埋地壓力管道在敷設(shè)方向改變時(shí)考慮曲管段側(cè)向約束的受力分析

郭巍 蔣杰 周晨

南京市市政設(shè)計(jì)研究院有限責(zé)任公司 210018

引言

埋地壓力管道在敷設(shè)方向改變處、截面變化處和管道端部位置會(huì)產(chǎn)生推力。在水平面敷設(shè)方向改變時(shí)，節(jié)點(diǎn)處產(chǎn)生的推力由管道內(nèi)的靜水壓力以及動(dòng)水壓力兩部分組成。因?yàn)榇蠖鄶?shù)管道內(nèi)的液體在相對(duì)較低的速度下運(yùn)行，所以動(dòng)水壓力在計(jì)算推力時(shí)通常被忽略不計(jì)。為滿足節(jié)點(diǎn)處穩(wěn)定性要求，目前國內(nèi)外采用的措施主要有：在節(jié)點(diǎn)處設(shè)混凝土側(cè)向支墩、沿管長方向設(shè)置混凝土拖拉墩、樁基礎(chǔ)以及依靠管道周圍土的約束力等。在實(shí)際工程中，對(duì)于在大中型城市主城區(qū)建設(shè)的大口徑、高內(nèi)水壓力的壓力管道，依靠設(shè)置支墩來抵抗管道轉(zhuǎn)角處的水平推力存在著較大困難，無法在管道轉(zhuǎn)角處設(shè)置支墩的工程，通常采用將管道整體連接的方式，依靠管-土的摩擦力和管側(cè)被動(dòng)土壓力來抵抗轉(zhuǎn)角處的水平推力，即所謂的無支墩設(shè)計(jì)［1］來抵抗管道水壓推力；也可采用結(jié)合曲管段約束與管道剛性連接的方式共同作用來抵抗水平推力，該曲管段約束包括有：在曲管段處使用壓實(shí)度更高的回填土、設(shè)置支墩或者灌注樁基礎(chǔ)。

劉雨生［2］總結(jié)了國內(nèi)外無支墩埋地壓力管道敷設(shè)方向改變時(shí)的兩種設(shè)計(jì)模式，一類是只計(jì)入縱向摩擦力，另一類是除縱向摩擦力外尚計(jì)入了土體對(duì)管道的側(cè)向抗力，該分析模式未考慮曲管轉(zhuǎn)角段的約束。《給水排水工程埋地鋼管管道結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)程》（CECS 141：2002）［3］給出的約束長度計(jì)算公式中，未體現(xiàn)出直管段土的側(cè)向抗力對(duì)約束長度的影響，式中也沒考慮曲管段的側(cè)向抗力的影響。日本“土地改良事業(yè)計(jì)畫設(shè)計(jì)基準(zhǔn)”給出鋼管的計(jì)算模式［4］是考慮管道縱向摩擦力與管道側(cè)向土壤抗力的共同作用抵抗管道的水平推力，對(duì)于曲管段土的有利作用，運(yùn)用了朗肯被動(dòng)土壓力公式計(jì)算得到，且是在總推力中直接扣除該被動(dòng)土壓力，未考慮曲管段約束與直管段約束共同作用對(duì)管道內(nèi)力分布的影響。美國水業(yè)協(xié)會(huì)標(biāo)準(zhǔn)（AWWA-M9—2008）［5］給出了剛性連接的混凝土壓力管道無支墩設(shè)計(jì)的有效約束長度計(jì)算，同樣是考慮了管側(cè)橫向土抗力和軸向摩擦力的共同作用來抵抗管道水平推力，對(duì)于曲管段土的抗力計(jì)算采用了溫克爾地基模型，但考慮曲管段和直管段的橫向土側(cè)向剛度一致。ASCE 埋地管道的推力約束設(shè)計(jì)任務(wù)委員會(huì)［6］針對(duì)連續(xù)型管道理論提出了在AWWA-M9—2008 公式的基礎(chǔ)上增加了管道彎曲應(yīng)力和軸向應(yīng)力的求解來對(duì)模型進(jìn)行修正。文獻(xiàn)［7］考慮了橫向土壤抗力和縱向管道的與土壤間摩擦力共同作用，給出了剛性接口、柔性接口和自錨式接口下的管道約束長度的解析計(jì)算公式，同樣也未考慮曲管側(cè)向約束對(duì)計(jì)算約束長度的影響。

