重視基礎(chǔ)與情境 培養(yǎng)素養(yǎng)與能力
——對2022年高考數(shù)學(xué)甲卷的評析與思考

王昌林

(四川電影電視學(xué)院實驗中學(xué),四川 內(nèi)江 611331)

高考是高中教育教學(xué)工作中十分重要的環(huán)節(jié),是檢驗教育教學(xué)成果的重要手段.高考試題的命制受多種內(nèi)在與外在因素的影響.對高考試卷進(jìn)行系統(tǒng)分析研究, 可以充分把握試題的本質(zhì)、認(rèn)識試題的情景、理解試題的設(shè)問、拓寬試題的解法、加強(qiáng)試題的拓展, 同時還可以領(lǐng)悟高考命題動向, 把握命題規(guī)律, 從而減少復(fù)習(xí)的盲目性、隨意性,使高考復(fù)習(xí)更加具有針對性.

1 試卷的特點

2022年高考數(shù)學(xué)甲卷的命題堅持以習(xí)近平新時代中國特色社會主義思想為指導(dǎo),貫徹黨的教育方針,落實立德樹人根本任務(wù),充分發(fā)揮高考命題的育人功能和積極導(dǎo)向作用,構(gòu)建引導(dǎo)學(xué)生德智體美勞全面發(fā)展的考試內(nèi)容體系.依據(jù)高校人才選拔要求和國家課程標(biāo)準(zhǔn),加強(qiáng)對關(guān)鍵能力和學(xué)科素養(yǎng)的考查,減少死記硬背和“機(jī)械刷題”;突出數(shù)學(xué)本質(zhì),重視數(shù)學(xué)思維,堅持素養(yǎng)導(dǎo)向與能力立意的命題原則;倡導(dǎo)理論與實際聯(lián)系,學(xué)以致用,體現(xiàn)高考數(shù)學(xué)的科學(xué)選拔功能和育人導(dǎo)向作用.

試卷整體過渡平穩(wěn)且勇于創(chuàng)新.試卷穩(wěn)步推進(jìn)改革,科學(xué)把握數(shù)學(xué)題型的開放性與數(shù)學(xué)思維的開放性,全面體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用型以及創(chuàng)新性的考查要求.從試卷的結(jié)構(gòu)來看,繼續(xù)延續(xù)了近年來的模式;從試卷的難度來看,簡單題注重基礎(chǔ)知識的考查,中檔題注重知識的運用,難題則注重方法技巧的掌握.

2 試卷分類評析

從考查的知識來看,考查的知識點與往年比無太大變化,例如解答題部分仍考查的是數(shù)列、概率與統(tǒng)計、立體幾何、解析幾何、函數(shù)與導(dǎo)數(shù),選考部分仍是極坐標(biāo)與參數(shù)方程、不等式選講等六個板塊,圓錐曲線與導(dǎo)函數(shù)仍然是最難的,具體分析如下.

2.1 文理難度區(qū)分,展現(xiàn)人文關(guān)懷

2022年高考數(shù)學(xué)甲卷無論是文科還是理科試卷都具有入手較為容易、入口較寬的特點,第1至6題考查的是數(shù)學(xué)的基本定義和基本運算,只需基本的數(shù)學(xué)知識與方法就能完成作答.其中理科第1題、第3題和文科的第1題、第3題位置相反,且理科較文科運算量大;試卷通過改變知識點的考查以及減少運算量等方式有意識地區(qū)別考查難度.

2.2 設(shè)置真實情境,滿足樹人要求

“立德樹人,五育并舉”是中共中央、國務(wù)院印發(fā)《關(guān)于深化教育教學(xué)改革全面提高義務(wù)教育質(zhì)量的意見》中的重要內(nèi)容,也是對解決“為誰培養(yǎng)人,培養(yǎng)什么人,怎樣培養(yǎng)人”問題最堅定有力的回答.試題設(shè)置真實情境,命制具有教育意義的試題,發(fā)揮數(shù)學(xué)考試的教育功能和引導(dǎo)作用.

