不同側隙卸荷槽時齒輪泵理論流量的創(chuàng)新計算

劉 萍，李玉龍，宋安然

（宿遷學院 機電工程學院，江蘇宿遷 223800）

0 引言

外嚙合齒輪泵（簡稱為齒輪泵）為依靠2 個同尺寸齒輪在1 個緊密配合的殼體內相互嚙合旋轉，從而實現介質輸送或增壓的一類容積式動力元件［1-5］。雖結構簡單，應用廣泛，但齒輪副嚙合半徑的周期性變化和重合度大于1，造成了流量脈動［6-7］和困油現象［8］等嚴重的結構性問題。側隙的有和無［9-10］、雙卸荷槽設置對稱與否［11-12］的不同類型，簡稱為多類型，對輸出流量和困油現象均有較大的影響，其中，影響程度分別用類型系數［13］和最大困油容積變化率［14］加以評估。目前，輸出流量公式多為單一類型下基于文獻［13］而推導的，其中，來自困油腔通過卸荷槽的卸荷流量，對出口腔內輸出流量的損益影響最為關鍵［15-17］，輸出流量計算的周期性嚙合線區(qū)間多為齒頂嚙合后的有側隙1 個、無側隙半個的基圓節(jié)距［18］。顯然，這些單一類型及卸荷流量損益影響下的輸出流量研究，局限性大，過程分析復雜，難免會出現一些錯誤性結論［19］。鑒于此，擬通過一種不直接考慮卸荷流量影響的新計算方法，以期實現多結構類型下理論輸出流量及理論排量和理論脈動系數等衍生量的快速求解及其統(tǒng)一式的精確構建。

1 現有類型系數中的問題

文獻［13］中通過進口腔或出口腔封閉體積的掃過面積方法，給出了齒輪泵理論排量：

式中，B 為齒寬；Re為齒頂圓半徑；R 為節(jié)圓半徑；Pb為基圓節(jié)距；Kc為類型系數，多類型下現有的類型系數見表1［13］。

表1 現有的類型系數Tab.1 Existing type coefficients

1 對互相嚙合的齒輪，在其非工作面間沿公法線方向（即沿嚙合線方向）上的間隙簡稱為側隙，泵用同尺寸齒輪副的側隙值cn，一般取為0.01mn～0.08mn［13］，且：

式中，mn為模數，mm；μ為介質黏度，N·s/m2；v 為節(jié)圓圓周速度，m/s；Δp 為高低壓腔壓力差，MPa。此時，視為無側隙或小側隙，否則視為有側隙或大側隙［13］。

在表1 中，由“無側隙”下“無卸荷槽”、“低壓單側卸荷槽”和“高壓單側卸荷槽”的現有類型系數均為Kc=3ε2-3ε+1，ε為重合度，可類比推理出“有側隙”下該3 種卸荷槽的類型系數應相同。同樣，由“無側隙”下“低壓單側卸荷槽”和“高壓單側卸荷槽”的現有類型系數均為Kc=3ε2-3ε+1，可類比推理出“有側隙”下該兩種卸荷槽的類型系數也應相同，由此可見現有的部分類型系數是錯誤的。其中，單側卸荷槽為雙卸荷槽省略了另一側卸荷槽的特殊情況，這里統(tǒng)稱為雙卸荷槽。

2 泵用齒輪副的周期性嚙合過程

由2 個同尺寸齒輪所構成齒輪副的嚙合過程如圖1 所示。其中，O1，O2分別為主、從動漸開線直齒輪的中心，p 為節(jié)點，m 為單齒或雙齒中后進入嚙合的輪廓點，n 為雙齒中先進入嚙合的輪廓點；F 為節(jié)點p 到點m 間嚙合線段的矢量長度，f=F/Pb為對應于F 的無量綱矢量長度，以與主動輪旋轉方向相同時為正，否則為負；以“□”符號表示側隙位置；ω為旋轉角速度，Rb為基圓半徑，點m 與點n 間的嚙合線長度等于基圓節(jié)距Pb。

圖1 齒輪副周期性的嚙合過程Fig.1 The periodic meshing process of gear-pair

以f 作為齒輪副嚙合的無量綱位置變量，則在1 個齒輪的完整齒面上，點m 由Re到Rb的周期性嚙合所對應的嚙合線長度等于εPb，稱之為齒面嚙合線區(qū)間，對應的嚙合流量稱為齒面流量Q0。由于1 個無側隙位置可視為1 個嚙合點，所以齒輪副周期性嚙合輸出所對應的嚙合線長度等于kPb，稱之為輸出嚙合線區(qū)間，對應的嚙合流量稱為輸出流量Q，其中，k=1 表示有側隙類型，k=0.5 表示無側隙類型。