本文主要基于歐拉-伯努利梁理論和溫克爾地基梁模型［8］，推導(dǎo)了直管段軸向摩擦力和橫向土抗力、曲管段側(cè)向約束共同作用下的管道有效約束長度的解析解，對(duì)比研究了是否考慮曲管段范圍土的側(cè)向剛度對(duì)管道的內(nèi)力、位移的影響，分析了管-土摩擦系數(shù)、敷設(shè)方向改變角度、直管段土側(cè)向剛度、曲管段側(cè)向約束等因素對(duì)管道約束長度、彎矩、軸向力和剪力的影響。該分析有助于可靠且充分利用管道周邊土壤的約束力，通過合理設(shè)計(jì)曲管段側(cè)向約束（曲管段支墩、灌注樁基礎(chǔ)、高密實(shí)度回填土）以減小管道約束長度。

1 埋地壓力管道的受力分析

1.1 簡(jiǎn)化分析模型

在埋地水平面上敷設(shè)方向改變的壓力管道，管道外徑D，管道內(nèi)徑D0，管道水平轉(zhuǎn)角為Δ，水平推力為T，曲管段側(cè)向支撐剛度為K，直管段土的側(cè)向剛度為k，k應(yīng)綜合考慮管道兩側(cè)土壓力，且符合溫克爾彈性地基梁模型，直管段有效約束長度為Lb，假設(shè)曲管段為剛體，直管段采用不考慮剪切變形的歐拉梁理論。埋地壓力管道的簡(jiǎn)化分析模型如圖1 所示。

圖1 埋地壓力管道分析模型Fig.1 Analysis model of pipe of buried pressure pipeline

1.2 直管段受力分析

如圖2 所示，曲管段與直管連接處的節(jié)點(diǎn)軸力、剪力和彎矩分別為F0、V0和M0，直管段管道任意一點(diǎn)軸力、剪力和彎矩分別為F、V和M，管段單位長度摩阻力為fμ，δx為直管段約束長度范圍在管起始端的累計(jì)軸向變形，δy為直管段約束長度范圍在管起始端的橫向變形。

圖2 埋地壓力管道直管段的受力分析Fig.2 Stress analysis of buried pressure pipeline straight pipe section

對(duì)其在X方向受力平衡，∑X ＝0 得到：

在Y方向受力平衡，∑Y ＝0 得到：

化簡(jiǎn)式（1）和式（2）得到：

對(duì)管道微元體頂部中心（o點(diǎn)）的力矩平衡，∑Mo＝0 得：

忽略高階無窮小項(xiàng)，并對(duì)式（5）進(jìn)行一階微分得：

根據(jù)歐拉-伯努利梁理論公式：

將式（3）、式（4）、式（7）代入式（6）得：

式（8）四階微分方程的特征方程為：

式（9）的特征方程有兩對(duì)共軛的復(fù)數(shù)根，其實(shí)數(shù)部分和虛數(shù)部分的絕對(duì)值相等：

因此，式（9）的一般解為：

式中：系數(shù)C通過邊界條件求解得到。

對(duì)于剛接接口的管道，曲管和直管之間的轉(zhuǎn)角為零；當(dāng)x→∞時(shí)，管道的橫向位移為零，即：

將式（12）代入式（11）得：

將式（13）代入式（11）得到直管段的側(cè)向位移方程為：

令v＝0，可以得到如下解：

令x＝0 時(shí)，曲管與直管連接處的剪力V0、彎矩M0如下：

1.3 曲管段受力分析

不考慮管道液體流速的影響，管道在水平轉(zhuǎn)角處的推力為：

式中：P為管道內(nèi)水壓；A＝πD20／4。

根據(jù)力的平衡分析得出：

式中：K＝k′lb，曲管段的側(cè)向約束可使用壓實(shí)度更高的回填土、支墩或者灌注樁基礎(chǔ)來提供曲管段支撐剛度K。管側(cè)若采用回填土，lb為曲管在垂直合力T方向上的投影長度，lb＝2Rsin（Δ／2），R為曲管段的曲率半徑，k′為曲管段范圍內(nèi)土的側(cè)向剛度；若管側(cè)采用支墩或者灌注樁基礎(chǔ)，lb為支墩或灌注樁承臺(tái)在垂直合力T方向上的投影長度，k′為曲管段范圍內(nèi)土的等效側(cè)向剛度，如圖3 所示。

圖3 埋地壓力管道曲管段的側(cè)向約束示意Fig.3 Analysis diagram of lateral constraint for curved pipe sections of buried pressure pipelines

取曲管段作為隔離體，如圖4 所示，曲管段位移為δ。

圖4 埋地壓力管道曲管段的受力分析Fig.4 Stress analysis of curved sections of buried pressure pipelines

1.4 變形協(xié)調(diào)條件

由于方程（14）并不能直接求出，須通過直管與曲管連接處位移滿足變形協(xié)調(diào)條件求解，如圖5 所示，即：

圖5 直管與曲管連接處位移的變形協(xié)調(diào)Fig.5 Deformation coordination of displacement at the connection between straight pipes and bent pipes