例3 (文科第19題)小明同學(xué)參加綜合實踐活動,設(shè)計了一個封閉的包裝盒,包裝盒如圖1所示:底面ABCD是邊長為8(單位:cm)的正方形,△EAB,△FBC,△GCD,△HDA均為正三角形,且它們所在的平面都與平面ABCD垂直.

圖1 例3題圖

(1)證明:EF∥平面ABCD;

(2)求該包裝盒的容積(不計包裝盒材料的厚度).

評注例3不再像以往為了考查立體幾何知識而設(shè)置考題,而是加入了具體的現(xiàn)實生活背景.包裝盒在日常生活中隨處可見,精美的包裝比比皆是,但并不是每一個人都會留意其內(nèi)涵.正是例3中“△EAB,△FBC,△GCD,△HDA均為正三角形,且它們所在的平面都與平面ABCD垂直”這些特殊的圖形與位置方才構(gòu)建出如圖1所示的幾何之美.這是美育的滲透,引導(dǎo)考生善于用發(fā)現(xiàn)的眼光去發(fā)掘生活中的數(shù)學(xué).

2.3 弘揚優(yōu)秀文化,發(fā)揮育人功能

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》(以下簡稱《課標(biāo)》)指出,數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)的思想、精神、語言、方法、觀點,以及它們的形成和發(fā)展;還包括數(shù)學(xué)在人類生活、科學(xué)技術(shù)、社會發(fā)展中的貢獻(xiàn)和意義,以及與數(shù)學(xué)文化的人文活動[1].《課標(biāo)》強(qiáng)調(diào)要將數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)教學(xué)活動中.通過在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化,讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程,認(rèn)識數(shù)學(xué)在科學(xué)技術(shù)和人類社會發(fā)展中所起的重要作用,引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識和感悟數(shù)學(xué)的文化價值,樹立文化自信、提升人文素養(yǎng)以及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

圖2 例4題圖

評注沈括的《夢溪筆談》是我國歷史上重要的數(shù)學(xué)著作之一,英國科學(xué)史家李約瑟評價為“中國科學(xué)史上的里程碑”.絕大多數(shù)考生都知道“割圓術(shù)”,但對于“會圓術(shù)”卻少有知曉.其實無論是《夢溪筆談》還是《算經(jīng)十書》,不僅是當(dāng)時數(shù)學(xué)成就的體現(xiàn),還深深地融入我們的生活之中,例4簡明扼要,應(yīng)用方便,代入計算即可得到弧長s的近似值,具有實際可操作性.

2.4 堅持適度開放,重視能力培養(yǎng)

結(jié)論開放型試題也稱結(jié)構(gòu)不良試題,與結(jié)構(gòu)良好的試題相比,其條件不再是不多不少,需要解決的問題目標(biāo)不再是明確的,因此其沒有固定的思路和解法.結(jié)構(gòu)不良問題初始狀態(tài)、目標(biāo)狀態(tài)、中間狀態(tài)至少有一個不確定,有利于引導(dǎo)學(xué)生在解決問題的過程中,根據(jù)具體情境,從多個角度分析,考慮多個可能,尋找不同路徑,提出多種解決方法,以考查學(xué)生思維的系統(tǒng)性、靈活性、深刻性、創(chuàng)造性[2].

例6 (2021年全國甲卷理科第18題)已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),記Sn為{an}的前n項和,從下面①②③中選取兩個作為條件,證明另外一個成立.

