立足課堂教學 聚焦“四能”培育

楊元韡

【摘 要】文章以“復數(shù)的幾何意義”的教學設計為例，探討了如何立足課堂教學培育學生的“四能”，并給出了幾點思考：把握學情，找準學生發(fā)現(xiàn)與提出問題的最近發(fā)展區(qū)；創(chuàng)設情境，營造學生發(fā)現(xiàn)與提出問題的適切場域；設計關聯(lián)，提供學生發(fā)現(xiàn)與提出問題的時空機會；評價跟進，激發(fā)學生發(fā)現(xiàn)與提出問題的積極動機。

【關鍵詞】四能；發(fā)現(xiàn)問題；提出問題；復數(shù)的幾何意義

一、引言

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“新課標”）提出了高中數(shù)學的課程目標：學生能獲得進一步學習以及未來發(fā)展所必需的數(shù)學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗（簡稱“四基”）；提高從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力（“四能”）。［1］其中，“四基”是數(shù)學學習的載體，“四能”是發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)的抓手。發(fā)現(xiàn)與提出問題的能力、分析與解決問題的能力，本質上是運算能力、推理能力、直觀想象能力等多種數(shù)學基本能力的綜合體現(xiàn)。

一線教師往往更關注學生如何分析問題與解決問題，因此問題大多數(shù)由教師提出，很少讓學生自己去發(fā)現(xiàn)、提出，導致“四能”的培育出現(xiàn)了一定程度的不平衡現(xiàn)象。問題的發(fā)現(xiàn)在數(shù)學教學中應該占有重要的位置。創(chuàng)新始于問題，發(fā)現(xiàn)往往是科學探究的基礎?；诖耍恍?shù)學家認為在數(shù)學中發(fā)現(xiàn)結論比證明結論更重要。發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題的過程是科學探究需經(jīng)歷的全過程，顯然，在教學中讓學生經(jīng)歷這樣的過程是很有價值的。［2］數(shù)學教育應讓學生經(jīng)歷數(shù)學探究的過程，給他們提供探究、猜想和提出問題的機會。［3］

新課標提出“四能”，也提倡在教學過程中設計更多問題，并為學生提出問題創(chuàng)造情境。依據(jù)新課標，新修訂的各版本教材相對于原先的教材而言，增強了趣味性、情境性、實踐性以及與信息技術的結合性。如人教A版普通高中數(shù)學教科書的“拓廣探索”欄目［4］和蘇教版普通高中數(shù)學教科書的“探究·拓展”欄目［5］等，提供了具有情境性或探究性的素材，讓學生發(fā)現(xiàn)并提出問題。教師在用好、用足這些素材的同時，還要深入研究教材，挖掘更多的素材，努力實踐“用教材教”。因此，如何立足課堂教學，全面培育“四能”，尤其是培育發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力，是一個值得探討的問題。本文以“復數(shù)的幾何意義”的教學設計為例，談談對此的思考。

二、教學設計片段與說明

教學設計片段1：觀察與發(fā)現(xiàn)

實數(shù)集中引入新數(shù)i后，進一步擴充成復數(shù)集，教師給出復數(shù)加法、減法、乘法、除法運算法則。

設z1=a+bi，z2=c+di，其中a，b，c，d∈R。

【問題1-1】在復數(shù)范圍內(nèi)進行四則運算，若令兩個復數(shù)的虛部都為0時，大家有什么發(fā)現(xiàn)？

【預設】學生提出自己的發(fā)現(xiàn)：復數(shù)集上的四則運算法則限制在實數(shù)集上，與實數(shù)集上的四則運算法則是一回事。

【設計意圖】研究復數(shù)集上的四則運算需要考慮特殊的情形，即實數(shù)集上的四則運算，兩個集合上的四則運算不能相互矛盾，要能夠相容。體會到特殊化的過程，才能體會到復數(shù)集上的運算法則的合理性。這個特殊化的過程體現(xiàn)了一致性，后面研究復數(shù)的相關性質，總是要“回頭看看”特殊情形——實數(shù)的相關性質。

