數(shù)學(xué)“微探究”活動的設(shè)計與實施

吳國文 黃暉明

【摘 要】數(shù)學(xué)探究活動在提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決數(shù)學(xué)問題的能力，孕育自主探究精神，培養(yǎng)創(chuàng)新人才中發(fā)揮著重要作用?！拔⑻骄俊笔菙?shù)學(xué)探究活動的“袖珍體”，重心置于探究方法的梳理和探究過程的開展上，有效解決了數(shù)學(xué)探究活動中活動時間長、思維跨度大、學(xué)生參與度低等問題。本文通過對微探究活動中探究問題的育人價值體現(xiàn)（為什么要探究）、探究內(nèi)容的合理重組（探究什么）、探究過程的自然開展（怎么探究）等要素進(jìn)行分析，嘗試設(shè)計并開展微探究活動。微探究活動過程中積累的探究經(jīng)驗和方法，可以為數(shù)學(xué)探究活動的有序開展提供參考。

【關(guān)鍵詞】中學(xué)數(shù)學(xué)；微探究；探究活動

數(shù)學(xué)探究活動是高中課程主題之一，它是運用數(shù)學(xué)知識解決數(shù)學(xué)問題的一類綜合實踐活動，在必修課程和選擇性必修課程中都有涉及。受課堂容量、教學(xué)進(jìn)度、是否為高考要求的內(nèi)容等因素影響，不同教師在引導(dǎo)學(xué)生完成數(shù)學(xué)探究活動時的安排各不相同。在實際教學(xué)中，教師若缺乏指導(dǎo)經(jīng)驗，則容易出現(xiàn)過度干預(yù)，探究問題不能啟迪學(xué)生深度思考，探究過程流于形式等問題，學(xué)生無法從活動中汲取經(jīng)驗。對數(shù)學(xué)探究活動內(nèi)涵、活動設(shè)計要素與活動開展過程進(jìn)行研究，可以幫助教師深入理解這一活動的意義，體會它的核心要義進(jìn)而指導(dǎo)教學(xué)，實現(xiàn)教育價值。

一、數(shù)學(xué)探究活動的內(nèi)涵及分類

數(shù)學(xué)探究活動是圍繞某個具體的數(shù)學(xué)問題，開展自主探究、合作研究并最終解決問題的過程，具體表現(xiàn)為：發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問題，猜測合理的數(shù)學(xué)結(jié)論，提出解決問題的思路和方案，通過自主探索、合作研究論證數(shù)學(xué)結(jié)論。［1］數(shù)學(xué)探究活動主要包括提出探究問題、制訂探究方案、開展探究過程、得出探究結(jié)果、形成探究反思等五個要素，各要素相互關(guān)聯(lián)構(gòu)成探究鏈，可具體劃分為初始期（弄清問題）、規(guī)劃期（制訂方案）、困難期（解決問題）、突破期（得出結(jié)論）、創(chuàng)新期（驗證結(jié)論）、反思期（交流評價）。［2］學(xué)生經(jīng)歷探究過程中的調(diào)查研究、實驗確認(rèn)、分析研討、表達(dá)交流并論證等學(xué)習(xí)活動，數(shù)學(xué)知識得以延伸與拓展，在領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識、掌握研究方法的同時，自主探索、合作交流和動手實踐的能力得以提升。

人教A版高中數(shù)學(xué)教科書中數(shù)學(xué)探究活動內(nèi)容包含知識發(fā)現(xiàn)與拓展、數(shù)學(xué)實驗、數(shù)學(xué)史、知識應(yīng)用、思想方法等，根據(jù)探究方法的不同，主要可分為推理型探究（注重邏輯推理）、應(yīng)用型探究（注重知識應(yīng)用）和實驗型探究（注重數(shù)學(xué)實驗）。筆者以教材中的“探究與發(fā)現(xiàn)”內(nèi)容為例，將數(shù)學(xué)探究活動進(jìn)行整理及歸類（見表1，標(biāo)注“*”的內(nèi)容為非高考內(nèi)容），便于教師把握探究主題、識別探究內(nèi)容、靈活選擇探究方法來開展數(shù)學(xué)探究活動。