評注例5與例6均是半開放的結(jié)構(gòu)不良試題.全國甲卷連續(xù)兩年堅持結(jié)構(gòu)不良試題的命制是向新高考看齊,更是為了引導(dǎo)高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)工作應(yīng)當(dāng)重視學(xué)生能力的培養(yǎng).正如現(xiàn)實生活一樣,我們遇到的問題多是結(jié)構(gòu)不良型,在數(shù)學(xué)考試中設(shè)置結(jié)構(gòu)不良問題,目的就是為了實現(xiàn)從能力立意到素養(yǎng)導(dǎo)向的轉(zhuǎn)變.

2.5 注重素養(yǎng)導(dǎo)向,突出選拔目的

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是學(xué)生在接受教育過程中,逐步形成的具備數(shù)學(xué)本質(zhì)特征而適應(yīng)個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的關(guān)鍵能力與思維品質(zhì).《課標(biāo)》將數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析作為數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng),其目標(biāo)是將以人為本的教育理念落地生根,實實在在地落實到人.在高考中,通過復(fù)雜情境的設(shè)計來增強(qiáng)題目的綜合性,考量學(xué)生能否根據(jù)已知信息,從合理的角度思考問題,用合理的方法解決問題,充分展現(xiàn)學(xué)生對于推理和論證的確認(rèn)、分析、評價、展示的全過程,從而突出選拔目的.

A.c>b>aB.b>a>c

C.a>b>cD.a>c>b

例8 (文科第12題)已知9m=10,a=10m-11,b=8m-9,則( ).

A.a>0>bB.a>b>0

C.b>a>0 D.b>0>a

2.6 聚焦學(xué)科本質(zhì),關(guān)注思維考查

《課標(biāo)》指出:高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)該返璞歸真,努力揭示數(shù)學(xué)定義、法則、結(jié)論的發(fā)生、發(fā)展過程和本質(zhì).在試題中對學(xué)生的數(shù)學(xué)思維進(jìn)行考查,有利于檢驗學(xué)生的觀察能力與分析能力;同時數(shù)學(xué)思維作為影響學(xué)生學(xué)習(xí)成果的潛在因素,無論是在學(xué)生的日常知識學(xué)習(xí)中,還是對身邊事物的感知上,都具有一定的影響.

例9 (理科第20題)設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,點D(p,0),過F的直線交C于M,N兩點.當(dāng)直線MD垂直于x軸時,|MF|=3.

(1)求C的方程; (2)設(shè)直線MD,ND與C的另一個交點分別為A,B,記直線MN,AB的傾斜角分別為α,β.當(dāng)α-β取得最大值時,求直線AB的方程.

3 備考與教學(xué)思考

3.1 研讀課標(biāo)意見,強(qiáng)化主干知識

2019年國務(wù)院辦公廳印發(fā)《關(guān)于新時代推進(jìn)普通高中育人方式改革的指導(dǎo)意見》要求,各省(區(qū)、市)要結(jié)合推進(jìn)高考綜合改革,制定普通高中新課程實施方案,2022年前全面實施新課程、使用新教材.學(xué)業(yè)水平選擇性考試與高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試命題,要以普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)和高校人才選拔要求為依據(jù),實施普通高中新課程的省份不再制定考試大綱.

表1 2022年高考數(shù)學(xué)全國甲卷試題考查內(nèi)容與題號、分值分布

從表1統(tǒng)計情況來看,2022年高考數(shù)學(xué)全國甲卷試題對于《課標(biāo)》中的主干知識是考查的重點,因此,認(rèn)真研讀《課標(biāo)》具有必要性,尤其是對于課標(biāo)中的“冷門”點,如直線的法向量、正態(tài)分布、極差、標(biāo)準(zhǔn)差、向量的投影、方位角等.同時,認(rèn)真研讀《課標(biāo)》對高考中各知識點的難度要求也可以有一個準(zhǔn)確的認(rèn)識,從而在復(fù)習(xí)中既可以避免遺漏一些重要考點,也避免做無用功.

