海洋湍流下雙拉蓋爾-高斯渦旋光束的閃爍指數與誤碼率研究

刁魯欣，王明軍，2，，黃朝軍，吳小虎，汪偉

（1 西安理工大學 自動化與信息工程學院，西安 710048）（2 西安市無線光通信和網絡研究重點實驗室，西安 710048）（3 陜西理工大學 物理與電信工程學院，漢中 723001）（4 山東高等技術研究院，濟南 250100）（5 中國科學院西安光學精密機械研究所，西安 710119）

0 引言

渦旋光束是一類具有螺旋相位波前的光束，攜帶軌道角動量（Orbital Angular Momentum， OAM），由于其特定的螺旋相位結構和暗中空環(huán)光強分布，已廣泛應用于光通信、遙感和超分辨率成像等領域［1-3］。渦旋光束在海水環(huán)境中傳輸時會受到海洋湍流的干擾，從而產生光強閃爍、相位起伏與光斑漂移等現(xiàn)象，降低通信質量［4］。伴隨著人類活動從自由空間不斷向海洋環(huán)境中延伸，對水下光通信系統(tǒng)通信容量的需求也在不斷增加，因此亟需對渦旋光束在海洋湍流中的傳輸通信特性進行研究，進一步探索抑制海洋湍流對光束傳輸影響的方法，提高水下光通信系統(tǒng)容量。

1992 年，ALLEN L 等［5］研究發(fā)現(xiàn)拉蓋爾-高斯（Laguerre-Gaussian，LG）光束攜帶軌道角動量。1980 年，WIENER T 等［6］基于藍綠波段激光開展了海水環(huán)境下的無線光通信實驗，實驗最大傳輸距離為300 m，通信速率達100 Mbit/s。2000 年，NIKISHOV V V［7］提出了各向同性海水介質的海洋湍流功率譜，為此后針對海洋湍流的研究奠定了堅實的基礎。G?K?E M C 等［8］對在弱海洋湍流中沿著水平方向傳播的高斯光的功率波動、閃爍指數及光通信系統(tǒng)的平均誤碼率等進行了研究。2016 年，BAGHDADY J 等［9］利用兩路OAM 復用，實現(xiàn)了傳輸速率為3 Gbit/s，傳輸距離為2.96 m 的水下OAM 光通信。2017 年，REN Yongxiong 等［10］將OAM 復用與QAM-OFDM 技術相結合，搭建了水下光通信實驗。2018 年，WILLNER A 等［11］對采取空分復用方式的基于OAM 的水下光通信系統(tǒng)的通信性能及容量進行了研究。2016 年，WANG Wenbin 等［12］研究了高斯光束與拓撲電荷數分別為4 和8 的LG 光束在不同介質中的傳輸特性，結果表明LG 光束具有更好的傳輸特性。渦旋光束及其疊加態(tài)在水下進行傳輸通信能夠為實現(xiàn)超寬帶、高速率的水下無線光傳輸通信提供一種新的途徑。在渦旋光束及其疊加態(tài)的研究中，2013 年，HE Chunmeng 等［13］對徑向指數為0 且具有不同拓撲電荷值的LG 光束疊加形成的復合渦旋光束進行研究，對其光強分布和透射特性進行了分析。KE Xizheng 等［14］對有相同的高階徑向指數和負OAM 態(tài)的LG 光束疊加形成的復合渦旋光束進行研究，并分析了光束參數和傳輸距離對復合渦旋光束的影響；同年，LU Tengfei 等［15］利用循環(huán)泵對水槽內湍流的強弱進行控制，研究了拓撲電荷數為2、4 和6 的LG 渦旋光束在傳輸距離為5.4 m 和12.6 m 下的閃爍指數變化。2019 年，ZHANG Wenhao 等［16］實驗證明了分數階LG 渦旋光束在水下環(huán)境中的傳播特性，并對不同拓撲電荷下LGFOAM 通信系統(tǒng)的信道容量進行了分析；同年，SUN Yanling 等［17］搭建了湍流環(huán)境下渦旋光與高斯光束的干涉實驗，研究其干涉條紋的偏移特性。近年來，對渦旋光束復用與海洋湍流之間的相互作用機制的研究，為解決海水通道中的激光通信這一難題提供了參考。2021 年，WILLNER A 等［18］提出了使用多路復用和多個OAM 波束的同時傳輸來增強通信系統(tǒng)的容量。2022 年，DENG Qingqing 等［19］通過隨機相位屏對大氣湍流進行模擬，分析了渦旋光束在湍流中傳輸時的光強、相位分布及閃爍指數；同年，WANG Mingjun 等［20］搭建了水下渦旋光傳輸實驗裝置，對不同溫度差與鹽度差下LG 渦旋光束及其疊加態(tài)的傳輸特性進行了研究。

