作用到單位向量上的線(xiàn)性變換軌跡解析

李天竹 嚴(yán)維軍 陳昊 肖業(yè)亮

摘?要：線(xiàn)性變換是線(xiàn)性空間到其自身的線(xiàn)性映射.當(dāng)在線(xiàn)性空間中取定一組基以后，在線(xiàn)性變換與矩陣之間就建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，這樣就可以使用矩陣運(yùn)算來(lái)解決線(xiàn)性變換問(wèn)題.盡管線(xiàn)性變換較為抽象，但在教學(xué)中可運(yùn)用幾何直觀法將其顯性化、可視化，從而降低教學(xué)難度，提高教學(xué)實(shí)效.為了挖掘教學(xué)深度，強(qiáng)化并優(yōu)化概念教學(xué)，本文運(yùn)用矩陣的特征值與特征向量等知識(shí)，從理論上對(duì)單位向量x經(jīng)二階矩陣A作用后所得到的新向量Ax的軌跡進(jìn)行了分析，根據(jù)矩陣A的奇異性等特性給出了Ax軌跡的生成條件，并通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證.

關(guān)鍵詞：線(xiàn)性變換；單位向量；軌跡；理論分析

一、概述

線(xiàn)性變換是線(xiàn)性代數(shù)的一個(gè)重要的基本概念和研究對(duì)象，有著豐富的理論內(nèi)容.常用的線(xiàn)性變換有旋轉(zhuǎn)變換、伸縮變換以及投影變換等［1］?.迄今，線(xiàn)性變換在機(jī)器學(xué)習(xí)、圖像處理、語(yǔ)音識(shí)別、壓縮感知等眾多領(lǐng)域都得到了應(yīng)用［23］?.正因?yàn)槿绱耍炀氄莆站€(xiàn)性變換知識(shí)對(duì)于學(xué)生更深入的學(xué)習(xí)是非常重要的.為了便于學(xué)生從幾何上理解線(xiàn)性變換這一抽象的概念，引入恰當(dāng)?shù)膭?dòng)畫(huà)模型進(jìn)行可視化教學(xué)就顯得十分必要.為此，作用在單位向量上的線(xiàn)性變換模型就以其典型、直觀等特性在教學(xué)中被廣為采用［46］?.為了使該模型在教學(xué)中更好地發(fā)揮作用，本文基于A取一般的二階矩陣的情形，從理論上對(duì)向量Ax軌跡的類(lèi)型及生成條件進(jìn)行了深入細(xì)致的研究.

二、預(yù)備知識(shí)

令二階方陣A=abcd（a，b，c，d∈R，且a2?+b2?+c2?+d2?>0），單位向量x=（cosθ，sinθ）?T（0SymbolcB@

θ<2π）.做線(xiàn)性變換ξ=Ax=（X，Y）T?，則有

X=acosθ+bsinθ，

Y=ccosθ+dsinθ.（1）

于是

cX-aY=-（ad-bc）sinθ，

dX-bY=（ad-bc）cosθ.（2）

從而

（c2?+d2?）X2?-2（ac+bd）XY+（a2?+b2?）Y2?=（ad-bc）?2?.（3）

下面我們根據(jù)矩陣A的奇異性等特征，研究向量Ax隨著x變化的軌跡.

三、A為非奇異矩陣

此時(shí)，有

A=ad-bc≠0，（4）

進(jìn)而推出

a2?+b2?>0，?c2?+d2?>0.（5）

（一）當(dāng)ac+bd=0時(shí)

此時(shí)，方程（3）等號(hào)左端不含交叉項(xiàng)（即XY項(xiàng)）.結(jié)合（5）式，不妨假設(shè)d≠0.令ad=k，則有

a=kd，

b=-kc，（k≠0，k∈R）.（6）

從而（ad-bc）?2?=k2?（c2?+d2&nbsp;）?2?=（a2?+b2?）（c2?+d2?）.

于是，（3）式變?yōu)?/p>

（c2?+d2?）X2?+（a2?+b2?）Y2?=（a2?+b2?）（c2?+d2?）.（7）

以下分兩種情形進(jìn)行討論.

情形一：當(dāng)a2?+b2?=c2?+d2?時(shí)

結(jié)合（5）、（6）式，得：k=±1.代回（6）式，有

a=d，

b=-c，或?a=-d，

b=c.（8）

利用（5）、（7）式，得

X2?+Y2?=a2?+b2?.（9）

易知Ax的軌跡為圓，其圓心為原點(diǎn)，半徑長(zhǎng)為a2?+b2?.圖1給出了此類(lèi)的一個(gè)仿真示例，圖2～圖5的含義與圖1相仿.

