教學(xué)即“講理”：一致性理解的“培根”行動

南京師范大學(xué)附屬小學(xué)（210018） 江曉麗

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）指出：“數(shù)與運算”包括整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的認(rèn)識及其四則運算。數(shù)是對數(shù)量的抽象，數(shù)的運算重點在于理解算理、掌握算法，數(shù)與運算之間有密切的關(guān)聯(lián)。學(xué)生經(jīng)歷由數(shù)量到數(shù)的形成過程，理解和掌握數(shù)的概念；經(jīng)歷算理和算法的探索過程，理解算理，掌握算法；初步體會數(shù)是對數(shù)量的抽象，感悟數(shù)的概念本質(zhì)上的一致性，形成數(shù)感和符號意識；感悟數(shù)的運算以及運算之間的關(guān)系，體會數(shù)的運算本質(zhì)上的一致性，形成運算能力和推理意識。

為什么《課程標(biāo)準(zhǔn)》如此強調(diào)“一致性”呢？這是因為在教學(xué)中出現(xiàn)了很多“前后不一致”的事情。以數(shù)的運算教學(xué)為例，一些教師會教學(xué)生按照一套程序化的步驟操作，然后在大量的甚至是每日必做的重復(fù)訓(xùn)練中讓學(xué)生去將這套程序熟練到“自動化”。這套程序是什么呢？在教學(xué)整數(shù)加減法時讓學(xué)生記住要“末位對齊”，到了小數(shù)加減法時又變成了要“小數(shù)點對齊”，再到整數(shù)和小數(shù)乘法時又要“末位對齊”，到了分?jǐn)?shù)乘法時又要“分子乘分子，分母乘分母”……今天學(xué)習(xí)這個內(nèi)容方法是這樣的，明天學(xué)習(xí)另一個內(nèi)容方法又不一樣了。運算教學(xué)就這樣一個一個例題散點教、一道道習(xí)題重復(fù)做。這種斷裂式的、碎片化的學(xué)習(xí)樣態(tài)，給數(shù)學(xué)運算蒙上了一層變幻莫測的面紗，給學(xué)生留下了機械、乏味的體驗，阻礙了學(xué)生對數(shù)學(xué)運算甚至是數(shù)學(xué)學(xué)科的理解和親近。

郭華教授在《教學(xué)的模樣》一書中指出：“教學(xué)論史上探索的一條清楚的線索就是：從夸美紐斯時代關(guān)注外在知識如何被學(xué)生所掌握的外在形式的探索，逐漸轉(zhuǎn)向探索教學(xué)認(rèn)識的內(nèi)在機制，即如何才能使學(xué)生理解和掌握知識的內(nèi)在原理、本質(zhì)聯(lián)系，強調(diào)以科學(xué)的、人性的、多樣而開放的方式展開教學(xué)活動，即以‘講理’的方式來講‘理’?！比绾卧诮虒W(xué)中引導(dǎo)學(xué)生從復(fù)雜多變的“法”走向一脈相承的“理”，筆者進行了深入探討。

一、意義理解：從“外形各異”到“內(nèi)在一致”

“數(shù)的意義是數(shù)的運算的基礎(chǔ)，數(shù)的運算是對數(shù)的意義的再認(rèn)識?！毙W(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從整數(shù)開始，然后逐漸引入小數(shù)和分?jǐn)?shù)的概念，這些不同的數(shù)在表示方式上存在差異。小數(shù)使用小數(shù)點，而分?jǐn)?shù)由分子、分母和分?jǐn)?shù)線三部分組成，它們與整數(shù)的表示方式有很大的不同。如何幫助學(xué)生從“外形各異”的數(shù)形態(tài)走向“內(nèi)在一致”的理解是一個重要的教學(xué)任務(wù)。教師在教學(xué)不同數(shù)的意義的過程中，可以通過數(shù)形結(jié)合、邏輯推理等方式來幫助學(xué)生理解“每一個數(shù)都是由若干個計數(shù)單位累加而成”這個本質(zhì)。

