運動參考系中量子Fisher 信息*

任亞雷 周濤

(西南交通大學物理科學與技術(shù)學院,量子光電實驗室,成都 610031)

量子參數(shù)估計中的基本理論——量子Cramér-Rao 不等式指出,參數(shù)估計的方差由量子Fisher 信息的倒數(shù)決定,量子Fisher 信息越大,參數(shù)估計的方差就越小,估計精度也就會越高.在非相對論量子力學中,量子Fisher 信息已被廣泛研究,但考慮相對論效應(yīng)對量子Fisher 信息影響的研究相對較少.本文采用粒子態(tài)的相對論變換方法,數(shù)值計算和分析了運動參考系中單粒子態(tài)、雙粒子態(tài)振幅參數(shù) θ 和相位參數(shù) φ 的量子Fisher信息.結(jié)果表明,在運動參考系中,無論是使用單粒子態(tài)還是雙粒子態(tài),量子Fisher 信息都會降低.對于相位參數(shù),雙粒子態(tài)的量子Fisher 信息比單粒子態(tài)降低得更加顯著.然而,對于振幅參數(shù),雙粒子態(tài)的量子Fisher 信息相對于單粒子態(tài)有所提高,該研究結(jié)果為在相對論效應(yīng)的影響下提高參數(shù)估計精度提供了有價值的參考.

1 引言

參數(shù)估計是指間接地估計一個未知參數(shù)的值[1].在物理學中,很多物理量無法直接測量,而只能通過間接的方式進行估計[2,3].在我們估計這些物理量時,不可避免會產(chǎn)生估計誤差.而如何提高參數(shù)估計的精度,就成了參數(shù)估計領(lǐng)域所要研究的核心問題[4-15].在參數(shù)估計理論中,量子Cramér-Rao不等式表明,量子Fisher 信息(quantum fisher information,QFI)直接關(guān)系著參數(shù)估計的精度[16-19],其形式為

式中η為待估參數(shù),F(η) 為參數(shù)η的QFI,N為對系統(tǒng)的測量次數(shù),(Δη)2為待估參數(shù)的方差,反映測量誤差.從不等式可以看出,QFI 值越大,測量誤差就越小,估計精度也就越高[20].在量子參數(shù)估計的研究中,系統(tǒng)的參數(shù)信息通常被編碼到某種量子態(tài)上,從而對未知參數(shù)進行估計[10].為了盡可能提高參數(shù)估計的精度,一種方法就是需要尋找那些能夠使QFI 盡可能大的態(tài)[21-23].

在非相對論量子力學中,對QFI 進行了廣泛的研究,例如其在糾纏判據(jù)[24-26]、量子隱形傳態(tài)[27]中的應(yīng)用等.同時,人們還致力于發(fā)展新的理論來計算QFI[28-30],為實現(xiàn)更高效的量子參數(shù)估計提供理論參考.另一方面,隨著相對論物理學和量子信息科學的交叉發(fā)展,人們開始考慮相對論效應(yīng)對QFI 的影響[31-35].因為相對論效應(yīng)可以改變粒子的量子態(tài)的特性[36,37],從而對量子參數(shù)估計產(chǎn)生影響.

本文考慮粒子態(tài)在不同慣性參考系下的相對論變換,分析了粒子態(tài)(包括動量自由度和自旋自由度)在運動參考系下的變換關(guān)系.選取在靜止坐標系下動量和自旋不糾纏的粒子態(tài),發(fā)現(xiàn)在運動參考系下粒子態(tài)動量和自旋之間相互糾纏[36],編碼在自旋自由度上的參數(shù)信息也會隨之產(chǎn)生相應(yīng)的變化.本文數(shù)值計算了單粒子態(tài)和雙粒子態(tài)在運動參考系中的QFI,結(jié)果顯示,不論是使用單粒子態(tài)還是雙粒子態(tài),相對論效應(yīng)都會導致編碼在其上的待估參數(shù)的QFI 下降,這意味著參數(shù)估計的精度受到相對論效應(yīng)的影響.當考慮相位參數(shù)時,雙粒子態(tài)的QFI 降低得更加顯著.有趣的是,當考慮振幅參數(shù)時,雙粒子態(tài)的QFI 相對于單粒子態(tài)有所提高.這表明在對振幅參數(shù)進行估計時,雙粒子態(tài)能夠抑制相對論效應(yīng)帶來的影響,從而提高參數(shù)估計的精度.

2 量子Fisher 信息

Fisher 信息是統(tǒng)計學中一個重要的概念,用來描述一個可觀測隨機變量攜帶未知參數(shù)信息量的多少,定義式為[7]

其中μ為待估參數(shù),x為隨機變量觀測值,p(x|μ)為參數(shù)取μ時x的概率分布.