【問題1-2】實數(shù)m的幾何意義是什么？實數(shù)m的絕對值（即[m]）的幾何意義是什么？對于兩個實數(shù)m，n，[m-n]的幾何意義是什么？

【預設】學生能夠回答：實數(shù)m的幾何意義是數(shù)軸上的對應的點，[m]的幾何意義是數(shù)軸上的對應點與原點的距離，對于兩個實數(shù)m，n，[m-n]的幾何意義是數(shù)軸上對應的兩點之間的距離。

【問題1-3】如果我們研究復數(shù)的幾何意義，你能不能提出你的猜想？

【預設】學生提出：復數(shù)的幾何意義可能也是點，復數(shù)的“絕對值”可能是表示復數(shù)的點與原點的距離，兩個復數(shù)的差的“絕對值”的幾何意義可能也是兩點之間的距離。

【設計意圖】讓學生感受新知識與舊知識之間的緊密聯(lián)系，形成正向的遷移，即研究復數(shù)的相關性質可以從研究實數(shù)的相關性質入手。學生在感受復數(shù)集上的四則運算法則與實數(shù)集上的四則運算法則之間的關系的基礎上，提出自己的發(fā)現(xiàn)，教師加以點評。以此為先例，教師以實數(shù)的相關問題切入，讓學生自主提出與之“平行”的復數(shù)相關問題。

教學設計片段2：復數(shù)的幾何意義的探索

【問題2-1】實數(shù)的幾何意義是數(shù)軸上的點，復數(shù)包括實數(shù)與虛數(shù)，復數(shù)的幾何意義是什么樣的點？我們只需要研究什么問題？

【預設】學生提出：虛數(shù)的幾何意義是什么？

【問題2-2】你覺得虛數(shù)單位i用什么樣的點表示？1+i用什么樣的點表示？更一般地，a+bi（a，b∈R）用什么樣的點表示？

【預設】學生發(fā)現(xiàn)：數(shù)軸上的點“不夠用”，提出引入坐標平面，用坐標平面上的相關的點表示。

【問題2-3】復數(shù)z=a+bi（a，b∈R）與點（a，b）一一對應，這個對應合理嗎？我們還要考慮什么問題？

【預設】引導學生提出：復數(shù)z=a+bi（a，b∈R）與點（a，b）一一對應，特別地，當b=0時，實數(shù)a與點（a，0）對應，也與原先的實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應一致。

【問題2-4】還有哪些數(shù)學對象也與點對應，也用坐標表示？如果有，它們之間是不是一一對應的？

【預設】學生聯(lián)想到平面向量，從而建立三者之間的關系，進一步完善復數(shù)的幾何意義。

【設計意圖】 通過感受數(shù)軸上的點與實數(shù)是一一對應的，發(fā)現(xiàn)數(shù)軸上的點“不足以”表示復數(shù)。復數(shù)本質上是二元數(shù)，即復數(shù)z=a+bi（a，b∈R）由實部和虛部兩者同時確定。通過考慮復數(shù)的“二元性”與實數(shù)的“一元性”的差別，學生聯(lián)想到可以把數(shù)軸“擴充”成坐標平面來破解“數(shù)軸上的點不夠用”的困境，同時將復數(shù)與坐標平面內(nèi)的點（a，b）對應。此時，實數(shù)a對應復平面內(nèi)的點（a，0），該點在實軸上，保持“數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應”這一屬性始終沒有變化。這個教學片段中，在感受復數(shù)與實數(shù)差異（“二元性”與“一元性”差異）的基礎上，學生能自然地聯(lián)想并發(fā)現(xiàn)平面上的點也具有“二元性”，提出解決問題的方案便成為水到渠成的事情；在教師的引導下，學生能聯(lián)想到平面向量也具有“二元性”，從而發(fā)現(xiàn)復數(shù)、復平面內(nèi)的點、平面向量之間的一一對應關系，得出復數(shù)的多重幾何意義。通過教師的引導，學生能得出以下結論：（1）需要建立坐標平面才能表示復數(shù)（教師順勢給出相關概念）；（2）建立復數(shù)幾何意義的關系圖（如圖1所示）。

