δvmax全部用于進(jìn)行面內(nèi)機(jī)動(dòng)時(shí)，可以使atran的變化幅度最大，因此本文采用來襲航天器進(jìn)行軌道面內(nèi)機(jī)動(dòng)到達(dá)γ1、γ2截面的時(shí)間極值作為到達(dá)危險(xiǎn)區(qū)時(shí)間窗口的保守估計(jì)。由于γ1截面距離出發(fā)點(diǎn)更近，對(duì)應(yīng)時(shí)間窗口估計(jì)的下界；γ2截面距離出發(fā)點(diǎn)更遠(yuǎn)，對(duì)應(yīng)時(shí)間窗口估計(jì)的上界。

設(shè)來襲航天器在fw0處脈沖機(jī)動(dòng)大小為Δvmax，方向與原速度方向相反，則由式（2）可知，機(jī)動(dòng)后速度為

由rw1和vw1可算得機(jī)動(dòng)后轉(zhuǎn)移軌道的半長(zhǎng)軸aw1，偏心率ew1以及機(jī)動(dòng)位置真近角fw1，則截面γ1處對(duì)應(yīng)的真近角可以表示為

由真近角與偏近點(diǎn)角轉(zhuǎn)換關(guān)系，能夠得到來襲機(jī)動(dòng)平臺(tái)在機(jī)動(dòng)位置和到達(dá)γ1截面處對(duì)應(yīng)的偏近點(diǎn)角Ew1、Eγ1。進(jìn)而可得按照最大軌道平均角速度到達(dá)危險(xiǎn)區(qū)的最小時(shí)間為

同理為了得到來襲航天器到達(dá)危險(xiǎn)區(qū)的時(shí)間窗口上界，在fw0處施加脈沖大小Δvmax，方向與原速度方向相同。

與求解窗口下界方法類似，可以求得來襲機(jī)動(dòng)平臺(tái)在機(jī)動(dòng)位置和到達(dá)截面γ2處的偏近角Ew2、Eγ2，則按照最小軌道平均角速度到達(dá)危險(xiǎn)區(qū)的最大時(shí)間為

式（22）和式（24）確定的來襲航天器到達(dá)危險(xiǎn)區(qū)的時(shí)間窗口比來襲航天器實(shí)際到達(dá)危險(xiǎn)區(qū)具體危險(xiǎn)點(diǎn)的時(shí)間范圍更廣，可以用于判斷來襲航天器與在軌航天器時(shí)間窗口的匹配性，從而評(píng)價(jià)危險(xiǎn)區(qū)有效性。

至此能夠得到在軌航天器處于危險(xiǎn)區(qū)的時(shí)間范圍[t'min，t'max]和來襲航天器到達(dá)危險(xiǎn)區(qū)的時(shí)間窗口[tw，min，tw，max]。記tp為2 個(gè)時(shí)間窗口的交集大小，定義危險(xiǎn)系數(shù)ξT描述來襲機(jī)動(dòng)平臺(tái)與在軌航天器的時(shí)間窗口匹配性

3 接近威脅規(guī)避策略

接近威脅規(guī)避策略即在軌航天器的脈沖機(jī)動(dòng)方案，其目的是實(shí)現(xiàn)對(duì)來襲航天器的威脅規(guī)避。本文通過優(yōu)化方法求解滿足約束條件的燃料最省威脅規(guī)避策略，最小化危險(xiǎn)區(qū)以實(shí)現(xiàn)威脅規(guī)避。進(jìn)一步的，考慮到在軌航天器執(zhí)行任務(wù)需求，要求在軌航天器在完成威脅規(guī)避的同時(shí)能夠回到原軌道，求解最優(yōu)脈沖機(jī)動(dòng)方案。

設(shè)來襲航天器最大機(jī)動(dòng)能力（最大速度脈沖）為Δvmax，c，在軌航天器不采取任何機(jī)動(dòng)時(shí)存在至少一段危險(xiǎn)軌道區(qū)段，且危險(xiǎn)軌道區(qū)段的危險(xiǎn)系數(shù)為ξD，時(shí)間窗口匹配性為ξT。

在軌航天器采用多脈沖機(jī)動(dòng)變軌對(duì)危險(xiǎn)區(qū)進(jìn)行避讓，相鄰脈沖之間最小時(shí)間間隔為δt。進(jìn)行機(jī)動(dòng)避讓后的在軌航天器軌道危險(xiǎn)系數(shù)為ξ'D，時(shí)間窗口匹配性為ξ'T。