綜上所述，渦旋光束及其疊加態(tài)在源場中可以攜帶更多的角動量模式［21］，目前人們關注的重點逐漸向多束渦旋光產生的渦旋光疊加態(tài)的傳輸與通信方面轉移，但對于渦旋光束及其疊加態(tài)在海洋湍流中的傳輸與通信特性的研究還比較少。本文將帶有不同拓撲電荷值的兩個拉蓋爾-高斯渦旋光束進行同軸疊加，產生雙拉蓋爾-高斯渦旋光束（Double Laguerre-Gaussian Vortex Beam，DLGVB），基于功率譜反演法搭建了DLGVB 光束在海洋湍流中傳輸的物理模型，并對不同的海洋湍流參數以及拓撲電荷差值下的DLGVB 光束傳輸時的閃爍指數及通信時的誤碼率進行了仿真研究。

1 DLGVB 在海洋湍流中的傳播理論

拉蓋爾高斯渦旋光束攜帶軌道角動量，當沿z方向傳輸時，由拉蓋爾多項式和高斯分布函數的組合描述為［5］

式中，A為常數，ω0為光束的束腰半徑，φ為柱坐標系下的方位角，m為拓撲電荷數，n為徑向模數。ω(z)是光束在z處的半徑，表示為是共焦參數，即瑞利半徑，Φ=(n+2m+1)arctan(z/zR)-k(z+r2/R)。

對于徑向模數n=0，兩個具有不同拓撲電荷m的拉蓋爾-高斯渦旋光束的同軸疊加生成雙拉蓋爾-高斯渦旋光束（Double Laguerre-Gaussian Vortex Beams， DLGVB），表示為［19］

式中，δ為其中一個渦旋光束的相位差，k為任意整數。m1和m2為兩個疊加的渦旋光束的拓撲電荷，v=|m1-m2|為兩束的拓撲電荷差作為DLGVB 的模式。當v的值為0時，DLGVB 退化為拉蓋爾-高斯渦旋光束。

采用功率譜反演法產生隨機相位屏的方式，對復雜海洋湍流環(huán)境進行模擬。相位功率譜Φ?(κx，κy)與海洋湍流折射率功率譜Φn(κ)之間的關系為［22］

式中，Δz為相鄰相位屏之間的間距。海洋湍流折射率功率譜函數Φn(κ)可表示為［7］

式中，κ=，κ為湍流波動的空間頻率，ε為湍流動能耗散率，χT為海洋湍流的溫度方差耗散率，ω為海洋湍流鹽度溫度波動平衡參數，η為Kolmogorov 微尺度，σ=8.284×(κη)4/3+12.978×(κη)2，AT=1.863×10-2，AS=1.9×10-4，ATS=9.41×10-3。

在進行數值仿真時，一般采用離散矩陣的形式，對隨機相位屏進行表示。初始設置湍流相位屏的尺寸為Lx=Nx×Δx，Ly=Ny×Δy，其中Nx和Ny表示在x和y方向上相位屏離散點的數量。相位屏上，點(m，n)處的相位?(mΔx，nΔy)可以表示為［22］