1.5 聯(lián)立求解

假設(shè)單位長度承受的摩擦力fμ是常數(shù)，且管道能夠承擔(dān)剪力和彎矩，則有效約束長度（該有效約束長度是僅為了抵抗直管段的軸力）為：

單位長度摩阻力［7］如下：

式中：μ 為管道與土的摩擦系數(shù)；γs為土的容重；Hs為管頂覆土；γw為管道內(nèi)液體容重。

文獻(xiàn)［7］給出了直管段約束長度范圍在管起端位置的累計(jì)變形δx如下：

式中：Ap為管道截面面積。

令式（14）中的x＝0，可得到δy如下：

將式（23）、式（24）代入式（20）得：

將式（25）代入式（19），化簡(jiǎn)得：

式（26）為一元二次方程，令：

根據(jù)求根公式求得方程的解：

求出F0后，代入式（25）、式（17）和式（21）即可求出直管起端位置的剪力、彎矩和有效約束長度。

2 算例分析

管道計(jì)算基本參數(shù)如下：管道外徑D取2.288m，壁厚取0.024m，管道水平轉(zhuǎn)角為45°，曲管段在合力T方向上的投影長度為lb取為1.470m，彈性模量為E取2.0 ×108kN／m2，管道內(nèi)液體重度γw取為10kN／m3，水壓P為0.68MPa，土的重度γs取為18kN／m3，管道與土的摩擦系數(shù)μ取為0.25，地下水位位于管道底以下，管頂覆土Hs為4m，直管段土的側(cè)向剛度k取為20000kN／m2，曲管段土的側(cè)向剛度k′取為20000kN／m2。

由圖6a 可知，考慮曲管段土側(cè)向剛度將會(huì)減小直管段的最大位移；直管段的側(cè)向位移零點(diǎn)始終保持不變，距離直管段起始點(diǎn)為3π／4λ1，且僅受直管抗彎剛度和直管段土側(cè)向剛度的影響。

圖6 是否考慮曲管土側(cè)向剛度對(duì)直管段的影響Fig.6 Comparison of straight pipe sections whether considering the lateral stiffness of curved pipe soil

由圖6b可知，考慮曲管段土側(cè)向剛度將會(huì)減小直管段最大軸力；沿著管長方向，軸力逐漸減少，減少速率保持不變，且軸力減少速率僅和單位長度的摩阻力相關(guān)；當(dāng)軸力為0 時(shí)的直管段長度即為管道的有效約束長度。

圖6c、d可得出考慮曲管土側(cè)向剛度將會(huì)減少直管段的剪力和彎矩，且從直管起端開始，沿管長方向曲管土側(cè)向剛度的影響逐漸減少。

以上分析可以看出，考慮曲管段土側(cè)向剛度將會(huì)減小直管段的側(cè)向位移、內(nèi)力，但是影響有限。若要增大影響，可采用灌注樁或支墩。

3 參數(shù)分析

為了研究直管段土側(cè)向剛度、曲管段側(cè)向約束、管-土摩擦系數(shù)、敷設(shè)方向角度改變對(duì)直管段有效約束長度、彎矩、軸向力和剪力的影響，取管道計(jì)算基本參數(shù)如下：管道外徑D取2.288m，壁厚取0.024m，彈性模量E取2.0×108kN／m2，管道內(nèi)液體重度γw取為10kN／m3，水壓P為0.68MPa，土的重度γs取為18kN／m3，地下水位位于管道底以下，管頂覆土Hs為4m。

3.1 直管段土側(cè)向剛度、曲管段側(cè)向約束的影響

如圖7 所示，曲管內(nèi)力、位移δ和約束長度Lb都隨著曲管段范圍內(nèi)土的等效側(cè)向剛度k′的增加而減小，這表明了通過使用更壓實(shí)的回填土或支墩來增加曲管段土側(cè)向剛度將有益于減小約束長度和內(nèi)力。

圖7 等效側(cè)向剛度k′對(duì)內(nèi)力、 位移和約束長度的影響Fig.7 The influence of equivalent lateral stiffness k′ on internal forces，displacement and constraint length