在量子力學中,當系統(tǒng)中含有參數(shù)μ時,系統(tǒng)的狀態(tài)用密度矩陣ρμ表示[24].對這個系統(tǒng)進行一組POVM{Mx}測量,Fisher 信息可以重新表示為[21]

在這里,引入對稱對數(shù)導數(shù)算符Lμ,其定義式為

在所有可能的POVM 測量中,得到的Fisher 信息存在一個最大的情況,這個最大的Fisher 信息被稱為QFI,其定義式為[20]

另一方面,假設(shè)待測系統(tǒng)的密度矩陣譜分解形式為

QFI 則可以被寫為[38]

其中pi是密度矩陣ρμ的本征值,而 |ψi〉是本征值pi對應(yīng)的本征態(tài).

3 運動參考系中粒子狀態(tài)的變換

首先定義有質(zhì)量粒子在靜止參考系中的本征態(tài)[36]|0λ〉:

其中洛倫茲推動L(ξp) 滿足

在運動參考系中,粒子的狀態(tài)可以通過對靜止參考系中的粒子態(tài)施加洛倫茲變換得到[36,37],洛倫茲變換在物理Hilbert 空間中誘導出態(tài)矢量上的幺正線性變換U(Λ),其對粒子態(tài)的作用是[39]:

其中L(ξΛp)-1ΛL(ξp) 是一個 旋轉(zhuǎn)操 作,被稱為Wigner 轉(zhuǎn)動,它作用于靜止坐標系的自旋分量λ上[36].因此(14)式可以寫成如下形式:

本文將四維動量寫成球坐標系中的形式[E,psin(?)cos(γ),psin(?)sin(γ),pcos(?)],得到Wigner 轉(zhuǎn)動的具體形式:

?是球坐標系中的仰角,γ為方位角,m代表粒子態(tài)的質(zhì)量,E和E′分別為粒子經(jīng)過相對論變換前后的能量.

本文選取分布展寬為σr的“相對論高斯型”動量分布:

其中N(σr) 是歸一化系數(shù),p表示p的大小.對于一組動量遵循“相對論高斯型”動量分布的本征態(tài),態(tài)矢量可以寫成

將(21)式和(22)式代入(16)式,可求出自旋為1/2的有質(zhì)量粒子的態(tài)矢量經(jīng)過洛倫茲變換后的表達式為

在(24)式中,|ψ〉表示粒子的自旋態(tài).

4 運動參考系中的QFI

4.1 單粒子態(tài)QFI

在單粒子態(tài)量子參數(shù)估計中,待估參數(shù)由自旋態(tài)攜帶,這里選取參數(shù)化的單量子比特自旋態(tài),它可以寫成:

其中θ和φ是未知的待估計參數(shù),分別表示振幅參數(shù)和相位參數(shù).

首先計算在靜止參考系中兩個未知參數(shù)的QFI.對于純態(tài),編碼在該態(tài)上的參數(shù)μ的QFI 可表示為[20]

很容易 計算出關(guān)于θ和φ的QFI為F(θ)=1,F(φ)=sin2θ.

相對論效應(yīng)使粒子的動量和自旋相互糾纏[36],由于待估參數(shù)編碼在自旋態(tài)上,因此本文只考慮自旋態(tài)的變換.在變換后的態(tài)中自旋和動量兩個自由度都屬于這個變換態(tài)的子系統(tǒng),要研究自旋態(tài)中的待估參數(shù),需要關(guān)于自旋自由度的約化密度矩陣.通過對動量自由度求偏跡,得到關(guān)于自旋自由度的約化密度矩陣:

將其代入QFI 的計算(7)式,即可算出在運動參考系中未知參數(shù)θ和φ的QFI.

4.2 單粒子態(tài)計算結(jié)果與分析

在運動參考系中求解QFI 的解析解是一個非常困難的工作,所以考慮利用MATLAB 進行數(shù)值求解.本文分別計算了單粒子態(tài)相位參數(shù)的QFIF(φ) 和振幅參數(shù)的QFIF(θ),研究發(fā)現(xiàn)在運動參考系中,F(φ)和F(θ) 都與快度ξ、振幅參數(shù)θ,以及展寬σr與粒子質(zhì)量m的比值σr/m有關(guān).

首先考慮等振幅(θ=π/2 )的情況,即|ψθ,φ〉=如圖1(a),(b),當σr/m取1,2,3,4 時,F(φ)和F(θ) 都隨著快度ξ的增大而減小,當快度ξ趨向于無窮大時,二者都降低到某一個固定的值,固定值依賴于決定動量分布離散程度的展寬σr和粒子質(zhì)量m的比值σr/m,其值越大,F(φ)和F(θ) 降低趨勢越明顯,且最終達到的固定值越小.這是因為相對論效應(yīng)使粒子的動量和自旋相互糾纏,在不同的參考系看來,同一個粒子的自旋態(tài)是不同的.對于自旋 1/2 粒子,一般情況下質(zhì)量是確定的,展寬σr增大意味著動量分布變得更加分散,對動量部分求偏跡,求得的自旋態(tài)的約化密度矩陣中包含的待估參數(shù)信息會隨之減少.因此隨著σr/m的增大,待估參數(shù)的QFI 下降的更加明顯.

