基于關(guān)聯(lián)離散變量的鋼框架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計

葛曉凡 曲爽

(山東建筑大學(xué)土木工程學(xué)院，濟(jì)南 250101)

引言

自我國改革開放以來，城鎮(zhèn)化建設(shè)大多使用傳統(tǒng)的鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)，其在水泥和鋼材的耗費(fèi)量以及建筑垃圾的產(chǎn)生量上非常龐大，這種通過犧牲環(huán)境的傳統(tǒng)發(fā)展方法已經(jīng)無法滿足現(xiàn)狀甚至是未來的需求，想要完成建筑的可持續(xù)發(fā)展，則需找出真正健康并且適用于當(dāng)前發(fā)展方向的方案，智能化、經(jīng)濟(jì)化、綠色化的鋼結(jié)構(gòu)建筑應(yīng)運(yùn)而生。相比傳統(tǒng)的鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)，鋼材除了有環(huán)保、可回收的優(yōu)點(diǎn)，更具有輕質(zhì)高強(qiáng)、材質(zhì)均勻、塑性、韌性更好等優(yōu)勢；同時，從資源的方面來看，2022 年我國產(chǎn)鋼量為134 033.5 萬t，在世界上位居首位，因此鋼結(jié)構(gòu)建筑在我國有著良好的發(fā)展前景。

結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計是要在滿足各種規(guī)范和特定結(jié)構(gòu)性能目標(biāo)的前提下，在結(jié)構(gòu)的成本和收益之間達(dá)到平衡點(diǎn)。尺寸優(yōu)化是結(jié)構(gòu)優(yōu)化最基本的形式之一，其優(yōu)化對象是構(gòu)件截面參數(shù)、模型的幾何尺寸等。在現(xiàn)有型鋼庫中[1]，不同構(gòu)件的截面參數(shù)是離散的、確定的，而相同截面的參數(shù)（如截面面積、慣性矩、截面高度）是關(guān)聯(lián)的，在優(yōu)化問題中可視為關(guān)聯(lián)離散變量[2,3]。在鋼結(jié)構(gòu)建筑中，空間鋼結(jié)構(gòu)是目前應(yīng)用較為廣泛的結(jié)構(gòu)形式，為推廣其性能化設(shè)計，必須對空間鋼結(jié)構(gòu)進(jìn)行整體結(jié)構(gòu)分析的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計，使原結(jié)構(gòu)更為經(jīng)濟(jì)、合理、安全。本文利用有限元軟件Abaqus 的計算模塊對某空間鋼框架[4]進(jìn)行分析計算，并使用Python 語言編寫子程序?qū)baqus 進(jìn)行二次開發(fā)，利用計算機(jī)程序自動高效地完成了整個離散優(yōu)化設(shè)計過程，得到了較為安全、合理、經(jīng)濟(jì)的設(shè)計結(jié)果。

1 結(jié)構(gòu)優(yōu)化分析過程

對結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計時需要先建立該問題的數(shù)學(xué)模型，然后根據(jù)該模型的特征選取不同的優(yōu)化策略，通過模型計算－數(shù)據(jù)驗(yàn)算－模型優(yōu)化的循環(huán)過程求得最優(yōu)解。Python 語言是一種面向?qū)ο蟮?、解釋型的、通用的、開源的腳本編程語言，在Abaqus 前處理和求解器之間使用的交互語言就是Python，同時在求解器以及后處理部分可以通過編寫Python 子程序和腳本實(shí)現(xiàn)二次開發(fā)，故Python 語言可以完全滿足對Abaqus二次開發(fā)的要求。本實(shí)驗(yàn)使用有限元分析軟件Abaqus中提供的Python 接口編寫優(yōu)化分析的子程序，對模型進(jìn)行離散參數(shù)化優(yōu)化設(shè)計。