式中，Δx和Δy為空間上的采樣間隔，p(j，s)和q(j，s)是均值為0、方差為1 的高斯且不相關的隨機矩陣，表示為

式中，Δkx和Δky為頻譜采樣間隔，Δkx=2π/Lx，Δky=2π/Ly。海洋湍流相位屏的二維、三維圖如圖1。圖1中設置的模擬海洋湍流參數為ε=10-2m2s-1，χT=10-8K2s-1，ω=-2，η=0.005。

圖1 海洋湍流相位屏Fig.1 Ocean turbulence phase screen

對式（5）進行多次運算會產生多層湍流相位屏，從而模擬復雜海洋湍流環(huán)境，因此可以通過計算DLGVB 光束通過多層海洋湍流相位屏的方式，對DLGVB 光束通過復雜海洋湍流環(huán)境進行模擬?？傻肈LGVB 光束通過每一層相位屏的表達式為

式中，U0為DLGVB 光束的初始光場，U1為光束經過一層相位屏傳輸后的光場，?1(x，y)表示第一個海洋湍流隨機相位屏，IFFT 和FFT 分別為傅里葉逆變換和傅里葉變換，k2r為空間波數，滿足

DLGVB 光束通過第二個海洋湍流相位屏后的光場表達式為

式中，U2為光束經過一層相位屏傳輸后的光場，?2(x，y)表示第二個海洋湍流隨機相位屏。類似地，可以將DLGVB 光束通過第n個海洋湍流相位屏后的光場表達式寫為［23］

式中，Un-1為光束經過第n-1 層相位屏傳輸后的場強，?n(x，y)為第n個隨機相位屏。當DLGVB 在海洋環(huán)境傳輸時，考慮到海水對光束有散射和吸收，式（9）仍需要進行改進，純海水的消光系數和光束波長有關，具體關系可表示為

式中，Aw(λ)為海水分子吸收系數，Bw(λ)為海水水分子的散射系數。Bw(λ)可由瑞利散射計算，約為1.9×10-3，當光束波長在藍綠波段時Aw(λ)相對其他波段而言最小。

DLGVB 光束在海水中傳輸時，光束的衰減是呈指數下降的，因此DLGVB 光束在海水中的光場表達式可寫為

式中，Un為DLGVB 光束通過海洋湍流后的光場，τ(λ)為海水的消光系數，z為DLGVB 光束在海水中的傳輸距離。DLGVB 光束通過海洋湍流相位屏的傳輸模擬圖如圖2。

圖2 DLGVB 光束通過海洋湍流相位屏的傳輸模擬圖Fig.2 Simulation of DLGVB beam transmission through an ocean turbulent phase screen

在激光傳輸過程中，光強的分布由于海洋湍流的影響而發(fā)生變化。為了定量地描述波動程度，盡可能消除相位屏產生的隨機性，可以取多次模擬的平均值計算光強的閃爍指數［24］。

在水下光通信系統(tǒng)中，誤碼率是對通信質量進行衡量的一個重要指標。采用開關鍵控OOK(On-Off Keying)調制方式對海洋湍流中的DLGVB 光束的通信進行調制。在海洋湍流環(huán)境下，光強的概率密度函數可表示為