二、“微探究”的內(nèi)涵及意義

仔細(xì)研讀表1所述數(shù)學(xué)探究活動案例可以發(fā)現(xiàn)，它們大多略去了發(fā)現(xiàn)問題、制訂方案的過程（即已經(jīng)給出探究問題，甚至設(shè)計好了探究思路），且探究重心置于探究方法的梳理和探究過程的開展上，探究結(jié)果更多指向的是數(shù)學(xué)微觀結(jié)論。在探究問題的引領(lǐng)下（或教師的指導(dǎo)下），學(xué)生自主或合作進(jìn)行有序探究活動，最終完成探究任務(wù)，本文將這樣的探究定義為“微探究”。

微探究屬于數(shù)學(xué)探究活動的“袖珍體”，是數(shù)學(xué)探究活動的類型之一。微探究既保留了數(shù)學(xué)探究活動的核心環(huán)節(jié)、優(yōu)勢與功能，又克服了數(shù)學(xué)探究活動中活動時間長、思維跨度大、學(xué)生參與度低等問題，具有“小而精”的特征，即時間跨度小、探究任務(wù)少、探究目標(biāo)精準(zhǔn)聚焦。微探究在實踐中具有操作靈活、問題容易解決、探究過程用時短、見效快等特征，更能適應(yīng)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)進(jìn)程及契合高中生的認(rèn)知特征。在微探究的過程中積累的探究經(jīng)驗和探究方法，可以幫助學(xué)生順利實施數(shù)學(xué)探究活動。

三、“微探究”活動設(shè)計與案例分析

如何有效利用教材中的探究素材，引領(lǐng)學(xué)生深度參與數(shù)學(xué)探究活動，對提高學(xué)生的問題意識，熟悉數(shù)學(xué)研究方法，發(fā)展數(shù)學(xué)探究能力至關(guān)重要。本文以“輔助角公式”為例對微探究活動的設(shè)計與開展進(jìn)行研究，以期為數(shù)學(xué)探究活動教學(xué)提供參考，實現(xiàn)以微探究撬動數(shù)學(xué)探究活動。

（一）“微探究”活動設(shè)計要素

微探究活動注重內(nèi)容探究性、活動自主性、思維深刻性。要達(dá)成上述三性，活動設(shè)計時需要重點考慮以下三個問題：一是探究問題的育人價值體現(xiàn)（為什么要探究）；二是探究內(nèi)容的合理重組（探究什么）；三是探究過程的自然開展（怎么探究）。

1.育人價值分析（為什么要探究）

微探究的目標(biāo)設(shè)計不能僅僅指向知識點的獲得，應(yīng)著重考慮知識形成背后蘊含的思想方法等隱性內(nèi)容，學(xué)生在探究過程中的感受與收獲，活動結(jié)束后積累的探究經(jīng)驗等育人價值。

輔助角公式是重要的三角恒等變換公式，主要作用是將同角的正、余弦線性結(jié)構(gòu)式子轉(zhuǎn)化為f（x）=Asin（[ωx+φ]）的結(jié)構(gòu)式，用以有效解決三角函數(shù)類問題。輔助角公式本質(zhì)上是一個處理三角函數(shù)式的工具，蘊含著模型化、轉(zhuǎn)化與化歸的思想，具備豐富的科學(xué)價值、應(yīng)用價值、文化價值。

