凸顯角本質(zhì)的學(xué)習(xí)路徑研究：初識(shí)角的概念

鞏子坤 許佳敏 張芳銘 黃旭冉

【摘 要】角是學(xué)生認(rèn)識(shí)幾何圖形的起點(diǎn)，但教材與教學(xué)關(guān)注較多的是不同角的性質(zhì)，而不是角的本質(zhì)。文章提出凸顯角本質(zhì)的“角的初步認(rèn)識(shí)”單元整體教學(xué)，并展示第一課時(shí)“初識(shí)角的概念”。研究者通過教學(xué)實(shí)踐與研討，得到完善的學(xué)習(xí)路徑：基于現(xiàn)實(shí)角，抽象出圖形角；通過分類，探索角的特征，得到數(shù)學(xué)角；通過創(chuàng)造角，理解角的特征。由此提出教學(xué)建議：借助分類，初識(shí)角的概念；動(dòng)手創(chuàng)造角，直觀感知角的特征。

【關(guān)鍵詞】角；角的本質(zhì)；角的概念；學(xué)習(xí)路徑

一、研究緣起

角是組成幾何圖形的基本要素之一。人教版數(shù)學(xué)教材將角的認(rèn)識(shí)分為兩個(gè)階段。第一階段為二年級(jí)上冊(cè)“角的初步認(rèn)識(shí)”。首先，學(xué)生通過生活情境直觀認(rèn)識(shí)有“尖尖的頂點(diǎn)、直直的邊”的圖形是角。其次，學(xué)生從生活中抽象出“直直的角”是直角，并用直角比一比，知道比直角小的是銳角，比直角大的是鈍角。第二階段為四年級(jí)上冊(cè)“角的度量”。首先，學(xué)生在認(rèn)識(shí)線段、射線、直線的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)角的描述性定義，即從一點(diǎn)引出兩條射線所組成的圖形叫作角。其次，學(xué)生通過比較角的大小的任務(wù)，引出度量角的單位——度，以及度量角的工具——量角器，學(xué)習(xí)如何度量角。最后，學(xué)生根據(jù)角的動(dòng)態(tài)定義（角可以看作由一條射線繞著它的端點(diǎn)，從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形）學(xué)習(xí)平角與周角，了解周角、平角、鈍角、直角、銳角之間的大小關(guān)系。整個(gè)邏輯看似層層遞進(jìn)，實(shí)則忽視了非常重要的問題：什么是角的大?。吭鯓颖容^角的大??？是邊更長(zhǎng)，還是覆蓋面積更大？量角器是在度量角的什么？為什么使用大小不同的量角器度量出的角的大小是相同的？這些都是困擾學(xué)生但教材未解釋的問題。究其原因，是教材未講明角的本質(zhì)是什么。

何謂角的本質(zhì)？歐幾里得認(rèn)為，平面角是一個(gè)平面上兩條線之間的傾斜，它們相交且不在一條直線上。［1］我們對(duì)這個(gè)說法做了通俗的解釋，認(rèn)為角的本質(zhì)是一條直線相對(duì)于另一條直線的傾斜度。［2］但傾斜度對(duì)于學(xué)生而言不易理解，要讓學(xué)生在初次學(xué)習(xí)角時(shí)就理解角的本質(zhì)，則需要找到一種能使傾斜度直觀呈現(xiàn)的外顯方式。

江春蓮提出，如果從角的本質(zhì)來說，“張開度”則更為關(guān)鍵。研究角的目的不是研究它的邊，而是研究張開度。［2］角的動(dòng)態(tài)定義中雖然沒有提及張開度，但暗含了“轉(zhuǎn)動(dòng)的多少”，而射線繞端點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)過程，就是形成張開度的過程，也就是產(chǎn)生傾斜度的過程。相比于傾斜度和張開度，“轉(zhuǎn)動(dòng)的多少”不僅更加形象直觀，而且與之后要學(xué)習(xí)的弧度制有異曲同工之處（弧度制本質(zhì)上就是用轉(zhuǎn)動(dòng)生成的弧長(zhǎng)來度量角的大?。?，貫穿了角學(xué)習(xí)的始終。因此，“轉(zhuǎn)動(dòng)的多少”可以嘗試作為角本質(zhì)外顯的呈現(xiàn)方式。

為初步了解學(xué)生對(duì)角本質(zhì)的理解情況，筆者對(duì)6名二年級(jí)學(xué)生進(jìn)行單元前測(cè)及訪談。學(xué)生需要判斷正方形的四個(gè)角是否相等，以及沿折痕剪下來后，四個(gè)角是否仍然相等（如圖1）。測(cè)試與訪談的結(jié)果顯示：在未剪下角時(shí)，所有學(xué)生都認(rèn)為四個(gè)角相等；沿折痕剪下角后，僅有1名學(xué)生堅(jiān)持認(rèn)為四個(gè)角相等，并能說出理由，其他學(xué)生因?yàn)榻堑摹斑呴L(zhǎng)”、覆蓋的“面積”發(fā)生變化而改變了答案。由此可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)角本質(zhì)的認(rèn)識(shí)比較模糊，容易受邊長(zhǎng)的長(zhǎng)短、覆蓋面積的大小等非本質(zhì)因素的影響，需要教師的引導(dǎo)。

