數(shù)學(xué)建模中的學(xué)習(xí)進(jìn)階

宗和杰 朱夕娣

〔摘? ? 要〕? 多媒體情境下小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中的學(xué)習(xí)進(jìn)階，從本質(zhì)上看描述的是學(xué)生對(duì)于某個(gè)學(xué)習(xí)內(nèi)容從低到高、由表及里、從感性到理性的思考方式，這些思考方式能隨著學(xué)生對(duì)這個(gè)主題的學(xué)習(xí)和探究依次連續(xù)發(fā)展。數(shù)學(xué)進(jìn)階能夠改變當(dāng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)模式，促進(jìn)學(xué)生在建模過程中對(duì)主題知識(shí)點(diǎn)的想法與理解程度逐漸精致化并趨于成熟，能夠真實(shí)地呈現(xiàn)知識(shí)學(xué)習(xí)的進(jìn)展情況和數(shù)學(xué)建模的逐步發(fā)展歷程。

〔關(guān)鍵詞〕? 學(xué)習(xí)進(jìn)階；課堂情境；數(shù)學(xué)建模

〔中圖分類號(hào)〕? G424? ? ? ? ? ? ? ? 〔文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼〕? A? ? ? ? ?〔文章編號(hào)〕? 1674-6317? ? （2024）? 07? ? 078-080

“雙減”背景下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)推崇高效課堂，核心思想是在有限的時(shí)間內(nèi)提質(zhì)增效。四十分鐘的課堂教學(xué)多數(shù)要涵蓋情境導(dǎo)入、自主學(xué)習(xí)、操作體驗(yàn)、合作交流、數(shù)學(xué)建模、回顧整理、練習(xí)反饋、總結(jié)反思、當(dāng)堂練習(xí)等諸多環(huán)節(jié)。在這些環(huán)節(jié)中，由于學(xué)生的原有知識(shí)基礎(chǔ)和思維方式、思維水平不同，其知識(shí)理解和運(yùn)用會(huì)出現(xiàn)分化比較嚴(yán)重的現(xiàn)象?；A(chǔ)好的學(xué)優(yōu)生會(huì)很快掌握知識(shí)點(diǎn)并能夠運(yùn)用，但是知識(shí)形成的過程和體會(huì)不夠深刻，前后知識(shí)的聯(lián)系和概念的準(zhǔn)確表述也存在諸多問題；一些基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生則僅僅能夠記住概念和方法，并且嘗試進(jìn)行模仿和運(yùn)用，效果自然不夠理想。

一、改變教學(xué)模式，呈現(xiàn)學(xué)習(xí)歷程

學(xué)習(xí)進(jìn)階也稱學(xué)習(xí)進(jìn)程，是對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)知識(shí)和解決問題中所遵循的連貫的、典型的學(xué)習(xí)路徑的描述，一般呈現(xiàn)為圍繞核心知識(shí)點(diǎn)展開的一系列由簡(jiǎn)單到復(fù)雜、層層遞進(jìn)的學(xué)習(xí)過程。數(shù)學(xué)課堂中的學(xué)習(xí)進(jìn)階，從本質(zhì)上看描述的是學(xué)生對(duì)于某個(gè)學(xué)習(xí)內(nèi)容從低到高、由表及里、從感性到理性的思考方式，這些思考方式能隨著學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)和探究依次連續(xù)發(fā)展。多媒體情境下的學(xué)習(xí)進(jìn)階能夠改變當(dāng)下數(shù)學(xué)課堂中的建模方式，促進(jìn)學(xué)生在建模過程中對(duì)知識(shí)點(diǎn)的想法與理解程度逐漸精致化并趨于成熟，能夠真實(shí)地呈現(xiàn)知識(shí)學(xué)習(xí)的進(jìn)展情況和數(shù)學(xué)建模的發(fā)展歷程。

學(xué)習(xí)進(jìn)階關(guān)注的是學(xué)生在知識(shí)建模過程中怎樣思考，而且通常會(huì)關(guān)注學(xué)生一開始的“錯(cuò)誤思考”，因?yàn)橛袝r(shí)這更能有效呈現(xiàn)學(xué)生在知識(shí)形成中層層遞進(jìn)、逐級(jí)上升的思考狀態(tài)。學(xué)習(xí)進(jìn)階并非一種自發(fā)過程，教師精心設(shè)計(jì)的情境和獨(dú)具魅力的教學(xué)方式，會(huì)促進(jìn)這種進(jìn)階的產(chǎn)生。學(xué)習(xí)進(jìn)階后的數(shù)學(xué)建模是引導(dǎo)學(xué)生逐步經(jīng)歷由具體到抽象的過程，反映了學(xué)生思維發(fā)展過程的普遍階段。學(xué)習(xí)進(jìn)階的路徑不是唯一的，課堂中學(xué)生的生成性資源也能夠形成多種進(jìn)階路徑。

