Winkler地基梁動力學(xué)系統(tǒng)的無量綱化與參數(shù)識別*

鄭罡 曹和生 杜宗松 蔡汶秀 陳鵬

(1. 重慶交通大學(xué) 省部共建山區(qū)橋梁及隧道工程國家重點實驗室,重慶 400074)

(2. 重慶交通大學(xué) 土木工程學(xué)院,重慶 400074)

引言

Winkler地基梁模型在巖土、公路、鐵路以及航空航天等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用[1-4],該模型的受力特點決定其易發(fā)生梁體損傷、地基脫空等破壞,從而對結(jié)構(gòu)安全造成嚴重影響,因此,國內(nèi)外學(xué)者對該模型的損傷診斷問題進行了大量研究,取得了一系列富有成效的進展.文獻[5]采用有限元法計算該模型在不同損傷工況下的振型與固有頻率,提出基于遺傳算法的兩級參數(shù)識別流程,對梁體損傷位置、程度以及地基脫空位置進行識別;文獻[6]通過建立考慮梁內(nèi)損傷與地基脫空的有限元模型,計算相應(yīng)工況下的轉(zhuǎn)角模態(tài),并對其進行連續(xù)小波變換,識別了梁體損傷與地基脫空位置;文獻[7]利用分段函數(shù)推導(dǎo)了考慮地基脫空損傷的頻率方程,結(jié)合共軛迭代算法對地基脫空位置與長度進行識別.

值得注意的是,以上研究均需將各系統(tǒng)參數(shù)初始值作為已知量代入計算,若無法對其進行準確識別,則將在一定程度上造成損傷診斷結(jié)果與結(jié)構(gòu)實際狀態(tài)的不符[8,9],因此,其系統(tǒng)參數(shù)初始值的識別問題愈發(fā)受到研究者的關(guān)注,文獻[10]通過錘擊法實測Winkler地基梁的固有頻率,采用傳遞矩陣法導(dǎo)出以地基剛度為未知數(shù)的高次方程,對地基剛度進行識別;文獻[9]基于頻率響應(yīng)函數(shù)提出針對地基剛度與質(zhì)量分布的雙參數(shù)識別算法.值得注意的是,由于Winkler地基梁動力學(xué)系統(tǒng)當前未能實現(xiàn)與系統(tǒng)參數(shù)的解耦,導(dǎo)致其動力學(xué)方程與頻率方程仍含多個系統(tǒng)參數(shù),任意系統(tǒng)參數(shù)值的變化均將導(dǎo)致求解的重復(fù),使該系統(tǒng)正、反兩類求解問題都不具適用于系統(tǒng)參數(shù)值任意變化的一般性;更重要的是,該系統(tǒng)的雙參數(shù)識別反問題也將成為雙參數(shù)超越方程組的非線性迭代,造成了求解的不便與困難,在一定程度上限制了雙參數(shù)識別算法的發(fā)展與應(yīng)用.

可以看出,Winkler地基梁動力學(xué)系統(tǒng)的參數(shù)識別仍然存在有待解決的問題,因此,本文提出基于頻率比互等關(guān)系的雙參數(shù)識別算法,旨在同時對該系統(tǒng)兩項系統(tǒng)參數(shù)進行識別,并實現(xiàn)對其計算的簡化.本文首先提出一種新無量綱方法,完成Winkler地基梁動力學(xué)系統(tǒng)的無量綱化,實現(xiàn)動力學(xué)方程系數(shù)的徹底歸一化,建立與系統(tǒng)參數(shù)解耦的廣義頻率方程,然后導(dǎo)出頻率-梁長預(yù)解集與頻率比-梁長預(yù)解集,利用時間、空間還原系數(shù)所建立的線性轉(zhuǎn)換關(guān)系提出雙參數(shù)識別算法,同時對該系統(tǒng)的兩項系統(tǒng)參數(shù)進行識別.

1 Winkler地基梁動力學(xué)系統(tǒng)的無量綱化

據(jù)調(diào)研,根據(jù)無量綱方法的不同,Winkler地基梁動力學(xué)系統(tǒng)已演化出三種不同形式:(1)時間、空間坐標均未無量綱化的有量綱動力學(xué)系統(tǒng)[11];(2)僅對空間坐標進行無量綱化的部分無量綱動力學(xué)系統(tǒng)[12];(3)同時對時間、空間坐標進行無量綱化的完全無量綱動力學(xué)系統(tǒng)[13].