（一）緊扣單位：掌握整數(shù)計數(shù)方法

在教學(xué)一年級“認(rèn)識11 到20”時，可以用動畫的形式引入一段數(shù)學(xué)史，向?qū)W生介紹數(shù)字的起源和發(fā)展，并告訴學(xué)生，由于人們在生活中需要計數(shù)，所以發(fā)明了“滿十進一”，從而出現(xiàn)了數(shù)字10，從此數(shù)字由“逐一計數(shù)”走向了“按群計數(shù)”；同時借助捆小棒和計數(shù)器介紹了11的組成（如圖1），即“1個十和1 個一合起來是11”。學(xué)生通過看、讀和寫，第一次感受到數(shù)是由“個數(shù)+計數(shù)單位”共同構(gòu)成的。

圖1

教學(xué)二年級下冊“萬以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識”時，可以借助幾何直觀和邏輯推理幫助學(xué)生進一步感受到“整數(shù)相鄰計數(shù)單位的進率是10”這一“十進位值制”的基本特征。教學(xué)四年級上冊“大數(shù)的認(rèn)識”時，可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已經(jīng)學(xué)習(xí)過“萬以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識”的經(jīng)驗，通過自主推理，從“個級”推導(dǎo)出“萬級”“億級”的各個數(shù)位和相應(yīng)的計數(shù)單位。這樣的教學(xué)過程可以幫助學(xué)生建立起整數(shù)數(shù)位的概念，學(xué)生能夠初步理解一個整數(shù)是由若干個計數(shù)單位累加而成的。在實際教學(xué)中，一些學(xué)生可能會自主推理出“如果從一開始繼續(xù)往下細(xì)分，就會出現(xiàn)小數(shù)”，由此自主建構(gòu)出聯(lián)通整數(shù)和小數(shù)的數(shù)位順序表。

（二）自主遷移：理解計數(shù)方法的一致性

在三年級開始學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)時，無論是從書寫形式還是意義上，很多學(xué)生都會感覺分?jǐn)?shù)與整數(shù)相比有很大的差異，且很難感受到分?jǐn)?shù)的計數(shù)單位，其中有兩個主要原因。

首先，中文翻譯對于分?jǐn)?shù)的表達可能沒有英文表達方式那么直觀和清晰。比如，中文表達的“五分之二”與英文表達的“two fifths”相比，有一定的差異。為了幫助學(xué)生更深刻地理解分?jǐn)?shù)的意義，可以在教學(xué)中引入圖形直觀化的方法，同時主動介紹分?jǐn)?shù)的英文表示方法。這樣可以幫助學(xué)生深入理解每一個分?jǐn)?shù)都是由若干個分?jǐn)?shù)單位累加而成，從而體會到整數(shù)和分?jǐn)?shù)計數(shù)方法的一致性。

如何幫助學(xué)生清晰地感受到整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)在計數(shù)方法上的一致性呢？筆者引入了數(shù)軸：如圖2 所示，下面直線上的點各表示什么數(shù)？在括號里寫上適當(dāng)?shù)臄?shù)（上面的括號寫小數(shù)）。

圖2

二、法理融通：從“方法各異”到“本質(zhì)求同”

形成數(shù)的概念基于計數(shù)單位的一致性理解后，在整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的加減法運算中，學(xué)生就能比較容易體會到“整數(shù)加減法中相同數(shù)位對齊”“小數(shù)加減法中小數(shù)點對齊”“異分母分?jǐn)?shù)加減法要先轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)再相加減”這些看似不同方法背后的“相同計數(shù)單位相加減”的原理。但在進入分?jǐn)?shù)乘法時，外在形式的“分子與分子相乘的積作分子，分母與分母相乘的積作分母”與計數(shù)單位似乎不那么容易建立起聯(lián)系了。教學(xué)中需要教師有意識地溝通聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生在類比中形成一致性理解。