3 無卸荷槽時的齒面流量和輸出流量

案例計算時齒輪副參數統(tǒng)一采用壓力角為20°，齒頂高系數為1.0，齒數為14，模數為3，變位系數為0，齒寬B=30 mm；由此計算得出ε=1.46，R=21 mm，Re=24 mm，Pb=8.86 mm。工況參數采用轉速1 500 r/min，即ω=157.08 rad/s。

由文獻［13］，得齒面流量Q0為：

式中，re=Re/Pb為無量綱齒頂圓半徑；r=R/Pb為無量綱節(jié)圓半徑。

有側隙無卸荷槽時，在輸出嚙合線區(qū)間Pb內，會出現雙齒、單齒嚙合的2 個子區(qū)間，案例參數下的齒面流量Q0（f）和輸出流量Q（f），如圖2 所示。其中，雙齒嚙合區(qū)間即為有側隙困油的嚙合線區(qū)間，如圖2 中剖面線部分。據此，得出矩形框內的輸出流量Q 為1 個以Pb為區(qū)間的周期函數，則Q的均值與Pb子區(qū)間的起點s 在εPb區(qū)間內的選擇無關。

圖2 有側隙和無卸荷槽時的輸出流量Fig.2 Output flow with backlash and without oil-trapping relief groove

無側隙無卸荷槽時，在Q 的形成過程中，無側隙位置相當于1 個嚙合點，因此在1 個輸出嚙合線區(qū)間0.5Pb內，存在著前側隙位置+嚙合點+后側隙位置的三齒、側隙位置+嚙合點的雙齒嚙合的2 個子區(qū)間，相應的齒面流量Q0（f）和輸出流量Q（f），如圖3 所示。

圖3 無側隙和無卸荷槽時的輸出流量Fig.3 Output flow with backlash and without oil-trapping relief groove

其中，三齒、雙齒嚙合線區(qū)間將分別形成2 個和1 個無側隙的困油區(qū)間，如圖3 中雙齒嚙合下打剖面線的部分為無側隙困油區(qū)間。據此，得矩形框內的Q 為1 個以0.5Pb為區(qū)間的周期函數，則Q 的均值與0.5Pb子區(qū)間的起點s 在εPb區(qū)間內的選擇無關。

4 雙卸荷槽下的輸出流量特性

依據雙卸荷槽的設置原則［20］，雙卸荷槽間距內的嚙合線段se，稱為卸荷槽嚙合線間距，與無卸荷槽輸出流量Q 的嚙合線區(qū)間kPb相同，如圖4 所示。其中，點s，e 分別為點m，n 一側卸荷槽的槽口線與嚙合線的交點，a1，a2分別為主從動齒輪的齒頂點。

圖4 雙卸荷槽下的齒輪副嚙合過程Fig.4 The meshing process of gear-pair with double oil-trapping relief groove

線-εPb，（2k-ε）Pb表示m 點為齒頂嚙合位置及其相應的n 點位置，線-（2k-ε）Pb，εPb表示n點為齒頂嚙合位置及此時m 點的位置，線-0.5kPb，0.5kPb表示m 點、n 點關于節(jié)點p 對稱時的嚙合位置。Y 為雙卸荷槽的對稱線相對于齒輪副的中心線O1O2的不對稱嚙合線寬度，y=Y/Pb為對應于Y的無量綱不對稱嚙合線寬度，y 可用于定義雙卸荷槽設置的不同類型，其正負和前述f 的正負定義一致。其中，由雙卸荷槽的設置原則［13］，得y 的取值范圍為：

基于前述無卸荷槽輸出流量Q 及其均值與kPb子區(qū)間起點s 的選擇無關，則如以卸荷槽嚙合線間距se 作為輸出流量Q 的計算區(qū)間，就可不直接考慮卸荷流量對輸出流量Q 計算的影響。例如，在如圖4 所示的逆時針旋轉方向下，嚙合點m 始終遠離槽口線-0.5kPb，困油腔與出口腔將始終沒有卸荷流量的交換。

此時，輸出流量Q 即為卸荷槽嚙合線間距kPb內的齒面流量Q0，如圖5 所示。其中，s 點處f=y-0.5k，點e 處f=y+0.5k，Max 點處為最大瞬時流量位置（f=0）。

圖5 從齒面流量曲線中提取輸出流量曲線Fig.5 Extract output flow curve from full tooth surface flow curve