3.2 關(guān)注思維邏輯,培養(yǎng)應(yīng)用能力

2022年新高考全國Ⅰ卷被眾多考生稱為“史上最難”,數(shù)學(xué)試題是真的變難了嗎?其實不然,2022年的高考數(shù)學(xué)試題較以往更加優(yōu)化試題的呈現(xiàn)方式,以及加強(qiáng)對關(guān)鍵能力和學(xué)科素養(yǎng)的考查.從高考考試要求來看,高考數(shù)學(xué)的學(xué)科素養(yǎng)包括理性思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探索和數(shù)學(xué)文化,2022年還提出了主要考查邏輯思維能力、運算求解能力、空間想象能力、數(shù)學(xué)建模能力和創(chuàng)新能力這五個方面.顯然,通過死記硬背和“機(jī)械刷題”獲得高分的考生是缺乏素養(yǎng)與能力的.例如:2022年新高考全國Ⅰ卷第8題為外接球加最值問題的組合,考生若僅會套用外接球模型是不能求出正四棱錐體積取值范圍的;全國乙卷第9題,考生若是沒有較強(qiáng)的空間想象能力和分析問題能力,很難將問題轉(zhuǎn)化為三次函數(shù)的最值問題,進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)求解;甲卷理科第10題,采用設(shè)點的方式求解,其運算過程是復(fù)雜的,但若是將點P與橢圓右端點相連接,根據(jù)對稱性并借助橢圓第三定義即可快速求解.

3.3 教學(xué)返璞歸真,備考回歸本質(zhì)

數(shù)學(xué)知識是樸實的,其認(rèn)識過程是真實的.高度的抽象性、邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性以及應(yīng)用的廣泛性是數(shù)學(xué)的三個最基本特征;統(tǒng)一性和簡單性是抽象性的自然結(jié)果;精確性和確定性是數(shù)學(xué)邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性的具體表現(xiàn);而數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)則是落實育人目標(biāo)的數(shù)學(xué)育人方式.隨著現(xiàn)代信息技術(shù)的發(fā)展,各種方便快捷的電子課件、白板的廣泛使用,對傳統(tǒng)課堂的板書內(nèi)容大有取代之勢.教師的板書越來越少,更有甚者還出現(xiàn)“零板書”的現(xiàn)象.板書作為輔助教學(xué)的一種基本手段,它既是對知識的再加工,又是對教學(xué)藝術(shù)的再創(chuàng)造,同時還是對教學(xué)過程以及邏輯關(guān)系的再現(xiàn),因此,教學(xué)需要規(guī)范的返璞歸真的板書,拒絕虛假熱鬧.除此以外,主干知識的教學(xué)與備考也應(yīng)該回歸本質(zhì),只有明白知識的發(fā)生過程與認(rèn)識路徑,才能在面對問題時快速探尋其本質(zhì),例如: 2022年全國甲卷理科第20題,根據(jù)題干已知條件以及直線MD,ND與橢圓C的另一個交點分別為點A與點B作出示意圖后可以得出其命題背景為二次曲線中的蝴蝶定理;2022年全國乙卷理科第20題,根據(jù)直線PA、直線PB皆與橢圓E相切,可以得出點P與直線AB為橢圓E的一對極點和極線.

4 結(jié)束語

高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是建立在扎實的基礎(chǔ)知識上的,備考亦是如此.高考數(shù)學(xué)試題中定然不會出現(xiàn)“怪題”與“偏題”,所有試題皆是基于必備知識的,因此,應(yīng)當(dāng)注重對基本概念、定理和公式的理解和掌握,避免過于追求題目的難度,而忽視基礎(chǔ)知識的鞏固.在備考階段,只有系統(tǒng)地復(fù)習(xí)了基礎(chǔ)知識,重點關(guān)注了課本中的重要知識點、定理和公式的由來以及它們之間的聯(lián)系,通過反復(fù)的練習(xí)和總結(jié),鞏固基礎(chǔ)知識的掌握程度,才能真正做到以不變應(yīng)萬變.