在結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題中，凸優(yōu)化問題較為常見，即在凸集中求解目標(biāo)函數(shù)的最小化問題，對于凸優(yōu)化問題基本的優(yōu)化方法即進(jìn)行迭代計算。在本次優(yōu)化設(shè)計過程中，目標(biāo)函數(shù)為求解結(jié)構(gòu)總質(zhì)量的最小值，故本文的優(yōu)化方法采用迭代優(yōu)化方法，通過對目標(biāo)函數(shù)逼近將約束的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為非約束的優(yōu)化問題，從而求解離散優(yōu)化問題的全局最優(yōu)解。該方法適用于空間鋼框架的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計，流程圖如圖1 所示。通過驗(yàn)算模塊會得到兩個包含構(gòu)件驗(yàn)算結(jié)果的列表（succeed_part、failed_part），當(dāng)模型總質(zhì)量連續(xù)三次收斂后，程序會停止迭代計算，出于安全性的考慮，程序會在第三次收斂后對模型失效的構(gòu)件進(jìn)行增大設(shè)計，使該構(gòu)件的截面面積增大并再次進(jìn)行驗(yàn)算，最終得到一個安全、經(jīng)濟(jì)的優(yōu)化結(jié)果。

圖1 結(jié)構(gòu)優(yōu)化框架流程圖

2 結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型及分析

2.1 問題描述

某縮尺二層鋼框架，構(gòu)件均受豎向荷載，構(gòu)件的受荷情況以及初始參數(shù)如表1、表2 所示，模型的幾何布置圖和構(gòu)件布置圖分別如圖2、圖3（a）~（b）所示。

表1 構(gòu)件受荷情況

表2 初始構(gòu)件參數(shù)

圖2 有限元幾何模型

圖3 構(gòu)件布置圖（單位：mm）

2.2 材料參數(shù)

彈性模量：E ＝2?06×105MPa

泊松比：v ＝ 0.3

密度：ρ ＝ 7 800kg/m3

常溫強(qiáng)度設(shè)計值、常溫屈服強(qiáng)度值：根據(jù)鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范[5]取值；

鋼材本構(gòu)模型：選用二次塑流模型作為鋼材本構(gòu)，具體公式見文獻(xiàn)[6,7]中內(nèi)容。

2.3 空間鋼框架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型

進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計首先要建立實(shí)際工程問題的數(shù)學(xué)模型，然后選擇合適的優(yōu)化策略，一般來說，一個優(yōu)化問題主要有目標(biāo)函數(shù)、設(shè)計變量、約束條件三個要素?，F(xiàn)行規(guī)范中多采用極限狀態(tài)設(shè)計法，一般來說，極限狀態(tài)設(shè)計法可將結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)分為承載力極限狀態(tài)和正常使用極限狀態(tài)，當(dāng)結(jié)構(gòu)超過承載力極限狀態(tài)，即結(jié)構(gòu)發(fā)生了破壞[8]：

本次優(yōu)化問題以結(jié)構(gòu)可靠性為約束條件，即對于鋼框架梁，在結(jié)構(gòu)設(shè)計中屬于受彎構(gòu)件，以其強(qiáng)度、整體穩(wěn)定、撓度作為極限判別標(biāo)準(zhǔn)；對于鋼框架柱，在結(jié)構(gòu)設(shè)計中屬于壓彎構(gòu)件，以其截面強(qiáng)度、穩(wěn)定性作為極限判別標(biāo)準(zhǔn)。

桿件的各類截面參數(shù)如截面面積、回轉(zhuǎn)半徑、慣性矩、高度等是相互關(guān)聯(lián)的[1]，選定其中一個截面參數(shù)代表其相同截面的其他參數(shù)也被選定，故稱為關(guān)聯(lián)離散變量[2,3]。將規(guī)范型鋼庫中的H 型鋼的截面參數(shù)按截面面積大小排序，共得到130 個截面參數(shù)的集合：

式中：S為標(biāo)準(zhǔn)截面構(gòu)成的集合：為第i 個標(biāo)準(zhǔn)型鋼的截面參數(shù)的集合。文獻(xiàn)[9-12]中采用0-1 規(guī)劃處理關(guān)聯(lián)離散變量。

ti為0-1 變量，表示第i 個截面是否被選中，選中則取1，否則取0，本質(zhì)上是表征標(biāo)準(zhǔn)截面集合S 與構(gòu)件截面參數(shù)之間的映射關(guān)系。綜上所述，本文以空間鋼框架總質(zhì)量為目標(biāo)函數(shù)，構(gòu)件截面參數(shù)y 為設(shè)計變量，模型桿件的長度已經(jīng)確定，實(shí)際上本次優(yōu)化問題是在滿足結(jié)構(gòu)可靠性下的構(gòu)件最小截面面積問題，數(shù)學(xué)模型如下：