二、關(guān)注進(jìn)階過程，優(yōu)化數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一般存在于多媒體創(chuàng)設(shè)的生活場(chǎng)景、問題情境或語(yǔ)言文字之中。數(shù)學(xué)教學(xué)要密切聯(lián)系學(xué)生的生活實(shí)際，從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)或已有知識(shí)出發(fā)，創(chuàng)設(shè)出各種符合學(xué)生知識(shí)切入口的數(shù)學(xué)情境。教師一步步地為學(xué)生提供從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的全過程，不斷激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的興趣。數(shù)學(xué)教學(xué)中的學(xué)習(xí)進(jìn)階要在情境中發(fā)生，在思維碰撞中遷移，在多元應(yīng)用中發(fā)展。

數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種基本方式，它為學(xué)生提供自主學(xué)習(xí)的空間，有助于學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用和價(jià)值，體驗(yàn)數(shù)學(xué)與日常生活以及其他學(xué)科間的聯(lián)系。多媒體情境下的數(shù)學(xué)建模，有助于學(xué)生在觀察、思考、動(dòng)手、對(duì)話中體驗(yàn)對(duì)問題的分析和抽象過程。知識(shí)學(xué)習(xí)像上臺(tái)階那樣由低到高、由點(diǎn)到面、由易到難，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，有助于學(xué)生對(duì)知識(shí)的消化和理解。學(xué)習(xí)進(jìn)階應(yīng)努力尋找常規(guī)教學(xué)和創(chuàng)新教學(xué)之間的平衡，在保持基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的教學(xué)之下，為學(xué)生創(chuàng)造各種機(jī)會(huì)，以感受、體驗(yàn)、經(jīng)歷數(shù)學(xué)研究活動(dòng)和建?；顒?dòng)。

學(xué)習(xí)進(jìn)階中的數(shù)學(xué)課堂不需要教師創(chuàng)造概念、公式之類的知識(shí)，但是要引領(lǐng)學(xué)生一步步地對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行理解。這就需要教師通過一個(gè)個(gè)具體的情境或問題，在一定的比較和“沖突”中優(yōu)化學(xué)生的建模思考，讓學(xué)生體會(huì)和領(lǐng)悟此類知識(shí)的多方面意義，從不同的角度分析和解決問題。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一般先讓學(xué)生進(jìn)行知識(shí)遷移，在小組合作中琢磨個(gè)性化的方法，然后通過學(xué)習(xí)進(jìn)階調(diào)整自己的思路，促進(jìn)學(xué)生理解知識(shí)和優(yōu)化方法。

【案例1】小數(shù)乘除法解決問題

一種花生，每噸可榨油0.35噸，38噸這種花生可榨油多少噸？榨3.5噸的油，需要多少噸花生？

〖課堂情境〗第一個(gè)問題比較簡(jiǎn)單，學(xué)生能夠分析出數(shù)量關(guān)系，列出乘法算式，但是對(duì)算理不能夠很好地理解。對(duì)第二個(gè)問題，學(xué)生不太容易分析出數(shù)量關(guān)系，列乘法算式和除法算式的學(xué)生人數(shù)相當(dāng)。

〖進(jìn)階過程〗

出示正方形方格圖，表示1噸花生，涂色部分表示榨出的0.35噸油。

通過演繹推理，得出38噸花生可以榨出的油是0.35噸的38倍，從而用乘法計(jì)算。

榨出3.5噸的油，也就是油擴(kuò)大10倍，因此需要的花生也得擴(kuò)大10倍，可以看圖直觀理解。

借助加法算式幫助理解。榨出1個(gè)0.35噸的油需要1噸花生，榨出2個(gè)0.35噸的油需要2噸花生……

0.35+0.35+0.35+0.35+0.35+0.35+0.35+0.35+0.35+0.35=3.5（噸）

3.5÷0.35=10（噸）

〖建模思考〗發(fā)現(xiàn)和提出問題是數(shù)學(xué)建模的起點(diǎn)。讓學(xué)生從情境中提煉出數(shù)字問題，作為數(shù)字探索的切入點(diǎn)，有利于學(xué)生在自然的狀態(tài)下，從生活向數(shù)學(xué)過渡，為有效的數(shù)學(xué)建模打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。算理是數(shù)學(xué)建模的重要內(nèi)容，利用“形”的生動(dòng)性、直觀性探索，感悟算理的形成過程，有助于對(duì)知識(shí)本質(zhì)的把握。學(xué)生從圖中對(duì)兩種數(shù)量進(jìn)行觀察、比較，運(yùn)用演繹推理得出算式，再通過從加法算式過渡到除法算式，不僅可以較為深刻地理解算理，也能促進(jìn)形象思維和邏輯思維的協(xié)調(diào)發(fā)展。