接收端的平均誤碼率為［25］

式中，SNR0為歸一化平均信噪比，xi為Hermite 多項式Hn(x)的根，Q(x)為高斯Q函數，表示為［25］

2 數值模擬

2.1 DLGVB 光束光強相位模擬

對DLGVB 光束的光強相位分布進行仿真，設置初始參數波長λ=532 nm，溫度鹽度波動平衡參數ω=-2， Kolmogorov 微尺度η=0.005，束腰半徑ω0=0.003 m，傳輸距離L=100 m，相位屏模型參數設置網格數Nx=200，Ny=200，海洋湍流相位屏間距Δz=5 m。圖3 展示了在無海洋湍流，海洋湍流強度ε=10-2m2s-1，χT=10-10K2s-1，海洋湍流強度ε=10-5m2s-1，χT=10-8K2s-1三種環(huán)境下，四種不同拓撲電荷差值v=0（m1=1，m2=1），v=2（m1=1，m2=3），v=4（m1=1，m2=5），v=6（m1=1，m2=7）的DLGVB 光束的相位、光強二維及三維分布圖。由圖3 可知，DLGVB 光束產生光斑分裂，分裂的光斑數量與拓撲電荷值的差值相同，且相位反映了疊加的兩束光束的螺旋相位信息，互不干擾。當在海洋湍流中傳輸之后，光束的強度分布與相位分布模糊，伴隨著湍流強度的增加，模糊程度增強，這是由于湍流強度反映了折射率的分布，波動越大表明光束的折射與能量衰減越強烈。

圖3 海洋湍流下DLGVB 光束傳輸的光強、相位與光強三維圖Fig.3 Three-dimensional diagram of light intensity， phase and intensity transmitted by DLGVB beam under ocean turbulence

2.2 DLGVB 在海洋湍流中傳輸時的光強閃爍

根據湍流效應及多層相位屏理論，數值分析不同海洋湍流參數對DLGVB 光束在海洋湍流湍流中傳輸影響，對每組疊加產生的DLGVB 光束進行400 次傳輸模擬，通過平均計算其光強閃爍系數，以減少相位屏產生的隨機性。光束參數設置初始波長λ=532 nm，束腰半徑ω0=0.003 m，海洋湍流參數設置初始溫度鹽度波動平衡參數ω=-3，溫度方差耗散率χT=10-6K2s-1，湍流動能耗散率ε=10-5m2s-3，Kolmogorov 微尺度η=0.005，傳輸距離L=100 m。

圖4 反映了DLGVB 光束在不同海洋湍流參數下的閃爍指數隨著拓撲電荷差的變化。圖4（a）反映了DLGVB 光束在不同湍流動能耗散率下的閃爍指數隨著拓撲電荷差的變化，可以看出，隨著海洋湍流參數湍流動能耗散率的減小，閃爍指數增加；圖4（b）反映了DLGVB 光束在不同溫度方差耗散率下的閃爍指數隨著拓撲電荷差的變化，可以看出，隨著海洋湍流參數溫度方差耗散率的增加，閃爍指數增加；圖4（c）反映了DLGVB光束在不同鹽度溫度波動平衡參數下的閃爍指數隨著拓撲電荷差的變化，可以看出，隨著海洋湍流參數鹽度溫度波動平衡參數的增加，閃爍指數增加。其原因在于隨著湍流動能耗散率的減小，溫度方差耗散率與鹽度溫度波動平衡參數的增加，海洋湍流強度增大，因此DLGVB光束在海洋湍流中傳輸時光強更加閃爍。

圖4 DLGVB 光束在不同海洋湍流參數下的閃爍指數隨拓撲電荷差的變化Fig.4 Scintillation index of DLGVB beam with topological charge difference under different ocean turbulence parameters

當DLGVB 光束的拓撲電荷差v＜10 時，DLGVB 光束通過海洋湍流后的閃爍指數低于的傳統(tǒng)LGB(v=0)的閃爍指數，閃爍指數隨著拓撲電荷差的增加而降低，其原因是當拓撲電荷差較小時，點分裂的次數也較小，單位點聚焦的能量密度較大，湍流的穿透性能較好，閃爍指數較低。當拓撲電荷差v＞10 時，閃爍指數隨著拓撲電荷差的增加而增加，點分裂的數量增加時，束能量分散，當湍流強度較強時，拓撲電荷差較小的渦旋光束具有更明顯的能量聚焦特性。當拓撲電荷差v＞20 時，閃爍指數隨著拓撲電荷差的增加而降低，其原因是由于點分裂次數過多，單位點聚焦的能量密度減小，束能量太過于分散，因此DLGVB 光束在海洋湍流中進行傳輸時，閃爍指數逐漸降低。

