運動合成與分解中關(guān)于“道”與“術(shù)”的思考
——2023年北京高考實驗題賞析

孫德峰 劉 芳

(1. 北京市第十二中學(xué),北京 100071; 2. 北京教育學(xué)院豐臺分院,北京 100073)

1 試題解析

2023年北京卷第16(4)題:以頻閃照相記錄平拋小球在不同時刻的位置,探究平拋運動的特點.

(4) 某同學(xué)實驗時忘了標(biāo)記重垂線方向.為解決此問題,他在頻閃照片中,以某位置為坐標(biāo)原點,沿任意兩個相互垂直的方向作為x軸和y軸正方向,建立直角坐標(biāo)系xOy,并測量出另外兩個位置的坐標(biāo)值(x1,y1)(x2,y2),如圖1所示.根據(jù)平拋運動的規(guī)律,利用運動的合成與分解的方法,可得重垂線方向與y軸間夾角的正切值為_____.

圖1 示意圖

解析:假設(shè)坐標(biāo)為(x1、y1)的點為A點,坐標(biāo)為(x2、y2)的點為B點,如圖2,OA與AB之間的時間間隔為T,Oy′方向為重垂線方向,則圖2中建立的x′Oy′坐標(biāo)系中的Ox′方向即為真正的水平方向,Oy′方向即為真正的豎直方向,OA、OB在Ox′和Oy′方向上的投影位置分別為x1′、x2′和y1′、y2′.假設(shè)Oy′與Oy方向的夾角為θ,OA方向與Ox軸之間的夾角為α,OB方向與Ox軸之間的夾角為β.則OA方向與Ox′軸之間的夾角為α+θ,OB方向與Ox′軸之間的夾角為β+θ.則x1′、x2′、y1′、y2′用x1、x2、y1′、y2′表示,可以得到以下8個方程.

圖2 坐標(biāo)示意圖

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

假設(shè)小球從O到A的時間為T,根據(jù)平拋運動的規(guī)律可知

x2′=2x1′,

(9)

y2′-y1′=gT2.

(10)

2 試題分析和方法點評

本題明確考查了學(xué)生利用運動的合成與分解進行推理論證的能力.運動的合成與分解是物理學(xué)中研究復(fù)雜運動時常用的方法之一.《普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)》中,關(guān)于運動的合成與分解的教學(xué)內(nèi)容要求中明確提出:“體會將復(fù)雜運動分解為簡單運動的物理思想,能分析生產(chǎn)生活中的拋體運動.”作為物理學(xué)在解決復(fù)雜問題時“化繁為簡”的重要方法之一,通過考查拋體運動或者與之滿足類似規(guī)律的勻變速曲線運動中的一些問題,考查學(xué)生對于運動的合成與分解這一科學(xué)方法的認識和掌握情況是高考的必考考點之一.

該問體現(xiàn)了命題者“別具匠心”的命題意圖.以源自實驗中的實際問題,考查運動的合成和分解的科學(xué)方法(題干中命題人還非常貼心地做了提示),以及直線運動相關(guān)規(guī)律的應(yīng)用.上面的試題評析按照“常規(guī)思路”將平拋運動分解為豎直方向的自由落體運動和水平方向的勻速直線運動,通過建立兩個坐標(biāo)系中坐標(biāo)之間的關(guān)系,結(jié)合平拋運動的規(guī)律聯(lián)立方程進行求解.通過以上分析不難發(fā)現(xiàn)沿著這個思路進行問題解決雖然出發(fā)點比較簡單,但過程過于煩瑣,對考生的運算能力提出了極高的要求.考生在考場上若沒有找到全部的方程,或者沒有“眼觀六路”地找到消掉g和T的方法都無法得到最終答案.簡而言之,在高考的有限時間內(nèi)選擇這個“常規(guī)思路”解決問題幾乎是不可能完成的任務(wù).

3 方法拓展

方法拓展1:由于空間中兩點之間的距離與參考系的選取無關(guān),仍如圖2所示,x1′、x2′可以用x1、x2、y1、y2表示如下

x1′=OAcos(θ+α)=OA(cosθcosα-sinθsinα)=x1cosθ-y1sinθ.

(11)

x2′=OBcos(θ+β)=OB(cosθcosβ-sinθsinβ)=x2cosθ-y2sinθ.

(12)

只需要利用x2′=2x1′就可以得到

該種方法的簡潔之處在于巧妙地將自行引入的未知量α和β,利用三角函數(shù)轉(zhuǎn)化成已知量,從而大大簡化了數(shù)學(xué)運算.上面的兩個方程式(11)(12)其實可以通過空間中的幾何關(guān)系直接得到,如圖3所示.但不管是通過幾何作圖還是通過上面的轉(zhuǎn)化得到x1′、x2′與x1、x2、y1、y2的關(guān)系都需要考生在考場上“膽大心細”,對學(xué)生的能力要求較高.

圖3 幾何關(guān)系圖

方法拓展2:如圖4所示,將重力加速度g沿Ox和Oy方向分解,分別得到gx=gsinθ和gy=gcosθ.分析可知,小球在Ox和Oy方向都做勻加速直線運動,根據(jù)勻變速直線運動相鄰的相同時間間隔內(nèi)的位移差Δx=aT2,因此有

圖4 加速度分解圖

x2-2x1=gsinθ·(2T)2,

y2-2y1=gcosθ·(2T)2.