教學設計片段3：復數(shù)的模的幾何意義的探索

【問題3-1】結合實數(shù)的絕對值以及圖1所示關系圖，如何規(guī)定復數(shù)z的“絕對值”？

【預設】用兩點間距離或對應的平面向量的模來定義，期望學生能夠體會其合理性，即表達出復數(shù)的模的幾何意義，理解其與實數(shù)的絕對值本質上是一致的。

【問題3-2】實數(shù)集內(nèi)有[z]2=z2，你能提出怎樣的問題？

【預設】學生提出：[z]2=z2在復數(shù)集內(nèi)還成立嗎？為什么？如果成立，請證明；如果不成立請舉出反例。教師組織學生思考與討論，得出“不一定成立”的結論。

【問題3-3】能不能修改[z]2=z2，使之在復數(shù)范圍內(nèi)也成立？

【預設】讓學生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)的過程：等式左邊為實數(shù)，而右邊未必是實數(shù)。一個復數(shù)與其共軛復數(shù)的積為實數(shù)，可以將右邊改為z·z，再嘗試去驗證[z]2=z·z。

【問題3-4】實數(shù)集內(nèi)有[z1z2]=[z1][z2]，據(jù)此你還可以提出怎樣的問題？

【預設】學生提出：復數(shù)集內(nèi)是否有同樣的結論[z1z2]=[z1][z2]？如果成立，請證明；如果不成立，請舉出反例。教師組織學生驗證其成立。

【問題3-5】若復數(shù)z滿足z（2+i）=3+4i，則[z]=? ? 。

【預設】直接計算，或利用[z1z2]=[z1][z2]計算。

【問題3-6】結合前面的一些問題，你還能猜想出復數(shù)的?？赡軡M足的其他性質嗎？

【設計意圖】學生感受實數(shù)的四則運算法則、幾何意義分別與復數(shù)的四則運算法則、幾何意義都是特殊與一般的關系，教師以此為先例，讓學生聯(lián)想實數(shù)的絕對值與復數(shù)的哪些概念相對應，結合實數(shù)的絕對值的幾何意義聯(lián)想復數(shù)模的幾何意義是什么。這樣，學生能自然地發(fā)現(xiàn)并提出相關問題及給出解決方案，如學生在感受實數(shù)絕對值的性質時，通過教師引導能自然聯(lián)想到復數(shù)模的性質有哪些，然后提出自己的猜想，并證明或證偽（舉反例說明）。學生經(jīng)歷真正的探究過程，自身的思辨能力也得以提升。特別是實數(shù)范圍內(nèi)性質[z]2=z2如何推廣到復數(shù)范圍內(nèi)性質[z]2=z·z，學生經(jīng)歷了舉反例、不斷修正的完整的探索過程，能進一步積累研究問題的活動經(jīng)驗。這個教學片段引導學生用聯(lián)系的觀點看待新知與舊知之間的關聯(lián)，在舊的知識結構上繼續(xù)建立并完善新的知識結構。

教學設計片段4：復數(shù)加減法、復數(shù)差的模的幾何意義的探索

【預設】學生能正確回答前面的問題，期望學生能提出：z1-z2對應的向量是什么？z1·z2對應的向量是什么？（因為高中階段學生只學習了向量的數(shù)量積，但其結果不為向量，因此我們暫不研究這個問題。）

【預設】學生能正確回答問題，期望學生能夠體會其合理性，即表達出復數(shù)的差的模的幾何意義與實數(shù)的差的絕對值的幾何意義一致。

【設計意圖】通過具體問題，從向量的角度，建立復數(shù)的和、差、差的模的幾何意義。

三、教學思考

提高學生分析或解決問題的能力是大多數(shù)數(shù)學教師關注的，那么，如何在課堂教學中聚焦發(fā)現(xiàn)與提出問題能力的培育？筆者認為教師應堅持以學生的發(fā)展為本，從培養(yǎng)創(chuàng)新性人才的基本要求出發(fā)，有意識地把培育學生發(fā)現(xiàn)與提出問題的能力落實到課堂教學的具體環(huán)節(jié)中。結合前面的教學設計，筆者認為可以從以下方面加以嘗試。