圖5 反映了拓撲電荷差值v=2 的DLGVB 光束在不同海洋湍流參數下的閃爍指數隨傳輸距離的變化。圖5（a）反映了DLGVB 光束在不同湍流動能耗散率下的閃爍指數隨著傳輸距離的變化；圖5（b）反映了DLGVB 光束在不同溫度方差耗散率下的閃爍指數隨著傳輸距離的變化；圖5（c）反映了DLGVB 光束在不同鹽度溫度波動平衡參數下的閃爍指數隨著傳輸距離的變化。可以看出，隨著海洋湍流參數湍流動能耗散率的減小，溫度方差耗散率與鹽度溫度波動平衡參數的增加，閃爍指數增加；隨著傳輸距離的增加，閃爍指數逐漸增大。產生這種現(xiàn)象的原因在于隨著湍流動能耗散率的減小，溫度方差耗散率與鹽度溫度波動平衡參數的增加，海洋湍流強度增大，且隨著傳輸距離的增加，從發(fā)射端到接收端光經過相位屏的次數增多，湍流影響增強，因此DLGVB 光束在海洋湍流中傳輸時光強更加閃爍。

圖5 DLGVB 光束在不同海洋湍流參數下的閃爍指數隨傳輸距離的變化Fig.5 Scintillation index of DLGVB beam varies with the transmission distance under different ocean turbulence parameters

2.3 DLGVB 在海洋湍流中傳輸時誤碼率變化

由2.2 節(jié)可知，當拓撲電荷差值v＜10 時，DLGVB 光束具有較好的湍流穿透特性，閃爍指數較小，因此進行誤碼率研究時，選取拓撲電荷差值為v=0、v=2、v=4 和v=6 的DLGVB 光束。光束參數設置λ=532 nm，ω0=0.003 m，海洋湍流參數設置Kolmogorov 微尺度η=0.005，傳輸距離L=100 m。

圖6 反映了在不同湍流動能耗散率下，拓撲電荷差值v=0、v=2、v=4 和v=6 的DLGVB 光束的誤碼率隨信噪比之間的變化關系?？梢钥闯觯谛旁氡容^小時，通信誤碼率受到湍流動能耗散率的影響并不明顯，較大信噪比情況下，誤碼率受到湍流動能耗散率的影響明顯；隨著海洋湍流參數湍流動能耗散率的增加，通信誤碼率逐漸減小，通信性能變好，產生這種現(xiàn)象的主要原因是隨著湍流動能耗散率的減小，海洋湍流強度會逐漸增加。

圖6 DLGVB 光束在不同湍流動能耗散率下的誤碼率隨信噪比的變化Fig.6 Change of bit error rate of DLGVB beam with SNR under different turbulent kinetic energy dissipation rates

圖7 反映了不同拓撲電荷差值v=0、v=2、v=4 和v=6 的DLGVB 光束在不同溫度方差耗散率下的誤碼率隨信噪比的變化?？梢钥闯觯谛旁氡容^小時，通信誤碼率受到溫度方差耗散率的影響并不明顯，較大信噪比情況下，誤碼率受到溫度方差耗散率的影響明顯；隨著海洋湍流參數溫度方差耗散率的減小，誤碼率逐漸減小，通信性能變好。產生這種現(xiàn)象的主要原因是隨著溫度方差耗散率的增加，海洋湍流強度會逐漸增加。

圖7 DLGVB 光束在不同溫度方差耗散率下的誤碼率Fig.7 Bit error rate of DLGVB beam at different temperature variance dissipation rates

圖8 反映了不同拓撲電荷差值v=0、v=2、v=4 和v=6 的DLGVB 光束在不同鹽度溫度波動平衡參數下的誤碼率隨信噪比的變化。可以看出，在信噪比較小時，通信誤碼率受到鹽度溫度波動平衡參數ω的影響并不明顯，隨著信噪比的增加，誤碼率受到鹽度溫度波動平衡參數ω的影響逐漸明顯，且隨著鹽度溫度波動平衡參數的增加，通信誤碼率逐漸增大。由于ω代表的是湍流中溫度和鹽度所占比例，當ω=-5 時誤碼率較低，即當溫度占主導時誤碼率較低，而當鹽度占主導時誤碼率較高，因此海洋湍流中當溫度占主導時，通信性能更好。