隨后，教師讓學(xué)生任意畫一個(gè)角或幾個(gè)角，發(fā)現(xiàn)有4名學(xué)生借助三角尺，把三角尺的角描了下來（如圖2）。可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)角的認(rèn)識(shí)只停留在現(xiàn)實(shí)生活中的角，無法從中抽象出數(shù)學(xué)中的角，因此才會(huì)在利用三角尺畫角時(shí)保留三角尺上因磨損而出現(xiàn)的“圓圓的頂點(diǎn)”。故學(xué)生在對(duì)角本質(zhì)進(jìn)行認(rèn)識(shí)之前，需要先經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)世界到數(shù)學(xué)世界的過程，理解角的特征，初識(shí)角的概念。

綜上，本研究提出凸顯角本質(zhì)的“角的初步認(rèn)識(shí)”單元整體教學(xué)，共分為“初識(shí)角的概念”“體驗(yàn)、認(rèn)識(shí)角本質(zhì)”“鞏固、運(yùn)用角本質(zhì)”三個(gè)課時(shí)。本文研究第一課時(shí)“初識(shí)角的概念”，要解決的問題為：“初識(shí)角的概念”學(xué)習(xí)路徑中的關(guān)鍵任務(wù)是什么？與原教材相比，該路徑在幫助學(xué)生理解角的概念上的效果如何？

二、研究設(shè)計(jì)

（一）研究對(duì)象

選取YH小學(xué)二年級(jí)的甲、乙兩個(gè)班作為教學(xué)班，兩個(gè)班各有30名學(xué)生，班級(jí)總體水平一致，由教師A按照本研究設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)路徑進(jìn)行備課、授課。

（二）研究流程

學(xué)習(xí)路徑優(yōu)化、完善的具體流程如圖3所示。

（三）問卷及數(shù)據(jù)處理

后測(cè)題目一共有5道小題，要求學(xué)生判斷給出的圖形是否為角，并說明理由（如圖4）。后測(cè)題目主要考查學(xué)生對(duì)角的概念中“兩條邊是否搭牢”“尖尖的頂點(diǎn)”“直直的邊”等概念是否已經(jīng)掌握。

教師對(duì)學(xué)生的作答情況進(jìn)行賦分，判斷正確并能說出理由記2分，判斷正確但不能說明理由記1分，判斷錯(cuò)誤記0分，最后統(tǒng)計(jì)總分。

三、研究結(jié)果與分析

（一）學(xué)習(xí)路徑的設(shè)計(jì)與實(shí)施

為探究得到完善的學(xué)習(xí)路徑，本研究經(jīng)歷了三次教學(xué)設(shè)計(jì)、兩次教學(xué)實(shí)踐及多次教學(xué)研討。由于篇幅有限，只呈現(xiàn)在乙班開展的優(yōu)化的學(xué)習(xí)路徑A2（如圖5）。

任務(wù)1：經(jīng)歷現(xiàn)實(shí)角到圖形角的過渡

教師先從生活中的角入手，詢問學(xué)生現(xiàn)實(shí)生活中有哪些角，學(xué)生的回答只要滿足角的特征即可。隨后，教師呈現(xiàn)生活中角的圖片，讓學(xué)生找出其中的角，并描一描。由此，教師帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)角到圖形角的過渡，為下一個(gè)環(huán)節(jié)——角的分類做鋪墊。

任務(wù)2：通過分類，探索角的特征

教師呈現(xiàn)任務(wù)1中學(xué)生描出來的“角”（如圖6），讓學(xué)生圈一圈、勾一勾，將“角”進(jìn)行分類，并引導(dǎo)學(xué)生說明分類的依據(jù)。教師在呈現(xiàn)分類情況、歸納角的特征時(shí)，要兼顧“兩邊是否是直的”“兩邊是否搭牢”兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，歸納出角的特征：有一個(gè)尖尖的頂點(diǎn)和兩條直直的邊，從而幫助學(xué)生初步建立對(duì)角的認(rèn)識(shí)。以下是部分課堂實(shí)錄。

師：我們把圖形分成①②③④、⑤⑥⑦、⑧三類，因?yàn)棰佗冖邰芏际侵钡?，⑤⑥⑦都是彎的，⑧雖然也是直的，但中間沒有搭牢，單獨(dú)分為一類。像①②③④這樣的角，就是我們數(shù)學(xué)中要學(xué)習(xí)的角。你能說一說它們有什么共同點(diǎn)嗎？