下面以“分?jǐn)?shù)與整數(shù)相乘”為例，介紹如何有意識地引導(dǎo)學(xué)生通過橫向關(guān)聯(lián)，在不同方法的對比中發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)與整數(shù)相乘運算的本質(zhì)；通過縱向銜接，從整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)運算的共性中感受乘法運算的本質(zhì)。

（一）橫向關(guān)聯(lián)，感受不同方法背后的道理一致

小研究和學(xué)習(xí)單上常常會出現(xiàn)“你能用不同方法解決嗎？”這樣的問題，旨在促進學(xué)生“求異”，即追求方法的“多元”。 而“每一個學(xué)生都渴望自己成為知識的發(fā)現(xiàn)者”，因此學(xué)生會努力探索出幾種方法，并愿意與小組或全班分享自己與眾不同的方法。在這種交流過程中，學(xué)生通常更關(guān)注方法的多樣性，而不太關(guān)注不同方法背后的聯(lián)系。在教學(xué)中，教師需要適時地叫停、聚焦和放大，引導(dǎo)學(xué)生的思維和表達逐步清晰、精準(zhǔn)，幫助他們透過形式去感悟本質(zhì)。當(dāng)學(xué)生分享不同的解決方法時，教師可以提出一些問題，引導(dǎo)學(xué)生思考方法之間的聯(lián)系和共性。

圖3

學(xué)生在得出方法后，很少會主動思考這幾種方法之間是否有聯(lián)系。此時，教師可追問：“這幾種方法看起來都不太一樣，有沒有什么聯(lián)系呢？”用“聯(lián)系”的眼光重新審視這幾種方法后，學(xué)生給出了新的解讀：

“它們都用了轉(zhuǎn)化的策略，把這道乘法題轉(zhuǎn)化成我們以前所學(xué)過的方法。比如把乘法轉(zhuǎn)化成加法，把分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)。”

一個適時的追問，引導(dǎo)學(xué)生主動探尋不同方法背后的一致性。學(xué)生在比較中發(fā)現(xiàn)“看似不同的方法其實都是在求有‘有多少個’”，從而理解分?jǐn)?shù)與整數(shù)相乘的本質(zhì)就是求“有多少個分?jǐn)?shù)單位”。

疏通了算理，還需明確算法。教師可再次追問：“在這么多種方法中，究竟哪種方法更有普適性或者說一般性呢？”學(xué)生提出了“加法列式煩瑣”“有些分?jǐn)?shù)不能轉(zhuǎn)化成有限小數(shù)”“畫圖方法能夠幫助直觀理解算理，但是當(dāng)數(shù)據(jù)較大、平均分的份數(shù)較多時比較麻煩”等顧慮。在對話和思辨中，學(xué)生深刻體會到“分母不變，分子與整數(shù)相乘的積作分子”這一算法的一般性。隨后，教師在示范計算過程時，引導(dǎo)學(xué)生再次借助畫圖的策略闡明了算法背后的算理：“分母不變”，即分?jǐn)?shù)單位不變，都是；“分子與整數(shù)相乘的積作分子”，算的是分?jǐn)?shù)單位的個數(shù)，即有9個至此，真正實現(xiàn)了法理融通。

（二）縱向銜接：領(lǐng)會不同學(xué)段背后的目標(biāo)一致

【教學(xué)片段2】教師出示4 道乘法算式（如圖4-1），并提出問題：“這4 道算式有什么聯(lián)系嗎？”學(xué)生發(fā)現(xiàn)：計算30×3 時是先算3×3=9，然后添上一個0得到90；計算0.3×3 時也是先算3×3=9，有9 個0.1，所以是0.9；計算× 3 時是先算3×3=9，有9 個，所以等于

