一道函數(shù)零點(diǎn)問題求解的探究

楊葉飛

涉及函數(shù)零點(diǎn)的綜合問題，一直是高考數(shù)學(xué)試卷中比較常見的一類基本題型．此類綜合問題，設(shè)問新穎創(chuàng)新，形式變化多端，可以合理融入函數(shù)圖象與性質(zhì)、函數(shù)與方程思想、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等內(nèi)容，交匯于函數(shù)模塊、導(dǎo)數(shù)模塊、不等式模塊等的基礎(chǔ)知識(shí)，能全面有效考查學(xué)生的“四基”與數(shù)學(xué)能力，以及相應(yīng)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等，具有較好的選拔性與區(qū)分度，倍受各方關(guān)注．

1．問題呈現(xiàn)

本題是一道含參函數(shù)的零點(diǎn)綜合問題，零點(diǎn)問題可以轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)方程的解或者兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的問題，所以我們可以先考慮函數(shù)的性質(zhì)；而本題還和絕對(duì)值、根式等知識(shí)巧妙聯(lián)系在一起，分類討論和平方處理也是比較常用的解決方法．

2．問題破解

解后反思：將函數(shù)的零點(diǎn)巧妙轉(zhuǎn)化為相應(yīng)方程的根問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，利用函數(shù)f（x）在自變量取值范圍內(nèi)的單調(diào)性以及取值情況，利用函數(shù)的性質(zhì)加以巧妙的分類討論是解決問題的關(guān)鍵所在．挖掘問題的本質(zhì)，結(jié)合函數(shù)基本性質(zhì)的內(nèi)涵，兩者巧妙融合與轉(zhuǎn)化才能產(chǎn)生有用的效應(yīng)．

解后反思：根據(jù)函數(shù)奇偶性的基本性質(zhì)，是解決問題的關(guān)鍵所在．這里主要是借助具有奇偶性的函數(shù)有奇數(shù)個(gè)零點(diǎn)，利用函數(shù)的對(duì)稱性可知x=0必為該函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)．涉及絕對(duì)值、根式等相關(guān)的方程求解，要注意分類討論思想的應(yīng)用．

解法3：（函數(shù)圖象法）依題函數(shù)g（x）=f（x）－b恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則知方程f（x）=b恰有三個(gè)不同的解.下面考慮函數(shù)y=f（x）的圖象：

作出函數(shù)y=f（x）的大致圖象，如圖1所示，由圖可知要使得方程f（x）=b恰有三個(gè)不同的解，則知曲線y=f（x）

解后反思：涉及函數(shù)的零點(diǎn)綜合問題經(jīng)常可以轉(zhuǎn)化為一條曲線與一條直線（或另一條曲線）的交點(diǎn)，由此可以根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性等）畫出相應(yīng)函數(shù)的圖象，然后根據(jù)圖象直觀分析得到有用信息，數(shù)形結(jié)合，直觀處理．?dāng)?shù)形直觀更加方便解題時(shí)作出正確的分析與判斷．

3．變式拓展

合理巧妙構(gòu)造函數(shù)的解析式，由原來具有奇偶性的函數(shù)特征進(jìn)行平移變換，改變成函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)應(yīng)直線對(duì)稱的問題，得以相應(yīng)的變式與應(yīng)用．

聯(lián)立解得a=128，b=16，所以a+b=144．

4．教學(xué)啟示

解決涉及函數(shù)零點(diǎn)的綜合問題時(shí)，經(jīng)常離不開函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根及函數(shù)圖象的交點(diǎn)這三者之間的相互等價(jià)轉(zhuǎn)化與巧妙靈活應(yīng)用．其實(shí)，這三者之間，經(jīng)?？梢酝ㄟ^合理的巧妙轉(zhuǎn)化形式來達(dá)到解題的目的，即：

函數(shù)f（x）的零點(diǎn)方程f（x）=0的根方程變形方程 g（x）=h（x）的

當(dāng)然，其中涉及這三者關(guān)系的遞推過程有時(shí)可以逆向轉(zhuǎn)化，具體根據(jù)問題的實(shí)際情況，合理加以綜合與應(yīng)用．