不同動力學(xué)系統(tǒng)所對應(yīng)的動力學(xué)方程與頻率方程(以兩端固定邊界為例)可分列如下:

(1)有量綱動力學(xué)系統(tǒng)

動力學(xué)方程:

(1)

頻率方程:

(2)

(2)部分無量綱動力學(xué)系統(tǒng)

動力學(xué)方程:

(3)

頻率方程:

1-cos(δ2)cosh(δ2)=0

(4)

(3)完全無量綱動力學(xué)系統(tǒng)

動力學(xué)方程:

(5)

頻率方程:

1-cos(δ3)cosh(δ3)=0

(6)

表1 組合參數(shù)計算表

因此,下文提出一種新無量綱方法,以實現(xiàn)Winkler地基梁動力學(xué)方程系數(shù)的徹底歸一化.

1.1 動力學(xué)方程的歸一化

首先,引入時間、空間還原系數(shù)αt、αx,同時對該系統(tǒng)的時間、空間坐標作如下線性變換:

(7)

(8)

將線性變換式(7)、式(8)代入有量綱動力學(xué)方程式(1)有:

(9)

(10)

令:

(11)

(12)

解得:

(13)

(14)

當時間、空間還原系數(shù)按上式(13)、式(14)取值時,有量綱動力學(xué)方程式(1)即可轉(zhuǎn)化為如下歸一化形式:

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

下文對歸一化動力學(xué)方程式(15)展開求解,導(dǎo)出相應(yīng)邊界條件下的廣義頻率方程,以得到Winkler地基梁動力學(xué)系統(tǒng)的一般解.

1.2 頻率方程的廣義化

由分離變量法,可設(shè)歸一化動力學(xué)方程式(15)的通解為:

v(x,t)=φ(x)exp(iωt)

(22)

將式(22)代入式(15),可得本征函數(shù)φ(x)的通解:

φ(x)=A1cosh(δx)+A2sinh(δx)+

A3cos(δx)+A4sin(δx)

(23)

其中,A1～A4為依賴邊界條件與初始條件的復(fù)常數(shù);δ系為簡化表達而引入的組合參數(shù),可由式(24)計算.

(24)

此處考慮兩端固定、兩端簡支、固定-自由等3種經(jīng)典邊界,相應(yīng)的邊界條件表達式可分列如下:

(1)兩端固定

v(x,t)|x=0,l=0

(25)

(2)兩端簡支

v(x,t)|x=0,l=0

(26)

(3)固定-自由

(27)

將式(22)分別代入邊界條件式(25)～式(27),即可得到相應(yīng)邊界條件下的廣義頻率方程:

(1)兩端固定

1-cos(δl)cosh(δl)=0

(28)

(2)兩端簡支

sinh(δl)sin(δl)=0

(29)

(3)固定-自由

1+cos(δl)cosh(δl)=0

(30)

由式(28)～式(30)可知,以上各邊界條件下的廣義頻率方程均實現(xiàn)了與系統(tǒng)參數(shù)的解耦,僅由組合參數(shù)δ與無量綱梁長l兩個變量決定.結(jié)合式(24)通過單變量迭代即可一次性求解得到各階頻率ωi關(guān)于無量綱梁長l的預(yù)解集,即ωi-l曲線;根據(jù)式(21),可進一步得到相應(yīng)階次頻率比ηij關(guān)于無量綱梁長l的預(yù)解集,即ηij-l曲線.圖1、圖2以兩端固定邊界為例,分別給出了前6階頻率所對應(yīng)的ωi-l曲線與ηi1-l曲線.

圖1 頻率-梁長曲線(ωi-l曲線)Fig.1 Frequency-Span curve(ωi-l curve)

圖2 頻率比-梁長曲線(ηij-l曲線)Fig.2 Frequency ratio-Span curve(ηij-l curve)

值得注意的是,由于廣義頻率方程實現(xiàn)了與系統(tǒng)參數(shù)的解耦,故頻率-梁長曲線、頻率比-梁長曲線均具有適用于系統(tǒng)參數(shù)值任意變化的一般性,依托于時間、空間還原系數(shù)所建立的線性轉(zhuǎn)換關(guān)系即可實現(xiàn)對該系統(tǒng)正、反兩類問題的定解,不僅可有效避免傳統(tǒng)求解方法因系統(tǒng)參數(shù)值的改變而導(dǎo)致重復(fù)迭代的情況,而且可使傳統(tǒng)雙參數(shù)識別算法中的雙參數(shù)超越方程組的非線性迭代轉(zhuǎn)換為單參數(shù)迭代,使計算得到有效的簡化.