3.1 優(yōu)化變量

多脈沖機(jī)動(dòng)規(guī)避策略優(yōu)化變量取為脈沖施加時(shí)刻ti(i=1，2，…，n)和施加脈沖矢量Δvi(i=1，2，…，n)，在在軌航天器LVLH 坐標(biāo)系中，Δvi可以表述為

式中：n為脈沖次數(shù)，優(yōu)化變量共4n個(gè)。

假設(shè)在軌航天器在機(jī)動(dòng)軌道上通過兩脈沖機(jī)動(dòng)與原軌道交會(huì)，則2 次變軌的速度增量可通過Lambert 算法求得。

3.2 約束條件

本文只考慮在軌航天器一個(gè)軌道周期T=內(nèi)的威脅規(guī)避機(jī)動(dòng)策略求解。對(duì)于t＞T時(shí)的規(guī)避機(jī)動(dòng)，可基于T時(shí)刻的軌道狀態(tài)重新求解軌道危險(xiǎn)系數(shù)和時(shí)間窗口匹配性，再進(jìn)行優(yōu)化求解。

由于在軌航天器機(jī)動(dòng)能力受限，因此脈沖施加時(shí)刻ti滿足

式中：ti表示相對(duì)初始時(shí)刻脈沖時(shí)間。

由于危險(xiǎn)區(qū)的威脅程度不僅與危險(xiǎn)區(qū)比例ξD有關(guān)，其實(shí)際攔截可行性還與時(shí)間窗口匹配性ξT相關(guān)。為實(shí)現(xiàn)對(duì)來襲航天器的威脅規(guī)避，將危險(xiǎn)系數(shù)和時(shí)間窗口匹配性設(shè)為約束條件：

若在軌航天器在機(jī)動(dòng)軌道上通過兩脈沖變軌回到原軌道，則在式（27）和式（28）的基礎(chǔ)上需增加軌道瞄準(zhǔn)約束，即最后一次脈沖后在軌航天器軌道根數(shù)滿足

式中：Ei(tn)為在軌航天器進(jìn)行i次機(jī)動(dòng)后在tn時(shí)刻的軌道根數(shù)。

3.3 目標(biāo)函數(shù)

優(yōu)化目標(biāo)為最小化燃料消耗，即

3.4 優(yōu)化模型和算法

接近威脅規(guī)避策略優(yōu)化模型為

選擇差分進(jìn)化（Differential Evolution，DE）算法［31］作為多脈沖機(jī)動(dòng)主動(dòng)規(guī)避策略的優(yōu)化方法。

4 仿真分析

根據(jù)軌道危險(xiǎn)區(qū)和威脅評(píng)價(jià)指標(biāo)的定義可知，在軌航天器軌道危險(xiǎn)區(qū)的存在性及受威脅程度由兩航天器軌道關(guān)系及來襲航天器機(jī)動(dòng)能力決定，因此本文提出的方法適用于任意兩航天器軌道為圓軌道或橢圓軌道的情況。下面給出仿真結(jié)果以驗(yàn)證該方法的有效性。

4.1 在軌航天器軌道危險(xiǎn)區(qū)仿真算例

本小節(jié)給出在軌航天器軌道危險(xiǎn)區(qū)仿真結(jié)果，分別考慮在軌航天器與來襲航天器不在同軌道面和處于同軌道面的情況。

設(shè)來襲航天器初始軌道根數(shù)如表1所示，航天器在當(dāng)前位置采取脈沖機(jī)動(dòng)，機(jī)動(dòng)量最大值=300 m s，機(jī)動(dòng)方向任意，所得單脈沖機(jī)動(dòng)可達(dá)域仿真結(jié)果如圖9所示。圖9 中，深綠色網(wǎng)格區(qū)域?yàn)閬硪u航天器機(jī)動(dòng)可達(dá)域。

表1 來襲航天器初始軌道根數(shù)Table 1 Initial orbital elements of chaser

圖9 在軌航天器軌道與來襲航天器可達(dá)域位置關(guān)系Fig.9 Geometry of chaser’s RD and target’s orbit

設(shè)在軌航天器初始軌道根數(shù)如表2所示，其中在軌航天器2 與來襲航天器處于相同軌道面上。

表2 在軌航天器初始軌道根數(shù)Table 2 Initial orbital elements of target

通過二體軌道外推，可得在軌航天器1 軌道如圖9 和圖10 中淺綠色軌道所示。圖10 中，在軌航天器1 的2 段危險(xiǎn)區(qū)的位置分別如圖中紅色區(qū)段和藍(lán)色區(qū)段所示。