首先，可以通過公式的推導(dǎo)與應(yīng)用，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)化繁為簡、化難為易的應(yīng)用價值，數(shù)學(xué)的工具性、實用性得到進(jìn)一步凸顯。其次，在實際教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生對于輔助角公式的推導(dǎo)，[φ]的由來、取值不清楚（教材中未給出輔助角公式的推導(dǎo)過程，受課時影響有的教師直接告知學(xué)生公式），導(dǎo)致在使用過程中頻頻受阻。因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生善于用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)身邊的問題（輔助角公式的由來），嘗試分析問題、解決問題，在問題的解決過程中提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價值。最后，以輔助角公式為知識探究背景滲透數(shù)學(xué)史（我國數(shù)學(xué)家李善蘭總結(jié)提出的輔助角公式推演過程），對學(xué)生實施思政教育，感受數(shù)學(xué)家積淀下來的數(shù)學(xué)成就，從而提升文化自信。

2.探究材料再加工（探究什么）

首先，教材中的微探究素材往往兼具綜合性和研究性，需要學(xué)生具有一定的探究方法、充足的知識儲備、較強的邏輯推理能力才能支撐探究活動的完成。其次，由于篇幅限制，教材的探究材料中內(nèi)容往往比較精簡，難以達(dá)成豐富的育人目標(biāo)?；谏鲜隹紤]，教師應(yīng)圍繞育人價值對探究材料進(jìn)行重新加工，整合形成新的探究素材。

探究輔助角公式的由來，體會輔助角公式在解決三角函數(shù)問題過程中的簡便性，感受我國的數(shù)學(xué)成就，提升文化自信等是本次探究活動的內(nèi)容，也是教學(xué)難點所在?；谥R發(fā)生發(fā)展和學(xué)生認(rèn)知過程合理性的考慮，筆者將教材中的內(nèi)容進(jìn)行補充及再加工，設(shè)計如下探究任務(wù)及過程：一是求y=sin x+cos x的最大值；二是制訂探究方案；三是求y=a sin x+b cos x的最大值（輔助角公式的推導(dǎo)）；四是公式來源介紹（數(shù)學(xué)家李善蘭的推導(dǎo)過程）。通過重構(gòu)探究素材，分解育人目標(biāo)。

3.驅(qū)動探究進(jìn)程（怎么探究）

總體而言，微探究的驅(qū)動過程可概括為大概念引路、問題鏈鋪路。

大概念可以被界定為反映專家思維方式的概念、觀念或論題，具有生活價值［3］，是對事物的性質(zhì)、特征以及事物間的內(nèi)在關(guān)系及規(guī)律的高度概括，具備抽象性、概括性、統(tǒng)攝性和廣泛遷移價值。按照大概念所在層級可以分為課程大概念、單元大概念、課時大概念，根據(jù)教學(xué)功能的不同，還可以將不同層級的大概念分為“是什么”“怎么學(xué)”“數(shù)學(xué)基本思想”等三類。［4］本節(jié)內(nèi)容可以提煉出如下大概念：輔助角公式是一種式子轉(zhuǎn)換模型，特殊到一般再到特殊是研究數(shù)學(xué)對象的常用方法，轉(zhuǎn)化與化歸是三角恒等變換的基本思想。從教學(xué)功能看，大概念具備知識技能和研究方法的雙重屬性，能將離散的知識結(jié)構(gòu)化、方法系統(tǒng)化，能統(tǒng)領(lǐng)課堂教學(xué)的有序展開。

問題鏈?zhǔn)菐椭鷮W(xué)生完成探究任務(wù)的腳手架，它是根據(jù)教學(xué)內(nèi)容及其蘊含的思維脈絡(luò)，立足學(xué)生認(rèn)知水平而設(shè)計的具有系統(tǒng)性、層次性、結(jié)構(gòu)化的問題序列，由橫向的主干問題及縱向的追問組成。［5］探究性問題鏈?zhǔn)窍鄬栴}鏈的教學(xué)功能而言的，是教師為學(xué)生自主、獨立地發(fā)現(xiàn)問題，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新能力而設(shè)計的富有思考性的問題鏈。探究性問題鏈為學(xué)生開展探究活動提供脈絡(luò)化探索路徑，是探究活動教學(xué)的核心，也是培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)探究能力的有效途徑。