基于以上發(fā)現(xiàn),下文提出基于頻率比互等關(guān)系的雙參數(shù)識別算法,展開對Winkler地基梁動力學(xué)系統(tǒng)的雙參數(shù)識別.

2 基于頻率比互等關(guān)系的雙參數(shù)識別算法

2.1 算法流程

圖3 雙參數(shù)識別算法流程圖Fig.3 Flow chart of dual parameter identification algorithm

圖3所示算法在準備工作后,可分5步計算.

準備工作:求解廣義頻率方程,繪制頻率-梁長曲線(ωi-l曲線);由頻率比互等關(guān)系式(21)繪制頻率比-梁長曲線(ηij-l曲線).

Step2:由頻率比ηij,根據(jù)頻率比-梁長曲線(ηij-l曲線)確定無量綱梁長l.

Step3:由無量綱梁長l,根據(jù)頻率-梁長曲線(ω-l曲線)確定各階次無量綱頻率ωi、ωj.

Step4:根據(jù)頻率轉(zhuǎn)換關(guān)系式(17)計算時間還原系數(shù)αt;由梁長轉(zhuǎn)換關(guān)系式(16)計算空間還原系數(shù)αx.

2.2 算法本質(zhì)

根據(jù)2.1節(jié)算法流程可知,本文所提出的雙參數(shù)識別算法,將原本雙參數(shù)超越方程組的非線性迭代計算問題轉(zhuǎn)化為單變量超越方程(廣義頻率方程)的求解與式(16)～式(20)所示的線性轉(zhuǎn)換,實現(xiàn)了對雙參數(shù)識別計算問題的簡化,本節(jié)旨在探究識別計算得到簡化的原因.

因此,由廣義頻率方程求解所得到的頻率-梁長曲線(ωi-l曲線)其實是適用于系統(tǒng)參數(shù)任意變化的預(yù)解集,在正問題(頻率計算)中,各系統(tǒng)參數(shù)值是確定的,可由此直接計算時間、空間還原系數(shù),利用頻率-梁長曲線實現(xiàn)對頻率的定解.然而,在雙參數(shù)識別反問題中,在兩個系統(tǒng)參數(shù)未知的條件下,僅依靠頻率-梁長曲線是不夠的,但通過式(17),發(fā)現(xiàn)了有、無量綱兩種體系間所隱含的頻率比互等關(guān)系式(21),得到頻率比-梁長曲線(ηij-l曲線),實現(xiàn)了對動力學(xué)系統(tǒng)多模態(tài)特性的利用,提出了2.1節(jié)所示的算法流程,最終,實現(xiàn)了對雙參數(shù)識別計算的簡化.

3 兩類算例

為驗證本文無量綱方法與雙參數(shù)識別算法的可靠性與準確性,下文分別在正、反兩類求解問題上,與文獻算例進行比對.

3.1 正問題

表2分列了各組算例所采用的系統(tǒng)參數(shù)值,表3、表4則給出了在兩端固定、兩端簡支、固定-自由三種邊界條件下的計算頻率的對比情況.

表2 系統(tǒng)參數(shù)表

表3 計算頻率對比表系統(tǒng)1

表4 計算頻率對比表系統(tǒng)2

值得注意的是,文獻[12]以有量綱動力學(xué)系統(tǒng)求解、文獻[13]以部分無量綱動力學(xué)系統(tǒng)求解、文獻[14,15]以完全無量綱動力學(xué)系統(tǒng)求解,本文則采用新無量綱方法,基于歸一化動力學(xué)方程與廣義頻率方程求解.可以看出,在以上各邊界條件下,本文計算頻率均與文獻算例吻合良好,表明本文無量綱方法具有良好的可靠性與準確性.

3.2 反問題

本文以兩端固定邊界為例,采用系統(tǒng)1相關(guān)計算頻率對實測頻率進行模擬,以研究本文雙參數(shù)識別算法的穩(wěn)定性,考慮頻率測試的不確定性,現(xiàn)對計算頻率施加不同等級隨機噪聲,模擬實測頻率的計算公式可表示如下:

(31)

表5 模擬實測頻率表

本文選取0.1%,0.5%兩級噪聲所對應(yīng)的模擬實測頻率計算各階頻率比ηij,并以不同階次頻率比分別進行識別計算,分析頻率比的選擇與參數(shù)識別誤差的關(guān)系,研究適于參數(shù)識別的最優(yōu)頻率比,頻率比的組合方式如表6所示,i、j分別代表分子、分母有(無)量綱頻率的階次.