圖4-1

教師肯定學(xué)生善于觀察和比較后，追問：“題目雖然不同，但都是先算3×3=9，這是為什么？”隨著學(xué)生的回答，教師出示圖4-2：“不論是整數(shù)乘法、小數(shù)乘法還是分?jǐn)?shù)乘法，都是在算有多少個計數(shù)單位?！?/p>

最后，教師給出一幅韋恩圖（如圖5），把分?jǐn)?shù)與整數(shù)相乘以及整個乘法運算的關(guān)系變得清晰可見，一目了然。

圖5

通過縱向銜接，學(xué)生在回顧和比較中發(fā)現(xiàn)不同學(xué)段學(xué)習(xí)的乘法運算本質(zhì)上的一致性，即都是在求“有多少個計數(shù)單位”，從而形成結(jié)構(gòu)化認(rèn)知。

三、關(guān)系領(lǐng)悟：從“情境多元”到“關(guān)系一致”

數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域在小學(xué)階段包括“數(shù)與運算”和“數(shù)量關(guān)系”兩個主題。關(guān)于“數(shù)量關(guān)系”，《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，要讓“學(xué)生經(jīng)歷在具體情境中運用數(shù)量關(guān)系解決問題的過程，感悟加法模型和乘法模型的意義”。因此，教師要創(chuàng)設(shè)豐富的問題情境，促進學(xué)生在比較、思辨中領(lǐng)悟多元情境背后數(shù)量關(guān)系的一致性，體會模型的統(tǒng)攝價值。

（一）萬物皆可：在思辨中回歸意義的深度理解

【教學(xué)片段3】教師舍去了常規(guī)的運算練習(xí)，設(shè)計了一組由三道判斷題和一道開放題組成的解決問題練習(xí)：

經(jīng)過一段時間的思考后，學(xué)生給出了如下解答：

……

“我覺得萬物皆可用這個式子來表達，只要它的本質(zhì)是求3 個的，不論什么情境都可以用這個算式來計算。”

一個開放的問題情境，一個開放的對話場域，就能帶來精彩的思維碰撞。一句“萬物皆可用這個式子來表達”，充分表現(xiàn)出學(xué)生對于不同問題情境中乘法意義的深刻理解。

（二）變與不變：在比較中體會模型的統(tǒng)攝價值

【教學(xué)片段4】對于“總量=分量+分量”這一加法數(shù)量關(guān)系，教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷多個“合并型”情境。為了幫助學(xué)生體會這個數(shù)量關(guān)系的更多外延，感受到“模型”的普適性，教師設(shè)計了一道開放性練習(xí)（如圖6）。

圖6

在全班交流時，“選擇①和⑥，35+4=39（人）”的答案很快被認(rèn)可。對于“選擇②和④，10×3+9=39（人）”，有學(xué)生質(zhì)疑：“這是一個乘法和加法的混合運算，能填進空格里嗎？”很快，學(xué)生明白了等式左邊的乘法運算表示“前三組的人數(shù)”，也可以看成一個分量填在空格里。在此基礎(chǔ)上，有學(xué)生提出了“那還有別的可能，比如可以選擇③和⑤，但還需要補充一些條件，因為三（1）班的同學(xué)除了參加舞蹈組和體育組，還有可能參加了別的興趣小組。”至此，學(xué)生關(guān)于分量的認(rèn)識，從外在形式的“兩個”走向了本質(zhì)理解的“多個”。在交流中，學(xué)生還自主補充了知識點“多個分量之間要做到‘不重不漏’，才能合成總量”。

在這樣一個為總量“三（1）班有多少人？”尋找分量的開放性情境中，學(xué)生實現(xiàn)了對乘加法的再度理解，以及對各分量不重不漏的“總分關(guān)系”的嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)識。學(xué)生對于加法模型的認(rèn)識逐漸飽滿，并體會到加法模型的統(tǒng)攝價值，震撼于數(shù)學(xué)表達的變與不變。