圖1 運動坐標系中單粒子態(tài)的QFI (a) θ=π/2,σr/m=1,2,3,4 時,F (φ)隨ξ 的變化;(b) θ=π/2,σr/m=1,2,3,4時,F (θ)隨ξ 的變化;(c) σr/m=1,F (φ)隨θ,ξ 的變 化;(d) σr/m=1,F (θ)隨θ,ξ 的變化Fig.1.Quantum Fisher information for one-particle state in moving frames:(a) F (φ) is plotted as a function of ξ forθ=π/2 and σr/m=1,2,3,4 ;(b) F (θ) is plotted as a function of ξ for θ=π/2 and σr/m=1,2,3,4 ;(c) F (φ) is plotted as a function of θ and ξ for σr/m=1 ;(d) F (θ) is plotted as a function of θ and ξ for σr/m=1 .

對于單量子比特系統(tǒng),其振幅參數(shù)同樣會對相位和振幅的估計和測量產(chǎn)生影響.如圖1(c),(d),這里取σr/m=1,當它的振幅參數(shù)取 [0,π] 時,它們的QFI 也會發(fā)生變化.當振幅參數(shù)越接近π/2時,相位參數(shù)的QFI 越大,而振幅參數(shù)的QFI 越小,都在θ=π/2 時達到極值,且F(φ)和F(θ) 都關(guān)于θ=π/2 呈現(xiàn)一定的對稱性,原因在于粒子態(tài)選取的動量分布具有對稱性.

4.3 雙粒子態(tài)計算結(jié)果與分析

為了盡可能提高參數(shù)估計的精度,降低相對論效應(yīng)對參數(shù)估計的影響,本文嘗試尋找那些能使QFI 盡可能大的態(tài).在目前已有的研究中,利用量子系統(tǒng)特有的量子糾纏性質(zhì),可以提高量子態(tài)的QFI.因此,本研究將編碼未知參數(shù)的自旋態(tài)選為參數(shù)化的二量子比特糾纏態(tài):

兩個有質(zhì)量的自旋為 1/2 的粒子的態(tài)矢量可以寫成[36]:

其中,|pλ〉A(chǔ)與|qσ〉B分別表示A 粒子與B 粒子的動量-自旋本征態(tài),且gλσ(p,q) 滿足:

經(jīng)過相對論變換后,求得自旋態(tài)的約化密度矩陣為

將其代入QFI 的計算公式,數(shù)值計算雙粒子態(tài)相位參數(shù)的QFIF(φ) 和振幅參數(shù)的QFIF(θ) .結(jié)果顯示,雙粒子態(tài)的相位參數(shù)QFIF(φ) 和振幅參數(shù)QFIF(θ) 也與快度ξ、振幅參數(shù)θ和σr/m有關(guān),且F(φ)和F(θ) 隨三者的變化關(guān)系和單粒子態(tài)類似.圖2 展示了當σr/m=1 時,等振幅情況下雙粒子態(tài)和單粒子態(tài)F(φ)和F(θ)隨ξ的變化對比圖.有趣的是,雙粒子態(tài)相位參數(shù)的QFI 下降的更為顯著,而振幅參數(shù)的QFI 相比于單粒子態(tài)則有所提高.這表明隨著粒子數(shù)增加,相位參數(shù)的估計精度降低的更加顯著,而振幅參數(shù)的估計精度則有所提高.

圖2 運動坐標系中單粒子態(tài)與雙粒子態(tài)的QFI 對比(a) σr/m=1,θ=π/2 時,F (φ)隨ξ 的變化對比;(b) σr/m=1,θ=π/2 時,F (θ)隨ξ 的變化對比Fig.2.Quantum Fisher information for one-particle state versus that for two-particle state in moving frames:(a)F (φ)is plotted as a function of ξ for σr/m=1 and θ=π/2 ;(b) F (θ) is plotted as a function of ξ for σr/m=1 and θ=π/2.

5 結(jié)論

本文研究了相對論效應(yīng)對量子參數(shù)估計精度的影響,結(jié)果發(fā)現(xiàn),不論是單粒子態(tài)還是雙粒子態(tài),相對論效應(yīng)都會導致其攜帶的待估參數(shù)QFI 下降,從而降低參數(shù)估計的精度.在考慮相位參數(shù)時,隨著粒子數(shù)的增加,QFI 降低得更為顯著.然而在考慮振幅參數(shù)時,雙粒子態(tài)的QFI 相對于單粒子態(tài)有所提高.這表明在運動參考系中進行量子參數(shù)估計時,攜帶未知參數(shù)的粒子態(tài)選用雙粒子態(tài),同時待估參數(shù)編碼在自旋態(tài)的振幅參數(shù)上,可以降低相對論效應(yīng)對參數(shù)估計精度的影響.這一結(jié)果提供了一種抑制相對論效應(yīng)噪聲的方法.接下來可以進一步研究多粒子態(tài)的QFI 的變化情況[34],嘗試得出一個在相對論變換下計算多粒子態(tài)QFI 的解析結(jié)果,這將在量子參數(shù)估計理論領(lǐng)域產(chǎn)生重要的價值.