圖10 在軌航天器1 軌道危險(xiǎn)區(qū)Fig.10 Orbital danger-zone of Target 1

可知在軌航天器1 經(jīng)過來襲航天器機(jī)動(dòng)可達(dá)域且存在2 段危險(xiǎn)區(qū)，其進(jìn)出危險(xiǎn)區(qū)的時(shí)間窗口和來襲航天器進(jìn)出危險(xiǎn)區(qū)的時(shí)間窗口估計(jì)見表3。基于危險(xiǎn)區(qū)比例的危險(xiǎn)系數(shù)ξD和時(shí)間窗口匹配性系數(shù)ξT計(jì)算結(jié)果見表4。

表3 到達(dá)危險(xiǎn)區(qū)時(shí)間窗口Table 3 Time-window of danger-zone

表4 危險(xiǎn)系數(shù)ξD 和時(shí)間窗口匹配性系數(shù)ξTTable 4 Danger index ξD and time-window matching index ξT

分析圖10 可知，2 段危險(xiǎn)區(qū)在來襲機(jī)動(dòng)平臺(tái)可達(dá)域內(nèi)的分布具備一定對(duì)稱性，間隔約半個(gè)軌道周期。經(jīng)計(jì)算來襲航天器初始軌道的運(yùn)行周期為Tv=9 952.01 s，結(jié)合表3 數(shù)據(jù)可知，來襲航天器2 次到達(dá)危險(xiǎn)區(qū)的時(shí)間間隔為7 008.32 s-2 423.35 s=4 584.97 s，驗(yàn)證了所提危險(xiǎn)區(qū)求解算法的正確性。

圖11所示為在軌航天器2 的軌道危險(xiǎn)區(qū)。此時(shí)，兩航天器進(jìn)出危險(xiǎn)區(qū)的時(shí)間窗口及基于危險(xiǎn)區(qū)比例的危險(xiǎn)系數(shù)和時(shí)間窗口匹配性系數(shù)計(jì)算結(jié)果分別如表5 和表6所示。

表5 到達(dá)危險(xiǎn)區(qū)時(shí)間窗口（共面情況）Table 5 Time-window of danger-zone（coplane case）

表6 危險(xiǎn)系數(shù)ξD 和時(shí)間窗口匹配性系數(shù)ξT（共面情況）Table 6 Danger index ξD and time-window matching index ξT（coplane case）

圖11 在軌航天器2 軌道危險(xiǎn)區(qū)Fig.11 Orbital danger-zone of Target 2

由表5 和表6 可知，由于在軌航天器2 與來襲航天器處于相同的軌道平面，其軌道危險(xiǎn)區(qū)范圍遠(yuǎn)大于在軌航天器1 的軌道危險(xiǎn)區(qū)范圍。

4.2 多脈沖機(jī)動(dòng)主動(dòng)規(guī)避仿真算例

設(shè)來襲航天器初始軌道根數(shù)如表1所示，在軌航天器初始軌道根數(shù)如表2所示。來襲航天器在t=0 s 時(shí)刻采取脈沖機(jī)動(dòng)，脈沖機(jī)動(dòng)最大值=300 m s，機(jī)動(dòng)方向任意。經(jīng)計(jì)算，優(yōu)化前在軌航天器存在2 段危險(xiǎn)區(qū)，基于危險(xiǎn)區(qū)比例的危險(xiǎn)系數(shù)ξD=0.023 613，時(shí)間窗口匹配性系數(shù)ξT=1。

設(shè)在軌航天器相鄰脈沖最小時(shí)間間隔Δt=10 s。按照上述設(shè)置，可求解在軌航天器多脈沖機(jī)動(dòng)威脅規(guī)避策略。

4.2.1 不考慮與原軌道的交會(huì)約束

不考慮與原軌道交會(huì)的約束時(shí)，基于式（31）的優(yōu)化模型可以求得多脈沖機(jī)動(dòng)威脅規(guī)避優(yōu)化策略，結(jié)果如表7所示。以兩脈沖機(jī)動(dòng)規(guī)避策略為例，優(yōu)化后的威脅規(guī)避機(jī)動(dòng)軌道如圖12 和圖13所示。

表7 多脈沖機(jī)動(dòng)優(yōu)化結(jié)果（不考慮交會(huì)約束）Table 7 Optimal results of multi-impulses （without rendezvous constraint）