【案例2】有余數(shù)的除法

把10支彩筆分給小朋友，每人分2支，可以分給幾人？每人分3支、4支、5支呢？在小組里分一分，說一說。

〖課堂情境〗學(xué)生擺完小棒后教師組織反饋，告訴學(xué)生平均分有剩余時(shí)，分給幾人，還剩幾支，也可以寫成除法算式。教師板書：10÷3=3（人）……1（支），詢問學(xué)生算式中每個(gè)數(shù)據(jù)和單位的意思。存在問題：首先，教師對(duì)例題的呈現(xiàn)過于生硬，沒有發(fā)揮多媒體輔助情境的作用，沒有考慮學(xué)生現(xiàn)有經(jīng)驗(yàn)與有余數(shù)的除法之間的沖突；其次，在學(xué)生自主活動(dòng)過程中，學(xué)生機(jī)械性地就數(shù)字?jǐn)[數(shù)字，沒有就不同的情況展開討論；第三，在把平均分的過程改寫成除法時(shí)，比較生硬，銜接不夠自然，學(xué)生不能夠正確理解“商”和“余數(shù)”的關(guān)系。

〖進(jìn)階過程〗

請(qǐng)8位同學(xué)上臺(tái)來(lái)玩“抱一抱”的游戲，學(xué)生直觀結(jié)果，用除法表示8÷2=4?。強(qiáng)調(diào)這就是學(xué)過的平均分，平均分可以用除法算式表示。

再添一個(gè)人，就是9個(gè)人來(lái)玩。剛才抱一抱正好抱完了，這次會(huì)剩下1個(gè)人。9個(gè)人，每2人抱一抱，最后抱了4組，還剩一個(gè)人，這也是平均分。多媒體演示分的過程，學(xué)生觀察后提問：這次分法和剛才的平均分有什么不同？

再次用小棒擺一擺、說一說，體會(huì)過程。

看圖用手勢(shì)分一分，圈一圈，感受有余數(shù)的除法算式。

〖建模思考〗數(shù)學(xué)建模應(yīng)開放、有趣。教師應(yīng)因地制宜收集、編制、改造貼近學(xué)生生活實(shí)際的數(shù)學(xué)建模問題，同時(shí)注意問題的開放性與可擴(kuò)展性。教學(xué)中應(yīng)盡可能用多媒體創(chuàng)設(shè)一些合理、新穎、有趣的問題情境，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲。由游戲活動(dòng)過渡到操作體驗(yàn)、直觀表述、算式表示的進(jìn)階過程，符合低年級(jí)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，有助于解決學(xué)生心中的困惑。自主提問增加了問題的開放性，反饋匯報(bào)數(shù)形結(jié)合，使算式與具體圖像建立聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生更好地理解。

【案例3】倍的認(rèn)識(shí)

在學(xué)習(xí)“倍”之前，對(duì)兩個(gè)數(shù)量進(jìn)行比較，學(xué)生只會(huì)進(jìn)行“差比”，即提出“比多比少”的問題。由“差比”發(fā)展到“倍比”，是一個(gè)跨越。

〖課堂情境〗一是產(chǎn)生“比”的現(xiàn)實(shí)需要；二是豐富活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，在活動(dòng)中感悟。教師從生活情境入手，用比多、比少的方式引導(dǎo)學(xué)生回顧相差關(guān)系。但是過渡到倍數(shù)關(guān)系時(shí)，銜接不夠順暢，學(xué)生也很難真正理解。

〖進(jìn)階過程〗在復(fù)習(xí)相差關(guān)系后，不妨這樣設(shè)計(jì)例題：買4個(gè)皮蛋需要5元，買8個(gè)皮蛋需要多少元？教學(xué)進(jìn)階的5個(gè)層次如下。

讓學(xué)生說思路，多數(shù)學(xué)生會(huì)想到先求一個(gè)皮蛋的價(jià)錢，再求8個(gè)皮蛋的價(jià)錢，但是學(xué)生目前又無(wú)法求出一個(gè)皮蛋的價(jià)錢。因此“逼”著學(xué)生尋求別的方法。