情形二：當(dāng)a2?+b2?≠c2?+d2?時(shí)

根據(jù)（5）、（7）式，得

X2?a2?+b2?+Y2?c2?+d2?=1.（10）

當(dāng)a2?+b2?>c2?+d2?>0時(shí)，Ax的軌跡為中心在原點(diǎn)、長(zhǎng)軸在x軸上、短軸在y軸上的橢圓，其半長(zhǎng)軸長(zhǎng)為a2?+b2?，半短軸長(zhǎng)為c2?+d2?；而當(dāng)c2?+d2?>a2?+b2?>0時(shí)，Ax的軌跡為中心在原點(diǎn)、長(zhǎng)軸在y軸上、短軸在x軸上的橢圓，其半長(zhǎng)軸長(zhǎng)為c2?+d2?，半短軸長(zhǎng)為a2?+b2?.

（二）當(dāng)ac+bd≠0時(shí)

此時(shí)，方程（3）等號(hào)左端含交叉項(xiàng).記

（c2?+d2?）X2?-2（ac+bd）XY+（a2?+b2?）Y2?=ξT?Bξ，（11）

其中，B=c2?+d2?-ac-bd

-ac-bda2?+b2?.

B的特征多項(xiàng)式為

B-λE=λ2?-（a2?+b2?+c2?+d2?）λ+（ad-bc）?2?，（12）

特征值為

λ1?=α-Δ2=2（ad-bc）?2?α+Δ，?λ2?=α+Δ2，（13）

其中，

α=a2?+b2?+c2?+d2?，（14）

Δ=α2?-4（ad-bc）?2?=［（a-d）?2?+（b+c）?2?］［（a+d）?2?+（b-c）?2?］.（15）

根據(jù)題設(shè)及反證法，易知

α>0，?Δ>0.（16）

利用（13）、（16）式，得

λ2?>λ1?>0.（17）

由（B-λE）U=0，求得實(shí)對(duì)稱(chēng)方陣B的互異特征值λ1?，λ2?所對(duì)應(yīng)的單位特征向量分別為

η1?=1τ1?（2γ，-β+Δ）T?，（18）

η2?=sgn（γ）τ2?（-2γ，β+Δ）T?，（19）

其中，

γ=ac+bd，（20）

β=a2?+b2&nbsp;-c2?-d2?，（21）

τi?=4γ2?+β+（-1）?i?Δ?2?（i=1，2）.（22）

因向量η1?與η2?正交，于是η1?·η2?=0，從而

（-β+Δ）（β+Δ）=4γ2?>0，（23）

結(jié)合（16）式，有

-β+Δ>0，?β+Δ>0.（24）

由（18）、（19）、（20）、（24）式知，向量ηi?（i=1，2）的各個(gè)分量均不為零，這說(shuō)明向量η1?與η2?都不在原坐標(biāo)系OXY的坐標(biāo)軸上.具體地，當(dāng)γ>0時(shí)，向量η1?、η2?分別在第Ⅰ、第Ⅱ象限；而當(dāng)γ<0時(shí)，向量η1?、η2?分別在第Ⅱ、第Ⅲ象限.

令P=（η1?，η2?），根據(jù)主軸定理［7］?，得

PT?BP=P-1?BP=diag（λ1?，λ2?）.（25）

做正交變換

ξ=Pξ′，（26）

其中，ξ′=（X′，Y′）T?.分別以η1?、η2?為X′軸、Y′軸正方向上的單位向量建立平面右手直角坐標(biāo)系.由（3）、（11）、（25）、（26）式得曲線(xiàn)（3）在新坐標(biāo)系OX′Y′下的方程為

λ1?X′2?+λ2?Y′2?=（ad-bc）?2?.（27）

根據(jù)（17）、（27）式知，Ax的軌跡為中心在原點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸不在原坐標(biāo)系OXY的坐標(biāo)軸上的橢圓，其長(zhǎng)軸在X′軸上，短軸在Y′軸上，半長(zhǎng)軸長(zhǎng)為ad-bcλ1?，半短軸長(zhǎng)為ad-bcλ2?.

四、A為奇異矩陣

此時(shí)，有

A=ad-bc=0.（28）

根據(jù)（1）式及CauchySchwarz不等式，得

XSymbolcB@

a2?+b2?，YSymbolcB@

c2?+d2?.（29）

（一）當(dāng)a2?+c2?>0時(shí)

仿（6）式，利用（28）式，得

b=ka，

d=kc，（k∈R）.（30）

由（2）、（28）—（30）式，得Ax的軌跡方程為

cX-aY=0，XSymbolcB@

a2?+b2?，YSymbolcB@

c2?+d2?.（31）

（二）當(dāng)a=c=0，b2?+d2?>0時(shí)

結(jié)合（2）、（29）式，得Ax的軌跡方程為

dX-bY=0，XSymbolcB@

a2?+b2?，YSymbolcB@

c2?+d2?.（32）

綜上可知，當(dāng)A為奇異矩陣時(shí)，Ax的軌跡為兩端點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)段.眾所周知，行列式是線(xiàn)性變換下圖形面積（或體積）的伸縮因子［1］?.結(jié)合行列式的這一幾何意義，上述結(jié)果就非常容易理解了.

