粒子偏轉(zhuǎn)的另類無(wú)窮解
——帶電粒子在勻強(qiáng)正三角磁場(chǎng)內(nèi)外偏轉(zhuǎn)問題研究

賈 平

(蘇州科技城外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué) 江蘇 蘇州 215000)

1 引言

帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期性回歸問題(即帶電粒子在不同形狀的磁場(chǎng)中做周期性運(yùn)動(dòng)后回到初始位置的問題)是高中磁場(chǎng)類題目中的一個(gè)難點(diǎn)[1],因其能有效考查學(xué)生數(shù)理結(jié)合能力,讀圖形畫圖形能力、空間思維能力,此類問題成為高考的熱點(diǎn)[2].命題人在命制帶電粒子在磁場(chǎng)中的周期性運(yùn)動(dòng)問題時(shí),需要明晰粒子運(yùn)動(dòng)軌跡,以確保命題準(zhǔn)確和嚴(yán)謹(jǐn).本文以2022年蘇州高三上學(xué)期期末試卷壓軸題為例,著重闡述帶電粒子在三角形磁場(chǎng)區(qū)域中的運(yùn)動(dòng)軌跡,為高中物理教學(xué)提供有價(jià)值的參考.

【例題】如圖1所示,邊長(zhǎng)為a的正三角形PMN區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直于紙面向外,在PMN區(qū)域外存在足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度大小也為B、方向垂直于紙面向里.大量質(zhì)量為m、電荷量為q的粒子,以大小不同的速度從MN的中點(diǎn)O垂直射入正三角形PMN區(qū)域內(nèi)部,不計(jì)重力及粒子間的相互作用,一部分粒子經(jīng)過磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后垂直MN回到O點(diǎn).求:垂直MN回到O點(diǎn)的粒子速度的最大值.

圖1 例題題圖

2 粒子的常規(guī)偏轉(zhuǎn)情況

本節(jié)討論θ為60°、120°、240°、300°的粒子常規(guī)偏轉(zhuǎn)情況.

(1)θ=60°

當(dāng)θ=60°時(shí),粒子可能的偏轉(zhuǎn)軌跡如圖2所示.

圖2 偏轉(zhuǎn)圓心角為60°時(shí)粒子的3次和15次偏轉(zhuǎn)軌跡示意圖

粒子運(yùn)動(dòng)半徑R滿足

該粒子可以垂直回到O點(diǎn).運(yùn)動(dòng)半徑為

粒子的初射速度為

粒子在磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)總時(shí)間

軌跡與磁場(chǎng)邊界的交點(diǎn)個(gè)數(shù)均為4n+1,粒子共有12n+3次偏轉(zhuǎn).

(2)θ=120°

當(dāng)θ=120°時(shí),粒子可能的偏轉(zhuǎn)軌跡如圖3所示.

圖3 偏轉(zhuǎn)圓心角為120°時(shí)粒子的5次和25次偏轉(zhuǎn)軌跡示意圖

如圖3(a)所示,粒子共有5次偏轉(zhuǎn),軌跡與磁場(chǎng)底邊交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1(不計(jì)回到O點(diǎn)),與側(cè)邊的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.如圖3(b)所示,粒子共有25次偏轉(zhuǎn),軌跡與磁場(chǎng)底邊交點(diǎn)個(gè)數(shù)為5,與側(cè)邊的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為10.

粒子運(yùn)動(dòng)半徑R滿足

該粒子可以垂直回到O點(diǎn),運(yùn)動(dòng)半徑為

粒子的初射速度為

粒子在磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)總時(shí)間

粒子軌跡與三角形區(qū)域底邊有4n+1個(gè)交點(diǎn),與側(cè)邊的各有2(4n+1)個(gè)交點(diǎn),共5(4n+1)次偏轉(zhuǎn).

(3)θ=240°

當(dāng)θ=240°時(shí),粒子的軌跡剛好能經(jīng)過三角形區(qū)域底邊M、N,如圖4所示.

圖4 偏轉(zhuǎn)圓心角為240°時(shí)粒子的21次偏轉(zhuǎn)軌跡示意圖

粒子運(yùn)動(dòng)半徑R滿足

該粒子可以回到O點(diǎn),運(yùn)動(dòng)半徑為

則粒子的初射速度為

粒子在磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)總時(shí)間

共(20n+21)次偏轉(zhuǎn).