圖12 在軌航天器機(jī)動(dòng)軌道與來襲航天器可達(dá)域位置關(guān)系（不考慮交會(huì)約束）Fig.12 Geometry of chaser’s RD and target’s maneuvering orbit （without rendezvous constraint）

圖13 Y-Z 平面在軌航天器規(guī)避軌道與來襲航天器可達(dá)域位置關(guān)系（不考慮交會(huì)約束）Fig.13 Geometry of chaser’s RD and target’s maneuvering orbit in Y-Z plane（without rendezvous constraint）

從圖12 和圖13 中可以看出，不考慮交會(huì)約束時(shí)，在軌航天器威脅規(guī)避機(jī)動(dòng)軌道與來襲航天器可達(dá)域不存在重合區(qū)段，即危險(xiǎn)系數(shù)ξ'D=0。對(duì)比表7 中多脈沖機(jī)動(dòng)規(guī)避策略求解結(jié)果，有，即當(dāng)脈沖次數(shù)＞2 時(shí)，在軌航天器進(jìn)行威脅規(guī)避所需速度增量相差不大，因此可采取兩脈沖機(jī)動(dòng)作為威脅規(guī)避方案。

此外，通過對(duì)比多個(gè)機(jī)動(dòng)方案中所求速度增量發(fā)現(xiàn)，其垂直軌道面方向的速度分量遠(yuǎn)小于軌道面內(nèi)的速度分量，這是由于軌道危險(xiǎn)區(qū)在在軌航天器軌道面內(nèi)導(dǎo)致的。

4.2.2 考慮與原軌道的交會(huì)約束

在4.2.1 節(jié)的基礎(chǔ)上，考慮與原軌道交會(huì)的約束，多脈沖機(jī)動(dòng)規(guī)避策略求解結(jié)果如表8所示。以四脈沖機(jī)動(dòng)為例，優(yōu)化后的轉(zhuǎn)移軌道如圖14 和圖15所示。從圖14 和圖15 中可以看出，考慮交會(huì)約束時(shí)，在軌航天器威脅規(guī)避機(jī)動(dòng)軌道與來襲航天器可達(dá)域仍存在重合區(qū)段，但雙方不滿足時(shí)間匹配關(guān)系，即危險(xiǎn)系數(shù)ξ'D≠0、時(shí)間窗口匹配性系數(shù)ξ'T=0。

圖14 在軌航天器機(jī)動(dòng)軌道與來襲航天器可達(dá)域位置關(guān)系Fig.14 Geometry of chaser’s RD and target’s maneuvering orbit

圖15 Y-Z 平面在軌航天器機(jī)動(dòng)軌道與來襲航天器可達(dá)域位置關(guān)系Fig.15 Geometry of chaser’s RD and target’s maneuvering orbit in Y-Z plane

對(duì)比表8 中多脈沖機(jī)動(dòng)規(guī)避策略求解結(jié)果可知，增加脈沖次數(shù)并不能減小考慮交會(huì)約束時(shí)的威脅規(guī)避機(jī)動(dòng)方案所需速度增量，因此可采取三脈沖機(jī)動(dòng)作為威脅規(guī)避方案。

5 結(jié) 論

基于軌道機(jī)動(dòng)可達(dá)域分析提出了機(jī)動(dòng)航天器接近威脅計(jì)算、評(píng)估和規(guī)避方法。

1） 通過判斷在軌航天器自身軌道與來襲航天器機(jī)動(dòng)可達(dá)域間的位置關(guān)系計(jì)算其位于威脅域內(nèi)的區(qū)段，得到軌道危險(xiǎn)區(qū)。

2） 基于兩航天器進(jìn)出危險(xiǎn)區(qū)的時(shí)間定義了威脅評(píng)價(jià)指標(biāo)，分別從空間和時(shí)間窗口匹配性角度評(píng)估在軌航天器受來襲航天器的威脅程度。

3） 給出的基于最小化危險(xiǎn)區(qū)的航天器多脈沖機(jī)動(dòng)主動(dòng)規(guī)避策略，能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)危險(xiǎn)區(qū)的機(jī)動(dòng)避讓。

仿真結(jié)果表明，基于本文方法在軌航天器能夠在滿足給定約束條件下實(shí)現(xiàn)對(duì)危險(xiǎn)區(qū)的機(jī)動(dòng)規(guī)避。

致 謝

感謝載人航天工程科技創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)（Technology Innovation Team of Manned Space Engineering）對(duì)本文的支持。