正如圖4 和式（19）所示，彎曲處的推力由三個(gè)分量抵抗，即剪切力V0、軸向力F0和曲管段側(cè)向支撐反力k′δlb，圖8 所示給出了不同的等效側(cè)向剛度k′對(duì)三個(gè)分量占總推力比值的影響。當(dāng)k＝k′時(shí)，曲管段的側(cè)向支撐承載總推力的2%，直管段承擔(dān)其余推力，這些推力隨后被管道沿線的土壤消散。將彎曲處的有效土壤剛度增加到其原始值的10 倍后，即k′＝10k，彎曲處的側(cè)向支撐承擔(dān)了總推力的16%以上。土壤剛度的變化將影響每個(gè)約束系統(tǒng)所承受推力的百分比。因此，通過考慮總推力的固定百分比來設(shè)計(jì)每個(gè)約束系統(tǒng)是不安全的。為了實(shí)現(xiàn)兩個(gè)系統(tǒng)的均勻可靠性水平，建議通過適當(dāng)選擇土壤剛度比，在兩個(gè)約束系統(tǒng)之間分配推力。

圖8 不同等效側(cè)向剛度k′下的各分力的占比Fig.8 The proportion of each component force under different equivalent lateral stiffness k′

3.2 管-土摩擦系數(shù)的影響

管-土摩擦系數(shù)取決于許多因素，如管道材料、表面粗糙度、回填類型及其壓實(shí)水平和地下水位等。如圖9 所示，增加摩擦系數(shù)是有利的，因?yàn)閺澗豈0、剪切力V0、曲管段位移δ 和約束長度Lb隨著摩擦系數(shù)的增加而減小，然而，軸向力F0隨著摩擦系數(shù)μ 的增加而增加，這可能需要更厚的壁或彎曲附近的更多縱向加強(qiáng)件。

圖9 摩擦系數(shù)對(duì)曲管段內(nèi)力、位移和約束長度的影響Fig.9 The influence of the friction coefficient on internal force，displacement of curved pipe section and constraint length

3.3 敷設(shè)方向角度改變的影響

如圖10 所示，隨著敷設(shè)方向改變角度的增加，軸向力F0、約束長度Lb逐漸增加，彎矩M0、剪力V0和曲管段位移δ先增大后減小。這表明對(duì)于較大的角度改變，曲管段位移δ 的增加主要?dú)w因于較大的軸向力引起的軸向位移的增加，且直管側(cè)背后土體側(cè)向剛度影響越來越小。

圖10 敷設(shè)方向改變角度對(duì)曲管段內(nèi)力、 位移和約束長度的影響Fig.10 The influence of change in angle of the laying direction on the internal force，displacement of curved pipe sections and constraint length

如圖11 所示，曲管位移δ 在Δ ＝54.3°處達(dá)到峰值，然后減小；橫向位移δx在Δ ＝43°處達(dá)到峰值，然后減小，而軸向位移δy隨著彎曲角度的增加而單調(diào)增加。根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件，Δ ＝90°彎曲的橫向位移和軸向位移始終相等。

圖11 敷設(shè)方向改變角度對(duì)曲管段位移的影響Fig.11 The influence of change in angle of the laying direction on the displacement of curved pipe sections

4 結(jié)論

本文基于歐拉-伯努利梁理論和溫克爾地基梁模型，推導(dǎo)了直管段軸向摩擦力和側(cè)向土抗力、曲管段側(cè)向支撐共同作用下的直管段有效約束長度的解析解，分析了直管段土側(cè)向剛度、曲管段側(cè)向約束、管-土摩擦系數(shù)、敷設(shè)方向改變角度等因素對(duì)管道約束長度、彎矩、軸向力和剪力的影響。主要結(jié)論如下：

1.使用更壓實(shí)的回填土或支墩來增加曲管段側(cè)向支撐剛度將有益于減小約束長度和內(nèi)力。通過在管道敷設(shè)方向處設(shè)置支墩或增強(qiáng)曲管段土的性質(zhì)，對(duì)于這種雙約束系統(tǒng)來計(jì)算有效約束長度時(shí)，約束剛度的變化將影響每個(gè)約束系統(tǒng)所承受推力的百分比，通過考慮總推力的固定百分比來設(shè)計(jì)每個(gè)約束系統(tǒng)是不安全的。

2.隨著摩擦系數(shù)的增加，曲管段彎矩、剪切力、曲管段位移和有效約束長度逐漸減小，然而，軸向力隨著摩擦系數(shù)的增加而增加，這需要更厚的管壁或彎曲附近的更多縱向加強(qiáng)件。

3.隨著敷設(shè)方向改變角度的增加，曲管段節(jié)點(diǎn)處軸向力、有效約束長度逐漸增加，曲管段彎矩、剪力和曲管段位移先增大后減??；直管起始端橫向位移先增加后減小，而直管起始端軸向位移隨著彎曲角度的增加而一直增加。這表明對(duì)于較大的角度改變，曲管段位移的增加主要?dú)w因于較大的軸向力引起的軸向位移的增加，且直管側(cè)背后土體側(cè)向剛度影響越來越小。