(4)θ=300°

當(dāng)θ=300°時(shí),粒子可能的偏轉(zhuǎn)軌跡如圖5所示.

圖5 偏轉(zhuǎn)圓心角為300°時(shí)粒子的9次、21次偏轉(zhuǎn)軌跡示意圖

粒子運(yùn)動(dòng)半徑R滿足

粒子可以垂直回到O點(diǎn),此時(shí)粒子運(yùn)動(dòng)半徑為

則粒子的初射速度為

粒子在磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)總時(shí)間

粒子與三邊的交點(diǎn)數(shù)均為(4n+3),共3(4n+3)次偏轉(zhuǎn).

綜上所述,當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)半徑滿足

即三角形區(qū)域邊長(zhǎng)a與粒子運(yùn)動(dòng)半徑R的比值為偶數(shù)倍時(shí),帶電粒子經(jīng)過若干次偏轉(zhuǎn)后總能垂直回到O點(diǎn),但運(yùn)動(dòng)軌跡有所不同.

3 粒子的非常規(guī)偏轉(zhuǎn)情況

本節(jié)首先分析帶電粒子在磁場(chǎng)區(qū)域中5次偏轉(zhuǎn)的其他情況,再構(gòu)建模型,將該模型拓展到更多次偏轉(zhuǎn),考慮到偏轉(zhuǎn)圓心角均不是特殊角度,因此稱為非常規(guī)偏轉(zhuǎn).

(1)5次偏轉(zhuǎn)情況分析

除了圖3(a)給出粒子在磁場(chǎng)區(qū)域偏轉(zhuǎn)5次的情況外,圖6給出帶電粒子偏轉(zhuǎn)5次的其他情況.

圖6 帶電粒子經(jīng)過5次偏轉(zhuǎn)回到O點(diǎn)的非常規(guī)偏轉(zhuǎn)

圖6中,帶電粒子從A1(O)點(diǎn)出發(fā),經(jīng)過①軌跡首次到達(dá)PN邊A3點(diǎn),而后沿著②的軌跡到達(dá)PM邊的A5,再經(jīng)過③軌跡到達(dá)A2,再經(jīng)過④軌跡到達(dá)A4,最后經(jīng)過⑤軌跡垂直回到A1點(diǎn).粒子偏轉(zhuǎn)軌跡與磁場(chǎng)側(cè)邊的交點(diǎn)數(shù)均為2,與底邊交點(diǎn)數(shù)為1.粒子的偏轉(zhuǎn)軌跡依次通過A1→A3→A5→A2→A4→A1.

假定正三角形區(qū)域邊長(zhǎng)a=1,通過Geogebra繪制圖像,θ為28.377°,粒子的運(yùn)動(dòng)半徑R≈1.267,即該情況下帶電粒子能垂直回到O點(diǎn)且粒子偏轉(zhuǎn)半徑R大于3次偏轉(zhuǎn)時(shí)的運(yùn)動(dòng)半徑R0,此時(shí)粒子的出射速度大于v0.

(2)模型構(gòu)建

帶電粒子與三角形區(qū)域發(fā)生n次偏轉(zhuǎn)(n為奇數(shù)),偏轉(zhuǎn)軌跡與磁場(chǎng)區(qū)域的交點(diǎn)數(shù)記為:s-b-s,s表示軌跡與鄰邊交點(diǎn)個(gè)數(shù),b表示軌跡與底邊交點(diǎn)個(gè)數(shù)(不計(jì)粒子最后垂直回到O點(diǎn)),滿足2s+b=n.

以5次偏轉(zhuǎn)為例(n=5),底邊交點(diǎn)個(gè)數(shù)b為1或3,則偏轉(zhuǎn)軌跡交點(diǎn)有兩種可能的類型:2-1-2和1-3-1.對(duì)于1-3-1型,由于粒子在三角形區(qū)域內(nèi)外的運(yùn)動(dòng)半徑相同,當(dāng)粒子在底邊有3次交替穿越時(shí),不可能在兩鄰邊只穿過1次,因此1-3-1類型的偏轉(zhuǎn)軌跡不存在.有以下推論:軌跡與磁場(chǎng)鄰邊、底邊交點(diǎn)個(gè)數(shù)差不大于2,即有|b-s|≤1.對(duì)于2-1-2類型,粒子以以下兩種方式偏轉(zhuǎn):

1)A1→A2→A3→A4→A5→A1,如圖2(a)所示,θ為120°,為常規(guī)偏轉(zhuǎn).