生：它們的邊都是直直的，而且都搭牢了。

師：那么這個(gè)搭牢的地方，它有什么特點(diǎn)呢？

生：它是尖尖的。

師：這個(gè)尖尖的地方我們叫作頂點(diǎn)。像這樣，有一個(gè)尖尖的頂點(diǎn)和兩條直直的邊的圖形，就是數(shù)學(xué)中的角。

任務(wù)3：通過創(chuàng)造角，理解角的特征

在學(xué)生初識(shí)角的概念之后，教師提供毛線、小棒和圓紙片等材料，讓學(xué)生任意選取材料創(chuàng)造角，并指出該角的頂點(diǎn)和邊。學(xué)生通過動(dòng)手操作，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，加深了對(duì)角的概念的認(rèn)識(shí)。在學(xué)生展示環(huán)節(jié)，教師首先引導(dǎo)學(xué)生回憶創(chuàng)造角的過程，然后根據(jù)學(xué)生選擇的材料特點(diǎn)有針對(duì)性地進(jìn)行提問，引導(dǎo)學(xué)生意識(shí)到毛線需要拉直才能創(chuàng)造出兩條直直的邊，而將兩根毛線都拉直且一端要搭牢則需要借助三顆圖釘。以下是部分課堂實(shí)錄。

師：請(qǐng)選擇毛線的同學(xué)來說一說，你是怎么做的？用了幾顆圖釘？

生：我先在泡沫板上釘一顆圖釘，讓毛線繞過這顆圖釘，這樣就變成了兩條線，然后再用兩顆圖釘分別固定這兩條線，一共用了三顆圖釘（如圖7）。

師：這些圖釘有什么作用？

生：（指向固定一條邊的圖釘）如果沒有圖釘，那么這里的邊就不直。

師：還有什么作用嗎？

生：左邊這個(gè)圖釘可以作為角的頂點(diǎn)。

師：你覺得這兩根毛線做的都是角嗎？

生：（指向右邊的角）這個(gè)不是，它的邊要是再直一點(diǎn)就是了。

師：怎么再直一點(diǎn)呢？

生：使勁拉一下，讓毛線繃緊。

（二）學(xué)習(xí)路徑的教學(xué)效果與分析

在優(yōu)化的學(xué)習(xí)路徑A2實(shí)施后，對(duì)乙班進(jìn)行后測(cè)，并將甲、乙兩個(gè)班的后測(cè)結(jié)果進(jìn)行比較，得分情況如圖8所示。

比較甲、乙兩個(gè)班的成績(jī)，發(fā)現(xiàn)T2和T5的正確率得到提升，特別是T5的提升幅度較大。對(duì)甲、乙兩個(gè)班學(xué)生的后測(cè)得分進(jìn)行獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)。通過分析整體得分情況，發(fā)現(xiàn)乙班學(xué)生的正確率優(yōu)于甲班，他們對(duì)角的概念的認(rèn)識(shí)更加深刻；通過分析T1、T3、T4的得分情況，發(fā)現(xiàn)甲、乙兩個(gè)班的學(xué)生對(duì)角的概念已經(jīng)具備了初步的認(rèn)識(shí)——有兩條直直的邊，并且兩條邊需要搭牢；通過比較T2的得分情況，發(fā)現(xiàn)甲、乙兩個(gè)班并不存在顯著差異，說明兩個(gè)班的學(xué)生均能意識(shí)到角需要尖尖的頂點(diǎn)，而乙班的得分率高于甲班，說明乙班的學(xué)生對(duì)角的概念的認(rèn)識(shí)更全面、更深刻；通過比較T5的得分情況，發(fā)現(xiàn)乙班的學(xué)生不僅能判斷出該圖形為角，還能準(zhǔn)確說出該圖形存在三個(gè)角（如圖9）。以上說明優(yōu)化的學(xué)習(xí)路徑A2有利于加強(qiáng)學(xué)生對(duì)角的概念的認(rèn)識(shí)。

結(jié)合以下訪談結(jié)果（F表示訪談?wù)撸琒表示學(xué)生），發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生對(duì)角的概念已經(jīng)具有初步的認(rèn)識(shí)。

F：你怎么判斷一個(gè)圖形是角呢？

S1：看它有沒有尖尖的頂點(diǎn)把兩條直直的邊連起來。

S2：有兩條直直的邊，它們需要搭牢，還有一個(gè)尖尖的頂點(diǎn)。

結(jié)合后測(cè)得分率與學(xué)生訪談結(jié)果，發(fā)現(xiàn)優(yōu)化的學(xué)習(xí)路徑A2能有效幫助學(xué)生更好地建立對(duì)角的概念的認(rèn)識(shí)。