探究性問題鏈的設(shè)計要遵循適切性、聯(lián)系性、層次性。適切性一是指問題的設(shè)計要適切活動主題，二是要針對班級學(xué)生，考量“兩個過程”（知識的發(fā)生發(fā)展過程及學(xué)生的認(rèn)知過程）的合理性。聯(lián)系性是指問題鏈中主干問題間具備知識（思想方法）的橫向關(guān)聯(lián)，主干問題與追問間具備思維的縱向關(guān)聯(lián)。層次性指問題由簡單到復(fù)雜逐步遞進(jìn)，形成組織嚴(yán)密、問問相扣、連貫一致的問題序列，促使學(xué)生有序思考，幫助學(xué)生體驗由具體到抽象、由低向高進(jìn)階的思維認(rèn)知過程。

基于以上分析，微探究的具體實施路徑可設(shè)計如下：先確定內(nèi)容大概念，在大概念的引導(dǎo)下融合學(xué)習(xí)任務(wù)及所蘊含的思維主線來設(shè)置主干問題，搭建問題鏈整體框架，構(gòu)建思維層次；隨后細(xì)化局部，設(shè)計追問，延展思維深度。不難發(fā)現(xiàn)，探究性問題鏈中主干問題是驅(qū)動數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展過程中的核心問題，追問是遵循學(xué)生認(rèn)知過程、聯(lián)結(jié)主干問題間的思維跨度、指引學(xué)生深入思考的重要問題。

（二）“微探究”活動案例分析

1.環(huán)節(jié)一：提出探究問題

【主干問題1】求函數(shù)y=sin x+cos x的最大值。

學(xué)生嘗試代入特殊值求解，得出[2]為最大值。

【追問1】特殊值法能窮盡x的所有取值嗎？

學(xué)生思考，并對最大值為[2]產(chǎn)生懷疑，尋求嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明。

【追問2】對于一般情形即y=a sin x+b cos x的式子，又該如何求最大值？

【設(shè)計意圖】基于學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，從簡單且熟悉的函數(shù)式入手求最值，提出新的矛盾與問題來引發(fā)學(xué)生的探究欲望。

2.環(huán)節(jié)二：制訂探究方案

【主干問題2】對于開展數(shù)學(xué)對象的研究，我們一般需要先做好哪些準(zhǔn)備？

學(xué)生先自行思考，在教師適當(dāng)引導(dǎo)后得出：開展數(shù)學(xué)研究需要有必要知識儲備和研究方法（可以先從特殊情況入手尋找解決問題的突破口，再將從特殊案例總結(jié)出的方式方法應(yīng)用于一般情形當(dāng)中）。

【追問】本次探究具體如何開展？

師生共同制訂探究方案：知識、方法梳理—尋找是否有類似題型或經(jīng)驗—開展特殊情形下的推理研究—開展一般情形下的推理—得出結(jié)論—總結(jié)反思。

【設(shè)計意圖】設(shè)計問題，引導(dǎo)學(xué)生對“如何研究”“如何開展”等一般性問題進(jìn)行深入思考，幫助學(xué)生形成探究方法（大概念）。

3.環(huán)節(jié)三：開展探究過程

根據(jù)制訂的探究方案開展探究：梳理相關(guān)知識、方法、經(jīng)驗，選擇特殊情形，教師可根據(jù)學(xué)生尋找（選?。┑奶乩M(jìn)行適當(dāng)指引、展示。教師可以展示以下特例：

化簡：（1）[12cos x]-[32sin x]；（2）[3sinx]+cosx；（3）[2（sinx-cosx）。]

【主干問題3】這三道題是基于什么樣的方式化簡得來？

學(xué)生歸納出基于兩角和（差）的正弦、余弦公式的逆用（需保證兩個系數(shù)的平方和為1，不為1的情形需先配湊再進(jìn)行轉(zhuǎn)化），將線性式子化簡為形如f（x）=Asin（[ωx+φ]）或f（x）=Acos（[ωx+φ]）的結(jié)構(gòu)式，本質(zhì)為公式逆用，化簡技巧為將兩個系數(shù)分別配湊為同一個角的正弦值和余弦值。