2)A1→A3→A5→A2→A4→A1,如圖6所示,θ為28.377°,為非常規(guī)偏轉(zhuǎn).

(3)多次非常規(guī)偏轉(zhuǎn)討論

帶電粒子在三角形區(qū)域內(nèi)外經(jīng)過7次非常規(guī)偏轉(zhuǎn)情況為2-3-2型,即與底邊有3個(gè)交點(diǎn),與鄰邊各有2個(gè)交點(diǎn),粒子軌跡與磁場(chǎng)區(qū)域3邊交點(diǎn)的共有3種可能情況:1)A1→A2→A3→A4→A5→A6→A7→A1,粒子無(wú)法以該路徑運(yùn)動(dòng);2)A1→A3→A5→A7→A2→A4→A6→A1,如圖7(a)所示,粒子運(yùn)動(dòng)半徑R≈0.407,θ≈71.459°;3)A1→A4→A7→A3→A6→A2→A5→A1,如圖7(b)所示,粒子運(yùn)動(dòng)半徑R≈1.622,為7次偏轉(zhuǎn)的最大半徑,θ≈23.197°,此時(shí)粒子的出射速度大于v0.

圖7 帶電粒子經(jīng)過7次偏轉(zhuǎn)的非常規(guī)偏轉(zhuǎn)軌跡

帶電粒子9次非常規(guī)偏轉(zhuǎn)情況為3-3-3型,粒子偏轉(zhuǎn)共有4種可能情況:

2)A1→A3→A5→A7→A9→A2→A4→A6→A8→A1,粒子的偏轉(zhuǎn)軌跡如圖8(a)所示,粒子運(yùn)動(dòng)半徑R≈0.275,θ=105.184°;

圖8 帶電粒子經(jīng)過9次偏轉(zhuǎn)的非常規(guī)偏轉(zhuǎn)軌跡

3)A1→A4→A7→A1,該情況恰好變成3次偏轉(zhuǎn)情況,θ=60°,如圖2(a)所示,為常規(guī)偏轉(zhuǎn);

4)A1→A5→A9→A4→A8→A3→A7→A2→A6→A1,粒子的偏轉(zhuǎn)軌跡如圖8(b)所示,粒子的運(yùn)動(dòng)半徑R=2.049,θ=19.107°,為9次偏轉(zhuǎn)的最大運(yùn)動(dòng)半徑.

當(dāng)帶電粒子在三角形區(qū)域內(nèi)外發(fā)生11、13、15次非常規(guī)偏轉(zhuǎn)時(shí),偏轉(zhuǎn)路徑、偏轉(zhuǎn)半徑和偏轉(zhuǎn)圓心角如表1所示.

表1 帶電粒子在磁場(chǎng)中11、13、15次非常規(guī)偏轉(zhuǎn)參數(shù)

4 結(jié)論

本文根據(jù)帶電粒子首次偏轉(zhuǎn)到PN邊界的圓心角是否為特殊角,將偏轉(zhuǎn)軌跡分成常規(guī)和非常規(guī)兩類,對(duì)粒子的非常規(guī)偏轉(zhuǎn)進(jìn)行建模并歸納總結(jié):若正三角形內(nèi)外分布著兩個(gè)方向相反但磁感應(yīng)強(qiáng)度相同的勻強(qiáng)磁場(chǎng),當(dāng)帶電粒子從正三角形底邊垂直出射時(shí),不存在能垂直回到原點(diǎn)的最大粒子速度.

本題模型符合命題設(shè)計(jì)要求,具有創(chuàng)新性,切入角度新穎,能夠很好地考查學(xué)生的思維和學(xué)科素養(yǎng).但在命制三角磁場(chǎng)內(nèi)外偏轉(zhuǎn)問題時(shí),需要對(duì)帶電粒子可能的運(yùn)動(dòng)軌跡有所明晰,以確保命題準(zhǔn)確和嚴(yán)謹(jǐn)性.對(duì)該問題的研究也為教師開展教學(xué)研究和思考提供一定的借鑒.