表6 頻率比組合表

利用表6所示的45種頻率比分別進行參數(shù)識別計算,繪制頻率比-識別誤差散點圖,并對散點進行擬合,分析不同頻率比的選擇與彎曲剛度、地基剛度識別誤差的聯(lián)系.

由圖4、圖5可知:(1)彎曲剛度的頻率比-識別誤差擬合曲線整體平順,無明顯單調(diào)性,表明對于彎曲剛度的識別,頻率比的選擇對其識別精度無明顯影響.(2)地基剛度的頻率比-識別誤差散點呈明顯階梯狀分布,相應(yīng)的擬合曲線也具有明顯的單調(diào)性,均體現(xiàn)出地基剛度的識別誤差隨頻率比分母頻率階次的增大而增大的趨勢,反映出低階頻率對地基剛度的變化更為敏感的特性.

圖4 頻率比-識別誤差曲線(彎曲剛度Fig.4 Frequency ratio-identification error curve

圖5 頻率比-識別誤差曲線(地基剛度Fig.5 Frequency ratio-identification error curve

基于以上發(fā)現(xiàn)可知,對Winkler地基梁動力學(xué)系統(tǒng)進行參數(shù)識別時,應(yīng)盡量選取低階頻率作為頻率比分母頻率以提高識別精度.因此,本文選取結(jié)構(gòu)基頻作為頻率比分母頻率,以2～10階頻率作為頻率比分子頻率,分別以為頻率比進行參數(shù)識別計算,取9組識別值的平均值作為參數(shù)識別最終值.下表7分列了不同噪聲等級下彎曲剛度與地基剛度的識別誤差.

表7 參數(shù)識別誤差表

由表7可知,在以上5種不同等級噪聲影響下,根據(jù)本文參數(shù)識別算法,對彎曲剛度的識別誤差小于1.21%,對地基剛度的識別誤差小于5.47%,本文參數(shù)識別算法具有良好的識別精度,可對Winkler地基梁動力學(xué)系統(tǒng)的系統(tǒng)參數(shù)進行有效識別.

4 結(jié)論

為簡化Winkler地基梁動力學(xué)系統(tǒng)的雙參數(shù)識別計算,本文提出新無量綱方法,對Winkler地基梁動力學(xué)系統(tǒng)進行無量綱化,實現(xiàn)了動力學(xué)方程的歸一化,得到與系統(tǒng)參數(shù)解耦的廣義頻率方程,在此基礎(chǔ)上,建立基于頻率比互等關(guān)系的雙參數(shù)識別算法,對該系統(tǒng)的彎曲剛度與地基剛度進行識別,主要研究結(jié)論如下:

(1)基于本文所提出的新無量綱方法,該系統(tǒng)的動力學(xué)方程與頻率方程均實現(xiàn)了與系統(tǒng)參數(shù)的解耦,適用于具有任意系統(tǒng)參數(shù)值的Winkler地基梁動力學(xué)系統(tǒng).

(2)僅需對廣義頻率方程進行一次求解即可在相應(yīng)邊界條件下得到頻率、頻率比關(guān)于無量綱梁長的預(yù)解集,該預(yù)解集具有適用任意系統(tǒng)參數(shù)值的一般性,僅需由時間、空間還原系數(shù)所建立的線性轉(zhuǎn)換關(guān)系即可實現(xiàn)對該系統(tǒng)正、反兩類求解問題的定解,避免了傳統(tǒng)求解方法因系統(tǒng)參數(shù)值的改變而導(dǎo)致重復(fù)迭代求解的情況,實現(xiàn)了解的一般化.

(3)本文雙參數(shù)識別算法的計算僅涉及單變量超越方程的求解與線性變換,避免了傳統(tǒng)雙參數(shù)識別算法中雙參數(shù)超越方程組的非線性迭代計算,實現(xiàn)了計算的簡化.

(4)本文雙參數(shù)識別算法對彎曲剛度的識別誤差小于1.21%,對地基剛度的識別誤差小于5.47%,具有良好的識別精度,可對Winkler地基梁動力學(xué)系統(tǒng)的系統(tǒng)參數(shù)進行有效識別.