不可壓縮超彈性球體中微孔運動的分岔和混沌*

馬敏富 趙振濤 陳威屹 袁學(xué)剛,3?

(1. 北方民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,銀川 750021)

(2. 大連民族大學(xué) 機電工程學(xué)院,大連 116600)

(3. 大連民族大學(xué) 理學(xué)院,大連 116600)

引言

橡膠、類橡膠等是典型的超彈性材料,被廣泛應(yīng)用于汽車、建筑、電子、航空航天等諸多領(lǐng)域,具有很好的減震或吸能作用[1,2].作為一種具有儲能函數(shù)的非線性彈性物質(zhì),其本構(gòu)關(guān)系可以完全由它們的應(yīng)變能函數(shù)給出,如neo-Hookean、Ogden、Mooney-Rivlin和Yeoh材料模型等[3].特別地,neo-Hookean材料模型因其形式簡單以及無條件穩(wěn)定性等優(yōu)點,為非線性彈性體動力學(xué)建模和求解提供了很大的便利[4,5].

當(dāng)非線性材料和結(jié)構(gòu)受到外部拉伸時,會出現(xiàn)空穴的生成、增長以及相鄰空穴的貫通等現(xiàn)象,由此引起了眾多學(xué)者的關(guān)注.其中,Polignone等[6]基于超彈性材料組成的球體,研究了微孔的生成和增長以及微孔的靜態(tài)分岔問題.Yuan等[7]推導(dǎo)出微孔運動的二階非線性常微分方程,并分析了微分方程解的定性性質(zhì),討論了材料參數(shù)對微孔進行周期振蕩的影響.Tang等[8]基于非線性動力學(xué)理論,研究了粘彈性材料組成的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性問題.任九生等[9]研究了周期載荷作用下不可壓縮超彈性球體中的空穴生成問題,并對系統(tǒng)進行數(shù)值模擬,得出周期載荷的平均載荷與空穴運動之間的關(guān)系.Yuan等[10]對于超彈性材料組成的球形薄膜,推導(dǎo)出描述薄膜徑向?qū)ΨQ運動的二階非線性常微分方程.詳細(xì)討論了在周期階梯載荷作用下球形薄膜隨時間產(chǎn)生的非線性周期振動并給出相應(yīng)的數(shù)值模擬.近年來,隨著非線性動力學(xué)理論的發(fā)展以及數(shù)值計算的進步,使得與超彈性材料相關(guān)的更復(fù)雜問題的求解成為可能.張弛等[11]研究了受軸向激勵彈性支承梁的穩(wěn)定性問題,在非線性彈性理論框架下推導(dǎo)控制方程,并對其進行數(shù)值模擬.Xu等[12]研究了一類不可壓縮熱超彈性材料組成的圓柱體的有限變形問題.利用邊界條件等推導(dǎo)出隱式解析解,數(shù)值算例表明,圓柱體中部的徑向變形幾乎是均勻的,當(dāng)軸向載荷較大時,兩端附近的變形沿軸向變化較明顯.曾青等[13]針對一類擬周期激勵的分段非線性軋機輥系統(tǒng),發(fā)現(xiàn)存在多種路徑可以產(chǎn)生奇異非混沌吸引子并進行了證明,該研究為非光滑動力學(xué)系統(tǒng)中的混沌控制提供了相應(yīng)的理論依據(jù).Aranda-Iglesias等[14]研究了超彈性材料組成的圓柱結(jié)構(gòu)的軸對稱非線性振動,證明了圓柱殼的運動可以由周期到擬周期和混沌的變化,并討論了參數(shù)對結(jié)構(gòu)非線性振動的影響.張文等[15]針對一類單自由度齒輪動力學(xué)系統(tǒng),將其動力學(xué)方程簡化為二階微分方程,通過打靶法得到嵌入混沌吸引子中的不穩(wěn)定周期軌道,并利用OGY方法實現(xiàn)了混沌控制.同時考慮材料和幾何非線性,Zhao等[16]研究了動態(tài)加載下粘-超彈性球殼的非線性動力學(xué)行為,根據(jù)變分原理和有限粘彈性理論推導(dǎo)出描述粘-超彈性球殼徑向?qū)ΨQ運動的耦合的積分-微分型方程,并發(fā)現(xiàn)材料的粘性系數(shù)改變時,系統(tǒng)的共振頻率發(fā)生偏移,混沌和多周期振動交替出現(xiàn).隨后,Zhao等[17]又研究了動態(tài)載荷和結(jié)構(gòu)阻尼對不可壓縮超彈性球殼的非線性動力學(xué)行為的影響,并使用Melnikov方法對混沌運動進行了分析.此外,李雙寶等[18]介紹了非光滑系統(tǒng)全局動力學(xué)Melnikov方法的研究進展.李冠強等[19]基于Duffing振子系統(tǒng),對控制方程進行數(shù)值模擬,進一步揭示了對稱系統(tǒng)到非對稱系統(tǒng)的演變過程.

