橢圓、雙曲線焦點(diǎn)弦性質(zhì)的推廣及高考命題探源

張?zhí)N祿

圓錐曲線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線是圓錐曲線一對(duì)重要的點(diǎn)與線，圓錐曲線的許多精彩絕倫的性質(zhì)很多是通過焦點(diǎn)、準(zhǔn)線這個(gè)載體來演繹的.本文將探索橢圓、雙曲線焦點(diǎn)弦的一個(gè)重要性質(zhì)的推廣，并圍繞此性質(zhì)進(jìn)行高考命題探源.

1 橢圓、雙曲線焦點(diǎn)弦性質(zhì)的推廣

橢圓、雙曲線的焦點(diǎn)弦的性質(zhì)非常豐富，下面的性質(zhì)1是橢圓、雙曲線焦點(diǎn)弦的一條重要性質(zhì).

定義 橢圓、雙曲線的準(zhǔn)焦點(diǎn)、類準(zhǔn)線

橢圓、雙曲線的準(zhǔn)焦點(diǎn)與類準(zhǔn)線仍然保持了橢圓、雙曲線焦點(diǎn)、準(zhǔn)線的若干性質(zhì)，其中性質(zhì)1對(duì)于橢圓、雙曲線準(zhǔn)焦點(diǎn)與類準(zhǔn)線仍然是成立的，即下面的性質(zhì)2.

下面僅證明性質(zhì)2（1），性質(zhì)1、以及性質(zhì)2（2）證法與此類似，限于篇幅、不再贅述.

圓錐曲線的準(zhǔn)焦點(diǎn)和類準(zhǔn)線本身就是圓錐曲線焦點(diǎn)、準(zhǔn)線的推廣，其實(shí)橢圓的準(zhǔn)焦點(diǎn)和類準(zhǔn)線還可以再進(jìn)行推廣.性質(zhì)2中橢圓的準(zhǔn)焦點(diǎn)在焦點(diǎn)軸上，再次推廣后，橢圓的準(zhǔn)焦點(diǎn)還可以在短軸上.

2 高考命題探源

橢圓、雙曲線的準(zhǔn)焦點(diǎn)與類準(zhǔn)線，是焦點(diǎn)、準(zhǔn)線的推廣，廣受高考以及各類命題人員的青睞，許多的高考試題與橢圓、雙曲線的準(zhǔn)焦點(diǎn)和類準(zhǔn)線有關(guān).

點(diǎn)T（t，m）的直線TA，TB與此橢圓分別交于點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2），其中m>0，y1>0，y2＜0.

（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足PF2-PB2=4，求點(diǎn)P的軌跡；

（3）設(shè)t=9，求證：直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)（其坐標(biāo)與m無關(guān)）.

命題探源：其中的（3）就來自于橢圓的準(zhǔn)焦點(diǎn)與類準(zhǔn)線的性質(zhì).易知點(diǎn)T（9，m）是類準(zhǔn)線x=9上一點(diǎn)，MN一定過x=9對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)焦點(diǎn)（1，0）.

（1）求E方程；（2）證明：直線CD過定點(diǎn).

在2023年高考中，全國新高考Ⅱ卷再一次考到了準(zhǔn)焦點(diǎn)與類準(zhǔn)線問題，只不過這一次曲線載體由橢圓換成了雙曲線.

3 經(jīng)典解法

有關(guān)涉及橢圓、雙曲線準(zhǔn)焦點(diǎn)與類準(zhǔn)線問題的解法有很多，下面以例3的（2）為例，給出解決此類問題的兩種經(jīng)典解法.

方法一：定比點(diǎn)差法

方法二：交點(diǎn)系方程法

分析：交點(diǎn)系方程法也常稱作曲線系方程法，此類問題運(yùn)用交點(diǎn)系方程法可使思路清晰、過程簡潔.

橢圓、雙曲線的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線推廣到了準(zhǔn)焦點(diǎn)與類準(zhǔn)線.事實(shí)上，橢圓、雙曲線的準(zhǔn)焦點(diǎn)、類準(zhǔn)線還可以再進(jìn)行推廣，例如準(zhǔn)焦點(diǎn)還可以在對(duì)稱軸以外的其他位置，這就是圓錐曲線的極點(diǎn)、極線.也就是說圓錐曲線的性質(zhì)是相互關(guān)聯(lián)的，只有經(jīng)歷過一次次的拓展，才能厘清性質(zhì)與性質(zhì)之間的相互關(guān)系，才能達(dá)到對(duì)性質(zhì)、結(jié)論的深度理解，才能任其題目千變?nèi)f化，總能透過題目的表面現(xiàn)象看到題目背后的本質(zhì)，正所謂“不畏浮云遮望眼，自緣身在最高層”.