圖5 坐標(biāo)系位置關(guān)系圖

4 學(xué)生考查的表現(xiàn)及原因分析

鑒于學(xué)生對運動的合成與分解這一方法掌握較為充分,以及題目考查的知識和方法并不復(fù)雜,即使作為實驗題的壓軸一問,筆者最初也認為學(xué)生答題情況應(yīng)該比較樂觀.但成績公布后,筆者調(diào)查發(fā)現(xiàn)即使是一個成績較好(班級高考平均分約660分)的班級,在全班28位學(xué)生中也只有3位學(xué)生得出了正確答案.可想而知,本問應(yīng)該是整套試題中區(qū)分度最高的題目之一,對學(xué)生能否賦得A1等級(100分)具有重要的篩選作用.

為了深入了解學(xué)生的測試表現(xiàn)與教師的教學(xué)預(yù)期之間存在較大差異的根本原因,筆者對這個班的學(xué)生進行了答題的復(fù)盤,復(fù)盤結(jié)果表明:有13位學(xué)生審題后按照“常規(guī)思路”建立了坐標(biāo)系但沒有找到兩組坐標(biāo)之間的關(guān)系方程選擇了放棄,有8位學(xué)生沿著“常規(guī)思路”建立了方程,但由于方程個數(shù)不夠無法通過數(shù)學(xué)推理得出正確結(jié)果,有3位學(xué)生選擇了方法拓展2中“分解加速度”方法并得到了正確答案,沒有學(xué)生想到方法拓展1的思路.

從“常規(guī)思路”到方法拓展1再到方法拓展2的變化并不僅僅是“解法越來越簡單”,其本質(zhì)是人們對于運動的3種不同層面的認識:其中“常規(guī)思路”側(cè)重于運動規(guī)律在不同坐標(biāo)系中“數(shù)學(xué)表達”的轉(zhuǎn)換,方法拓展1則需要在坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換中找到“運動的不變量”,而方法拓展2則需要認識到運動是場與物質(zhì)相互作用的結(jié)果,場的客觀存在性和其在空間中疊加規(guī)律決定了物質(zhì)在場中如何運動.而學(xué)生的臨場表現(xiàn)表明:大多數(shù)學(xué)生都能夠認識和理解運動的一般規(guī)律,但對運動本質(zhì)的認識還不夠深刻.

其實方法拓展2中通過分解加速度研究平拋運動的方法在高考復(fù)習(xí)中有例可循:(1) 如圖6所示的情境中小球從傾角為θ的足夠長斜面上,以水平速度v0拋出,求小球落到斜面之前距斜面的最遠距離;(2) 如圖7所示的情境中質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電小球在足夠大的勻強電場中以初速度v0豎直向上拋出,求運動過程小球的最小動量的大小及方向.以上兩個示例中利用“運動的合成與分解”分解加速度都會極大地簡化問題解決過程,因此是高三復(fù)習(xí)運動的合成與分解的典型例題.照理說經(jīng)過了多輪復(fù)習(xí)的高三學(xué)生遇到類似的問題,應(yīng)該能做到應(yīng)對自如.但考場上學(xué)生不甚理想的臨場表現(xiàn)卻表明學(xué)生對于運動的合成與分解的認識和理解遠遠沒有達到教師預(yù)期的水平.

圖6 小球平拋示意圖

圖7 小球在場中的運動

5 教學(xué)反思與啟示

學(xué)生不甚理想的臨場表現(xiàn)使筆者陷入沉思:面對非常熟悉的問題情境,為什么學(xué)生無法利用方法的遷移發(fā)現(xiàn)問題解決的正確思路呢?學(xué)生的評價表現(xiàn)反映著教師教學(xué)行為的有效性.在以往的教學(xué)過程中,我們更加側(cè)重于“這道題該用什么方法去解決”,甚至?xí)眠@種“好方法”去跟那些“不太明智的方法”比較,讓學(xué)生確信該種方法很好.但是卻很少跟學(xué)生解釋“這道題為什么可以用這么好的方法來解決”,也不會追問“這樣的方法還可以解決怎樣的問題”,以及“你是否還有更好的方法?”等問題.

其實選擇什么樣的方法解決問題屬于“術(shù)”的問題,而為什么選擇這樣的方法解決問題則屬于“道”的問題.何為“術(shù)”?方法、謀略之路數(shù),引申為“技藝”的套路,在這里,就可以理解為“解題”的套路.何為“道”?事物的運行軌道或軌跡,引申為事物運動和發(fā)展的規(guī)律,在這里,就可以理解為“解題套路”背后深刻的物理原理.若教師在平時的教學(xué)過程中僅僅滿足于“術(shù)”的傳授,而忽略了“道”的溯源,當(dāng)命題人不按“套路”出題時,大多數(shù)學(xué)生俱“罔”矣的測試表現(xiàn)也就不奇怪了.

“術(shù)”的傳授易行,但“道”的溯源對于教師的業(yè)務(wù)水平提出了更高的要求.假如時光倒流,回到高考前的課堂上,在帶領(lǐng)學(xué)生比較了兩道例題的兩種方法之后,如果教師還能繼續(xù)引導(dǎo)一步,“運動的分解本無定法,根據(jù)題目的具體情景,結(jié)合場與物質(zhì)的作用規(guī)律,方能做出最優(yōu)的選擇”,那學(xué)生在臨場時的評價表現(xiàn)必定不會如此遺憾.時光無法倒流,但我們的課堂可以改進,我們教學(xué)理念也可以提升.跳出對“術(shù)”的執(zhí)念,啟發(fā)學(xué)生對于“道”的感悟,正是核心素養(yǎng)背景下對物理教學(xué)要求的一個更高層次.