1.把握學情，找準學生發(fā)現(xiàn)與提出問題的最近發(fā)展區(qū)

2. 創(chuàng)設情境，營造發(fā)現(xiàn)與提出問題的適切場域

3.設計關聯(lián)，提供發(fā)現(xiàn)與提出問題的機會

課堂教學中，教師圍繞課堂教學目標可以設計適切情境、問題（問題鏈）以及學生活動，讓學生循著“理解情境（或問題）—參與活動—發(fā)現(xiàn)關聯(lián)—提煉規(guī)律（結論）”的路徑進階，提高發(fā)現(xiàn)與提出問題的能力。如果教師能精心設計情境的各要素之間的關聯(lián)性，設計問題鏈中各問題間的關聯(lián)性，設計學生活動各環(huán)節(jié)之間的關聯(lián)性，適當留白，就有可能為學生從中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題提供時間或空間機會。例如，本案例中實數(shù)與復數(shù)的相關幾何意義就是特殊與一般的關聯(lián)，引導學生一次次經(jīng)歷從實數(shù)的相關幾何意義猜想并給出復數(shù)的相關幾何意義，再將復數(shù)的幾何意義與實數(shù)的幾何意義進行對比，說明合理性，形成多個思維的閉環(huán)，不斷使相關知識與方法結構化。再如，“在實數(shù)集內(nèi)有[z1z2]=[z1][z2]，在復數(shù)集內(nèi)，這個等式還成立嗎？”與“若復數(shù)z滿足z（2+i）=3+4i，則[z]=? ? ”之間也有密切的關聯(lián)，前者的解決為后者的解決提供了一種簡潔的思路，但其中的關聯(lián)要讓學生自己去發(fā)現(xiàn)并運用。一旦得到[z1z2]=[z1][z2]在復數(shù)集內(nèi)成立，則提出與之關聯(lián)緊密的問題“你還能猜想復數(shù)的?？赡軡M足的其他性質嗎？”也是順其自然的，學生依托實數(shù)的絕對值的性質聯(lián)想復數(shù)的模的可能的性質。

4.評價跟進，激發(fā)學生發(fā)現(xiàn)與提出問題的積極動機

積極動機作為非智力因素，可以喚醒學生的學習動力。學生積極動機的形成從內(nèi)部來講，往往源于對某個學習對象的興趣，而從外部來講，常常源于教師或同伴對其學習態(tài)度，或學習過程，或學習成果的充分肯定。教師對學生發(fā)現(xiàn)與提出的問題做出積極肯定的評價，或者在學生自我發(fā)現(xiàn)錯誤后做出激勵性的評價，都可以激發(fā)并維持學生發(fā)現(xiàn)與提出問題的積極動機，也能激發(fā)學生強烈的好奇心與求知欲。實踐表明，及時跟進對發(fā)現(xiàn)與提出問題的評價，能激發(fā)學生想進一步了解數(shù)學對象的迫切期望。這種條件下，學生對問題的思考與探究也將更為深入。例如，本案例中“若復數(shù)z滿足z（2+i）=3+4i，則[z]=? ?”，學生用按部就班的方法求解后，筆者提問還有沒有其他的好辦法，學生若能結合前面的結論，就會發(fā)現(xiàn)利用兩邊取模的方法更為簡潔。學生給出其他方法后，教師給予肯定的評價，學生的積極性會更為高漲。

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020：8.

［2］黃翔，童莉，李明振，等. 從“四基”“四能”到“三會”：一條培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的主線［J］. 數(shù)學教育學報，2019（5）：37-40.

［3］蔡金法，姚一玲. 數(shù)學“問題提出”教學的理論基礎和實踐研究［J］. 數(shù)學教育學報，2019（4）：42-47.

［4］李海東，郭玉峰. 普通高中教科書·數(shù)學：必修第一冊［M］. 北京：人民教育出版社，2019：230.

［5］單墫，李善良. 普通高中教科書·數(shù)學：必修第一冊［M］. 南京：江蘇鳳凰教育出版社，2020：213.