由一般要求ε＜1.5［10］，得有側隙（k=1.0）下點（f=0）位于雙卸荷槽間的嚙合線長度se 內；無側隙（k=0.5）下且-0.25 ≤y ≤0.25 時，點（f=0）位于se內，否則位于se 外。

5 多類型下輸出量的統(tǒng)一簡潔式

由圖4 中a1O1mO2a2封閉區(qū)域的掃過面積方法，得出多類型下輸出流量Q 為：

則，輸出排量q 為：

說明對稱卸荷槽類型（y=0）或無側隙類型（k=0.5）下的排量最大。

由流量脈動系數的定義：

式中，max（Q），min（Q），ave（Q）分別為輸出流量Q 的最大值、最小值和均值。

有側隙（k=1.0）時，圖5 中最大瞬時流量位置點（f=0）位于se 上，所以Q 滿足：

可得出有側隙（k=1.0）的流量脈動系數β為：

無側隙（k=0.5）時，圖5 中最大瞬時流量位置點（f=0）既可能位于se 內也可能位于se 外，所以，此時Q 滿足：

可得出無側隙（k=0.5）的流量脈動系數β為：

由y=0，k=1.0，0.5，可得：

與文獻［13］給出的流量脈動式完全一致，由此說明式（5）～（11）的正確性。

在案例參數下，由式（9）（12）得到的流量脈動系數，如圖6 所示。由此說明對稱卸荷槽類型（y=0）或無側隙類型（k=0.5）下的流量脈動更小，單側卸荷槽的流量脈動很大，不建議采用。

圖6 流量脈動系數隨著不對稱嚙合線寬度的變化Fig.6 Variation of flow ripple factor with asymmetric width on meshing line

由式（6）得類型系數Kc為：

稱之為修正的類型系數，見表2。

表2 修正的類型系數Tab.2 Corrected type coefficient

由表2 中看出，同等側隙時，無卸荷槽與高壓、低壓單側卸荷槽時的類型系數均相同；無側隙較有側隙下的類型系數更大，糾正了有側隙下單側卸荷槽類型系數的現有錯誤。

高壓單側卸荷槽時，業(yè)界有人認為因困油腔始終與出口腔相連通，貌似排量應更大。事實上，困油壓縮時的確會向出口腔排油，但困油膨脹時也會從出口腔吸油，因排油和吸油量相等，考慮到困油本身壓縮和膨脹時的體積變化很小，可以忽略不計，故理論上對輸出排量無影響。同理，低壓單側卸荷槽時的情況亦如此。

6 困油容積變化率的計算

在-ε/2 ≤f ≤-（2k-ε）/2 的1 個困油嚙合線區(qū)間內，由圖2～3 可直接得困油容積變化率QT為：

由此說明困油容積變化率僅與側隙類型k 有關，而與卸荷槽類型y 無關。

且由

得

其中，QT為負時表示處于困油的壓縮階段，QT為正時表示處于困油的膨脹階段。最大困油容積變化率為：

與現有結果完全一致［21］，由此說明壓縮與膨脹階段的最大困油容積變化率相等，只是正負號不同而已。

相對于對稱卸荷槽下相同的壓縮階段與膨脹階段卸荷面積分布［22］，不對稱卸荷槽下要么壓縮階段的卸荷面積更大或更小，要么膨脹階段的卸荷面積更小或更大，由此說明不對稱卸荷槽時要么壓縮階段的困油現象更嚴重，要么膨脹階段的困油現象更嚴重?？傊?，不對稱卸荷槽下的困油現象更嚴重。

有側隙與無側隙下最大困油容積變化率之比為：

由式（18）和泵用重合度為1.05～1.3，說明無側隙困油現象更嚴重。

比起困油容積變化率現行的掃過面積計算方法［17］，這種由齒面流量Q0直接得到困油容積變化率QT的原理更清晰，方法更簡單。

7 結論

（1）以1.0，0.5 分別表示有、無側隙的不同類型，雙卸荷槽對稱線與齒輪副中心線的無量綱不對稱嚙合線寬度為變量的輸出特性公式，簡潔可靠。

（2）同等側隙類型下無卸荷槽與單側卸荷槽的類型系數均相同；無側隙較有側隙的類型系數較小，糾正了有側隙下單側卸荷槽類型系數的現有錯誤。

（3）相比困油容積變化率現行的掃過面積計算方法，由齒面流量直接得到困油容積變化率，方法更簡單，原理更清晰。

（4）對稱卸荷槽或無側隙類型下的排量更大，流量脈動更小，不對稱卸荷槽較對稱卸荷槽、無側隙較有側隙類型下的困油現象更嚴重；無特殊情況不建議使用雙卸荷槽不對稱設置。