式中:ρ為鋼材密度,yj表示模型第j 個構(gòu)件的截面參數(shù)

約束條件：

空間鋼框架梁：

空間鋼框架柱：

式中，

Mx、My——同一截面處繞 x 軸和 y 軸的彎矩

γx、γy——截面塑性發(fā)展系數(shù)

Wnx、Wny——對 x 軸和 y 軸的凈截面模量；

Wx、Wy——對 x 軸和 y 軸的毛截面模量；

f——鋼材的抗彎強(qiáng)度設(shè)計值

?b——梁的整體穩(wěn)定性系數(shù)

V——當(dāng)前構(gòu)件最大撓度

lj——第j 個構(gòu)件的計算長度

N——所計算構(gòu)件范圍內(nèi)軸心壓力設(shè)計值

?x、?y——對強(qiáng)軸和弱軸的軸壓構(gòu)件穩(wěn)定系數(shù)

?bx、?by——考慮彎矩變化和荷載位置影響的受彎構(gòu)件整體穩(wěn)定系數(shù)

η——截面影響系數(shù)，工字型鋼為開口截面η取1.0

βmx、βmy——等效彎矩系數(shù)

N'Ex、N'Ey——取N'Ex、N'Ey=π2EA/(1.1λ2)

λ——強(qiáng)軸、弱軸長細(xì)比

An——當(dāng)前截面凈截面面積

A——當(dāng)前截面毛截面面積

下面將介紹構(gòu)件截面的優(yōu)化過程。以BEAM_1為例，BEAM_1 在優(yōu)化前的位移云圖如圖4（a）所示，此時其截面在型鋼庫中的編號為12，截面面積為16.68m2，當(dāng)程序判斷BEAM_1 失效時會將該構(gòu)件在型鋼庫中的編號加一，如圖4（b）所示，此時BEAM_1的編號為13，截面面積為17.58m2，通過對比優(yōu)化前后的位移云圖可以看出跨中位移明顯降低；同樣當(dāng)程序判斷構(gòu)件滿足驗(yàn)算后，會將該構(gòu)件在型鋼庫中的編號減一，減小截面面積，從而達(dá)到減少用料的目的。

圖4 構(gòu)件優(yōu)化前后位移云圖（單位：m）

2.4 計算模型

在Abaqus 中，在對大型結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析時，當(dāng)構(gòu)件的橫截面的尺寸相對于長度較小時，可以簡化為梁單元進(jìn)行分析，相比于實(shí)體單元，梁單元的計算速度更快，且在結(jié)構(gòu)優(yōu)化的過程中，關(guān)注的重點(diǎn)是模型的力學(xué)行為，故使用梁單元作為模型的單元類型。Abaqus有兩類梁單元，即歐拉－伯努力梁（B23、B23H、B33等）和鐵木辛克梁（B21、B31 及對應(yīng)的雜交單元等），其中鐵木辛克梁允許橫向剪切變形，適用于短梁，而歐拉－伯努力梁不允許橫向剪切變形，對于長梁可以采用歐拉－伯努力梁，對于短梁可以使用鐵木辛克梁，而介于長梁和短梁之間的構(gòu)件，兩種單元的計算結(jié)果區(qū)別較小[13,14]。文中模型的構(gòu)件多為長梁，故結(jié)構(gòu)分析采用B33 單元，即三次梁單元，模型使用米單位制。為保證模型計算精度，布種密度為0.1，模型共有1 065個結(jié)點(diǎn)，1 080 個梁單元。計算時，每個結(jié)點(diǎn)均有x、y、z 三個方向的轉(zhuǎn)角和位移，梁柱結(jié)點(diǎn)均采用剛性連接，荷載均為豎向的均布荷載。在模型中，x 軸為較長跨方向，y 軸為框架高度方向，z 軸為較短跨方向，框架底層的柱腳三個方向的轉(zhuǎn)動、位移均被約束。分析步采用靜力通用分析，輸出變量為結(jié)點(diǎn)應(yīng)力、截面軸力和彎矩、結(jié)點(diǎn)位移，計算分析模型如圖5 所示。

