精雕細(xì)琢 成就高效
—以“二次函數(shù)與一元二次方程根的分布”教學(xué)設(shè)計為例

? 江蘇省海安市立發(fā)中學(xué) 劉宏俊

眾所周知,高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)“時間緊、任務(wù)重”,因此“高效”自然成了課堂教學(xué)的最終要求.為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo),在日常教學(xué)中,教師應(yīng)該對教學(xué)設(shè)計精雕細(xì)琢,進(jìn)而形成高效教案,為成就高效課堂保駕護(hù)航.筆者以“二次函數(shù)與一元二次方程根的分布”為例,呈現(xiàn)高效教案的建構(gòu)過程,與同行共研.

1 課前自研,設(shè)計教案

1.1 研讀教材,確定重難點(diǎn)

學(xué)習(xí)本課內(nèi)容前,學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了零點(diǎn)的概念、零點(diǎn)存在定理,并能夠應(yīng)用零點(diǎn)存在定理解決一元二次方程根的分布的有關(guān)問題.在初中階段,學(xué)生已經(jīng)理解并掌握了應(yīng)用根的判別式、韋達(dá)定理判斷一元二次方程根的情況,同時對二次函數(shù)及其圖象也比較熟悉,不過這些知識、經(jīng)驗(yàn)在為新知教學(xué)提供便利的同時,也可能會形成一定的定勢思維.教學(xué)中幫助學(xué)生擺脫定勢思維的干擾,學(xué)會用圖象法來研究一元二次方程根的分布既是教學(xué)難點(diǎn),也是教學(xué)重點(diǎn).

1.2 預(yù)設(shè)方案,突破重難點(diǎn)

為了突破重難點(diǎn),教師需要以學(xué)生已有基礎(chǔ)知識為出發(fā)點(diǎn),創(chuàng)設(shè)一些目的明確的問題情境,讓學(xué)生在問題的引領(lǐng)下突破思維定勢,學(xué)會用圖象法解決一元二次方程根的分布問題.預(yù)設(shè)方案如下:

環(huán)節(jié)1：回顧舊知,引出主題.

問題1函數(shù)的零點(diǎn)概念以及函數(shù)存在定理的內(nèi)容是什么?

問題2一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)何時有實(shí)根?

設(shè)計意圖：通過舊知回顧,引導(dǎo)學(xué)生將相關(guān)知識聯(lián)系起來,從而為新知的探究提供依據(jù).

環(huán)節(jié)2：問題探究,建構(gòu)知識.

問題1關(guān)于x的一元二次方程x2+(m-3)x+m=0有兩個正根,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

設(shè)計意圖：根據(jù)預(yù)設(shè),大多數(shù)學(xué)生會應(yīng)用初中已學(xué)的根的判別式或韋達(dá)定理來解決問題.利用已有知識和方法解決問題后,教師鼓勵學(xué)生嘗試從函數(shù)的角度去分析,應(yīng)用二次函數(shù)的圖象來解決問題,并及時引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納不同方法的區(qū)別與聯(lián)系,促進(jìn)對知識的理解.

問題2若關(guān)于x的一元二次方程x2+(m-3)x+m=0的根滿足以下條件,分別求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

(1)兩個實(shí)根均小于1;(2)兩個實(shí)根均大于0.5;(3)一個根大于1,一個根小于1;(4)一個根大于0,一個根小于0;(5)兩根均大于0且小于2;(6)兩根中有且只有一個根在區(qū)間(0,2)內(nèi);(7)一個根在區(qū)間(-2,0)內(nèi),另一個根在區(qū)間(1,3)內(nèi).

設(shè)計意圖：通過問題的解決,領(lǐng)悟韋達(dá)定理的局限性,凸顯函數(shù)圖象法的靈活性、廣泛性、方便性,進(jìn)而領(lǐng)悟研究新方法的必要性.

環(huán)節(jié)3：應(yīng)用知識,深化理解.

例1若關(guān)于x的方程4x+(m-3)2x+m=0有兩個相異的正根,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

例2若關(guān)于x的不等式x2-4x≥m對于任意的x∈(0,1]恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

設(shè)計意圖：通過典型例題進(jìn)一步深化對圖象法的理解,體會函數(shù)圖象在解決方程和不等式等問題方面的重要應(yīng)用,凸顯數(shù)學(xué)知識間的內(nèi)在聯(lián)系,逐漸完善認(rèn)知結(jié)構(gòu).

環(huán)節(jié)4：課堂小結(jié),升華知識.

在本環(huán)節(jié)可以預(yù)留時間讓學(xué)生自主總結(jié),領(lǐng)悟圖象法在解決方程根的分布問題的優(yōu)越性,歸納應(yīng)用函數(shù)圖象解決問題的一般過程,促進(jìn)學(xué)生已有知識結(jié)構(gòu)的優(yōu)化,推動學(xué)生分析和解決問題能力的提升.

2 合作共研,修訂教案

知識構(gòu)建是本課教學(xué)中的重中之重,基于該環(huán)節(jié)的問題設(shè)計,教師集體研究,提出了如下修改意見.