【追問1】可以借鑒上述方法求y=a sin x+b cos x的最大值嗎？

學(xué)生思考并歸納思路，將線性式子化簡為形如y=Asin（[ωx+φ]）的結(jié)構(gòu)式即可求出最大值。學(xué)生對式子進(jìn)行配湊，得到y(tǒng)=[a2+b2]（[aa2+b2]sin x+[ba2+b2]cos x）=[a2+b2]sin（x+[φ]），其中sin[φ]=[ba2+b2]，cos[φ]=[aa2+b2]，tan[φ]=[ba]。

【追問2】根據(jù)公式化簡①y=sin x+cos x，②y=sin x-cos x。

【追問3】[φ]為何取和-？取和可以嗎？

對于①式，教師引導(dǎo)學(xué)生分析tan[φ]=[ba]=1，[φ]=+[k]，[sinφ]=[ba2+b2]=[12]，[cosφ]=[aa2+b2]=[12]，角[φ]的終邊在第一象限；對于②式，[sinφ]=[ba2+b2]=-[12]，[cosφ]=[aa2+b2]=[12]，角[φ]的終邊在第四象限，得出結(jié)論[φ]的取值與點（a，b）同象限，特別當(dāng)a＞0時，[φ]可以在（-，）取值。

【設(shè)計意圖】輔助角公式的推導(dǎo)與應(yīng)用難點在于化簡思路的由來及[φ]的取值。通過探究方法的提前指引和化簡經(jīng)驗的梳理，可以突破“思路難”的問題；結(jié)合特例設(shè)計追問深入探究[φ]的取值，從公式逆用的角度學(xué)生容易明白為何選取第一、第四象限角，通過問題鏈化解學(xué)生“行路難”問題。

4.環(huán)節(jié)四：得出探究結(jié)果

學(xué)生整理探究結(jié)果，教師展示我國數(shù)學(xué)家李善蘭對輔助角公式的推演過程。

【設(shè)計意圖】滲透數(shù)學(xué)史，展示我國的數(shù)學(xué)積淀與成就，提升文化自信。

5.環(huán)節(jié)五：形成探究反思

【主干問題4】能說說你是如何推導(dǎo)出輔助角公式的嗎？

學(xué)生自主回顧公式推導(dǎo)過程，提煉出特殊到一般的探究方法，積累探究經(jīng)驗。

【追問】本節(jié)課我們基于兩角和與差的正弦公式逆用推導(dǎo)出了輔助角公式，你能用兩角和與差的余弦公式逆用來推導(dǎo)出另一種公式形式嗎？請大家課后完成。

【設(shè)計意圖】歸納總結(jié)出知識背后的隱性價值（探究方法、探究經(jīng)驗等）是進(jìn)行探究反思的重點之一，配以具體案例的回顧，學(xué)生再次回顧探究經(jīng)歷，對探究過程和方法進(jìn)行深入思考，從而積累探究經(jīng)驗。本環(huán)節(jié)的追問為課堂留白，可以促進(jìn)學(xué)生對本節(jié)課探究方法的持續(xù)思考，再次鞏固本節(jié)內(nèi)容的大概念。

四、“微探究”活動教學(xué)建議

1.做真實、完整的探究活動

微探究活動需要學(xué)生儲備扎實的基礎(chǔ)知識和科學(xué)的探究方法。一開始學(xué)生是畏難的，要扭轉(zhuǎn)這樣的局面，關(guān)鍵在于探究活動的吸引力。這種吸引力是建立在探究問題的真實性和探究過程的完整性之上?！罢鎸崱币恢盖榫车恼鎸?，即創(chuàng)設(shè)展示知識發(fā)展的真實脈絡(luò)的情境；二指問題的真實，即在情境中提出符合學(xué)生真實思維水平的問題。學(xué)生要經(jīng)歷探究活動的完整過程，在解決真實問題的過程中習(xí)得探究經(jīng)驗和探究方法。完整的數(shù)學(xué)探究過程可以讓學(xué)生經(jīng)歷遭受挫折、吸取經(jīng)驗教訓(xùn)、克服困難、尋找解決辦法等，從而收獲深刻的成就感與實踐體驗，體會到數(shù)學(xué)探究活動的樂趣所在，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生開展下一次探究的興趣和勇氣。