圖5 有限元計算模型

3 結(jié)果分析

經(jīng)過Abaqus 程序41 次優(yōu)化計算，得到空間鋼框架結(jié)構(gòu)優(yōu)化的最終結(jié)果。如表3、圖6 所示，隨著迭代次數(shù)的增加，模型構(gòu)件的截面和目標(biāo)函數(shù)不斷減小，模型重量最終在第34 次計算后開始收斂，并于第40次計算完成迭代，優(yōu)化后的結(jié)果鋼材用料比原結(jié)構(gòu)節(jié)約59.43%。從圖6 可以看出，模型中鋼梁變形最大處在跨中，這是因?yàn)槟Ｐ椭皇茇Q向的均布荷載的緣故，在梁柱節(jié)點(diǎn)處出現(xiàn)應(yīng)力集中現(xiàn)象，與優(yōu)化前相比結(jié)構(gòu)性能得以充分利用。

表3 模型總重量優(yōu)化結(jié)果

圖6 模型總重量變化圖（單位：kg）

一層、二層鋼梁在優(yōu)化過程中重量的變化如圖7（a）~（b）所示。從中可以看出，部分構(gòu)件（如beam1、11、13、24）基本在第八次計算結(jié)束后已經(jīng)開始收斂，同時如表4、表5 所示，外側(cè)縱梁的優(yōu)化程度較低，這是因?yàn)樵摌?gòu)件在原模型中就已經(jīng)接近設(shè)計上的極限，留給優(yōu)化的余地已經(jīng)很小了。構(gòu)件撓度隨著構(gòu)件截面減小增加，但最終仍滿足規(guī)范l/400 的要求。從構(gòu)件失效的原因來看，起主要控制作用的是撓度和穩(wěn)定性，其中構(gòu)件因?yàn)檎w穩(wěn)定性失效的次數(shù)更高，在設(shè)計中建議通過提高該構(gòu)件受壓翼緣的側(cè)向穩(wěn)定性來減少失效風(fēng)險。

表4 一層鋼梁優(yōu)化過程中參數(shù)變化

表5 二層鋼梁優(yōu)化過程中參數(shù)變化

圖7 鋼梁重量變化圖（單位：Kg）

模型中鋼柱的重量曲線如圖8（a）~（b）所示，在優(yōu)化前期基本重疊，這是模型的荷載對稱布置的原因。如表6、表7 所示，柱在原模型中的設(shè)計過于安全，經(jīng)過優(yōu)化后，鋼柱重量普遍為原構(gòu)件的55.483%~70.018%。鋼結(jié)構(gòu)的破壞形式中失穩(wěn)破壞最為常見，從模型中鋼柱的失效原因也可以看出平面外穩(wěn)定性起關(guān)鍵控制作用。

表6 一層鋼柱優(yōu)化過程中參數(shù)變化

表7 二層鋼柱優(yōu)化過程中參數(shù)變化

圖8 鋼柱重量變化圖（單位：kg）

4 結(jié)論

本文利用有限元軟件Abaqus 的計算模塊以及其Python 語言接口，通過編寫子程序?qū)崿F(xiàn)Abaqus 二次開發(fā)，對空間鋼框架離散優(yōu)化設(shè)計，以結(jié)構(gòu)可靠性為前提，利用計算機(jī)程序快捷、方便地完成了整個優(yōu)化設(shè)計過程，得到了經(jīng)濟(jì)安全的最優(yōu)設(shè)計結(jié)果。同時，本文分析了常見空間鋼框架模型中鋼梁和鋼柱的失效原因，并給出了相應(yīng)建議。本文的研究對實(shí)現(xiàn)鋼結(jié)構(gòu)性能化設(shè)計具有參考價值，也有一定的工程實(shí)際意義，從而推動鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計的智能化、經(jīng)濟(jì)化。