一道2023年奧林匹克競(jìng)賽試題的多解及推廣

文帥 徐鳳旺 梁明端

1.試題呈現(xiàn)

分析：這是2023年全國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽東莞市預(yù)賽試題的一道求最值問題，其中已知條件與所求式子結(jié)構(gòu)對(duì)稱，M的表達(dá)式是由4個(gè)根式的和組成，每一個(gè)根式的被開方數(shù)均為整式與分式的和，形式上具有數(shù)學(xué)的美感，本文對(duì)該題進(jìn)行多解探究，并對(duì)其進(jìn)行變式和推廣.

2．解法探究

+1－d=4－（a+b+c+d）=3，故M的最小值為3.

評(píng)注：此解法利用基本不等式與配湊法將每一個(gè)根式進(jìn)行放縮，從而利用已知條件求得M的最小值.

評(píng)注：此解法兩次利用基本不等式的推廣將根式下的被開方數(shù)進(jìn)行放縮，從而求得M的最小值.

評(píng)注：此解法利用切線的性質(zhì)，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，從而求得M的最小值.

評(píng)注：此解法利用函數(shù)的凹凸性與琴生不等式，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，從而求得M的最小值.

評(píng)注：此解法利用柯西不等式將每一個(gè)根式進(jìn)行放縮，再用基本不等式的推廣求得M的最小值.

評(píng)注：此解法利用赫爾德不等式與閔可夫斯基不等式，求得M的最小值.

3.試題推廣

分析：此推廣是將試題中的未知數(shù)個(gè)數(shù)從“4”元推廣到“5”元，推廣的形式不變.

分析：推廣2是在推廣1的基礎(chǔ)上，將不等式未知數(shù)個(gè)數(shù)從“5”元推廣到“n”元，條件式子的結(jié)果從“1”推廣到“t”，推廣的形式不變.

分析：推廣3是在推廣2的基礎(chǔ)上，將推廣2中不等式每一個(gè)根號(hào)下的系數(shù)“1”和“8”推廣到“λ”和“μ”，推廣的形式不變.

分析：推廣4是將試題條件中的條件式子結(jié)果從“1”推廣到“t”，以及改變代數(shù)式的未知數(shù)的冪及結(jié)構(gòu)得到的.

分析：上述推廣1到推廣4均是推廣5的特例，下面列舉推廣5的證明過程，其他推廣的證明過程不再敘述.

推廣，對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)研究有著十分重要的意義.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，推廣可以加強(qiáng)觀察、分析、比較、綜合、概括、歸納、類比和發(fā)現(xiàn)的能力，拓展不同的解題思路，提升創(chuàng)造性的思維.在數(shù)學(xué)研究中，推廣可以產(chǎn)生新問題與新方法，加深自身對(duì)問題的認(rèn)識(shí)與理解.在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，推廣可以激發(fā)學(xué)習(xí)興趣與求知欲，引領(lǐng)新的發(fā)現(xiàn)［1］.

參考文獻(xiàn)

［1］朱華偉，張景中.論推廣［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2005（04）：55-57+28.