本文研究了周期擾動載荷作用下微孔的復(fù)雜動力學(xué)行為.首先,針對一類徑向橫觀各向同性不可壓縮超彈性neo-Hookean材料組成的球體,建立描述內(nèi)部微孔徑向?qū)ΨQ運動的數(shù)學(xué)模型,并將其約化為二階非線性常微分方程;其次,討論了材料和結(jié)構(gòu)參數(shù)對非線性系統(tǒng)平衡點的影響,并進行了定性分析;最后,結(jié)合數(shù)值算例分析了周期擾動載荷下微孔的擬周期和混沌運動.

1 模型建立

1.1 控制方程

基于彈性力學(xué)理論,描述彈性體運動的平衡微分方程為:

(1)

本文研究了在一類周期擾動載荷作用下,超彈性球體中心處微孔的徑向?qū)ΨQ運動.令(R,Θ,Φ)和(r,θ,φ)分別為初始構(gòu)型和當(dāng)前構(gòu)型下的球體坐標(biāo).特別地,在球?qū)ΨQ變形假設(shè)下,式(1)可以簡化為如下的偏微分方程

(2)

在式(2)中,σrr(r,t),σθθ(r,t)是Cauchy應(yīng)力張量的兩個主值,分別為

(3)

其中,p(r,t)是待定的靜水壓力,F的主值由下式給出

(4)

本文假設(shè)球體由一類徑向橫觀各向同性neo-Hookean材料組成,相應(yīng)的應(yīng)變能函數(shù)為[6]

(5)

其中μ是剪切模量,a≥0是反映各向異性程度的無量綱材料參數(shù).

球體的外表面受到徑向周期性擾動,并且微孔表面無約束,相應(yīng)的應(yīng)力邊界條件為

σrr[r(ε,t),t]=0

(6)

其中,P(t)=p0+ηsinωt是與時間t相關(guān)的徑向擾動載荷,p0為常值載荷,η為外激勵幅值,ω為擾動載荷的外激勵頻率,A和ε分別表示球體的外表面半徑和微孔的初始半徑.

球體在時間t=0時處于未變形狀態(tài),則初始條件可以表示為

(7)

因此,描述在徑向周期擾動載荷作用下超彈性球體的徑向?qū)ΨQ運動的數(shù)學(xué)模型由式(2)～式(7)給出.

1.2 模型求解

根據(jù)材料的不可壓縮約束,有?r(R,t)/?R=R2/r2(R,t).等式兩邊關(guān)于R積分,可以得到

(8)

其中r1(t)=r(R1,t)≥0是與微孔半徑相關(guān)的待定函數(shù).根據(jù)式(7)和式(8),有

(9)

對球體的平衡微分方程以及初邊值條件進行整理可得

(10)

為了便于定性分析,引入如下形式的無量綱變換

x(t)=r1(t)/A,δ=(A3-ε3)1/3/A,

(11)

其中,τ為無量綱時間.根據(jù)式(10),式(11),得到如下形式的無量綱方程

(12)

其中

(13)

(14)

2 常值載荷

(15)

2.1 平衡點及其定性分析

Pcr+Mnx3+o(x3),(x→0+)

(16)

其中,Pcr是微孔生成的臨界載荷.

令Mn=0,求得微孔分岔的臨界材料參數(shù)a0,當(dāng)aa0時,存在臨界結(jié)構(gòu)參數(shù)δ0,當(dāng)0<δ≤δ0時,系統(tǒng)只有一個中心(x2,0);當(dāng)δ0<δ<1時,存在兩個臨界載荷Pt1和Pt2,出現(xiàn)二次轉(zhuǎn)向分岔的情況:(1)若PPt2,系統(tǒng)只有一個中心(x3,0);(2)若Pt1

圖1 系統(tǒng)的平衡點曲線Fig.1 Equilibrium point curves of the system

2.2 微孔的周期運動

進一步求得式(12)的首次積分

(17)

其中C是與初始條件相關(guān)的“能量常數(shù)”,S(x,δ,P)為系統(tǒng)的勢能函數(shù),具體形式為

(18)

對給定的材料參數(shù),微孔在常值載荷作用下的非線性振動周期為

(19)

其中xmax對應(yīng)微孔的最大半徑.