結(jié)語(yǔ)

本文對(duì)單位向量x經(jīng)二階矩陣A作用后所得到的新向量Ax的軌跡進(jìn)行了詳細(xì)的理論分析.結(jié)果表明，當(dāng)A是非奇異矩陣時(shí)，Ax的軌跡為圓或橢圓；而當(dāng)A是奇異矩陣時(shí)，Ax的軌跡退化為兩端點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)段.本文不僅可以使學(xué)生加深對(duì)線(xiàn)性變換、矩陣的行列式以及矩陣的特征值和特征向量等相關(guān)知識(shí)的理解和掌握，同時(shí)對(duì)教師的教學(xué)工作也具有一定的參考價(jià)值.為了方便應(yīng)用，我們將所得到的結(jié)果進(jìn)行了整理，具體可見(jiàn)下表.

線(xiàn)性變換Ax的軌跡表

矩陣A=［a??b；c??d］滿(mǎn)足的條件

Ax的軌跡方程

曲線(xiàn)的類(lèi)型

A為非奇異矩陣

a=d，

b=-c，或a=-d，

b=c.

X2?+Y2?=a2?+b2?.

圓

ac+bd=0，

a2?+b2?≠c2?+d2?.

X2?a2?+b2?+Y2?c2?+d2?=1.

長(zhǎng)軸與短軸分別在坐標(biāo)軸上的橢圓

ac+bd≠0.

λ1?X′2?+λ2?Y′2?=（ad-bc）?2?，

其中，λi?=α+（-1）?i?Δ2（i=1，2），

α=a2?+b2?+c2?+d2?，?Δ=α2?-4（ad-bc）?2?.

長(zhǎng)軸與短軸均不在坐標(biāo)軸上的橢圓

A為奇異矩陣

a2?+c2?>0.

cX-aY=0，

X∈-a2?+b2?，a2?+b2?，

Y∈-a2?+b2?，a2?+b2?.

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)段

a=c=0，

b2?+d2?>0.

dX-bY=0，

X∈-a2?+b2?，a2?+b2?，

Y∈-a2?+b2?，a2?+b2?.

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)段

參考文獻(xiàn)：

［1］戴維.C.雷，史蒂文.R.雷，朱迪.J.麥克唐納.線(xiàn)性代數(shù)及其應(yīng)用［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2023.

［2］Wang?Wencheng，Yuan?Xiaohui，Wu?Xiaojin，et?al.Fast?image?dehazing?method?based?on?linear?transformation［J］.IEEE?Transactions?on?Multimedia，2017（19）：11421155.

［3］Liang?Jia，Xiao?Di，Tan?Xue，et?al.Secure?Sampling?and?LowOverhead?Compressive?Analysis?by?Linear?Transformation［J］.IEEE?Transactions?on?Circuits?and?Systems?II：Express?Briefs，2022（69）：639643.

［4］Cleve?B.Moler.MATLAB數(shù)值計(jì)算［M］.?北京：北京航空航天大學(xué)出版社，2023.

［5］劉慧敏，程建輝.線(xiàn)性代數(shù)的“可視化”教學(xué)［J］.河南工程學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2014（26）：7880.

［6］崔秋珍.基于MATLAB的《線(xiàn)性代數(shù)實(shí)驗(yàn)課程》GUI平臺(tái)設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)［J］.電腦知識(shí)與技術(shù)，2012（8）：75137515.

［7］樊惲，劉宏偉.線(xiàn)性代數(shù)與解析幾何教程（下冊(cè)）［M］.北京：科學(xué)出版社，2009.

資金資助：遼寧省教育科學(xué)規(guī)劃“十四五”項(xiàng)目——高校創(chuàng)新型教學(xué)團(tuán)隊(duì)建設(shè)研究與實(shí)踐（編號(hào)：JG22DB047）；遼寧省教育科學(xué)規(guī)劃“十四五”項(xiàng)目——新時(shí)代應(yīng)用型本科公共基礎(chǔ)課混合式教學(xué)研究（編號(hào)：JG22DB055）

作者簡(jiǎn)介：李天竹（1989—?），女，遼寧大連人，碩士，研究方向：人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。