用圓片代替皮蛋。8里面有2個(gè)4，每4個(gè)皮蛋5元，2個(gè)4就是10元。

看圖表述8和4之間的倍數(shù)關(guān)系。

增加4個(gè)圓片，表述12和4的倍數(shù)關(guān)系。

自己畫圖創(chuàng)造2倍和3倍。

〖建模思考〗數(shù)學(xué)建模活動(dòng)可以從學(xué)生熟悉的生活背景中遴選適切的、鮮活有趣的素材作為基本內(nèi)容，并有機(jī)融入教學(xué)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生以數(shù)學(xué)活動(dòng)的方式將待建數(shù)學(xué)模型的基本原理和邏輯雛形，從已有的生活經(jīng)驗(yàn)中激活并提取出來(lái)，用生活中的真實(shí)情境揭示、映射和鑒證數(shù)學(xué)本質(zhì)。學(xué)生按照常規(guī)思維無(wú)法解決特定的問題，這樣就逼著學(xué)生另辟蹊徑。經(jīng)歷找數(shù)量之間關(guān)系的進(jìn)階過程有助于學(xué)生真正認(rèn)識(shí)“倍”，有助于促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)意識(shí)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。

三、遵循認(rèn)知結(jié)構(gòu)，融入學(xué)習(xí)過程

學(xué)習(xí)進(jìn)階，是學(xué)生在數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)中的過程或流程。學(xué)習(xí)進(jìn)階基于知識(shí)結(jié)構(gòu)，遵循認(rèn)知結(jié)構(gòu)。學(xué)習(xí)進(jìn)階注重學(xué)生學(xué)的結(jié)構(gòu)和教師教的結(jié)構(gòu)有機(jī)融合，課堂中應(yīng)更多地呈現(xiàn)可操作性、可對(duì)比性的樣態(tài)。在數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)進(jìn)階之前，教師要注重學(xué)情調(diào)研、學(xué)理分析、學(xué)材開發(fā)等研究，將學(xué)習(xí)過程中的各要素、各環(huán)節(jié)看作一個(gè)系統(tǒng)，逐步逐層落實(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo)。學(xué)習(xí)進(jìn)階是一個(gè)遞進(jìn)、上升的過程，包括知識(shí)學(xué)習(xí)的思想、方法、情感、態(tài)度、價(jià)值等循環(huán)。通過不斷循環(huán)，加深理解、促進(jìn)內(nèi)化、拓寬視野、增進(jìn)知識(shí)。

學(xué)習(xí)進(jìn)階不僅僅是數(shù)學(xué)思維方式和水平的層層遞進(jìn)，也包括知識(shí)內(nèi)容的進(jìn)階，比如從淺層的知識(shí)到精深的知識(shí)，從單一的知識(shí)到綜合的知識(shí)，從一個(gè)方面的應(yīng)用到多個(gè)方面的應(yīng)用，等。教學(xué)中，教師要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)?；仡櫯c整理知識(shí)，使零散的知識(shí)在學(xué)生的大腦中主動(dòng)地進(jìn)行選擇、加工，實(shí)現(xiàn)重組與重構(gòu)。數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)進(jìn)階開始時(shí)起點(diǎn)要低，形式應(yīng)有利于更多學(xué)生參與，應(yīng)能與開展正常教學(xué)的教材內(nèi)容緊密結(jié)合。這種結(jié)合可以向兩個(gè)方向展開，一是教師應(yīng)有意識(shí)地向?qū)W生介紹知識(shí)產(chǎn)生、發(fā)展的背景；二是引導(dǎo)學(xué)生了解知識(shí)的功能及在實(shí)際生活中的作用，并從中找出數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)應(yīng)用的“切入點(diǎn)”，引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)中用，在用中學(xué)。

學(xué)習(xí)進(jìn)階在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用要融入具體數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)過程中，讓學(xué)生經(jīng)歷“問題情境—建立模型—解決問題—拓展運(yùn)用”的全過程。教學(xué)中教師要更好地關(guān)注學(xué)生如何一步步思考，如何在思維過程中保持積極性、主動(dòng)性、連貫性?！皩W(xué)習(xí)進(jìn)階”的每一個(gè)“階”描述了學(xué)生在學(xué)習(xí)“同一內(nèi)容”時(shí)的不同思考方式，數(shù)學(xué)教師只有堅(jiān)持運(yùn)用多媒體情境精心設(shè)計(jì)每一個(gè)“階”，課中有序發(fā)展一個(gè)個(gè)“階”，學(xué)生才能真正地學(xué)懂學(xué)深學(xué)透，課堂教學(xué)效率就一定能夠上一個(gè)臺(tái)階。

參考文獻(xiàn)

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