給定初始條件時,系統(tǒng)可圍繞任一勢阱作周期運動,也可以同時圍繞兩個勢阱作周期運動,且勢阱與系統(tǒng)的中心相對應(yīng),如圖2(a)、圖2(b)所示.由圖2(c)、圖2(d)可知,對給定的材料參數(shù),當(dāng)微孔半徑足夠小時:(1)若aa0,微孔的振幅逐漸增大,同樣存在臨界載荷Pμ,此時振幅出現(xiàn)了跳躍現(xiàn)象,其相軌跡為非對稱“∞”型同宿軌道.

圖2 不同參數(shù)對應(yīng)的勢阱和等高線Fig.2 Well potential and contour lines corresponding to different parameters

3 周期擾動載荷

3.1 微孔的擬周期運動

當(dāng)初值取在系統(tǒng)的中心附近時,通過時程曲線,相軌跡和Poincaré截面重點關(guān)注微孔圍繞單勢阱和兩勢阱的擬周期運動.

圖3 不同擾動參數(shù)下中心附近的時程曲線和相軌跡Fig.3 Time response curves and phase diagrams near the center under different perturbation parameters

注意到,在周期擾動作用下,微孔表現(xiàn)出擬周期運動,Poincaré截面變?yōu)槎鄠€獨立的封閉曲線,且單勢阱和雙勢阱運動都有類似的表現(xiàn),如圖4所示.

圖4 周期擾動下的Poincaré截面,(a) 單勢阱運動,(b) 雙勢阱運動Fig.4 Poincaré sections under periodic perturbation of (a) one well potential and (b) double well potentials

圖5 不同初始條件下的Poincaré截面Fig.5 Poincaré sections with different initial conditions

3.2 微孔的混沌運動

為探究微孔在鞍點附近的動力學(xué)行為,首先分析了鞍點附近時程曲線的變化,由圖6可以看出,微孔在鞍點附近對擾動參數(shù)的變化更加敏感.

圖6 不同擾動參數(shù)下鞍點附近的時程曲線Fig.6 Time response curves near the saddle point under different perturbation parameters

圖7 不同擾動參數(shù)下鞍點附近的Poincaré截面和最大Lyapunov指數(shù)Fig.7 Poincaré sections and maximal Lyapunov characteristic exponents near the saddle point under different perturbation parameters

4 結(jié)論

本文針對一類徑向橫觀各向同性不可壓縮neo-Hookean材料組成的球體,分析了周期擾動載荷對微孔定性行為的影響,通過對該問題進行數(shù)學(xué)建模和定性分析,得到的主要結(jié)論為:

(1)在常值載荷作用下,討論了材料參數(shù)和結(jié)構(gòu)參數(shù)對微孔分岔行為的影響.結(jié)果表明,材料參數(shù)和結(jié)構(gòu)參數(shù)都會導(dǎo)致系統(tǒng)的二次轉(zhuǎn)向分岔現(xiàn)象,并且隨著外載荷的增大,系統(tǒng)的平衡點個數(shù)出現(xiàn)“1-3-1”的變化情況.通過分析系統(tǒng)平衡點和勢阱的變化情況發(fā)現(xiàn),材料參數(shù)和結(jié)構(gòu)參數(shù)影響微孔的分岔并影響其生長速率.特別地,存在臨界載荷,導(dǎo)致結(jié)構(gòu)剛度的明顯變化,甚至產(chǎn)生振幅跳躍現(xiàn)象.

(2)在周期擾動載荷作用下,基于二次轉(zhuǎn)向分岔的討論,給出了結(jié)構(gòu)出現(xiàn)混沌運動的條件.特別地,不同的初值選擇導(dǎo)致微孔具有完全不同的運動方式:① 初值取在中心附近時,發(fā)現(xiàn)微孔呈現(xiàn)擬周期運動;② 初值取在鞍點附近時,通過時程曲線、Poincaré截面和最大Lyapunov指數(shù)等方法發(fā)現(xiàn)微孔呈現(xiàn)混沌運動,并通過擬周期運動中出現(xiàn)的等勢線破裂現(xiàn)象進行了解釋.