2.大概念引領(lǐng)，問題鏈驅(qū)動，促進(jìn)探究過程有的放矢

大概念是數(shù)學(xué)探究活動設(shè)計及開展的“靈魂”，問題鏈為大概念的滲透和理解提供脈絡(luò)化探索路徑，為學(xué)生的數(shù)學(xué)探究引路。微探究活動的問題設(shè)計在“何種探究方法”“形成何種探究策略”等方面加強指導(dǎo)并給出明確提示，幫助學(xué)生梳理出科學(xué)探究方法等數(shù)學(xué)探究活動中的大概念?！爸鞲蓡栴}+追問”的問題鏈形式使探究主題明確，思維層次分明，從而驅(qū)動探究活動的自然進(jìn)行。大概念引領(lǐng)、問題鏈驅(qū)動能使學(xué)生有序地進(jìn)行探究活動，引發(fā)與大概念相關(guān)的持續(xù)性思考，逐步引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷大概念的建構(gòu)過程，達(dá)成知識的深度理解，收獲探究經(jīng)驗。

3.強化探究反思，提升探究素養(yǎng)

探究反思包括對探究問題、探究方法、探究過程及探究結(jié)果等內(nèi)容的反思。探究者借助高階思維與批判性眼光對探究活動的各個要素與環(huán)節(jié)進(jìn)行重新審視，運用逆向思維，經(jīng)歷“結(jié)果—過程—方法—問題”的反思步驟，對問題的價值性、方法的科學(xué)性、過程的合理性、結(jié)果的準(zhǔn)確性進(jìn)行診斷和分析。學(xué)生能在反思的過程中積累微探究活動的經(jīng)驗，提高探究數(shù)學(xué)問題的積極性，掌握科學(xué)探究方法，從而提升探究素養(yǎng)。

數(shù)學(xué)探究活動較之微探究更具廣泛性和系統(tǒng)性，而微探究活動可以為其提供探究經(jīng)驗和方法，眾多的微探究可以匯聚整合成為數(shù)學(xué)探究活動的指導(dǎo)手冊，撬動數(shù)學(xué)探究活動的有效開展，助力數(shù)學(xué)探究活動在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中常態(tài)化應(yīng)用。

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020：35.

［2］張定強，裴陽.“數(shù)學(xué)探究活動”的機制性分析［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2022（6）：15-18.

［3］劉徽.“大概念”視角下的單元整體教學(xué)構(gòu)型：兼論素養(yǎng)導(dǎo)向的課堂變革［J］. 教育研究，2020（6）：64-77.

［4］黃暉明. 大概念引領(lǐng)下高中數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計：以“數(shù)列求和”為例［J］. 教學(xué)月刊·中學(xué)版（教學(xué)參考），2023（6）：30-33.

［5］黃暉明. 數(shù)學(xué)問題鏈：讓課堂煥發(fā)思維活力：例析“兩個過程合理性”下的探究性問題鏈設(shè)計［J］. 中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2022（9）：39-42.

（責(zé)任編輯：潘安）

【作者簡介】吳國文，高級教師，廈門市骨干教師；黃暉明，一級教師，廈門市骨干教師。

【基金項目】中國教育學(xué)會2021年度教育科研一般規(guī)劃課題“深度學(xué)習(xí)下的高中數(shù)學(xué)原理課教學(xué)情境與問題創(chuàng)設(shè)的實踐探究”（202135020304B）