圖8 DLGVB 光束在不同鹽度溫度貢獻比下的誤碼率Fig.8 Bit error rate of DLGVB beam under different salinity temperature contribution ratio

為研究水下光通信系統(tǒng)中不同拓撲荷值差對通信誤碼率的影響，對不同拓撲電荷差值v＜10 的DLGVB 光束在海洋湍流環(huán)境中傳輸通信時的誤碼率進行對比分析，設置初始波長λ=532 nm，ω0=0.003 m，ε=10-2m2s-1，χT=10-10K2s-1，ω=-2，η=0.005，L=100 m。圖9 反映了不同拓撲電荷差值v（v＜10）下的DLGVB 光束通信誤碼率隨信噪比的變化?？梢钥闯鯠LGVB 光束的通信誤碼率隨信噪比的增加而減小，在拓撲電荷差值v＜10 的情況下，拓撲電荷差大的DLGVB 光束的誤碼率小于拓撲電荷差小的DLGVB 渦旋光束的誤碼率，因此選取拓撲電荷差值較大的DLGVB 光束具有更好的通信質量。

圖9 不同拓撲電荷差值v（v＜10）下的DLGVB 光束通信誤碼率隨信噪比的變化Fig.9 Change of bit error rate of DLGVB beam communication with SNR under different topological charge difference v （v＜10）

3 結論

本文根據同軸疊加產生的DLGVB 的光強特性和相位特性，采用功率譜反演法模擬了DLGVB 光束的在海洋湍流中傳輸時的光強和相位分布，并仿真分析了DLGVB 光束在不同海洋湍流參數下的閃爍指數，根據閃爍指數計算了水下光通信系統(tǒng)在OOK 調制方式下的通信誤碼率。結果表明，隨著湍流動能耗散率的減小，鹽度溫度波動平衡參數、溫度方差耗散率及傳輸距離的增加，閃爍指數逐漸增加；與傳統(tǒng)的LGB 相比，在隨海洋湍流增加的環(huán)境中，具有較低拓撲電荷差(v＜10)的DLGVB 可以保持相對穩(wěn)定和較低的閃爍指數，且閃爍指數隨著DLGVB 光束的拓撲電荷差呈現(xiàn)先減小后增大最終減小的趨勢，該現(xiàn)象與光束分裂點的數量及能量分散有關。隨著湍流動能耗散率的增加，溫度方差耗散率與鹽度溫度波動平衡參數的減小，誤碼率逐漸減?。划敎囟日贾鲗r誤碼率較低，而當鹽度占主導時誤碼率則較高，因此海洋湍流中溫度占主導時，通信性能更好。當低v值(v＜10)時，不同拓撲電荷差值v下的DLGVB 光束的通信誤碼率隨信噪比的增加而減小，拓撲電荷差大的DLGVB 光束的誤碼率小于拓撲電荷差小的DLGVB 光束的誤碼率，因此低v值(v＜10)時，選取拓撲電荷差值較大的DLGVB 光束具有更好的通信質量。研究結果表明，在海洋湍流中，使用DLGVB 光束進行傳輸可以有效抑制海洋湍流帶來的干擾，在海洋湍流環(huán)境下對光通信系統(tǒng)進行分析設計時，將渦旋光束及其疊加態(tài)與基于OOK 調制的水下光通信相結合，選擇最佳的拓撲電荷差值，可以有效提高傳輸通信質量及通信系統(tǒng)容量。本文研究對渦旋光束及其疊加態(tài)在海洋湍流下傳輸特性研究及基于OAM 的水下光通信系統(tǒng)持續(xù)擴容的發(fā)展需求方面具有重要的參考價值。