2.1 情境創(chuàng)設(shè)應(yīng)在知識最近發(fā)展區(qū)

環(huán)節(jié)2中,設(shè)計問題1的目的是通過舊方法引出新思路.不過在探究問題1的過程中,學(xué)生真的能夠想到圖象法嗎?相信大多數(shù)學(xué)生受慣性思維的影響,很難想到利用函數(shù)的圖象來解決問題,這樣也就難以真正起到以舊引新的效果.如果要想達(dá)到預(yù)設(shè)目標(biāo),那么只能靠教師講授來實(shí)現(xiàn)了,這樣課堂教學(xué)又走上了“師講生聽”的老路,學(xué)生雖然能理解和掌握新方法,但是卻很難領(lǐng)悟如何想到圖象法.其實(shí),在實(shí)際教學(xué)中,不必急于強(qiáng)灌,不妨創(chuàng)設(shè)認(rèn)知沖突,讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)已有方法已經(jīng)難以解決現(xiàn)有問題,然后再引出圖象法.當(dāng)學(xué)生理解了圖象法之后,再回頭分析問題1,進(jìn)而總結(jié)歸納不同方法的區(qū)別與聯(lián)系,培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思考習(xí)慣,提高學(xué)生學(xué)習(xí)品質(zhì).

2.2 問題探索應(yīng)做到簡潔精練

知識建構(gòu)階段,教師設(shè)計問題2的目的是讓學(xué)生學(xué)會用圖象法解決問題.在解決問題的過程中,讓學(xué)生了解應(yīng)用圖象法需要從哪幾個角度去分析,知道何時用判別式、何時不用判別式,提高分析和解決問題的能力.問題2中共有7個小題,充斥著題海戰(zhàn)術(shù)的味道,這樣會占用較多的獨(dú)立思考和自主探究的時間,不利于學(xué)生思維能力的發(fā)展和自主探究能力的提升.同時,從問題來看,不少題目難度過大,容易造成思維障礙,影響解題信心.另外,問題數(shù)量過多,教師沒有充足的時間深入剖析,而為了完成教學(xué)任務(wù),不得不繼續(xù)“強(qiáng)灌”.基于知識建構(gòu)階段中存在的不足,教師重新設(shè)計環(huán)節(jié)2中的問題:

問題1關(guān)于x的一元二次方程x2+(m-3)x+m=0有兩個正根,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

問題2關(guān)于x的一元二次方程x2+(m-3)x+m=0有兩個實(shí)根,其中一個實(shí)根大于1,另一個實(shí)根小于1,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

問題3關(guān)于x的一元二次方程x2+(m-3)x+m=0有兩個實(shí)根,其中一個根在區(qū)間(-2,0)內(nèi),另一個根在區(qū)間(1,3)內(nèi),求實(shí)數(shù)m的范圍.

設(shè)計意圖：在解問題1時,學(xué)生大多會應(yīng)用初中所學(xué)的韋達(dá)定理.在解決問題2時,學(xué)生首先想到的也是韋達(dá)定理,但是通過分析發(fā)現(xiàn),利用韋達(dá)定理難以獲解,此時,教師可以引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)圖象的角度去分析,通過創(chuàng)設(shè)沖突,激發(fā)學(xué)生探究新方法的迫切感,提高學(xué)生參與課堂的積極性.通過問題3進(jìn)一步呈現(xiàn)圖象法的方便性、靈活性.如此改編,既能讓學(xué)生體會圖象法產(chǎn)生的必要性,又能體會圖象法在解題中的廣泛性和方便性.同時,題目“瘦身”后,教師就有充足的時間帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行深度剖析,開展深度教學(xué).

3 課后反饋,完善教案

3.1 總結(jié)提煉,形成體系

環(huán)節(jié)1中,引導(dǎo)學(xué)生回顧一元二次方程的根、函數(shù)零點(diǎn)、函數(shù)零點(diǎn)存在定理等相關(guān)知識,為知識構(gòu)建作鋪墊.環(huán)節(jié)2中,通過由淺入深、由易到難、由熟悉到陌生逐層遞進(jìn)的問題,引導(dǎo)學(xué)生自然而然由韋達(dá)定理過渡到圖象法,讓學(xué)生充分體會二次函數(shù)圖象與方程的關(guān)系,明確圖象法的實(shí)質(zhì)是零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用.為了幫助學(xué)生加深對核心內(nèi)容的理解,教師可以讓學(xué)生以表格的方式進(jìn)一步總結(jié)提煉(如表1).

表1

設(shè)計意圖：總結(jié)提煉是將知識內(nèi)化為能力的關(guān)鍵一步.在學(xué)生理解并掌握解決利用圖象法解決一元二次方程根的分布情況后,把問題一般化,讓學(xué)生通過自主探究和合作交流進(jìn)一步明確利用圖象法時從哪幾個角度列出限制條件?何時用判別式?何時用對稱軸?借助有效的總結(jié)歸納,使學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)更加系統(tǒng)化、完整化,實(shí)現(xiàn)知識體系的建構(gòu).

3.2 層層追問,突破難點(diǎn)

通過集體研究,將問題進(jìn)一步優(yōu)化,使得由韋達(dá)定理到圖象法的過渡顯得更加自然、順暢.在解決問題的過程中,教師還可以結(jié)合課堂生成進(jìn)行適時追問.例如,在知識建構(gòu)環(huán)節(jié),學(xué)生利用韋達(dá)定理解決問題后,教師可以追問:“還有其他解法嗎?”又如,學(xué)生利用韋達(dá)定理求解受阻時,教師可以啟發(fā)學(xué)生作出二次函數(shù)f(x)=x2+(m-3)x+m的圖象,然后根據(jù)題意列出相應(yīng)的關(guān)系式.若學(xué)生不能完成,可以繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生思考零點(diǎn)存在定理.這樣層層追問,有利于教學(xué)重難點(diǎn)的突破,有利于學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提升和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落實(shí).

總之,一堂好課離不開教師的認(rèn)真打磨、反復(fù)錘煉.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,要充分發(fā)揮集體備課的優(yōu)勢,通過對教學(xué)設(shè)計的精雕細(xì)琢,成就高效課堂.