解答絕對值不等式問題的兩種途徑

一、數(shù)形結(jié)合

我們知道，[|x-a|]表示數(shù)軸上的點(diǎn)[x]到點(diǎn)[a]的距離，這就是絕對值的幾何意義.在解答絕對值不等式問題時，我們可以先根據(jù)絕對值的幾何意義，分別令絕對值內(nèi)部的式子為零；然后在數(shù)軸上標(biāo)出零點(diǎn)，移動點(diǎn)x，結(jié)合數(shù)軸找出滿足不等式的點(diǎn)x的集合.

有時我們可以根據(jù)絕對值的性質(zhì)去掉絕對值符號，用分段函數(shù)的形式表示出含有絕對值的式子，并畫出其函數(shù)的圖象，便可通過研究函數(shù)的圖象，找到直角坐標(biāo)系中滿足不等式的點(diǎn)的集合.

例2.已知函數(shù)[f（x）=|x+2|+2|x-1|]，求不等式[f（x）≥6]的解集.

作出函數(shù)[f（x）]和直線[y=6]的圖象，如圖所示.

當(dāng)[f（x）=|x+2|+2|x-1|]=6時，[x=±2].

由圖2可知，要使[f（x）≥6]，只需使圖象上的點(diǎn)都在直線上或直線的上方，

所以不等式[f（x）≥6]的解集為[（-∞，-2]?[2，+∞）].

畫出[f（x）]與直線[y=6]的圖象，便可以直觀的方式快速找到滿足不等式的x的集合，進(jìn)而使問題快速獲解.利用數(shù)形結(jié)合法解題較為便捷，可以通過判斷點(diǎn)、直線、曲線之間的位置關(guān)系，直接找到不等式的解集.在解題時，要關(guān)注圖形中交點(diǎn)的位置，這往往是不等式解集的臨界點(diǎn).

二、采用零點(diǎn)分段法

在解答絕對值不等式時，可以分別令每個絕對值內(nèi)部的式子為0；然后用零點(diǎn)將實(shí)數(shù)集劃分為幾個區(qū)間段；再在每個區(qū)間段上，根據(jù)絕對值內(nèi)部式子的符號去掉絕對值符號，便可通過解不等式求得問題的答案.

例3.已知函數(shù)[f（x）=|2x-2|+|2x+3|]，解不等式[f（x）+|x-1|≤10].

解：由[f（x）+|x-1|≤10]可得[|2x+3|+3|x-1|≤10]，

當(dāng)[x≥1]時，不等式可化為[3x-3+2x+3=5x≤10]，

解得[x≤2]，則[1≤x≤2].

綜上所述，不等式的解集為[[-2，2]].

相比較而言，零點(diǎn)分段法比較常用，數(shù)形結(jié)合法較為便捷.同學(xué)們在解題時，要根據(jù)題目中不等式的結(jié)構(gòu)特征，選用最佳的解題途徑.