當(dāng)然，優(yōu)化的學(xué)習(xí)路徑A2也存在可完善之處，即在任務(wù)3中，學(xué)生還可以使用小棒來創(chuàng)造角。用小棒來創(chuàng)造角的特點(diǎn)是，兩根小棒代表角的兩條直直的邊，并且兩根小棒一定要搭牢才能形成尖尖的頂點(diǎn)。因此，這是帶領(lǐng)學(xué)生直觀感知角的特征的一個(gè)良好載體。但由于時(shí)間限制，教師沒有讓學(xué)生展示用小棒創(chuàng)造的角，因此也沒有讓學(xué)生體會(huì)其中的思想。

由于實(shí)施優(yōu)化的學(xué)習(xí)路徑A2在很大程度上滿足了預(yù)期的學(xué)習(xí)目標(biāo)，且最終完善的學(xué)習(xí)路徑A3與A2相差不大，故不再詳述。

四、結(jié)論與建議

本研究通過三次教學(xué)設(shè)計(jì)、兩次教學(xué)實(shí)踐及多次教學(xué)研討，最終得到了完善的“初識(shí)角的概念”學(xué)習(xí)路徑A3，即先基于現(xiàn)實(shí)角，抽象出圖形角，再通過分類，探索角的特征，得到數(shù)學(xué)角，最后通過創(chuàng)造角，理解角的特征。其中的關(guān)鍵學(xué)習(xí)任務(wù)是對(duì)角的分類與描述，學(xué)生通過該任務(wù)得到角的特征。研究表明，與教材中的學(xué)習(xí)路徑相比，本研究設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)路徑能更好地幫助學(xué)生初識(shí)角的概念，為理解角的本質(zhì)打好基礎(chǔ)。因此，筆者對(duì)教學(xué)提出如下建議。

（一）借助分類，初識(shí)角的概念

史寧中指出，學(xué)習(xí)圖形要經(jīng)歷分類的過程。通過分類，找到本質(zhì)；基于本質(zhì)，分辨角。分類的過程就是觀察的過程，對(duì)于二年級(jí)學(xué)生來說，通過直接觀察進(jìn)行分類是容易的，但闡述分類依據(jù)比較困難，這是因?yàn)閷W(xué)生的分類標(biāo)準(zhǔn)更多依靠“直觀感覺”，而不是數(shù)學(xué)特征。因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生用自己的語言概括分類標(biāo)準(zhǔn)，描述圖形的特征，這是學(xué)生用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界的過程。如“搭牢”“直直的”等詞，就是學(xué)生從具體到抽象、從現(xiàn)實(shí)世界走向數(shù)學(xué)世界較好的腳手架與固著點(diǎn)。

（二）動(dòng)手創(chuàng)造角，直觀感知角的特征

為學(xué)生提供毛線、小棒等材料，讓學(xué)生動(dòng)手創(chuàng)造角，這個(gè)過程是學(xué)生將自己所理解的角的特征進(jìn)行具體呈現(xiàn)。其中，毛線還含有數(shù)學(xué)思想，用它來創(chuàng)造角的過程滲透了兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)：一是兩點(diǎn)確定一條直線，因此需要用三顆圖釘來固定兩條直線（一點(diǎn)重合，作為頂點(diǎn)，另兩點(diǎn)固定，線拉直）；二是繃緊了才是直直的。這些看似基礎(chǔ)的概念性知識(shí)，事實(shí)上都是學(xué)生認(rèn)知發(fā)展中根本的、具有生長(zhǎng)性的知識(shí)，更需要讓學(xué)生去深刻體會(huì)。

參考文獻(xiàn)：

［1］歐幾里得.幾何原本［M］.張卜天，譯.北京：商務(wù)印書館，2020.

［2］鞏子坤，江春蓮，張奠宙.把握線、角的本質(zhì)，溝通線、角的聯(lián)系［J］.教育視界，2018（12）：4-7.

（責(zé)任編輯：羅小熒）

【作者簡(jiǎn)介】鞏子坤，教授，博士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)榛A(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程改革的理論與實(shí)踐；許佳敏，中學(xué)數(shù)學(xué)教師，主要研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)課堂教學(xué)；張芳銘，在讀碩士研究生，主要研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)教育；黃旭冉，小學(xué)數(shù)學(xué)教師，主要研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)教育。

【基金項(xiàng)目】2023年度浙江省哲學(xué)社會(huì)科學(xué)規(guī)劃課題“基于認(rèn)知發(fā)展模型的義務(wù)教育教科書編寫質(zhì)量提升研究”（23NDJC265YB）；2021—2022年度浙江省高校重大人文社科攻關(guān)計(jì)劃項(xiàng)目“建設(shè)高質(zhì)量教育體系背景下義務(wù)教育教科書編寫質(zhì)量提升路徑研究”（2023GH005）